V245.XGP[TEX,DEK]3 - www.SailDart.org

perm filename V245.XGP[TEX,DEK]3 blob sn#510428 filedate 1980-05-16 generic text, type T, neo UTF8
/NOWRAPAROUND/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=1700/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=000000496*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β	[␈↓ α4␈ε"SECTION␈α4.5␈αof␈αTHE␈αAR␈α⎇T␈αOF␈αCOMPUTER␈αPR␈α␈OGRAMMING
␈β
ε␈↓ β&␈ε6⎇␈ε"␈α1980␈αAddison↑Wesley␈αPublishing␈αCompan␈α␈y,␈αInc.
␈β⊃H␈↓ ε2␈ε$0
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.1␈↓ 
v␈ε"313
␈β↓Z␈↓ λg␈ε.FR␈α␈A␈α␈CTIO␈α␈NS
␈βα$␈↓ ↓H␈ε=4␈α␈.5.␈α∩RA␈α|TIONAL␈α
ARITHM␈α␈ETIC
␈βαf␈↓ ↓H␈ε"I␈↓ β4␈ε"importan␈α␈t␈α∞to␈α∂kn␈α↓o␈α␈w␈α∞that␈α∂the␈α∞answ␈α␈er␈α∞to␈α∂some␈α∞n␈α␈umerical␈α∞problem
␈βαk␈↓ ↓T␈ε.T␈α∞I␈α␈S␈α∞OFTEN
␈ββ␈↓ αs␈ε%1
␈ββ⊃␈↓ ↓H␈ε"is␈α∂exactly␈↓ βπ␈ε",␈α⊂n␈α↓ot␈α∂a␈α⊂⎇oating␈α∂poin␈α␈t␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊂that␈α∂gets␈α⊂prin␈α␈ted␈α∂as␈α∂\0.333333574".
␈ββ"␈↓ αs␈ε%3
␈ββ%␈↓ αs␈∧β%αsα⊂
␈ββ<␈↓ ↓H␈ε"If␈α⊃arithmetic␈α∩is␈α⊃done␈α∩on␈α∩fractions␈α⊃instead␈α∩of␈α∩on␈α⊃appro␈α␈ximations␈↓ 	i␈ε"to␈α⊃fractions,
␈ββg␈↓ ↓H␈ε"man␈α␈y␈αcomputations␈αcan␈αbe␈αdone␈αen␈α␈tirely␈ε/␈αwith␈α↓out␈αan␈α␈y␈αaccum␈α␈ulated␈αrounding␈αer-
␈β∧∪␈↓ ↓H␈ε/rors.␈ε"␈α⊂This␈αresults␈αin␈αa␈αcomfortable␈αfeeling␈αof␈αsecurit␈α␈y␈αthat␈αis␈αo$en␈αlacking␈αwhen
␈β∧>␈↓ ↓H␈ε"⎇oating␈α∞poin␈α␈t␈α∞calculations␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∞been␈α∞made,␈α∂and␈α∞it␈α∞means␈α∞that␈α∞the␈α∞accuracy␈α∞of
␈β∧i␈↓ ↓H␈ε"the␈αcalculation␈αcann␈α↓ot␈αbe␈αimpro␈α␈v␈α␈ed␈αupon.
␈β¬m␈↓ ↓H␈ε=4␈α␈.5.1.␈α∩F␈α|r␈α↓a␈α␈cti␈α↓o␈α␈n␈α↓s
␈βε/␈↓ α␈ε"When␈α∂fractional␈α⊂arithmetic␈α∂is␈α∂desired,␈α⊂the␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈α⊂can␈α∂be␈α∂represen␈α␈ted␈α∂as
␈βεT␈↓ ∧%␈ε90␈↓ ε9␈ε90
␈βεZ␈↓ ↓H␈ε"pairs␈α
of␈α∞in␈α␈tegers,␈α∞(␈ε(u␈ε"␈α␈/␈↓ ∧⊂␈ε(u␈↓ ∧-␈ε"),␈α∞where␈ε(␈α
u␈ε"␈α∞and␈↓ ε$␈ε(u␈↓ εN␈ε"are␈α∞relativ␈α␈ely␈α
prime␈α∞to␈α
each␈α∞other␈α
and
␈βε␈␈↓ ↓\␈ε90␈↓ 
¬␈ε90␈↓ _␈ε90
␈βπ¬␈↓ ↓H␈ε(u␈↓ ↓p␈ε">␈α0.␈α∪The␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
zero␈α∞is␈α
represen␈α␈ted␈α
as␈α
(0/1).␈α∪In␈α
this␈α
form,␈α∞(␈ε(u␈ε"␈α␈/␈↓ 	p␈ε(u␈↓ 

␈ε")␈α=␈α(␈↓ 
a␈ε(v␈↓ 
t␈ε"/␈↓ ε␈ε(v␈↓  ␈ε")
␈βπ+␈↓ ∧g␈ε90␈↓ ¬:␈ε90
␈βπ1␈↓ ↓H␈ε"if␈αand␈αonly␈αif␈ε(␈αu␈ε"␈α	=␈↓ βm␈ε(v␈↓ ∧␈ε"and␈↓ ∧R␈ε(u␈↓ ∧y␈ε"=␈↓ ¬'␈ε(v␈↓ ¬B␈ε".
␈βπV␈↓ 	R␈ε90␈↓ 
c␈ε90
␈βπ\␈↓ α␈ε"Multiplication␈α⊂of␈α⊃fractions␈α⊂is,␈α⊃of␈α⊃course,␈α⊃easy;␈α∪to␈α⊂form␈α⊂(␈ε(u␈ε"/␈↓ 	=␈ε(u␈↓ 	Z␈ε")␈ε6␈αα␈ε"␈α
(␈↓ 
+␈ε(v␈↓ 
>␈ε"/␈↓ 
P␈ε(v␈↓ 
k␈ε")␈α⊃=
␈βλ↓␈↓ α≠␈ε90␈↓ εB␈ε90␈↓ ε]␈ε90␈↓ 
%␈ε90␈↓ 
?␈ε90
␈βλπ␈↓ ↓H␈ε"(␈↓ ↓T␈ε(w␈↓ ↓o␈ε"/␈↓ α↓␈ε(w␈↓ α#␈ε"),␈αw␈α␈e␈α
can␈α
simply␈α
compute␈ε(␈α
u␈↓ ¬L␈ε(v␈↓ ¬i␈ε"and␈↓ ε-␈ε(u␈↓ εJ␈ε(v␈↓ εe␈ε".␈α∂The␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
products␈ε(␈α
u␈↓ 	/␈ε(v␈↓ 	L␈ε"and␈↓ 
⊂␈ε(u␈↓ 
-␈ε(v␈↓ 
Q␈ε"migh␈α␈t
␈βλ,␈↓ εv␈ε90␈↓ π⊃␈ε90
␈βλ2␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓ot␈α	be␈α
relativ␈α␈ely␈α
prime,␈α
but␈α
if␈ε(␈α	d␈ε"␈α=␈↓ ¬h␈ε"gcd␈↓ ε≡␈ε"(␈ε(u␈↓ ε>␈ε(v␈↓ εQ␈ε",␈↓ εa␈ε(u␈↓ ε}␈ε(v␈↓ π→␈ε"),␈α
the␈α
desired␈α	answ␈α␈er␈α
is␈↓ 
β␈ε(w␈↓ 
(␈ε"=␈ε(␈α
u␈↓ 
j␈ε(v␈↓ 
⎇␈ε"/␈ε(d␈ε",
␈βλX␈↓ ↓c␈ε90␈↓ αF␈ε90␈↓ αa␈ε90
␈βλ↑␈↓ ↓H␈ε(w␈↓ ↓|␈ε"=␈↓ α2␈ε(u␈↓ αN␈ε(v␈↓ αi␈ε"/␈ε(d␈ε"␈α↓.␈α!(See␈α⊃exercise␈α⊂2.)␈α"E}cien␈α␈t␈α⊂algorithms␈α⊃to␈α⊂compute␈α⊃the␈α⊂greatest
␈β		␈↓ ↓H␈ε"comm␈α↓on␈αdivisor␈αare␈αdiscussed␈αin␈αSection␈α4.5.2.
␈β	.␈↓ 
O␈ε90
␈β	4␈↓ α␈ε"An␈α↓other␈α∂w␈α␈a␈α␈y␈α⊂to␈α∂perform␈α∂the␈α∂m␈α␈ultiplication␈α⊂is␈α∂to␈α∂|nd␈↓ λp␈ε(d␈↓ 	"␈ε"=␈↓ 	V␈ε"gcd␈↓ 
␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ 
<␈ε(v␈↓ 
W␈ε")␈α∂and
␈β	A␈↓ 	∧␈ε%1
␈β	Y␈↓ αz␈ε90␈↓ λ8␈ε90␈↓ 	→␈ε90␈↓ 
␈ε90
␈β	←␈↓ ↓H␈ε(d␈↓ ↓t␈ε"=␈↓ α#␈ε"gcd␈↓ αY␈ε"(␈↓ αe␈ε(u␈↓ βα␈ε",␈↓ β∩␈ε(v␈↓ β$␈ε");␈α
then␈αthe␈αansw␈α␈er␈αis␈↓ ¬r␈ε(w␈↓ ε_␈ε"=␈α
(␈ε(u␈ε"/␈↓ εy␈ε(d␈↓ π≠␈ε")(␈↓ π3␈ε(v␈↓ πF␈ε"/␈↓ πX␈ε(d␈↓ π{␈ε"),␈↓ λ≥␈ε(w␈↓ λJ␈ε"=␈α
(␈↓ 	∧␈ε(u␈↓ 	!␈ε"/␈↓ 	3␈ε(d␈↓ 	V␈ε")(␈↓ 	n␈ε(v␈↓ 
λ␈ε"/␈↓ 
~␈ε(d␈↓ 
=␈ε").␈α→(See
␈β	l␈↓ ↓[␈ε%2␈↓ π␈ε%1␈↓ πk␈ε%2␈↓ 	F␈ε%2␈↓ 
.␈ε%1
␈β
␈↓ ↓H␈ε"exercise␈α
3.)␈α⊃This␈α
meth␈α↓od␈α
requires␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
gcd␈α
calculations,␈αbut␈α
it␈α
is␈α
n␈α↓ot␈α	really␈α
slo␈α␈w␈α␈er
␈β
6␈↓ ↓H␈ε"than␈α∞the␈α∂former␈α∂meth␈α↓od;␈α⊂the␈α∂gcd␈α∂process␈α∂in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈α∞a␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α∂of␈α∂iterations␈α∞that
␈β
a␈↓ ↓H␈ε"is␈αessen␈α␈tially␈αproportional␈α
to␈αthe␈αlogarithm␈α
of␈αits␈α
inputs,␈αso␈αthe␈α
total␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof
␈β␈↓ ↓H␈ε"iterations␈α	needed␈α	to␈α	ev␈α⎇aluate␈α	both␈↓ ¬]␈ε(d␈↓ ελ␈ε"and␈↓ εK␈ε(d␈↓ εv␈ε"is␈α	essen␈α␈tially␈α	the␈α	same␈α	as␈α	the␈α	n␈α␈um␈α␈ber
␈β→␈↓ ¬p␈ε%1␈↓ ε↑␈ε%2
␈β7␈↓ ↓H␈ε"of␈α∞iterations␈α∞during␈α∞the␈α∞single␈α∞calculation␈α∞of␈ε(␈α∞d␈ε".␈α↔F␈α⎇urtherm␈α↓ore,␈α∞each␈α∞iteration␈α∞in
␈βc␈↓ ↓H␈ε"the␈α∂ev␈α⎇aluation␈α⊂of␈↓ βg␈ε(d␈↓ ∧→␈ε"and␈↓ ∧b␈ε(d␈↓ ¬∀␈ε"is␈α⊂poten␈α␈tially␈α⊂faster,␈α⊂because␈α⊂comparativ␈α␈ely␈α∂small
␈βo␈↓ βz␈ε%1␈↓ ∧v␈ε%2
␈βλ␈↓ ε∃␈ε90␈↓ π:␈ε90
␈β∞␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers␈α
are␈α∞being␈α∞examined.␈α∃If␈ε(␈α
u␈ε",␈↓ ε␈ε(u␈↓ ε≥␈ε",␈↓ ε5␈ε(v␈↓ εH␈ε",␈α∞and␈↓ π(␈ε(v␈↓ πP␈ε"are␈α∞single-precision␈α
quan␈α␈tities,
␈β9␈↓ ↓H␈ε"this␈αmeth␈α↓od␈α
has␈α
the␈αadv␈α⎇an␈α␈tage␈α
that␈α
n␈α↓o␈α
double-precision␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α
appear␈α
in␈αthe
␈β↑␈↓ 
z␈ε90
␈βd␈↓ ↓H␈ε"calculation␈α
unless␈α
it␈αis␈α
impossible␈α
to␈α
represen␈α␈t␈α
both␈α
of␈α
the␈α
answ␈α␈ers␈↓ 	p␈ε(w␈↓ 
_␈ε"and␈↓ 
←␈ε(w␈↓ ∞␈ε"in
␈β
∂␈↓ ↓H␈ε"single-precision␈αform.
␈β
;␈↓ α␈ε"Division␈αma␈α␈y␈αbe␈αdone␈αin␈αa␈αsimilar␈αmanner;␈αsee␈αexercise␈α4.
␈β
f␈↓ α␈ε"Addition␈α
and␈↓ βk␈ε"subtraction␈α
are␈α
sligh␈α␈tly␈α∞m␈α↓ore␈α
complicated.␈α∀The␈α
obvious␈α
pro-
␈β
s␈↓ ε¬␈ε↓␈␈↓ λ∞␈ε↓↓
␈β∞␈↓ ∧~␈ε90␈↓ ¬+␈ε90␈↓ εG␈ε90␈↓ π≥␈ε90␈↓ πk␈ε90␈↓ λε␈ε90
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈ε"cedure␈α⊂is␈α⊂to␈α⊂set␈α⊂(␈ε(u␈ε"/␈↓ ∧¬␈ε(u␈↓ ∧"␈ε")␈ε6␈αε␈ε"␈α
(␈↓ ∧s␈ε(v␈↓ ¬ε␈ε"/␈↓ ¬_␈ε(v␈↓ ¬3␈ε")␈α⊃=␈↓ ε∪␈ε"(␈ε(u␈↓ ε4␈ε(v␈↓ εZ␈ε6ε␈↓ πλ␈ε(u␈↓ π%␈ε(v␈↓ π8␈ε")/␈↓ πV␈ε(u␈↓ πs␈ε(v␈↓ λ,␈ε"and␈α⊂then␈α⊂to␈α⊂reduce␈α⊂this
␈β∞7␈↓ λ↓␈ε90␈↓ λU␈ε90␈↓ 	∃␈ε90␈↓ 	0␈ε90
␈β∞=␈↓ ↓H␈ε"fraction␈α∞to␈α∂lo␈α␈w␈α␈est␈α∂terms␈α∞by␈α∂calculating␈ε(␈α∂d␈ε"␈α∂=␈↓ π↔␈ε"gcd␈↓ πM␈ε"(␈ε(u␈↓ πn␈ε(v␈↓ λ∪␈ε6ε␈↓ λ@␈ε(u␈↓ λ]␈ε(v␈↓ λp␈ε",␈↓ 	␈ε(u␈↓ 	≥␈ε(v␈↓ 	8␈ε")␈α∞as␈α∂in␈α∂the␈α∞|rst
␈β∞h␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ultiplication␈αmeth␈α↓od.␈α∂But␈αagain␈αit␈αis␈αpossible␈αto␈αa␈α␈v␈α␈oid␈αw␈α␈orking␈αwith␈αsuch␈αlarge
␈β∂
␈↓ π,␈ε90␈↓ πW␈ε90
␈β∂∪␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers,␈αif␈αw␈α␈e␈α
start␈αby␈αcalculating␈↓ ¬z␈ε(d␈↓ ε'␈ε"=␈↓ εU␈ε"gcd␈↓ π␈ε"(␈↓ π↔␈ε(u␈↓ π4␈ε",␈↓ πD␈ε(v␈↓ π←␈ε").␈α⊃If␈↓ λ*␈ε(d␈↓ λW␈ε"=␈α
1,␈α
then␈αthe␈αdesired
␈β∂∨␈↓ ε
␈ε%1␈↓ λ=␈ε%1
␈β∂8␈↓ εS␈ε90␈↓ π&␈ε90␈↓ λ1␈ε90␈↓ 	␈ε90␈↓ 	&␈ε90
␈β∂>␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈umerator␈α
and␈α∞den␈α↓ominator␈α∞are␈↓ ¬S␈ε(w␈↓ ¬z␈ε"=␈ε(␈α
u␈↓ ε@␈ε(v␈↓ εd␈ε6ε␈↓ π⊃␈ε(u␈↓ π.␈ε(v␈↓ πN␈ε"and␈↓ λ⊗␈ε(w␈↓ λF␈ε"=␈↓ λw␈ε(u␈↓ 	∀␈ε(v␈↓ 	.␈ε".␈α≥(According␈α
to
␈β∂c␈↓ $␈ε90
␈β∂i␈↓ ↓H␈ε"Theorem␈α	4.5.2D␈↓ βC␈ε",␈↓ βW␈ε(d␈↓ ∧β␈ε"will␈α	be␈α	1␈α
about␈α	61␈α
percen␈α␈t␈α	of␈α	the␈α
time,␈α
if␈α	the␈α	den␈α↓ominators␈↓ ⊂␈ε(u
␈β∂v␈↓ βj␈ε%1
␈β⊂∂␈↓ α≡␈ε90
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈ε"and␈↓ α␈ε(v␈↓ α/␈ε"are␈α	randomly␈α	distributed,␈α
so␈α	it␈α	is␈α	wise␈α
to␈α	single␈α	this␈α	case␈α	out␈α	separately.)␈α∂If
␈β⊂:␈↓ ∧C␈ε90␈↓ ¬j␈ε90
␈β⊂@␈↓ ↓H␈ε(d␈↓ ↓t␈ε">␈α
1,␈α
then␈α
let␈ε(␈α
t␈ε"␈α
=␈ε(␈α
u␈ε"(␈↓ ∧0␈ε(v␈↓ ∧K␈ε"/␈↓ ∧]␈ε(d␈↓ ∧␈␈ε")␈ε6␈αβε␈↓ ¬6␈ε(v␈↓ ¬I␈ε"(␈↓ ¬U␈ε(u␈↓ ¬r␈ε"/␈↓ ε∧␈ε(d␈↓ ε&␈ε")␈α
and␈α	calculate␈↓ λ∪␈ε(d␈↓ λ@␈ε"=␈↓ λn␈ε"gcd␈↓ 	$␈ε"(␈ε(t␈ε",␈↓ 	M␈ε(d␈↓ 	o␈ε");␈α|nally␈α	the
␈β⊂L␈↓ ↓[␈ε%1␈↓ ∧p␈ε%1␈↓ ε↔␈ε%1␈↓ λ&␈ε%2␈↓ 	`␈ε%1
␈β⊂e␈↓ ∧&␈ε90␈↓ ¬π␈ε90␈↓ ¬n␈ε90
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"answ␈α␈er␈αis␈↓ αa␈ε(w␈↓ βε␈ε"=␈ε(␈α
t␈ε"/␈↓ βS␈ε(d␈↓ βv␈ε",␈↓ ∧␈ε(w␈↓ ∧8␈ε"=␈α
(␈↓ ∧r␈ε(u␈↓ ¬∂␈ε"/␈↓ ¬!␈ε(d␈↓ ¬C␈ε")(␈↓ ¬[␈ε(v␈↓ ¬v␈ε"/␈↓ ελ␈ε(d␈↓ ε+␈ε").␈α⊗(Exercise␈α6␈αpro␈α␈v␈α␈es␈αthat␈αthese␈αv␈α⎇alues␈αof
␈β⊂w␈↓ βg␈ε%2␈↓ ¬4␈ε%1␈↓ ε≤␈ε%2
␈β⊃⊂␈↓ αI␈ε90
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε(w␈↓ ↓k␈ε"and␈↓ α.␈ε(w␈↓ αZ␈ε"are␈αλrelativ␈α␈ely␈α	prime␈α	to␈αλeach␈α	other.)␈α∞If␈αλsingle-precision␈α	n␈α␈um␈α␈bers␈α	are␈αλbeing
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"314␈↓ 
b␈ε"4.5.1
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"used,␈α
this␈αmeth␈α↓od␈α
requires␈α
only␈α
single-precision␈αoperations,␈α
except␈α
that␈ε(␈αt␈ε"␈α
ma␈α␈y␈α
be
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"a␈α∞double-precision␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α∞or␈α∞sligh␈α␈tly␈α∞larger␈α∞(see␈α∞exercise␈α∞7);␈α∂since␈↓ 	n␈ε"gcd␈↓ 
$␈ε"(␈ε(t␈ε",␈↓ 
M␈ε(d␈↓ 
o␈ε")␈α
=
␈βα\␈↓ 
`␈ε%1
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"gcd␈↓ ↓}␈ε"(␈ε(t␈↓ α≥␈ε"mod␈↓ αg␈ε(d␈↓ β	␈ε",␈↓ β→␈ε(d␈↓ β<␈ε"),␈αthe␈αcalculation␈αof␈↓ ¬|␈ε(d␈↓ ε*␈ε"does␈αn␈α↓ot␈αrequire␈αdouble␈αprecision.
␈ββπ␈↓ αz␈ε%1␈↓ β-␈ε%1␈↓ ε∂␈ε%2
␈ββ&␈↓ α␈ε"F␈α⎇or␈α
example,␈α
to␈α
compute␈α
(7/66)␈αλ+␈α	(17/12),␈α
w␈α␈e␈α
form␈↓ λR␈ε(d␈↓ 	␈ε"=␈↓ 	/␈ε"gcd␈↓ 	e␈ε"(66,␈αε12)␈α=␈α6;
␈ββ2␈↓ λe␈ε%1
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"then␈ε(␈αt␈ε"␈α
=␈α
7␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ2␈αλ+␈αλ17␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ11␈α
=␈α
201,␈αand␈↓ ¬⎇␈ε(d␈↓ ε)␈ε"=␈↓ εW␈ε"gcd␈↓ π
␈ε"(201,␈αε6)␈α
=␈α
3,␈αso␈αthe␈αansw␈α␈er␈αis
␈ββ]␈↓ ε⊂␈ε%2
␈β∧#␈↓ ¬G␈ε↓≡
␈β∧$␈↓ ¬
␈ε"201␈↓ ¬q␈ε"66␈↓ ε#␈ε"12
␈β∧<␈↓ εU␈ε"=␈α
67/44␈↓ πa␈ε".
␈β∧P␈↓ ¬
␈∧∧P¬
α6␈↓ ¬q␈∧∧P¬qα$␈↓ ε#␈∧∧Pε#α$
␈β∧V␈↓ ¬∨␈ε"3␈↓ ¬z␈ε"6␈↓ ε,␈ε"3
␈β¬%␈↓ α␈ε"T␈α⎇o␈αhelp␈αcheck␈αout␈αsubroutines␈αfor␈αrational␈αarithmetic,␈αin␈α␈v␈α␈ersion␈αof␈αmatrices
␈β¬Q␈↓ ↓H␈ε"with␈αkn␈α↓o␈α␈wn␈αin␈α␈v␈α␈erses␈α(e.g.,␈αCauch␈α␈y␈αmatrices,␈αexercise␈α1.2.3↑41)␈αis␈αsuggested.
␈β¬|␈↓ α␈ε"Experience␈α
with␈αfractional␈α
calculations␈αsh␈α↓o␈α␈ws␈α
that␈αin␈α
man␈α␈y␈αcases␈α
the␈αn␈α␈um-
␈βε!␈↓ εs␈ε90
␈βε'␈↓ ↓H␈ε"bers␈α∞gro␈α␈w␈α∂to␈α∞be␈α∞quite␈α∂large.␈α↔So␈α∂if␈ε(␈α∞u␈ε"␈α∞and␈↓ ε←␈ε(u␈↓ π
␈ε"are␈α∞in␈α␈tended␈α∂to␈α∞be␈α∞single-precision
␈βεL␈↓ ¬>␈ε90
␈βεR␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers␈α∂for␈α⊂each␈α⊂fraction␈α⊂(␈ε(u␈ε"/␈↓ ¬*␈ε(u␈↓ ¬F␈ε"),␈α⊃it␈α⊂is␈α⊂importan␈α␈t␈α∂to␈α⊂include␈α⊂tests␈α⊂for␈α∂o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w
␈βε⎇␈↓ ↓H␈ε"in␈α⊂each␈α⊂of␈α⊂the␈α⊂addition,␈α⊃subtraction,␈α⊃m␈α␈ultiplication,␈α⊂and␈α⊂division␈α⊂subroutines.
␈βπ)␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇or␈α∂n␈α␈umerical␈α⊂problems␈α⊂in␈α∂which␈α⊂perfect␈α⊂accuracy␈α∂is␈α⊂importan␈α␈t,␈α⊂a␈α⊂set␈α⊂of␈α∂sub-
␈βπT␈↓ ↓H␈ε"routines␈αfor␈α
fractional␈αarithmetic␈α
with␈ε/␈αarbitrary␈ε"␈α
precision␈αallo␈α␈w␈α␈ed␈α
in␈αn␈α␈umerator
␈βπ␈␈↓ ↓H␈ε"and␈αden␈α↓ominator␈αis␈αv␈α␈ery␈αuseful.
␈βλ*␈↓ α␈ε"The␈α
meth␈α↓ods␈α
of␈α
this␈α
section␈α
extend␈α
also␈α
to␈α
other␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
|elds␈αbesides␈α
the
␈βλU␈↓ ↓H␈ε"rational␈αn␈α␈um␈α␈bers;␈αfor␈αexample,␈αw␈α␈e␈αcould␈αdo␈αarithmetic␈αon␈αquan␈α␈tities␈αof␈αthe␈αform
␈βλ{␈↓ α3␈ε90␈↓ β#␈ε900␈↓ ∧t␈ε90␈↓ ¬(␈ε900␈↓ λ∞␈ε90␈↓ λ;␈ε900␈↓ 
↔␈ε900
␈βλ|␈↓ α;␈ε6p
␈βλ␈␈↓ αY␈∧λ␈αYα∩
␈β	↓␈↓ ↓H␈ε"(␈ε(u␈ε"␈αλ+␈↓ α≡␈ε(u␈↓ αY␈ε"5␈↓ αq␈ε")/␈↓ β∂␈ε(u␈↓ β3␈ε",␈α∞where␈ε(␈α
u␈ε"␈α␈,␈↓ ∧`␈ε(u␈↓ ∧|␈ε",␈↓ ¬∀␈ε(u␈↓ ¬E␈ε"are␈α
in␈α␈tegers,␈↓ π∪␈ε"gcd␈↓ πI␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ πy␈ε(u␈↓ λ⊗␈ε",␈↓ λ&␈ε(u␈↓ λK␈ε")␈α=␈α1,␈α∞and␈↓ 
β␈ε(u␈↓ 
3␈ε">␈α0;␈α
or
␈β	&␈↓ ¬F␈ε90␈↓ εG␈ε900␈↓ π@␈ε9000
␈β	'␈↓ ¬N␈ε6p␈↓ ¬W␈ε'3␈↓ εW␈ε6p␈↓ ε`␈ε'3
␈β	*␈↓ ¬l␈∧	*¬lα∩␈↓ εu␈∧	*εuα∩
␈β	,␈↓ ↓H␈ε"on␈αquan␈α␈tities␈αof␈αthe␈αform␈α(␈ε(u␈ε"␈απ+␈↓ ¬1␈ε(u␈↓ ¬l␈ε"2␈↓ εε␈ε"+␈↓ ε2␈ε(u␈↓ εu␈ε"4␈↓ π
␈ε")/␈↓ π+␈ε(u␈↓ πX␈ε",␈αetc.
␈β	b␈↓ α␈ε"Instead␈α
of␈α
insisting␈α
on␈α
exact␈α
calculations␈α
with␈α
fractions,␈α
it␈α
is␈α
in␈α␈teresting␈α
to
␈β

␈↓ ↓H␈ε"consider␈αalso␈α\␈↓ β,␈ε"|xed␈αslash"␈α
and␈α\␈↓ ¬B␈ε"⎇oating␈αslash"␈αn␈α␈um␈α␈bers,␈αwhich␈αare␈α
analogous␈αto
␈β
8␈↓ ↓H␈ε"⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αbut␈αbased␈αon␈αrational␈αfractions␈αinstead␈αof␈αradix-orien␈α␈ted
␈β
c␈↓ ↓H␈ε"fractions.␈α≠In␈α⊂a␈α∂binary␈α⊂|xed-slash␈α⊂scheme,␈α⊂the␈α⊂n␈α␈umerator␈α⊂and␈α⊂den␈α↓ominator␈α∂of
␈β∂␈↓ ↓H␈ε"a␈α∞represen␈α␈table␈α∞fraction␈α∞each␈α∞consist␈α∞of␈α∞at␈α∂m␈α↓ost␈ε(␈α∞p␈ε"␈α∞bits,␈α∂for␈α∞some␈α∞giv␈α␈en␈ε(␈α∞p␈ε".␈α⊗In␈α∞a
␈β:␈↓ ↓H␈ε"⎇oating-slash␈αscheme,␈αthe␈ε/␈αsum␈ε"␈αof␈αn␈α␈umerator␈αbits␈αplus␈αden␈α↓ominator␈αbits␈αm␈α␈ust␈αbe
␈βe␈↓ ↓H␈ε"a␈αtotal␈αof␈αat␈αm␈α↓ost␈↓ βi␈ε(q␈↓ β|␈ε",␈αfor␈αsome␈αgiv␈α␈en␈↓ ε↓␈ε(q␈↓ ε∀␈ε",␈↓ ε*␈ε"and␈αan␈α↓other␈α|eld␈αof␈αthe␈αrepresen␈α␈tation␈αis
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε"used␈α
to␈αindicate␈αh␈α↓o␈α␈w␈αman␈α␈y␈α
of␈αthese␈↓ ¬y␈ε(q␈↓ ε↔␈ε"bits␈α
belong␈αto␈αthe␈α
n␈α␈umerator.␈α⊂T␈α⎇o␈αdo␈α
arith-
␈β;␈↓ ↓H␈ε"metic␈α
on␈αsuch␈αn␈α␈um␈α␈bers,␈αw␈α␈e␈αde|ne␈ε(␈αx␈ε6␈α¬λ␈↓ ε!␈ε(y␈↓ ε>␈ε"=␈↓ εl␈ε"round␈↓ πH␈ε"(␈ε(x␈ε"␈α¬+␈↓ λ↔␈ε(y␈↓ λ)␈ε"),␈ε(␈αx␈ε6␈αε␈	␈↓ 	∞␈ε(y␈↓ 	*␈ε"=␈↓ 	X␈ε"round␈↓ 
4␈ε"(␈ε(x␈ε6␈αε␈␈↓ ∧␈ε(y␈↓ ⊗␈ε"),
␈βg␈↓ ↓H␈ε"etc.,␈α⊂where␈α∂round(␈ε(x␈ε")␈α⊂=␈ε(␈α⊂x␈ε"␈α∂if␈ε(␈α⊂x␈ε"␈α∂is␈α⊂represen␈α␈table,␈α⊂otherwise␈α∂it␈α⊂is␈α∂one␈α⊂of␈α∂the␈α∂t␈α␈w␈α␈o
␈β
∩␈↓ ↓H␈ε"represen␈α␈table␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αthat␈αsurround␈ε(␈αx␈ε".
␈β
=␈↓ α␈ε"It␈αma␈α␈y␈αseem␈αat␈α|rst␈αthat␈αthe␈αbest␈αde|nition␈αof␈αround(␈ε(x␈ε")␈αw␈α␈ould␈αbe␈αto␈αch␈α↓o␈α↓ose
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"the␈α
represen␈α␈table␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αthat␈α
is␈αclosest␈αto␈ε(␈α
x␈ε",␈αby␈αanalogy␈αwith␈α
the␈αw␈α␈a␈α␈y␈αw␈α␈e␈↓ 
P␈ε"round
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"in␈α
⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αarithmetic.␈α⊂But␈α
experience␈αhas␈αsh␈α↓o␈α␈wn␈αthat␈αit␈α
is␈αbest␈αto␈αbias␈α
our
␈β∞?␈↓ ↓H␈ε"rounding␈α∞to␈α␈w␈α␈ards␈α∂\simple"␈α∞n␈α␈um␈α␈bers,␈α⊂since␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∂with␈α∞small␈α∂n␈α␈umerator␈α∞and
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε"den␈α↓ominator␈α∞occur␈α∂m␈α␈uch␈α∞m␈α↓ore␈α∂o$en␈α∞than␈α∂complicated␈α∞fractions␈α∂do.␈α↔We␈α∞w␈α␈an␈α␈t
␈β∂⊂␈↓ ∧|␈ε%1␈↓ ε"␈ε%127
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"m␈α↓ore␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α
to␈α
round␈α
to␈↓ ¬≤␈ε"than␈α
to␈↓ εS␈ε".␈α∪The␈α
rounding␈α
rule␈α
that␈α
turns␈α
out␈α
to
␈β∂&␈↓ ∧|␈ε%2␈↓ ε"␈ε%255
␈β∂)␈↓ ∧|␈∧∂)∧|α⊂␈↓ ε"␈∧∂)ε"α.
␈β∂:␈↓ 	n␈ε90␈↓ _␈ε90
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"be␈αm␈α↓ost␈αsuccessful␈αin␈αpractice␈αis␈αcalled␈α\␈↓ εC␈ε"median␈α␈t␈α
rounding":␈αIf␈α(␈ε(u␈ε"/␈↓ 	Z␈ε(u␈↓ 	v␈ε")␈α
and␈α(␈↓ 
a␈ε(v␈↓ 
t␈ε"/␈↓ ε␈ε(v␈↓  ␈ε")
␈β∂e␈↓ λU␈ε90␈↓ 
→␈ε90
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"are␈α
adjacen␈α␈t␈αrepresen␈α␈table␈αn␈α␈um␈α␈bers,␈αso␈αthat␈αwhenev␈α␈er␈ε(␈αu␈ε"␈α␈/␈↓ λ@␈ε(u␈↓ λg␈ε6∀␈ε(␈α
x␈ε6␈α
∀␈↓ 	a␈ε(v␈↓ 	t␈ε"/␈↓ 
ε␈ε(v␈↓ 
,␈ε"w␈α␈e␈α
m␈α␈ust
␈β⊂⊂␈↓ ¬␈ε90␈↓ ε⊂␈ε90
␈β⊂↔␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈αround(␈ε(x␈ε")␈αequal␈αto␈α(␈ε(u␈ε"␈α␈/␈↓ ∧k␈ε(u␈↓ ¬λ␈ε")␈αor␈α(␈↓ ¬X␈ε(v␈↓ ¬k␈ε"/␈↓ ¬⎇␈ε(v␈↓ ε_␈ε"),␈αthe␈αmedian␈α␈t␈αrounding␈αrule␈αsa␈α␈ys␈αthat
␈β⊂g␈↓ β|␈ε(u␈↓ ¬4␈ε(u␈ε"␈αλ+␈↓ ¬⎇␈ε(v␈↓ λ_␈ε(v␈↓ 	O␈ε(u␈ε"␈αλ+␈↓ 
_␈ε(v
␈β⊂␈␈↓ α4␈ε"round␈↓ β⊂␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ ∧$␈ε"for␈↓ ∧\␈ε(x␈ε"␈α
<␈↓ ε≤␈ε",␈↓ εP␈ε"round␈↓ π,␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ λ?␈ε"for␈↓ λw␈ε(x␈ε"␈α
>␈↓ 
6␈ε".␈↓ α␈ε"(1)
␈β⊃∪␈↓ βx␈∧⊃∪βxα≥␈↓ ¬,␈∧⊃∪¬,αl␈↓ λ∀␈∧⊃∪λ∀α≠␈↓ 	G␈∧⊃∪	Gαl
␈β⊃∃␈↓ ∧␈ε90␈↓ ¬A␈ε90␈↓ ε⊂␈ε90␈↓ λ'␈ε90␈↓ 	\␈ε90␈↓ 
*␈ε90
␈β⊃_␈↓ βx␈ε(u␈↓ ¬,␈ε(u␈↓ ¬Q␈ε"+␈↓ ¬⎇␈ε(v␈↓ λ∀␈ε(v␈↓ 	G␈ε(u␈↓ 	l␈ε"+␈↓ 
_␈ε(v
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.1␈↓ 
v␈ε"315
␈β↓Z␈↓ λg␈ε.FR␈α␈A␈α␈CTIO␈α␈NS
␈βα≤␈↓ βU␈ε90␈↓ ∧≤␈ε90
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"If␈ε(␈α
x␈ε"␈α
=␈α
(␈ε(u␈ε"␈α∧+␈↓ ββ␈ε(v␈↓ β⊗␈ε")/(␈↓ β@␈ε(u␈↓ βa␈ε"+␈↓ ∧	␈ε(v␈↓ ∧$␈ε")␈α
exactly,␈αw␈α␈e␈α
let␈α
round(␈ε(x␈ε")␈α
be␈α
the␈α
neigh␈α␈boring␈α
fraction␈α
with
␈βαG␈↓ ¬[␈ε90␈↓ ε.␈ε90
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"the␈αsmallest␈αden␈α↓ominator␈α(or,␈αif␈↓ ¬G␈ε(u␈↓ ¬m␈ε"=␈↓ ε≠␈ε(v␈↓ ε6␈ε",␈αwith␈αthe␈αsmallest␈αn␈α␈umerator).
␈βαy␈↓ α␈ε"F␈α⎇or␈α	example,␈α
suppose␈α	w␈α␈e␈α	are␈α	doing␈α	|xed␈α	slash␈α	arithmetic␈α	with␈ε(␈α	p␈ε"␈α
=␈α
8,␈α	so␈α	that
␈ββ≡␈↓ ¬:␈ε90
␈ββ$␈↓ ↓H␈ε"the␈αrepresen␈α␈table␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α(␈ε(u␈ε"/␈↓ ¬%␈ε(u␈↓ ¬B␈ε")␈αha␈α␈v␈α␈e␈ε6␈α␈␈ε"128␈α<␈ε(␈αu␈ε"␈α
<␈α128␈α
and␈α0␈ε6␈α∀␈↓ 	d␈ε(v␈↓ 
↓␈ε"<␈α256␈αand
␈ββI␈↓ αC␈ε90
␈ββO␈↓ ↓H␈ε"gcd(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ α.␈ε(u␈↓ αK␈ε")␈α=␈α1.␈α∀This␈α
isn't␈α
m␈α␈uch␈α
precision,␈α∞but␈α
it␈α
is␈α
en␈α↓ough␈α
to␈α∞giv␈α␈e␈α
us␈α
a␈α
feel␈α
for
␈ββz␈↓ ↓H␈ε"slash␈αarithmetic.␈α∂The␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αadjacen␈α␈t␈αto␈α0␈α
=␈α
(0/1)␈αare␈α(␈ε6␈␈ε"1/255)␈αand␈α
(1/255);
␈β∧%␈↓ ↓H␈ε"according␈αto␈α
the␈α
median␈α␈t␈α
rounding␈α
rule,␈α
w␈α␈e␈α
will␈αtherefore␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
round(␈ε(x␈ε")␈α=␈α0␈αif
␈β∧Q␈↓ ↓H␈ε"and␈α∂only␈α∂if␈ε6␈α⊂j␈ε(x␈ε6j␈α∂∀␈ε"␈α⊂1/256.␈α~Suppose␈α∂w␈α␈e␈α∂ha␈α␈v␈α␈e␈α⊂a␈α∂calculation␈α∂that␈α⊂w␈α␈ould␈α∂tak␈α␈e␈α∂the
␈β∧w␈↓ β∞␈ε%2␈α↓2␈↓ βm␈ε%314␈↓ ∧J␈ε%130␈α↓0
␈β∧|␈↓ ↓H␈ε"o␈α␈v␈α␈erall␈α	form␈↓ β;␈ε"=␈↓ ∧ ␈ε"+␈↓ ¬∀␈ε"if␈α	w␈α␈e␈αλw␈α␈ere␈α	w␈α␈orking␈α	in␈α	exact␈α	rational␈α	arithmetic,␈α	but
␈β¬
␈↓ β⊗␈ε%7␈↓ βm␈ε%159␈↓ ∧J␈ε%111␈α↓3
␈β¬⊂␈↓ β∞␈∧¬⊂β∞α∨␈↓ βm␈∧¬⊂βmα.␈↓ ∧J␈∧¬⊂∧Jα=
␈β¬'␈↓ ↓H␈ε"the␈α
in␈α␈termediate␈α
quan␈α␈tities␈α	ha␈α␈v␈α␈e␈α
had␈α
to␈α
be␈α
rounded␈α
to␈α
represen␈α␈table␈α
n␈α␈um␈α␈bers.␈α∂In
␈β¬N␈↓ α`␈ε%314␈↓ εh␈ε%1␈α↓300
␈β¬R␈↓ ↓H␈ε"this␈α
case␈↓ β≡␈ε"w␈α␈ould␈α
round␈α
to␈α
(79/40)␈α
and␈↓ π6␈ε"w␈α␈ould␈α
round␈α
to␈α
(7/6).␈α∪The␈α
sum
␈β¬c␈↓ α`␈ε%159␈↓ εh␈ε%1␈α↓113
␈β¬f␈↓ α`␈∧¬fα`α.␈↓ εh␈∧¬fεhα=
␈β¬y␈↓ ↓L␈ε%79␈↓ α)␈ε%7␈↓ β↓␈ε%377
␈β¬⎇␈↓ ↓x␈ε"+␈↓ αK␈ε"=␈↓ βA␈ε"rounds␈α∞to␈α∞(22/7),␈α∂so␈α∂w␈α␈e␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∂obtained␈α∞the␈α∂correct␈α∞answ␈α␈er␈α∞ev␈α␈en
␈βε∞␈↓ ↓L␈ε%40␈↓ α)␈ε%6␈↓ β↓␈ε%120
␈βε∩␈↓ ↓L␈∧ε∩↓Lα∨␈↓ α)␈∧ε∩α)α⊂␈↓ β↓␈∧ε∩β↓α.
␈βε)␈↓ ↓H␈ε"th␈α↓ough␈α	three␈α
roundings␈α	w␈α␈ere␈α
required.␈α∂This␈α	example␈α
w␈α␈as␈α	n␈α↓ot␈α
specially␈α	con␈α␈triv␈α␈ed;
␈βεT␈↓ ↓H␈ε"when␈α⊂the␈α∂answ␈α␈er␈α⊂to␈α⊂a␈α⊂problem␈α⊂is␈α⊂a␈α⊂simple␈α⊂fraction,␈α⊃slash␈α⊂arithmetic␈α⊂tends␈α∂to
␈βε␈␈↓ ↓H␈ε"mak␈α␈e␈αthe␈αin␈α␈termediate␈αrounding␈αerrors␈αcancel␈αout.
␈βπ*␈↓ α␈ε"Exact␈α∞represen␈α␈tation␈α∂of␈α∞fractions␈α∂within␈α∞a␈α∂computer␈α∞w␈α␈as␈α∂|rst␈α∞discussed␈α∞in
␈βπU␈↓ ↓H␈ε"the␈α
literature␈αby␈α
P.␈↓ β␈␈ε"Henrici,␈ε/␈αJA␈α␈CM␈ε2␈α
3␈ε"␈α(1956),␈α6↑9.␈α∂Fixed␈αand␈α
⎇oating␈αslash␈α
arith-
␈βλ↓␈↓ ↓H␈ε"metic␈α∂w␈α␈as␈α⊂proposed␈α⊂by␈α∂Da␈α␈vid␈α⊂W.␈↓ ¬s␈ε"Matula,␈α⊃in␈ε/␈α⊂Applications␈α∂of␈α⊂Num␈α␈ber␈α∂Theory
␈βλ,␈↓ ↓H␈ε/to␈α∪Numerical␈α∩Analysis␈ε",␈α∃ed.␈α∪by␈α∪S.␈α∪K.␈↓ ε6␈ε"Zarem␈α␈ba␈α∪(New␈α∪Y␈α⎇ork:␈α~Academic␈α∩Press,
␈βλW␈↓ ↓H␈ε"1972),␈α
486↑489.␈α∩F␈α⎇urther␈α
dev␈α␈elopmen␈α␈ts␈α
of␈α
the␈α
idea␈α
are␈α
discussed␈α
by␈α
Matula␈αand
␈β	α␈↓ ↓H␈ε"Kornerup␈αin␈ε/␈αProc.␈αIEEE␈αSymp.␈αComputer␈αArith.␈ε2␈α4␈ε"␈α(1978),␈α29↑47;␈ε/␈αLecture␈αNotes
␈β	-␈↓ ↓H␈ε/in␈αComp.␈αSci.␈ε2␈α72␈ε"␈α(1979),␈α383↑397;␈ε/␈αComputing␈ε"␈α(1980),␈αto␈αappear.
␈β
*␈↓ ↓H␈ε=E␈α␈XERCISES
␈β
w␈↓ ↓g␈ε31.␈↓ α␈ε#[␈ε)15␈↓ α;␈ε#]␈α⊗S␈α␈ug␈α␈gest␈αa␈α
reaso␈α␈nab␈α␈le␈αcom␈α␈pu␈α␈tation␈α␈al␈αmethod␈α
f␈α↓o␈α␈r␈↓ λ≠␈ε#com␈α␈par␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αt␈α␈w␈α␈o␈αfra␈α␈ctions,␈αto
␈β→␈↓ ∧0␈ε:0␈↓ ¬5␈ε:0
␈β∨␈↓ ↓H␈ε#te␈α␈st␈αwheth␈α␈er␈αor␈αnot␈α(␈ε)u␈ε#/␈↓ ∧≤␈ε)u␈↓ ∧7␈ε#)␈α	<␈α
(␈↓ ¬↓␈ε)v␈↓ ¬∪␈ε#/␈↓ ¬#␈ε)v␈↓ ¬=␈ε#).
␈βP␈↓ ↓g␈ε32.␈↓ α␈ε#[␈ε)M1␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈αif␈ε)␈αd␈ε#␈α
=␈↓ ¬ε␈ε#gcd␈↓ ¬8␈ε#(␈ε)u␈ε#␈α↓,␈↓ ¬e␈ε)v␈↓ ¬w␈ε#)␈αthen␈ε)␈α
u␈ε#␈α↓/␈ε)␈α␈d␈ε#␈αan␈α␈d␈↓ π[␈ε)v␈↓ πm␈ε#/␈ε)␈α␈d␈ε#␈αa␈α␈re␈αrelativ␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈α
prime.
␈β|␈↓ ¬;␈ε:0␈↓ 	Y␈ε:0
␈βα␈↓ ↓g␈ε33.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈αtha␈α␈t␈α
if␈ε)␈α
u␈ε#␈α
a␈α␈nd␈↓ ¬'␈ε)u␈↓ ¬O␈ε#a␈α␈re␈α
re␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈αprime,␈α
a␈α␈nd␈αif␈↓ λg␈ε)v␈↓ 	¬␈ε#an␈α␈d␈↓ 	H␈ε)v␈↓ 	m␈ε#are␈αrelativ␈α␈ely
␈β$␈↓ β␈␈ε:0␈↓ ∧→␈ε:0␈↓ ¬P␈ε:0␈↓ ε9␈ε:0
␈β)␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈rime,␈αthen␈↓ α{␈ε#gcd␈↓ β-␈ε#(␈ε)u␈↓ βL␈ε)v␈↓ β]␈ε#,␈↓ βl␈ε)u␈↓ ∧π␈ε)v␈↓ ∧ ␈ε#)␈α	=␈↓ ∧←␈ε#gcd␈↓ ¬⊃␈ε#(␈ε)u␈ε#␈α↓,␈↓ ¬>␈ε)v␈↓ ¬W␈ε#)␈↓ ¬h␈ε#gcd␈↓ ε~␈ε#(␈↓ ε%␈ε)u␈↓ ε@␈ε#,␈↓ εO␈ε)v␈↓ εa␈ε#).
␈β[␈↓ ↓g␈ε34.␈↓ α␈ε#[␈ε)11␈↓ α;␈ε#]␈α⊗De␈α␈si␈α↓g␈α␈n␈α	a␈α	d␈α␈i␈α↓v␈α␈i␈α↓s␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α	algo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hm␈α	for␈α	frac␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns,␈α
a␈α␈na␈α␈l␈α↓o␈α␈gou␈α␈s␈α	to␈α	the␈α	se␈α␈con␈α␈d␈α	m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈-
␈β
β␈↓ ↓H␈ε#tio␈α␈n␈αmethod␈α
of␈αthe␈α
text.␈α→(Note␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αsign␈αo␈α␈f␈↓ π␈ε)v␈↓ π)␈ε#m␈α␈us␈α␈t␈αb␈α␈e␈αco␈α␈nside␈α␈red.)
␈β
4␈↓ ↓g␈ε35.␈↓ α␈ε#[␈ε)10␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Co␈α␈mpu␈α␈te␈α(17␈α␈/12␈α␈0)␈αλ+␈απ(␈ε7␈␈ε#␈α↓2␈α␈7/7␈α␈0)␈αby␈α
the␈αm␈α␈eth␈α↓o␈α␈d␈αrec␈α␈omm␈α␈end␈α␈ed␈αin␈αt␈α␈he␈αtex␈α␈t.
␈β
`␈↓ ∧␈␈ε:0␈↓ λg␈ε:0
␈β
d␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
f␈↓ ↓c␈ε36.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈3␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Sho␈α␈w␈α⊂th␈α␈at␈α∂i␈α↓f␈ε)␈α∂u␈ε#␈α↓,␈↓ ∧l␈ε)u␈↓ ¬⊗␈ε#are␈α∂relativ␈α␈ely␈α∂prime␈α∂an␈α␈d␈α⊂if␈↓ λ5␈ε)v␈↓ λF␈ε#,␈↓ λU␈ε)v␈↓ λ}␈ε#are␈α∂relativ␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈α∂p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e,
␈β∞λ␈↓ αw␈ε:0␈↓ βU␈ε:0␈↓ β␈␈ε:0␈↓ ∧_␈ε:0␈↓ πB␈ε:0␈↓ πj␈ε:0␈↓ 
@␈ε:0
␈β∞␈↓ 	U␈ε"(
␈β∞∞␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈en␈↓ α∃␈ε#g␈α␈cd␈↓ αG␈ε#(␈ε)u␈↓ αe␈ε)v␈↓ βπ␈ε#+␈↓ β0␈ε)v␈↓ βB␈ε)u␈↓ β]␈ε#,␈↓ βl␈ε)u␈↓ ∧ε␈ε)v␈↓ ∧ ␈ε#)␈α=␈↓ ∧c␈ε)d␈↓ ¬β␈ε)d␈↓ ¬"␈ε#,␈α
where␈↓ ε~␈ε)d␈↓ εE␈ε#=␈↓ εr␈ε#g␈α␈cd␈↓ π$␈ε#(␈↓ π/␈ε)u␈↓ πJ␈ε#,␈↓ πY␈ε)v␈↓ πr␈ε#)␈αan␈α␈d␈↓ λK␈ε)d␈↓ λv␈ε#=␈↓ 	#␈ε#gc␈α␈d␈↓ 	a␈ε)d␈↓ 
↓␈ε#,␈ε)␈αεu␈ε#(␈↓ 
.␈ε)v␈↓ 
G␈ε#/␈↓ 
X␈ε)d␈↓ 
x␈ε#)␈αλ+
␈β∞→␈↓ ∧u␈ε&1␈↓ ¬∃␈ε&2␈↓ ε,␈ε&1␈↓ λ]␈ε&2␈↓ 	s␈ε&1␈↓ 
j␈ε&1
␈β∞/␈↓ ↓x␈ε:0␈↓ ¬`␈ε:0␈↓ ε<␈ε:0␈↓ 	≤␈ε:0␈↓ 	5␈ε:0
␈β∞3␈↓ α;␈ε")
␈β∞5␈↓ ↓H␈ε)v␈↓ ↓Y␈ε#(␈↓ ↓d␈ε)u␈↓ ↓␈␈ε#/␈↓ α⊂␈ε)d␈↓ α0␈ε#)␈↓ αG␈ε#.␈α→(H␈α↓e␈α␈nce␈αif␈↓ βv␈ε)d␈↓ ∧∨␈ε#=␈α
1␈α␈,␈αth␈α␈en␈ε)␈α
u␈↓ ¬N␈ε)v␈↓ ¬n␈ε#+␈↓ ε↔␈ε)v␈↓ ε)␈ε)u␈↓ εO␈ε#is␈αrelativ␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈α
prime␈αto␈↓ 	λ␈ε)u␈↓ 	#␈ε)v␈↓ 	=␈ε#.)
␈β∞A␈↓ α"␈ε&1␈↓ ∧λ␈ε&1
␈β∞g␈↓ ↓g␈ε37.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈2␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Ho␈α␈w␈α	large␈α	c␈α␈an␈α	th␈α␈e␈α	ab␈α␈solute␈αλv␈α⎇alue␈α	o␈α␈f␈α	the␈α	qu␈α␈an␈α}tit␈α␈y␈ε)␈α	t␈ε#␈α
b␈α␈ecom␈α␈e,␈α
in␈α	th␈α␈e␈α	ad␈α␈dition␈α␈-
␈β∂∞␈↓ ↓H␈ε#su␈α␈btr␈α␈action␈αme␈α␈th␈α↓o␈α␈d␈αrecom␈α␈men␈α␈ded␈αin␈αthe␈αtex␈α␈t,␈αif␈αth␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈erato␈α␈rs␈αan␈α␈d␈αde␈α␈n␈α↓o␈α␈minato␈α␈rs␈αo␈α␈f
␈β∂6␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αinp␈α␈uts␈αa␈α␈re␈αl␈α↓e␈α␈ss␈αtha␈α␈n␈↓ ∧)␈ε)N␈↓ ∧T␈ε#in␈αab␈α␈solut␈α␈e␈αv␈α⎇alue␈α␈?
␈β∂f␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∂h␈↓ ↓c␈ε38.␈↓ α␈ε#[␈ε)22␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Discu␈α␈ss␈α
u␈α␈sing␈α(1/0␈α␈)␈α
an␈α␈d␈α(␈ε7␈α↓␈␈ε#1/␈α␈0)␈α
a␈α␈s␈↓ εb␈ε#rep␈α␈resen␈α}tation␈α␈s␈α
for␈ε7␈α1␈ε#␈α
an␈α␈d␈ε7␈α
␈1␈ε#,␈α∞a␈α␈nd␈α␈/o␈α␈r
␈β⊂∂␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈s␈αrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈tions␈αo␈α␈f␈↓ β}␈ε#o␈α}v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w.
␈β⊂;␈↓ βt␈ε:0␈↓ ∧"␈ε:0␈↓ ∧n␈ε,n␈↓ εL␈ε&2␈ε,n␈↓ π"␈ε:0␈↓ λλ␈ε&2␈ε,n␈↓ λ[␈ε:0␈↓ 
"␈ε:0␈↓ ∩␈ε:0
␈β⊂A␈↓ ↓g␈ε39.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈3␈↓ α\␈ε#]␈α⊗If␈α1␈ε7␈αλ∀␈↓ βa␈ε)u␈↓ β|␈ε#,␈↓ ∧⊂␈ε)v␈↓ ∧3␈ε#<␈↓ ∧]␈ε#2␈↓ ∧␈␈ε#,␈αsho␈α␈w␈αtha␈α␈t␈ε7␈αb␈↓ ε;␈ε#2␈↓ εk␈ε)u␈ε#/␈↓ π∂␈ε)u␈↓ π*␈ε7c␈ε#␈α	=␈ε7␈α	b␈↓ πw␈ε#2␈↓ λ'␈ε)v␈↓ λ8␈ε#/␈↓ λI␈ε)v␈↓ λb␈ε7c␈ε#␈αimplies␈ε)␈αu␈ε#/␈↓ 
∂␈ε)u␈↓ 
3␈ε#=␈↓ 
↑␈ε)v␈↓ 
o␈ε#/␈↓ ␈ε)v␈↓ →␈ε#.
␈β⊂r␈↓ ↓V␈ε310.␈↓ α␈ε#[␈ε)41␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Ex␈α␈tend␈α	the␈α
su␈α␈bro␈α␈utine␈α␈s␈αsu␈α␈gg␈α␈ested␈α
in␈α	exerc␈α␈i␈α↓se␈α
4␈α␈.3.1↑3␈α␈4␈α
so␈α
th␈α␈at␈α
the␈α␈y␈α
dea␈α␈l␈αwith
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ε#\␈α␈arb␈α␈i␈α↓tra␈α␈ry"␈α
ration␈α␈al␈αn␈α␈um␈α}bers.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"316␈↓ 
b␈ε"4.5.1
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα∨␈↓ π∪␈ε:0␈↓ π|␈ε:00␈↓ 	7␈ε:0␈↓ 	e␈ε:00
␈βα!␈↓ π≠␈ε7p
␈βα%␈↓ ↓V␈ε311.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈3␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Con␈α␈si␈α↓d␈α␈er␈α
fra␈α␈ction␈α␈s␈α
of␈α	the␈α	form␈α	(␈ε)u␈ε#␈α¬+␈↓ π␈ε)u␈↓ π6␈∧α%π6α⊃␈↓ π6␈ε#5␈↓ πM␈ε#)/␈↓ πh␈ε)u␈↓ λ␈ε#,␈α
wh␈α␈ere␈ε)␈α
u␈ε#,␈↓ 	#␈ε)u␈↓ 	>␈ε#,␈↓ 	Q␈ε)u␈↓ 	⎇␈ε#are␈α	i␈α↓n␈α}teg␈α␈ers,
␈βαG␈↓ α:␈ε:0␈↓ αd␈ε:0␈α↓0␈↓ ∧(␈ε:0␈α↓0
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#g␈α␈cd␈↓ ↓z␈ε#(␈ε)u␈ε#,␈↓ α'␈ε)u␈↓ αB␈ε#,␈↓ αQ␈ε)u␈↓ αs␈ε#)␈α	=␈α
1,␈α
a␈α␈nd␈↓ ∧∃␈ε)u␈↓ ∧A␈ε#>␈α	0.␈α∞Exp␈α␈l␈α↓a␈α␈i␈α↓n␈α	ho␈α␈w␈α	to␈α	divid␈α␈e␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α	suc␈α␈h␈α	fraction␈α␈s␈α
a␈α␈nd␈α	to␈α	ob␈α␈tain
␈βαt␈↓ ↓H␈ε#a␈α
quo␈α␈tien␈α␈t␈αh␈α␈a␈α␈vin␈α␈g␈αthe␈αs␈α␈ame␈αfor␈α␈m.
␈ββ&␈↓ ↓V␈ε312.␈↓ α␈ε#[␈ε)20␈↓ α;␈ε#]␈α⊗(M␈α␈atula␈α	a␈α␈nd␈αλKorn␈α␈erup␈α␈.)␈α∩Discu␈α␈ss␈α	the␈αλrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α	of␈α	⎇␈α␈oat␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α	slash␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s
␈ββN␈↓ ↓H␈ε#in␈αa␈α
32-b␈α␈it␈αwo␈α␈rd.
␈ββy␈↓ 
N␈ε:0
␈ββ␈␈↓ ↓V␈ε313.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈3␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Exp␈α␈l␈α↓a␈α␈i␈α↓n␈α
ho␈α␈w␈αto␈α
com␈α␈pu␈α␈te␈αth␈α␈e␈αex␈α␈ac␈α␈t␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αof␈α
pairs␈αo␈α␈f␈αin␈α␈teg␈α␈ers␈α(␈ε)u␈ε#,␈↓ 
;␈ε)u␈↓ 
V␈ε#)␈αsu␈α␈ch
␈β∧!␈↓ ¬↓␈ε:0␈↓ π&␈ε:0
␈β∧%␈↓ λ ␈ε"(
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈α1␈ε7␈α	∀␈ε)␈α
u␈ε7␈α
∀␈↓ β≥␈ε)M␈↓ βN␈ε#an␈α␈d␈↓ ∧∂␈ε)N␈↓ ∧B␈ε#<␈↓ ∧m␈ε)u␈↓ ¬∩␈ε7∀␈↓ ¬=␈ε)N␈↓ ¬r␈ε#an␈α␈d␈↓ ε3␈ε#gc␈α␈d␈↓ εe␈ε#(␈ε)u␈ε#,␈↓ π∩␈ε)u␈↓ π-␈ε#)␈α
=␈α
1␈α␈.␈↓ λ,␈ε#This␈αcan␈αb␈α␈e␈αused␈α
to␈αdete␈α␈r-
␈β∧2␈↓ ∧+␈ε&1␈↓ ¬Y␈ε&2
␈β∧N␈↓ ↓H␈ε#m␈α␈i␈α↓n␈α␈e␈αho␈α␈w␈αma␈α␈n␈α␈y␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈αare␈αr␈α␈epres␈α␈en␈α␈ta␈α␈ble␈αin␈α
sl␈α↓a␈α␈sh␈αa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈α␈.␈α∂A␈α↓c␈α␈cord␈α␈ing␈α
to␈αTh␈α␈eorem
␈β∧p␈↓ εt␈ε&2
␈β∧t␈↓ λV␈ε")
␈β∧v␈↓ ↓H␈ε#4␈α␈.␈α↓5␈α␈.2D,␈αthe␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αwil␈α↓l␈αb␈α␈e␈αap␈α␈pro␈α␈x␈α␈imate␈α␈l␈α↓y␈α
(␈α↓6␈α␈/␈↓ ε`␈ε)→␈↓ πα␈ε#)␈↓ π
␈ε)M␈↓ π2␈ε#(␈↓ π>␈ε)N␈↓ πo␈ε7␈␈↓ λ↔␈ε)N␈↓ λA␈ε#)␈↓ λL␈ε#.
␈β¬α␈↓ πZ␈ε&2␈↓ λ3␈ε&1
␈β¬(␈↓ ↓V␈ε314.␈↓ α␈ε#[␈ε)42␈↓ α;␈ε#]␈α⊗M␈α␈od␈α␈i␈α↓fy␈α∞o␈α␈ne␈α∞o␈α␈f␈α∂th␈α␈e␈α∞com␈α␈pilers␈α∞at␈α∞y␈α␈o␈α␈ur␈α∞insta␈α␈ll␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∞so␈α∞th␈α␈at␈α∞it␈α∞wi␈α↓ll␈α∞replac␈α␈e␈α∞all
␈β¬O␈↓ ↓H␈ε#⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α
p␈α␈oin␈α␈t␈α
c␈α␈alcula␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α
b␈α␈y␈α
⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α
slas␈α␈h␈α
ca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulation␈α␈s.␈α∃Ex␈α␈per␈α␈i␈α↓m␈α␈en␈α␈t␈α
with␈αthe␈α
u␈α␈se␈α
o␈α␈f
␈β¬w␈↓ ↓H␈ε#sla␈α␈sh␈αa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈α
by␈α
ru␈α␈nn␈α␈ing␈α
existin␈α␈g␈αp␈α␈rog␈α␈rams␈α
tha␈α␈t␈αw␈α␈ere␈α
wri␈α↓tte␈α␈n␈α
by␈α
pro␈α␈gra␈α␈mmers␈α
wh␈α↓o
␈βε≡␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈ctua␈α␈ll␈α↓y␈α
had␈α
⎇o␈α␈ating␈α
poin␈α}t␈αarithm␈α␈etic␈αi␈α↓n␈α
mind␈α␈.␈α~(Whe␈α␈n␈αsp␈α␈ecial␈αsub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈es␈αlik␈α␈e␈αsqu␈α␈are
␈βεF␈↓ ↓H␈ε#root␈αor␈αlog␈α␈arithm␈αare␈αcalled␈α␈,␈α
y␈α}ou␈α␈r␈αsys␈α␈tem␈αshou␈α␈ld␈αa␈α␈uto␈α␈matica␈α␈l␈α↓ly␈αcon␈α}v␈α␈ert␈αsl␈α↓a␈α␈sh␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s
␈βεn␈↓ ↓H␈ε#to␈α⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}t␈αfo␈α␈rm␈αb␈α␈efore␈αth␈α␈e␈αs␈α␈ub␈α␈routin␈α␈e␈αis␈αin␈α␈v␈α␈o␈α␈k␈α␈ed␈α␈,␈αth␈α␈en␈αba␈α␈ck␈αto␈αslash␈αform␈αa␈α␈gain
␈βπ∃␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈$erw␈α␈ard␈α␈s.␈α∀Th␈α␈ere␈αsh␈α↓o␈α␈uld␈αbe␈αa␈αnew␈αop␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αto␈αprin␈α␈t␈αslash␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈α
in␈αa␈αfraction␈α␈al␈α
fo␈α␈r-
␈βπ=␈↓ ↓H␈ε#m␈α␈at;␈α∞ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈e␈α␈r,␈α∞if␈α
y␈α}ou␈αmak␈α}e␈α
no␈α
c␈α␈ha␈α␈nge␈α␈s␈α
to␈αa␈α
u␈α␈ser's␈α
sou␈α␈rce␈αpro␈α␈gram␈α␈,␈α∞y␈α}ou␈αpro␈α␈bab␈α␈ly␈α
will
␈βπd␈↓ ↓H␈ε#h␈α␈a␈α␈v␈α␈e␈α
to␈α	prin␈α␈t␈α
slash␈α	n␈α␈um␈α}bers␈α
in␈α
d␈α␈ecimal␈α
notation␈α␈,␈αin␈α
o␈α␈rder␈α
to␈α
k␈α}eep␈α
fro␈α␈m␈α
messin␈α␈g␈α
up␈α
a␈α␈n␈α␈y
␈βλ␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈olumn␈α
ali␈α↓g␈α␈nm␈α␈en␈α␈ts.)␈α~Are␈αth␈α␈e␈αresults␈αbe␈α␈tter␈αor␈αw␈α␈orse,␈αwhen␈α⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈αslash␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈αare
␈βλ4␈↓ ↓H␈ε#su␈α␈bst␈α␈i␈α↓tu␈α␈ted␈α␈?
␈β	+␈↓ ↓H␈ε=4␈α␈.5.2.␈α∩T␈α␈h␈α↓e␈αGr␈α↓e␈α␈atest␈α∞Common␈α∞Divis␈α↓o␈α␈r
␈β	l␈↓ ↓H␈ε"If␈ε(␈α
u␈ε"␈α	and␈↓ αL␈ε(v␈↓ αi␈ε"are␈α
in␈α␈tegers,␈α
n␈α↓ot␈α
both␈α
zero,␈αw␈α␈e␈α
sa␈α␈y␈α
that␈α
their␈↓ λ%␈ε/greatest␈α	comm␈α↓on␈α
divisor␈ε",
␈β
↔␈↓ ↓H␈ε"gcd␈↓ ↓}␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ α.␈ε(v␈↓ αA␈ε"),␈αis␈↓ βε␈ε"the␈αlargest␈αin␈α␈teger␈αthat␈αev␈α␈enly␈αdivides␈αboth␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ 	~␈ε(v␈↓ 	-␈ε".␈α⊂This␈αde|nition
␈β
B␈↓ ↓H␈ε"mak␈α␈es␈α∩sense,␈α∪because␈α∩if␈ε(␈α∩u␈ε6␈α∀≤␈ε"␈α∀0␈α∩then␈α∩n␈α↓o␈α∩in␈α␈teger␈α∩greater␈α∩than␈ε6␈α∩j␈ε(u␈ε6␈α␈j␈ε"␈α∩can␈α∩ev␈α␈enly
␈β
m␈↓ ↓H␈ε"divide␈ε(␈α∂u␈ε",␈α⊃but␈α⊂the␈α⊂in␈α␈teger␈α⊂1␈α∂does␈α⊂divide␈α⊂both␈ε(␈α⊂u␈ε"␈α⊂and␈↓ λ∪␈ε(v␈↓ λ&␈ε";␈α∩hence␈α⊂there␈α⊂m␈α␈ust␈α⊂be␈α∂a
␈β→␈↓ ↓H␈ε"largest␈α	in␈α␈teger␈αλthat␈α	divides␈α	them␈α	both.␈α∂When␈ε(␈α	u␈ε"␈α	and␈↓ πl␈ε(v␈↓ λλ␈ε"are␈α	both␈α	zero,␈α
ev␈α␈ery␈αλin␈α␈teger
␈βD␈↓ ↓H␈ε"ev␈α␈enly␈α∞divides␈α∞zero,␈α∂so␈α∞the␈α∂abo␈α␈v␈α␈e␈α∞de|nition␈α∞does␈α∂n␈α↓ot␈α∞apply;␈α⊂it␈α∞is␈α∞con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈α∞to
␈βo␈↓ ↓H␈ε"set
␈β%␈↓ ∧p␈ε"gcd␈↓ ¬&␈ε"(0,␈αε0)␈↓ ¬|␈ε"=␈α
0.␈↓ α␈ε"(1)
␈β␈␈↓ ↓H␈ε"The␈αde|nitions␈αjust␈αgiv␈α␈en␈αobviously␈αimply␈αthat
␈β
Y␈↓ ∧l␈ε"gcd␈↓ ¬"␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ ¬S␈ε(v␈↓ ¬f␈ε")␈↓ ¬|␈ε"=␈↓ ε*␈ε"gcd␈↓ ε`␈ε"(␈↓ εl␈ε(v␈↓ ε␈␈ε",␈ε(␈αεu␈ε"),␈↓ α␈ε"(2)
␈β∞∂␈↓ ∧l␈ε"gcd␈↓ ¬"␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ ¬S␈ε(v␈↓ ¬f␈ε")␈↓ ¬|␈ε"=␈↓ ε*␈ε"gcd␈↓ ε`␈ε"(␈ε6␈␈ε(u␈ε",␈↓ π5␈ε(v␈↓ πH␈ε"),␈↓ α␈ε"(3)
␈β∞E␈↓ ∧m␈ε"gcd␈↓ ¬#␈ε"(␈ε(u␈ε",␈αε0)␈↓ ¬|␈ε"=␈ε6␈α
j␈ε(u␈ε6j␈ε".␈↓ α␈ε"(4)
␈β∂∃␈↓ α␈ε"In␈α⊂the␈α⊃previous␈α⊂section,␈α⊃w␈α␈e␈α⊃reduced␈α⊂the␈α⊂problem␈α⊃of␈α⊂expressing␈α⊂a␈α⊂rational
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈α
in␈α
\lo␈α␈w␈α␈est␈αterms"␈α
to␈αthe␈α
problem␈α
of␈α|nding␈α
the␈αgreatest␈α
comm␈α↓on␈α
divisor
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"of␈α
its␈α
n␈α␈umerator␈α
and␈α
den␈α↓ominator.␈α∀Other␈α
applications␈α
of␈α
the␈α
greatest␈α
comm␈α↓on
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"divisor␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
been␈α
men␈α␈tioned␈α
for␈α∞example␈α
in␈α
Sections␈α
3.2.1.2,␈α∞3.3.3,␈α
4.3.2,␈α
4.3.3.
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"So␈αthe␈αconcept␈αof␈↓ βf␈ε"gcd␈↓ ∧≤␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ ∧L␈ε(v␈↓ ∧←␈ε")␈αis␈αimportan␈α␈t␈αand␈αw␈α␈orth␈α␈y␈αof␈αserious␈αstudy.
␈β⊂m␈↓ α␈ε"The␈↓ αW␈ε/least␈α
comm␈α↓on␈α∞m␈α␈ultiple␈ε"␈α
of␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
in␈α␈tegers␈↓ πC␈ε(u␈ε"␈α
and␈↓ λ-␈ε(v␈↓ λ?␈ε",␈α∞written␈↓ 	V␈ε"lcm␈↓ 
∞␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ 
?␈ε(v␈↓ 
R␈ε"),␈α
is␈α
a
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"related␈α	idea␈αλthat␈α	is␈α	also␈α	importan␈α␈t.␈α∂It␈α	is␈α	de|ned␈α	to␈α	be␈α	the␈α	smallest␈α	positiv␈α␈e␈αλin␈α␈teger
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.2␈↓ 
v␈ε"317
␈β↓Z␈↓ ¬V␈ε.THE␈α
GR␈α␈EA␈α}TES␈α␈T␈αC␈α␈OMMON␈α
DI␈α␈VIS␈α␈OR
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"that␈α
is␈α
a␈αm␈α␈ultiple␈α
of␈α
(i.e.,␈α∞ev␈α␈enly␈α
divisible␈αby)␈α
both␈ε(␈α
u␈ε"␈α
and␈↓ λ`␈ε(v␈↓ λs␈ε";␈α
and␈↓ 	Q␈ε"lcm␈↓ 
	␈ε"(0,␈αε0)␈α=␈α0.
␈βαG␈↓ 

␈ε90␈↓ 
␈␈ε90
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"The␈α
classical␈α
meth␈α↓od␈α
for␈α
teaching␈α∞children␈α
h␈α↓o␈α␈w␈α
to␈α
add␈α
fractions␈ε(␈α
u␈ε"/␈↓ 	u␈ε(u␈↓ 
≠␈ε"+␈↓ 
H␈ε(v␈↓ 
Z␈ε"/␈↓ 
l␈ε(v␈↓ ∀␈ε"is
␈βαs␈↓ 
$␈ε90␈↓ 
O␈ε90
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"to␈αtrain␈αthem␈αto␈α|nd␈αthe␈α\least␈αcomm␈α↓on␈αden␈α↓ominator,"␈αwhich␈αis␈↓ 	L␈ε"lcm␈↓ 
∧␈ε"(␈↓ 
⊂␈ε(u␈↓ 
,␈ε",␈↓ 
<␈ε(v␈↓ 
W␈ε").
␈ββ$␈↓ α␈ε"According␈α∞to␈α
the␈α∞\fundamen␈α␈tal␈α
theorem␈α∞of␈α∞arithmetic"␈α
(pro␈α␈v␈α␈ed␈α∞in␈α
exercise
␈ββO␈↓ ↓H␈ε"1.2.4↑21),␈αeach␈αpositiv␈α␈e␈αin␈α␈teger␈ε(␈αu␈ε"␈αcan␈αbe␈αexpressed␈αin␈αthe␈αform
␈β∧↓␈↓ πc␈ε↓Y
␈β∧≠␈↓ ∧c␈ε+u␈↓ ¬∀␈ε+u␈↓ ¬E␈ε+u␈↓ ¬v␈ε+u␈↓ ε9␈ε+u␈↓ λF␈ε+u
␈β∧#␈↓ ∧∧␈ε(u␈ε"␈α
=␈↓ ∧Q␈ε"2␈↓ ¬α␈ε"3␈↓ ¬3␈ε"5␈↓ ¬d␈ε"7␈↓ ε∃␈ε"1␈↓ ε'␈ε"1␈↓ εe␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ π→␈ε"=␈↓ λ3␈ε(p␈↓ λf␈ε",␈↓ α␈ε"(5)
␈β∧%␈↓ ∧u␈ε'2␈↓ ¬&␈ε'3␈↓ ¬W␈ε'5␈↓ ελ␈ε'7␈↓ εK␈ε'11␈↓ λX␈ε-p
␈β∧S␈↓ πG␈ε+p␈↓ πa␈ε%prim␈α␈e
␈β¬~␈↓ ↓H␈ε"where␈α∞the␈α∞exponen␈α␈ts␈↓ ∧≥␈ε(u␈↓ ∧A␈ε",␈↓ ∧Z␈ε(u␈↓ ∧}␈ε",␈↓ ¬↔␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬O␈ε"are␈α∞uniquely␈α∞determined␈α∞n␈α↓onnegativ␈α␈e␈α∞in␈α␈tegers,
␈β¬&␈↓ ∧2␈ε%2␈↓ ∧o␈ε%3
␈β¬E␈↓ ↓H␈ε"and␈α
where␈α
all␈α
but␈α
a␈α|nite␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
the␈α
exponen␈α␈ts␈α
are␈αzero.␈α∂F␈α⎇rom␈α
this␈α
can␈α↓onical
␈β¬p␈↓ ↓H␈ε"factorization␈αof␈αa␈αpositiv␈α␈e␈αin␈α␈teger,␈αit␈αis␈αeasy␈αto␈αdisco␈α␈v␈α␈er␈αone␈αw␈α␈a␈α␈y␈αto␈αcompute␈αthe
␈βε≤␈↓ ↓H␈ε"greatest␈αcomm␈α↓on␈αdivisor␈αof␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ ¬f␈ε(v␈↓ ¬y␈ε":␈αBy␈α(2),␈α(3),␈αand␈α(4),␈αw␈α␈e␈αma␈α␈y␈αassume␈αthat␈ε(␈αu
␈βεG␈↓ ↓H␈ε"and␈↓ α∂␈ε(v␈↓ α.␈ε"are␈α
positiv␈α␈e␈α
in␈α␈tegers,␈α
and␈α
if␈α
both␈α
of␈α
them␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
been␈α
can␈α↓onically␈αfactored
␈βεr␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈to␈αprimes␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βπ%␈↓ ε∪␈ε↓Y
␈βπ@␈↓ εu␈ε%min␈↓ π(␈ε%(␈↓ π2␈ε+u␈↓ πR␈ε%,␈↓ π[␈ε+v␈↓ πx␈ε%)
␈βπH␈↓ ∧9␈ε"gcd␈↓ ∧o␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ ¬ ␈ε(v␈↓ ¬3␈ε")␈↓ ¬I␈ε"=␈↓ εb␈ε(p␈↓ λα␈ε",␈↓ α␈ε"(6)
␈βπI␈↓ πD␈ε-p␈↓ πj␈ε-p
␈βπx␈↓ ¬w␈ε+p␈↓ ε⊂␈ε%prime
␈βλ∂␈↓ ε∪␈ε↓Y
␈βλ)␈↓ εu␈ε%max␈↓ π.␈ε%(␈↓ π9␈ε+u␈↓ πY␈ε%,␈↓ πa␈ε+v␈↓ π}␈ε%)
␈βλ1␈↓ ∧7␈ε"lcm␈↓ ∧o␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ ¬ ␈ε(v␈↓ ¬3␈ε")␈↓ ¬I␈ε"=␈↓ εb␈ε(p␈↓ λ	␈ε".␈↓ α␈ε"(7)
␈βλ3␈↓ πJ␈ε-p␈↓ πp␈ε-p
␈βλb␈↓ ¬w␈ε+p␈↓ ε⊂␈ε%prime
␈β	'␈↓ 	j␈ε%3␈↓ 
'␈ε%3
␈β	-␈↓ ↓H␈ε"Th␈α␈us,␈α∞for␈α
example,␈α∞the␈α∞greatest␈α∞comm␈α↓on␈α
divisor␈α∞of␈ε(␈α
u␈ε"␈α
=␈α
7000␈α=␈↓ 	X␈ε"2␈↓ 
α␈ε6↓␈↓ 
∃␈ε"5␈↓ 
@␈ε6↓␈ε"␈α	7␈α
and
␈β	R␈↓ β/␈ε%4␈↓ βl␈ε%2␈↓ ¬␈ε%min␈↓ ¬3␈ε%(3,4)␈↓ επ␈ε%m␈α␈in␈↓ ε9␈ε%(3␈α↓,␈α␈2␈α↓)␈↓ π
␈ε%min␈↓ π?␈ε%(␈α↓1,0)␈↓ λ%␈ε%min␈↓ λX␈ε%(0,1)␈↓ 	c␈ε%3␈↓ 
 ␈ε%2
␈β	X␈↓ ↓H␈ε(v␈↓ ↓g␈ε"=␈α
4400␈α=␈↓ β≥␈ε"2␈↓ βG␈ε6↓␈↓ βZ␈ε"5␈↓ ∧∧␈ε6↓␈ε"␈α	11␈α∞is␈↓ ∧n␈ε"2␈↓ ¬u␈ε"5␈↓ ε{␈ε"7␈↓ λ↓␈ε"1␈↓ λ∪␈ε"1␈↓ 	 ␈ε"=␈↓ 	Q␈ε"2␈↓ 	{␈ε6↓␈↓ 
∞␈ε"5␈↓ 
<␈ε"=␈α200.
␈β	⎇␈↓ λM␈ε%4␈↓ 	π␈ε%3
␈β
β␈↓ ↓H␈ε"The␈αleast␈αcomm␈α↓on␈αm␈α␈ultiple␈αof␈αthe␈αsame␈αt␈α␈w␈α␈o␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αis␈↓ λ;␈ε"2␈↓ λd␈ε6↓␈↓ λu␈ε"5␈↓ 	≡␈ε6↓␈ε"␈απ7␈ε6␈αλ↓␈ε"␈απ11␈α
=␈α
154000.
␈β
.␈↓ α␈ε"F␈α⎇rom␈α
form␈α␈ulas␈α
(6)␈α
and␈α
(7)␈α∞w␈α␈e␈α
can␈α
easily␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈α
a␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
basic␈α
iden␈α␈tities
␈β
Y␈↓ ↓H␈ε"concerning␈αthe␈αgcd␈αand␈αthe␈αlcm:
␈β(␈↓ ∧	␈ε"gcd␈↓ ∧?␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ ∧o␈ε(v␈↓ ¬α␈ε")␈↓ ¬∞␈ε(w␈↓ ¬3␈ε"=␈↓ ¬a␈ε"gcd␈↓ ε↔␈ε"(␈ε(u␈↓ ε8␈ε(w␈↓ εS␈ε",␈↓ εc␈ε(v␈↓ εv␈ε(w␈↓ π⊃␈ε"),␈↓ λZ␈ε"if␈↓ λ|␈ε(w␈↓ 	!␈ε6∃␈ε"␈α
0;␈↓ α␈ε"(8)
␈β↑␈↓ ∧π␈ε"lcm␈↓ ∧?␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ ∧o␈ε(v␈↓ ¬α␈ε")␈↓ ¬∞␈ε(w␈↓ ¬3␈ε"=␈↓ ¬a␈ε"lcm␈↓ ε→␈ε"(␈ε(u␈↓ ε:␈ε(w␈↓ εU␈ε",␈↓ εe␈ε(v␈↓ εx␈ε(w␈↓ π∪␈ε"),␈↓ λZ␈ε"if␈↓ λ|␈ε(w␈↓ 	!␈ε6∃␈ε"␈α
0;␈↓ α␈ε"(9)
␈β∀␈↓ ∧h␈ε(u␈ε6␈απ↓␈↓ ¬⊗␈ε(v␈↓ ¬3␈ε"=␈↓ ¬a␈ε"gcd␈↓ ε↔␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ εH␈ε(v␈↓ ε[␈ε")␈ε6␈αλ↓␈↓ π↓␈ε"lcm␈↓ π9␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ πj␈ε(v␈↓ π|␈ε"),␈↓ λZ␈ε"if␈ε(␈αu␈ε",␈↓ 	!␈ε(v␈↓ 	>␈ε6∃␈ε"␈α
0;␈↓ 
p␈ε"(10)
␈β+␈↓ αf␈ε↓␈␈↓ ¬≠␈ε↓↓␈↓ ε→␈ε↓␈␈↓ πX␈ε↓↓
␈βJ␈↓ α0␈ε"gcd␈↓ αt␈ε"lcm␈↓ β,␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ β]␈ε(v␈↓ βp␈ε"),␈↓ ∧␈ε"lcm␈↓ ∧D␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ ∧t␈ε(w␈↓ ¬∂␈ε")␈↓ ¬3␈ε"=␈↓ ¬a␈ε"lcm␈↓ ε'␈ε(u␈ε",␈↓ εL␈ε"gcd␈↓ πα␈ε"(␈↓ π∞␈ε(v␈↓ π!␈ε",␈↓ π1␈ε(w␈↓ πL␈ε")␈↓ πf␈ε";␈↓ 
p␈ε"(11)
␈βa␈↓ αj␈ε↓␈␈↓ ¬≠␈ε↓↓␈↓ ε↔␈ε↓␈␈↓ πX␈ε↓↓
␈β
␈↓ α2␈ε"lcm␈↓ αx␈ε"gcd␈↓ β.␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ β←␈ε(v␈↓ βr␈ε"),␈↓ ∧∞␈ε"gcd␈↓ ∧D␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ ∧t␈ε(w␈↓ ¬∂␈ε")␈↓ ¬3␈ε"=␈↓ ¬a␈ε"gcd␈↓ ε%␈ε(u␈ε",␈↓ εJ␈ε"lcm␈↓ πα␈ε"(␈↓ π∞␈ε(v␈↓ π!␈ε",␈↓ π1␈ε(w␈↓ πL␈ε")␈↓ πf␈ε".␈↓ 
p␈ε"(12)
␈β
T␈↓ ↓H␈ε"The␈α	latter␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α	form␈α␈ulas␈α	are␈α
\distributiv␈α␈e␈α	la␈α␈ws"␈α
analogous␈α	to␈α
the␈α	familiar␈α	iden␈α␈tit␈α␈y
␈β
␈␈↓ ↓H␈ε(u␈↓ ↓\␈ε(v␈↓ ↓x␈ε"+␈ε(␈αλu␈↓ α9␈ε(w␈↓ α←␈ε"=␈ε(␈α
u␈ε"(␈↓ β.␈ε(v␈↓ βI␈ε"+␈↓ βv␈ε(w␈↓ ∧⊃␈ε").␈α⊃Equation␈α
(10)␈αreduces␈α
the␈α
calculation␈αof␈↓ 	<␈ε"gcd␈↓ 	r␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ 
"␈ε(v␈↓ 
5␈ε")␈α
to␈αthe
␈β∞*␈↓ ↓H␈ε"calculation␈αof␈↓ β(␈ε"lcm␈↓ β`␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ ∧⊂␈ε(v␈↓ ∧#␈ε"),␈αand␈αcon␈α␈v␈α␈ersely.
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε2Euclid's␈α⊃algorithm.␈ε"␈α"Alth␈α↓ough␈α⊃Eq.␈α⊃(6)␈α⊃is␈α⊃useful␈α⊃for␈α⊃theoretical␈α⊃purposes,␈α∩it␈α⊃is
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"generally␈αn␈α↓o␈αhelp␈αfor␈αcalculating␈αa␈αgreatest␈αcomm␈α↓on␈αdivisor␈αin␈αpractice,␈αbecause
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"it␈αλrequires␈α	that␈α	w␈α␈e␈α	|rst␈αλdetermine␈α	the␈α	factorization␈α	of␈ε(␈αλu␈ε"␈α	and␈↓ λc␈ε(v␈↓ λv␈ε".␈α∂There␈α	is␈α	n␈α↓o␈αλkn␈α↓o␈α␈wn
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"meth␈α↓od␈αλfor␈α	|nding␈α	the␈α	prime␈α	factors␈α	of␈αλan␈α	in␈α␈teger␈α	v␈α␈ery␈α	rapidly␈α	(see␈α	Section␈αλ4.5.4).
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"But␈α	fortunately␈α
there␈α	is␈α
an␈α	e}cien␈α␈t␈α
w␈α␈a␈α␈y␈α	to␈α
calculate␈α	the␈α	greatest␈α
comm␈α↓on␈α	divisor
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"of␈α∂t␈α␈w␈α␈o␈α⊂in␈α␈tegers␈α∂with␈α↓out␈α⊂factoring␈α∂them,␈α⊃and,␈α⊂in␈α⊂fact,␈α⊂such␈α⊂a␈α∂meth␈α↓od␈α⊂w␈α␈as␈α∂dis-
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"co␈α␈v␈α␈ered␈αo␈α␈v␈α␈er␈α2250␈α
y␈α␈ears␈αago;␈αthis␈αis␈α\Euclid's␈α
algorithm,"␈αwhich␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈α
already
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"examined␈αin␈αSections␈α1.1␈αand␈α1.2.1.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"318␈↓ 
b␈ε"4.5.2
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα$␈↓ α␈ε"Euclid's␈αalgorithm␈αis␈αfound␈αin␈αBo␈α↓ok␈α7,␈αPropositions␈α1␈αand␈α2␈αof␈αhis␈ε/␈αElemen␈α␈ts
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"(␈ε/c␈ε".␈α∞300␈↓ βπ␈ε"),␈α∂but␈α∂it␈α∂probably␈α∞w␈α␈asn't␈α∂his␈α∂o␈α␈wn␈α∂in␈α␈v␈α␈en␈α␈tion.␈α_Sch␈α↓olars␈α∂believ␈α␈e␈α∞that
␈βαT␈↓ αA␈ε.B.C.
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"the␈αmeth␈α↓od␈α
w␈α␈as␈α
kn␈α↓o␈α␈wn␈α
up␈αto␈α
200␈α
y␈α␈ears␈α
earlier,␈α
at␈αleast␈α
in␈α
its␈α
subtractiv␈α␈e␈αform,
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"and␈α∞it␈α∞w␈α␈as␈α∞alm␈α↓ost␈α∂certainly␈α∞kn␈α↓o␈α␈wn␈α∞to␈↓ ε0␈ε"Eudo␈α␈xus␈α∞(␈ε/c␈ε".␈α∂375␈↓ 	β␈ε");␈α⊂cf.␈α∞K.␈↓ 
⊃␈ε"v␈α␈on␈α∞F␈α⎇ritz,
␈ββ+␈↓ λ>␈ε.B.C.
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε/Ann.␈α
Math.␈ε"␈α∞(2)␈ε2␈α
46␈ε"␈α∞(1945),␈α∞242↑264.␈α∀We␈α∞migh␈α␈t␈α
call␈α∞it␈α
the␈α∞granddaddy␈α
of␈α∞all␈α
al-
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"gorithms,␈α
because␈α
it␈α∞is␈α
the␈α
oldest␈α
n␈α↓on␈α␈trivial␈α
algorithm␈α∞that␈α
has␈α
surviv␈α␈ed␈α
to␈α
the
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"presen␈α␈t␈α⊂da␈α␈y.␈α!(The␈α⊂chief␈α⊂riv␈α⎇al␈α⊃for␈α⊂this␈α⊂h␈α↓on␈α↓or␈α⊂is␈α⊃perhaps␈α⊂the␈α⊂ancien␈α␈t␈↓ 
≥␈ε"Egyptian
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"meth␈α↓od␈αfor␈αm␈α␈ultiplication,␈αwhich␈αw␈α␈as␈αbased␈αon␈αdoubling␈αand␈αadding,␈αand␈αwhich
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"forms␈α∂the␈α⊂basis␈α∂for␈α⊂e}cien␈α␈t␈α∂calculation␈α⊂of␈ε(␈α∂n␈ε"th␈α∂po␈α␈w␈α␈ers␈α⊂as␈α∂explained␈α⊂in␈α∂Section
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε"4.6.3.␈α→But␈α∂the␈α∂Egyptian␈α∂man␈α␈uscripts␈α∂merely␈α∂giv␈α␈e␈α∂examples␈α∞that␈α∂are␈α∂n␈α↓ot␈α∂com-
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε"pletely␈αsystematic,␈αand␈αthese␈αexamples␈αw␈α␈ere␈αcertainly␈αn␈α↓ot␈αstated␈αsystematically;
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ε"the␈αEgyptian␈α
meth␈α↓od␈αis␈αtherefore␈α
n␈α↓ot␈αquite␈α
deserving␈αof␈α
the␈αname␈α\algorithm."
␈βε*␈↓ ↓H␈ε"Sev␈α␈eral␈α	ancien␈α␈t␈↓ β<␈ε"Babylonian␈α
meth␈α↓ods,␈α
for␈α
doing␈α
such␈α
things␈α
as␈α
solving␈α
special␈α	sets
␈βεV␈↓ ↓H␈ε"of␈α⊂quadratic␈α⊂equations␈α⊃in␈α⊂t␈α␈w␈α␈o␈α⊃v␈α⎇ariables,␈α⊃are␈α⊂also␈α⊃kn␈α↓o␈α␈wn.␈α≥Gen␈α␈uine␈↓ 
ε␈ε"algorithms
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ε"are␈α
in␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed␈α∞in␈α
this␈α∞case,␈α∞n␈α↓ot␈α
just␈α∞special␈α∞solutions␈α
to␈α∞the␈α
equations␈α∞for␈α
certain
␈βπ,␈↓ ↓H␈ε"input␈α⊂parameters;␈α∩for␈α⊂ev␈α␈en␈α⊂th␈α↓ough␈α⊂the␈α⊂Babylonians␈α∂in␈α␈v␈α⎇ariably␈α⊂presen␈α␈ted␈α⊂each
␈βπW␈↓ ↓H␈ε"meth␈α↓od␈α
in␈α
conjunction␈α
with␈αan␈α
example␈α
w␈α␈ork␈α␈ed␈α
with␈α
particular␈αinput␈α
data,␈α
they
␈βλα␈↓ ↓H␈ε"regularly␈αexplained␈αthe␈αgeneral␈αprocedure␈αin␈αthe␈αaccompan␈α␈ying␈αtext.␈α_[See␈αD.␈αE.
␈βλ.␈↓ ↓H␈ε"Kn␈α␈uth,␈ε/␈α
CA␈α␈CM␈ε2␈α∞15␈ε"␈α
(1972),␈α∞671↑677;␈ε2␈α∞19␈ε"␈α∞(1976),␈α
108.]␈α≤Man␈α␈y␈α∞of␈α
these␈α
Babylonian
␈βλY␈↓ ↓H␈ε"algorithms␈α∂predate␈α∂Euclid␈α⊂by␈α∂1500␈α∂y␈α␈ears,␈α⊂and␈α⊂they␈α∂are␈α∂the␈α⊂earliest␈α∂kn␈α↓o␈α␈wn␈α∂in-
␈β	∧␈↓ ↓H␈ε"stances␈α
of␈α
written␈α
procedures␈α
for␈α
mathematics.␈α∂But␈α
they␈α
do␈α
n␈α↓ot␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
the␈α
stature
␈β	/␈↓ ↓H␈ε"of␈α∂Euclid's␈α∂algorithm,␈α⊂since␈α∂they␈α⊂do␈α∂n␈α↓ot␈α∂in␈α␈v␈α␈olv␈α␈e␈α∂iteration␈α⊂and␈α∂since␈α∂they␈α∂ha␈α␈v␈α␈e
␈β	Z␈↓ ↓H␈ε"been␈αsuperseded␈αby␈αm␈α↓odern␈αalgebraic␈αmeth␈α↓ods.)
␈β
ε␈↓ α␈ε"In␈α	view␈α	of␈α	the␈α	importance␈α	of␈αλEuclid's␈α	algorithm,␈α
for␈α	historical␈α	as␈α	w␈α␈ell␈α	as␈αλprac-
␈β
1␈↓ ↓H␈ε"tical␈α∞reasons,␈α∂let␈α∞us␈α∞n␈α↓o␈α␈w␈α∞consider␈α∞h␈α↓o␈α␈w␈↓ ε5␈ε"Euclid␈α∂himself␈α∞treated␈α∞it.␈α⊗Paraphrasing
␈β
\␈↓ ↓H␈ε"his␈αw␈α␈ords␈αin␈α␈to␈αm␈α↓odern␈↓ ∧3␈ε"termin␈α↓ology,␈αthis␈αis␈αessen␈α␈tially␈αwhat␈αhe␈αwrote:
␈β≠␈↓ α␈ε3Prop␈α␈osition.␈ε0␈α→Giv␈α␈en␈α
t␈α␈w␈α␈o␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈αin␈α␈teg␈α␈ers,␈α|n␈α␈d␈αthe␈α␈i␈α↓r␈αg␈α␈reate␈α␈st␈αcommon␈αd␈α␈ivisor.
␈βN␈↓ α␈ε#Let␈ε)␈α∞A␈ε#,␈↓ α{␈ε)C␈↓ β#␈ε#b␈α␈e␈α
the␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
giv␈α␈en␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs;␈α∂i␈α↓t␈α
is␈α∞re␈α␈quired␈α
to␈α
|␈α␈nd␈α
th␈α␈eir␈α∞g␈α␈reates␈α␈t
␈βu␈↓ α␈ε#co␈α␈mm␈α↓on␈α
d␈α␈i␈α↓v␈α␈i␈α↓so␈α␈r.␈α∂If␈↓ ∧,␈ε)C␈↓ ∧Q␈ε#divid␈α␈es␈ε)␈αA␈ε#,␈αthe␈α␈n␈↓ ε9␈ε)C␈↓ ε↑␈ε#is␈αa␈αc␈α␈ommon␈αd␈α␈ivisor␈αo␈α␈f␈↓ 	3␈ε)C␈↓ 	X␈ε#an␈α␈d␈ε)␈αA␈ε#,␈αsince␈α
it
␈β≥␈↓ α␈ε#also␈αd␈α␈ivides␈αitself.␈α∩And␈αit␈αclearly␈αis␈αin␈αfact␈αth␈α␈e␈αgrea␈α␈test,␈α
s␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈αno␈αgrea␈α␈ter␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈βD␈↓ α␈ε#th␈α␈an␈↓ αZ␈ε)C␈↓ α␈␈ε#wil␈α↓l␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈ide␈↓ ∧!␈ε)C␈↓ ∧;␈ε#.
␈βw␈↓ α␈ε#But␈α
if␈↓ αq␈ε)C␈↓ β_␈ε#d␈α␈oes␈α
n␈α↓o␈α␈t␈α
divid␈α␈e␈ε)␈α
A␈ε#␈α↓,␈α∞th␈α␈en␈α
c␈α␈on␈α␈tin␈α}ually␈α
su␈α␈btra␈α␈ct␈α
the␈α
lesser␈α
o␈α␈f␈α∞th␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s
␈β
≡␈↓ α␈ε)A␈ε#,␈↓ α<␈ε)C␈↓ αc␈ε#from␈α
the␈α
grea␈α␈ter,␈α∞un␈α}ti␈α↓l␈α∞s␈α␈ome␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α∞is␈α∞le$␈α∞t␈α␈hat␈α
divid␈α␈es␈α∞th␈α␈e␈α
prev␈α␈i␈α↓o␈α␈us␈α
on␈α␈e.
␈β
F␈↓ α␈ε#This␈α
will␈αe␈α␈v␈α␈en␈α}tually␈α
h␈α␈ap␈α␈pen␈α␈,␈αfo␈α␈r␈α
i␈α↓f␈α
u␈α␈nit␈α␈y␈α
is␈α
le$,␈αit␈α
will␈αd␈α␈ivide␈α
t␈α␈he␈α
p␈α␈reviou␈α␈s␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er.
␈β
x␈↓ α␈ε#No␈α␈w␈α∞l␈α↓e␈α␈t␈↓ β⊂␈ε)E␈↓ β9␈ε#b␈α␈e␈α∂t␈α␈he␈α∞positiv␈α␈e␈α∞rema␈α␈ind␈α␈er␈α∂o␈α␈f␈ε)␈α∂A␈ε#␈α∂d␈α␈i␈α↓v␈α␈ided␈α∞b␈α␈y␈↓ λA␈ε)C␈↓ λ[␈ε#;␈α⊂l␈α↓e␈α␈t␈↓ 	(␈ε)F␈↓ 	Q␈ε#b␈α␈e␈α∂th␈α␈e␈α∞positiv␈α␈e
␈β∞ ␈↓ α␈ε#rema␈α␈ind␈α␈er␈αof␈↓ βO␈ε)C␈↓ βt␈ε#divid␈α␈ed␈αb␈α␈y␈↓ ¬_␈ε)E␈↓ ¬2␈ε#;␈αand␈α
let␈↓ ε7␈ε)F␈↓ ε[␈ε#be␈α
a␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈isor␈αo␈α␈f␈↓ λ5␈ε)E␈↓ λO␈ε#.␈α∂Sin␈α␈ce␈↓ 	>␈ε)F␈↓ 	b␈ε#divide␈α␈s␈↓ 
R␈ε)E␈↓ 
w␈ε#a␈α␈nd
␈β∞H␈↓ α␈ε)E␈↓ α3␈ε#divid␈α␈es␈↓ β&␈ε)C␈↓ βI␈ε7␈␈↓ βs␈ε)F␈↓ ∧
␈ε#,␈↓ ∧$␈ε)F␈↓ ∧K␈ε#also␈α
divid␈α␈es␈↓ εα␈ε)C␈↓ ε%␈ε7␈␈↓ εP␈ε)F␈↓ εj␈ε#;␈α∞bu␈α␈t␈α∞it␈α
also␈α
divid␈α␈es␈α
i␈α↓tse␈α␈l␈α↓f,␈α∞so␈α
it␈α∞d␈α␈ivide␈α␈s
␈β∞o␈↓ α␈ε)C␈↓ α&␈ε#.␈α⊂An␈α␈d␈↓ βπ␈ε)C␈↓ β-␈ε#d␈α␈ivides␈ε)␈αA␈ε7␈απ␈␈↓ ∧e␈ε)E␈↓ ∧␈␈ε#;␈αth␈α␈erefore␈↓ ε!␈ε)F␈↓ εF␈ε#a␈α␈l␈α↓so␈αd␈α␈ivides␈ε)␈αA␈ε7␈απ␈␈↓ λA␈ε)E␈↓ λ[␈ε#.␈α⊂But␈αit␈αalso␈αdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ 	␈ε)E␈↓ #␈ε#;
␈β∂↔␈↓ α␈ε#th␈α␈erefore␈αit␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈ε)␈αA␈ε#.␈α∂Hen␈α␈ce␈αit␈αi␈α↓s␈αa␈α
common␈αd␈α␈ivisor␈αo␈α␈f␈ε)␈αA␈ε#␈αa␈α␈nd␈↓ 	_␈ε)C␈↓ 	2␈ε#.
␈β∂I␈↓ α␈ε#I␈α	n␈α↓o␈α}w␈α	claim␈α	th␈α␈at␈α	it␈α	is␈α	also␈α	th␈α␈e␈α	gre␈α␈atest.␈α∞F␈α⎇or␈α	if␈↓ π_␈ε)F␈↓ π;␈ε#i␈α↓s␈αλn␈α↓ot␈αλthe␈α	g␈α␈reate␈α␈st␈α	common␈αλdiviso␈α␈r
␈β∂q␈↓ α␈ε#of␈ε)␈αA␈ε#␈αan␈α␈d␈↓ β↔␈ε)C␈↓ β1␈ε#,␈αsom␈α␈e␈αlarger␈α
n␈α␈um␈α}ber␈αwill␈αd␈α␈ivide␈α
them␈α
both␈α␈.␈α∂Let␈αsuc␈α␈h␈αa␈αn␈α}um␈α}ber␈αb␈α␈e␈ε)␈αG␈ε#.
␈β⊂#␈↓ α␈ε#No␈α␈w␈α	sin␈α␈ce␈ε)␈α	G␈ε#␈α	d␈α␈i␈α↓v␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ ∧7␈ε)C␈↓ ∧Z␈ε#wh␈α␈i␈α↓le␈↓ ¬/␈ε)C␈↓ ¬R␈ε#d␈α␈ivide␈α␈s␈ε)␈α	A␈ε7␈αβ␈␈↓ ε␈␈ε)E␈↓ π→␈ε#,␈ε)␈α	G␈ε#␈α	divide␈α␈s␈ε)␈α	A␈ε7␈αβ␈␈↓ λ|␈ε)E␈↓ 	⊗␈ε#.␈ε)␈α∞G␈ε#␈α	also␈αλdivide␈α␈s␈α	the
␈β⊂K␈↓ α␈ε#wh␈α↓o␈α␈le␈αo␈α␈f␈ε)␈αA␈ε#,␈αso␈α
it␈α
divid␈α␈es␈αt␈α␈he␈α
rema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈↓ εJ␈ε)E␈↓ εd␈ε#.␈α∂Bu␈α␈t␈↓ π<␈ε)E␈↓ π`␈ε#d␈α␈i␈α↓v␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ λO␈ε)C␈↓ λo␈ε7␈␈↓ 	↔␈ε)F␈↓ 	1␈ε#;␈α
there␈α␈f␈α↓o␈α␈re␈ε)␈α
G␈ε#␈αalso
␈β⊂r␈↓ α␈ε#div␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ α{␈ε)C␈↓ β≠␈ε7␈␈↓ βC␈ε)F␈↓ β\␈ε#.␈α∂And␈ε)␈α
G␈ε#␈α
also␈α
div␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈α
the␈α
whole␈α
of␈↓ πO␈ε)C␈↓ πi␈ε#,␈α
so␈α
i␈α↓t␈α
d␈α␈i␈α↓v␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈α
the␈α
rem␈α␈aind␈α␈er␈↓ 	␈ε)F␈↓ #␈ε#;
␈β⊃~␈↓ α␈ε#th␈α␈at␈αis,␈αa␈αg␈α␈reate␈α␈r␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αd␈α␈ivide␈α␈s␈αa␈α
smaller␈αon␈α␈e.␈α∂This␈αis␈αimpo␈α␈ssible.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.2␈↓ 
v␈ε"319
␈β↓Z␈↓ ¬V␈ε.THE␈α
GR␈α␈EA␈α}TES␈α␈T␈αC␈α␈OMMON␈α
DI␈α␈VIS␈α␈OR
␈βα&␈↓ α␈ε#The␈α␈refore␈αn␈α↓o␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α
gre␈α␈ater␈αtha␈α␈n␈↓ ε∩␈ε)F␈↓ ε8␈ε#wi␈α↓ll␈α
d␈α␈ivide␈ε)␈αA␈ε#␈α
an␈α␈d␈↓ λD␈ε)C␈↓ λ←␈ε#,␈α
so␈↓ 	∨␈ε)F␈↓ 	F␈ε#is␈α
th␈α␈eir␈α
g␈α␈reates␈α␈t
␈βαN␈↓ α␈ε#co␈α␈mm␈α↓on␈α
diviso␈α␈r.
␈ββ↓␈↓ α␈ε3Coro␈α␈l␈α↓la␈α␈ry.␈ε#␈α⊃This␈α	a␈α␈rgu␈α␈men␈α␈t␈αλmak␈α}es␈α	it␈α	ev␈α␈i␈α↓d␈α␈en␈α␈t␈αλthat␈αλan␈α␈y␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α	divid␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α	t␈α␈w␈α␈o␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s
␈ββ(␈↓ α␈ε#div␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈αth␈α␈eir␈αg␈α␈reate␈α␈st␈αcommon␈α
divisor.␈ε0␈α∂Q.E.D.
␈ββi␈↓ ↓H␈ε/Note.␈ε"␈α≥Euclid's␈α∞statemen␈α␈ts␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∂been␈α∞simpli|ed␈α∞here␈α∂in␈α∞one␈α∞n␈α↓on␈α␈trivial␈α∞respect:
␈β∧∀␈↓ ↓H␈ε"Greek␈α∂mathematicians␈α∞did␈α∂n␈α↓ot␈α∂regard␈α∂unit␈α␈y␈α∂as␈α∂a␈α∂\divisor"␈α∂of␈α∂an␈α↓other␈α∞positiv␈α␈e
␈β∧?␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈teger.␈α≡Tw␈α␈o␈α⊂positiv␈α␈e␈α⊃in␈α␈tegers␈α⊃w␈α␈ere␈α⊂either␈α⊃both␈α⊃equal␈α⊃to␈α⊂unit␈α␈y,␈α∩or␈α⊃they␈α⊂w␈α␈ere
␈β∧j␈↓ ↓H␈ε"relativ␈α␈ely␈αprime,␈αor␈α
they␈αhad␈αa␈α
greatest␈αcomm␈α↓on␈αdivisor.␈α⊃In␈αfact,␈α
unit␈α␈y␈αw␈α␈as␈αn␈α↓ot
␈β¬⊗␈↓ ↓H␈ε"ev␈α␈en␈α∞considered␈α∞to␈α∞be␈α∞a␈α∞\n␈α␈um␈α␈ber,"␈α∂and␈α∞zero␈α∞w␈α␈as␈α∞of␈α∞course␈α∞n␈α↓onexisten␈α␈t.␈α⊗These
␈β¬A␈↓ ↓H␈ε"rather␈α
a␈α␈wkw␈α␈ard␈α
con␈α␈v␈α␈en␈α␈tions␈α
made␈α
it␈α
necessary␈α∞for␈α
Euclid␈α
to␈α
duplicate␈α
m␈α␈uch␈α
of
␈β¬l␈↓ ↓H␈ε"his␈α∞discussion,␈α∂and␈α∂he␈α∞ga␈α␈v␈α␈e␈α∂t␈α␈w␈α␈o␈α∞separate␈α∂propositions␈α∞that␈α∞each␈α∂are␈α∞essen␈α␈tially
␈βε↔␈↓ ↓H␈ε"lik␈α␈e␈αthe␈αone␈αappearing␈αhere.
␈βεC␈↓ α␈ε"In␈α⊂his␈α⊂discussion,␈α⊃Euclid␈α⊂|rst␈α⊂suggests␈α⊂subtracting␈α⊂the␈α⊂smaller␈α⊂of␈α∂the␈α⊂t␈α␈w␈α␈o
␈βεn␈↓ ↓H␈ε"curren␈α␈t␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αfrom␈αthe␈αlarger,␈αrepeatedly,␈αun␈α␈til␈αw␈α␈e␈αget␈αt␈α␈w␈α␈o␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αin␈αwhich
␈βπ→␈↓ ↓H␈ε"one␈α⊂is␈α⊂a␈α⊂m␈α␈ultiple␈α⊂of␈α⊂an␈α↓other.␈α≥But␈α⊂in␈α⊂the␈α⊂pro␈α↓of␈α⊃he␈α⊂really␈α⊂relies␈α⊂on␈α⊂taking␈α⊂the
␈βπD␈↓ ↓H␈ε"remainder␈α	of␈α
one␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α	divided␈α
by␈α
an␈α↓other;␈α
and␈α
since␈α
he␈α	has␈α
n␈α↓o␈α
simple␈α	concept
␈βπo␈↓ ↓H␈ε"of␈α
zero,␈α
he␈αcann␈α↓ot␈α
speak␈α
of␈α
the␈αremainder␈α
when␈α
one␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αdivides␈α
the␈α
other.␈α∂It
␈βλ≠␈↓ ↓H␈ε"is␈αreasonable␈α
to␈α
sa␈α␈y␈α
that␈α
he␈α
imagines␈αeach␈ε/␈α
division␈ε"␈α
(n␈α↓ot␈α
the␈α
individual␈αsubtrac-
␈βλF␈↓ ↓H␈ε"tions)␈α∞as␈α∞a␈α
single␈α∞step␈α∞of␈α∞the␈α∞algorithm,␈α∂and␈α∞hence␈α∞an␈α∞\authen␈α␈tic"␈α
rendition␈α∞of
␈βλq␈↓ ↓H␈ε"his␈αalgorithm␈αcan␈αbe␈αphrased␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈β	3␈↓ ↓H␈ε2Algorithm␈α	E␈ε"␈α	(␈ε/Original␈α
Euclidean␈α	algorithm␈ε")␈ε2.␈ε"␈α⊂Giv␈α␈en␈α	t␈α␈w␈α␈o␈α
in␈α␈tegers␈ε(␈α	A␈ε"␈α	and␈↓ 
→␈ε(C␈↓ 
>␈ε"greater
␈β	↑␈↓ ↓H␈ε"than␈αunit␈α␈y,␈αthis␈αalgorithm␈α|nds␈αtheir␈αgreatest␈αcomm␈α↓on␈αdivisor.
␈β
∃␈↓ ↓L␈ε2E1.␈↓ α␈ε"[␈ε(A␈ε"␈αdivisible␈αby␈↓ β|␈ε(C␈↓ ∧→␈ε"?]␈α→If␈↓ ∧n␈ε(C␈↓ ¬⊗␈ε"divides␈ε(␈α
A␈ε",␈αthe␈αalgorithm␈αterminates␈αwith␈↓ 
&␈ε(C␈↓ 
N␈ε"as␈αthe
␈β
@␈↓ α␈ε"answ␈α␈er.
␈β
w␈↓ ↓L␈ε2E2.␈↓ α␈ε"[Replace␈ε(␈αA␈ε"␈αby␈αremainder.]␈α_If␈ε(␈αA␈↓ ε¬␈ε"mod␈↓ εO␈ε(C␈↓ εw␈ε"is␈αequal␈αto␈αunit␈α␈y,␈αthe␈αgiv␈α␈en␈αn␈α␈um␈α␈bers
␈β"␈↓ α␈ε"w␈α␈ere␈α∂relativ␈α␈ely␈α∞prime,␈α∂so␈α∂the␈α∞algorithm␈α∂terminates.␈α↔Otherwise␈α∂replace␈α∞the
␈βN␈↓ α␈ε"pair␈αof␈αv␈α⎇alues␈α(␈ε(A␈ε",␈↓ ∧ ␈ε(C␈↓ ∧<␈ε")␈αby␈α(␈↓ ¬∪␈ε(C␈↓ ¬0␈ε",␈ε(␈αεA␈↓ ¬`␈ε"mod␈↓ ε*␈ε(C␈↓ εF␈ε")␈αand␈αreturn␈αto␈αstep␈αE1.
␈βW␈↓ 	f␈∧W	f≠∂
␈β⊂␈↓ α␈ε"The␈α⊂\pro␈α↓of"␈α⊃Euclid␈α⊂ga␈α␈v␈α␈e,␈α⊃which␈α⊃is␈α⊂quoted␈α⊂abo␈α␈v␈α␈e,␈α∩is␈α⊂especially␈α⊂in␈α␈teresting
␈β;␈↓ ↓H␈ε"because␈α
it␈αis␈αn␈α↓ot␈αreally␈α
a␈↓ ∧N␈ε"pro␈α↓of␈αat␈αall!␈α∂He␈αv␈α␈eri|es␈αthe␈α
result␈αof␈αthe␈αalgorithm␈α
only
␈βf␈↓ ↓H␈ε"if␈α
step␈αE1␈α
is␈αperformed␈αonce␈α
or␈αthrice.␈α∂Surely␈αhe␈α
m␈α␈ust␈αha␈α␈v␈α␈e␈αrealized␈α
that␈αstep␈α
E1
␈β
⊃␈↓ ↓H␈ε"could␈α
tak␈α␈e␈α
place␈α
m␈α↓ore␈α
than␈α∞three␈α
times,␈α
alth␈α↓ough␈α
he␈α∞made␈α
n␈α↓o␈α
men␈α␈tion␈α
of␈α
such
␈β
=␈↓ ↓H␈ε"a␈α
possibilit␈α␈y.␈α⊗Not␈α∞ha␈α␈ving␈α∞the␈α
n␈α↓otion␈α∞of␈α∞a␈α∞pro␈α↓of␈α∞by␈α
mathematical␈↓ 	\␈ε"induction,␈α∞he
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"could␈α∞only␈α∞giv␈α␈e␈α∞a␈α∞pro␈α↓of␈α∞for␈α∞a␈α∞|nite␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∞cases.␈α≥(In␈α∞fact,␈α∞he␈α∞o$en␈α∞pro␈α␈v␈α␈ed
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"only␈α∂the␈α∞case␈ε(␈α∂n␈ε"␈α∂=␈α∂3␈α∂of␈α∂a␈α∞theorem␈α∂that␈α∂he␈α∂w␈α␈an␈α␈ted␈α∂to␈α∂establish␈α∂for␈α∂general␈ε(␈α∂n␈ε"␈α␈.)
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε"Alth␈α↓ough␈α
Euclid␈α∞is␈α∞justly␈α
fam␈α↓ous␈α∞for␈α∞the␈α∞great␈α
adv␈α⎇ances␈α∞he␈α∞made␈α
in␈α∞the␈α∞art␈α
of
␈β∞i␈↓ ↓H␈ε"logical␈α
deduction,␈α∞techniques␈α
for␈α∞giving␈α
v␈α⎇alid␈α
pro␈α↓ofs␈α∞by␈α
induction␈α∞w␈α␈ere␈α
n␈α↓ot␈α
dis-
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"co␈α␈v␈α␈ered␈αun␈α␈til␈αman␈α␈y␈αcen␈α␈turies␈αlater,␈αand␈αthe␈αcrucial␈αideas␈αfor␈αpro␈α␈ving␈αthe␈αv␈α⎇alidit␈α␈y
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"of␈ε/␈αalgorithms␈ε"␈αare␈αonly␈αn␈α↓o␈α␈w␈αbecoming␈αreally␈αclear.␈α~(See␈αSection␈α1.2.1␈αfor␈αa␈αcom-
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"plete␈α⊂pro␈α↓of␈α⊂of␈α⊃Euclid's␈α⊂algorithm,␈α⊃together␈α⊃with␈α⊂a␈α⊂sh␈α↓ort␈α⊃discussion␈α⊂of␈α⊂general
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"pro␈α↓of␈αprocedures␈αfor␈αalgorithms.)
␈β⊂B␈↓ α␈ε"It␈α	is␈αλw␈α␈orth␈α	n␈α↓oting␈αλthat␈α	this␈αλalgorithm␈α	for␈αλ|nding␈α	the␈αλgreatest␈α	comm␈α↓on␈αλdivisor
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈as␈αch␈α↓osen␈α
by␈αEuclid␈α
to␈α
be␈αthe␈α
v␈α␈ery␈α|rst␈α
step␈α
in␈αhis␈α
dev␈α␈elopmen␈α␈t␈αof␈α
the␈αtheory
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"of␈α⊃n␈α␈um␈α␈bers.␈α∨The␈α⊃same␈α⊃order␈α⊃of␈α∩presen␈α␈tation␈α⊃is␈α⊃still␈α⊃in␈α⊃use␈α⊃toda␈α␈y␈α⊃in␈α⊃m␈α↓odern
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"320␈↓ 
b␈ε"4.5.2
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"textbo␈α↓oks.␈α∂Euclid␈αalso␈αga␈α␈v␈α␈e␈α(Proposition␈α34)␈α
a␈αmeth␈α↓od␈αto␈α|nd␈αthe␈αleast␈α
comm␈α↓on
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ultiple␈α
of␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
in␈α␈tegers␈ε(␈αu␈ε"␈α
and␈↓ ¬$␈ε(v␈↓ ¬7␈ε",␈α
namely␈α
to␈αdivide␈ε(␈α
u␈ε"␈α
by␈↓ λ*␈ε"gcd␈↓ λ`␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ 	⊃␈ε(v␈↓ 	$␈ε")␈α
and␈α
to␈α
m␈α␈ultiply
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"the␈αresult␈αby␈↓ β≥␈ε(v␈↓ β0␈ε";␈αthis␈αis␈αequiv␈α⎇alen␈α␈t␈αto␈αEq.␈α(10).
␈ββ%␈↓ α␈ε"If␈α∞w␈α␈e␈α
a␈α␈v␈α␈oid␈α∞Euclid's␈α
bias␈α∞against␈α
the␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α
0␈α∞and␈α
1,␈α∞w␈α␈e␈α∞can␈α
reform␈α␈ulate
␈ββP␈↓ ↓H␈ε"Algorithm␈αE␈αin␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αw␈α␈a␈α␈y.
␈β∧∃␈↓ ↓H␈ε2Algorithm␈α	A␈ε"␈α	(␈ε/Modern␈α	Euclidean␈α	algorithm␈ε")␈ε2.␈ε"␈α∂Giv␈α␈en␈α	n␈α↓onnegativ␈α␈e␈α	in␈α␈tegers␈ε(␈α
u␈ε"␈αλand␈↓ ⊂␈ε(v␈↓ "␈ε",
␈β∧"␈↓ πl␈ε↓␈
␈β∧@␈↓ ↓H␈ε"this␈α	algorithm␈α
|nds␈α	their␈α
greatest␈α	comm␈α↓on␈α
divisor.␈↓ πz␈ε/Note:␈ε"␈α
The␈α
greatest␈α	comm␈α↓on
␈β∧l␈↓ ↓H␈ε"divisor␈α
of␈ε/␈αarbitrary␈ε"␈α
in␈α␈tegers␈ε(␈αu␈ε"␈α
and␈↓ ¬b␈ε(v␈↓ ε␈ε"ma␈α␈y␈α
be␈αobtained␈α
by␈α
applying␈αthis␈α
algorithm
␈β∧x␈↓ εW␈ε↓↓
␈β¬↔␈↓ ↓H␈ε"to␈ε6␈αj␈ε(u␈ε6␈α␈j␈ε"␈αand␈ε6␈αj␈↓ αx␈ε(v␈↓ β␈ε6j␈ε",␈αbecause␈αof␈αEqs.␈α(2)␈αand␈α(3).
␈β¬O␈↓ ↓J␈ε2A1.␈↓ α␈ε"[␈↓ α⊗␈ε(v␈↓ α3␈ε"=␈α
0?]␈α→If␈↓ βH␈ε(v␈↓ βe␈ε"=␈α
0,␈αthe␈αalgorithm␈αterminates␈αwith␈ε(␈αu␈ε"␈αas␈αthe␈αansw␈α␈er.
␈βελ␈↓ ↓J␈ε2A2.␈↓ α␈ε"[T␈α⎇ak␈α␈e␈ε(␈α∞u␈↓ β
␈ε"mod␈↓ βT␈ε(v␈↓ βg␈ε".]␈α≥Set␈↓ ∧W␈ε(r␈↓ ∧t␈ε6␈ ␈ε(␈α
u␈↓ ¬@␈ε"mod␈↓ ε
␈ε(v␈↓ ε≥␈ε",␈ε(␈α∞u␈ε6␈α␈ ␈↓ ππ␈ε(v␈↓ π~␈ε",␈↓ π2␈ε(v␈↓ πR␈ε6␈ ␈↓ λβ␈ε(r␈↓ λ∪␈ε",␈α∞and␈α∞return␈α∞to␈α
A1.␈α≤(The
␈βε3␈↓ α␈ε"operations␈α
of␈α
this␈αstep␈α
decrease␈α
the␈α
v␈α⎇alue␈αof␈↓ πN␈ε(v␈↓ πa␈ε",␈α
but␈α
they␈αlea␈α␈v␈α␈e␈↓ 	f␈ε"gcd␈↓ 
≤␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ 
M␈ε(v␈↓ 
`␈ε")␈αun-
␈βε↑␈↓ α␈ε"changed.)
␈βεg␈↓ βJ␈∧εgβJ≠∂
␈βπ$␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇or␈αexample,␈αw␈α␈e␈αma␈α␈y␈αcalculate␈↓ ¬:␈ε"gcd␈↓ ¬p␈ε"(40902,␈αε24140)␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈βπy␈↓ α↓␈ε"gcd␈↓ α7␈ε"(40902,␈αε24140)␈↓ ∧≥␈ε"=␈↓ ∧K␈ε"gcd␈↓ ¬↓␈ε"(24140,␈αε16762)␈α
=␈↓ π∃␈ε"gcd␈↓ πK␈ε"(16762,␈αε7378)
␈βλ/␈↓ ∧≥␈ε"=␈↓ ∧K␈ε"gcd␈↓ ¬↓␈ε"(7378,␈αε2006)␈α
=␈↓ εq␈ε"gcd␈↓ π'␈ε"(2006,␈αε1360)␈α
=␈↓ 	↔␈ε"gcd␈↓ 	M␈ε"(1360,␈αε646)
␈βλe␈↓ ∧≥␈ε"=␈↓ ∧K␈ε"gcd␈↓ ¬↓␈ε"(646,␈αε68)␈α
=␈↓ ε;␈ε"gcd␈↓ εq␈ε"(68,␈αε34)␈α
=␈↓ λ→␈ε"gcd␈↓ λO␈ε"(34,␈αε0)␈α
=␈α
34.
␈β	:␈↓ α␈ε"A␈α
pro␈α↓of␈αthat␈α
Algorithm␈αA␈α
is␈αv␈α⎇alid␈α
follo␈α␈ws␈αreadily␈α
from␈αEq.␈α
(4)␈αand␈α
the␈αfact
␈β	e␈↓ ↓H␈ε"that
␈β
∪␈↓ ∧f␈ε"gcd␈↓ ¬≤␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ ¬M␈ε(v␈↓ ¬`␈ε")␈α
=␈↓ ε$␈ε"gcd␈↓ εZ␈ε"(␈↓ εf␈ε(v␈↓ εy␈ε",␈ε(␈αεu␈ε6␈αλ␈␈↓ πR␈ε(q␈↓ πe␈ε(v␈↓ πx␈ε"),␈↓ 
p␈ε"(13)
␈β
Y␈↓ ↓H␈ε"if␈↓ ↓j␈ε(q␈↓ α	␈ε"is␈αan␈α␈y␈α
in␈α␈teger.␈α⊂Equation␈α
(13)␈αh␈α↓olds␈αbecause␈αan␈α␈y␈α
comm␈α↓on␈αdivisor␈αof␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ ~␈ε(v
␈β∧␈↓ ↓H␈ε"is␈αa␈αdivisor␈αof␈αboth␈↓ βy␈ε(v␈↓ ∧↔␈ε"and␈ε(␈αu␈ε6␈αε␈␈↓ ¬#␈ε(q␈↓ ¬6␈ε(v␈↓ ¬I␈ε",␈αand,␈αcon␈α␈v␈α␈ersely,␈αan␈α␈y␈αcomm␈α↓on␈αdivisor␈αof␈↓ 
T␈ε(v␈↓ 
r␈ε"and
␈β/␈↓ ↓H␈ε(u␈ε6␈απ␈␈↓ α⊂␈ε(q␈↓ α$␈ε(v␈↓ αB␈ε"m␈α␈ust␈αdivide␈αboth␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ ¬A␈ε(v␈↓ ¬T␈ε".
␈β[␈↓ α␈ε"The␈αfollo␈α␈wing␈↓ ∧5␈ε"program␈αillustrates␈αthe␈α
fact␈αthat␈αAlgorithm␈α
A␈αcan␈αeasily
␈β]␈↓ βp␈ε5MIX
␈βε␈↓ ↓H␈ε"be␈αimplemen␈α␈ted␈αon␈αa␈αcomputer:
␈βL␈↓ ↓H␈ε2Program␈αA␈ε"␈α
(␈ε/Euclid's␈αalgorithm␈ε")␈ε2.␈ε"␈α∃Assume␈αthat␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ λ
␈ε(v␈↓ λ'␈ε"are␈αsingle-precision,␈αn␈α↓on-
␈βw␈↓ ↓H␈ε"negativ␈α␈e␈α⊂in␈α␈tegers,␈α⊃stored␈α⊂respectiv␈α␈ely␈α⊂in␈α⊃locations␈↓ λ⊃␈ε"and␈↓ λn␈ε";␈α∩this␈α⊂program␈α⊂puts
␈βy␈↓ πn␈ε5U␈↓ λ[␈ε5V
␈β
"␈↓ ↓H␈ε"gcd␈↓ ↓}␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ α.␈ε(v␈↓ αA␈ε")␈αin␈α␈to␈αrA.
␈β
e␈↓ ∧f␈ε5LD␈α␈X␈↓ ¬D␈ε5U␈↓ ε!␈ε#1␈↓ εv␈ε#rX␈↓ π%␈ε7␈ ␈ε)␈α	u␈ε#␈α↓.
␈β∞
␈↓ ∧f␈ε5JM␈α␈P␈↓ ¬D␈ε52F␈↓ ε!␈ε#1
␈β∞5␈↓ ∧-␈ε51H␈↓ ∧f␈ε5ST␈α␈X␈↓ ¬D␈ε5V␈↓ ε≥␈ε)T␈↓ εv␈ε)v␈↓ π⊃␈ε7␈ ␈↓ π<␈ε#rX␈↓ πa␈ε#.
␈β∞\␈↓ ∧f␈ε5SR␈α␈AX␈↓ ¬D␈ε55␈↓ ε≥␈ε)T␈↓ εv␈ε#rAX␈↓ π=␈ε7␈ ␈↓ πg␈ε#rA␈↓ λ␈ε#.
␈β∂∧␈↓ ∧f␈ε5DI␈α␈V␈↓ ¬D␈ε5V␈↓ ε≥␈ε)T␈↓ εv␈ε#rX␈↓ π%␈ε7␈ ␈↓ πO␈ε#rAX␈↓ λ∩␈ε#mo␈α␈d␈↓ λV␈ε)v␈↓ λh␈ε#.
␈β∂+␈↓ ∧-␈ε52H␈↓ ∧f␈ε5LD␈α␈A␈↓ ¬D␈ε5V␈↓ ¬⎇␈ε#1␈απ+␈↓ ε>␈ε)T␈↓ εv␈ε#rA␈↓ π%␈ε7␈ ␈↓ πO␈ε)v␈↓ πa␈ε#.
␈β∂S␈↓ ∧f␈ε5JX␈α␈NZ␈↓ ¬D␈ε51B␈↓ ¬⎇␈ε#1␈απ+␈↓ ε>␈ε)T␈↓ εv␈ε#Done␈α
i␈α↓f␈↓ πm␈ε#rX␈↓ λ≠␈ε#=␈α
0␈α␈.
␈β∂Z␈↓ 	∧␈∧∂Z	∧≠∂
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"The␈α∂running␈α∂time␈α∂for␈α∂this␈α∞program␈α∂is␈α∂19␈↓ εT␈ε(T␈↓ εx␈ε"+␈α
6␈α∂cy␈α␈cles,␈α⊂where␈↓ 	&␈ε(T␈↓ 	O␈ε"is␈α∞the␈α∂n␈α␈um␈α␈ber
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"of␈αdivisions␈αperformed.␈α⊂The␈αdiscussion␈α
in␈αSection␈α4.5.3␈αsh␈α↓o␈α␈ws␈αthat␈αw␈α␈e␈αma␈α␈y␈αtak␈α␈e
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε(T␈↓ ↓n␈ε"=␈α0.842766␈↓ β,␈ε"ln␈↓ βP␈ε(N␈↓ β|␈ε"+␈α	0.06␈α
as␈α∞an␈α
appro␈α␈ximate␈α
a␈α␈v␈α␈erage␈α∞v␈α⎇alue,␈α
when␈ε(␈α∞u␈ε"␈α
and␈↓ 
\␈ε(v␈↓ 
|␈ε"are
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"independen␈α␈tly␈αand␈αuniformly␈αdistributed␈αin␈αthe␈αrange␈α1␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
u␈ε"␈α␈,␈↓ 	␈ε(v␈↓ 	(␈ε6∀␈↓ 	V␈ε(N␈↓ 	y␈ε".
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.2␈↓ 
v␈ε"321
␈β↓Z␈↓ ¬V␈ε.THE␈α
GR␈α␈EA␈α}TES␈α␈T␈αC␈α␈OMMON␈α
DI␈α␈VIS␈α␈OR
␈βε∧␈↓ β∂␈ε3Fig.␈α9.␈ε#␈α→Bi␈α↓n␈α␈ary␈α
algorith␈α␈m␈αfor␈αth␈α␈e␈αgrea␈α␈test␈αco␈α␈mm␈α↓on␈α
div␈α␈i␈α↓so␈α␈r.
␈βε{␈↓ ↓H␈ε2A␈αλbinary␈α	meth␈α↓od.␈ε"␈α∞Since␈α	Euclid's␈α	patriarchal␈α	algorithm␈αλhas␈α	been␈α	used␈α	for␈α	so␈αλman␈α␈y
␈βπ&␈↓ ↓H␈ε"cen␈α␈turies,␈α
it␈α
is␈α	a␈α
rather␈α
surprising␈α
fact␈α	that␈α
it␈α
ma␈α␈y␈α
n␈α↓ot␈α	alw␈α␈a␈α␈ys␈α
be␈α
the␈α
best␈α	meth␈α↓od
␈βπQ␈↓ ↓H␈ε"for␈α	|nding␈α	the␈α
greatest␈α	comm␈α↓on␈α	divisor␈α
a$er␈α	all.␈α∂A␈α	quite␈α
di{eren␈α␈t␈α	gcd␈α	algorithm,
␈βπ⎇␈↓ ↓H␈ε"which␈α⊂is␈α⊂primarily␈α⊃suited␈α⊂to␈α⊃binary␈α⊂arithmetic,␈α⊃w␈α␈as␈α⊃disco␈α␈v␈α␈ered␈α⊂by␈α⊃J.␈↓ 
.␈ε"Stein␈α⊂in
␈βλ(␈↓ ↓H␈ε"1961␈α∂[see␈ε/␈α∂J.␈α∂Comp.␈α∂Ph␈α␈ys.␈ε2␈α∂1␈ε"␈α∂(1967),␈α⊂397↑405].␈α→This␈α∂new␈α∂algorithm␈α∂requires␈α∂n␈α↓o
␈βλS␈↓ ↓H␈ε"division␈α	instruction;␈α
it␈αλrelies␈α	solely␈α	on␈α	the␈α	operations␈α	of␈α	(i)␈α	subtraction,␈α
(ii)␈αλtesting
␈βλ}␈↓ ↓H␈ε"whether␈αa␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αis␈α
ev␈α␈en␈αor␈α
odd,␈αand␈α
(iii)␈αshi$ing␈α
the␈αbinary␈α
represen␈α␈tation␈αof
␈β	)␈↓ ↓H␈ε"an␈αev␈α␈en␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αto␈αthe␈αrigh␈α␈t␈α(␈↓ ¬≠␈ε"halving).
␈β	U␈↓ α␈ε"The␈↓ αY␈ε"binary␈α∞gcd␈α∂algorithm␈α∂is␈α∞based␈α∂on␈α∞four␈α∂simple␈α∂facts␈α∞about␈α∂positiv␈α␈e␈α∞in-
␈β
␈↓ ↓H␈ε"tegers␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ β⊗␈ε(v␈↓ β)␈ε":
␈β
4␈↓ ↓b␈ε"a)␈↓ α␈ε"If␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ β↔␈ε(v␈↓ β6␈ε"are␈αboth␈αev␈α␈en,␈αthen␈↓ ¬t␈ε"gcd␈↓ ε*␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ εZ␈ε(v␈↓ εm␈ε")␈α
=␈α
2␈↓ πI␈ε"gcd␈↓ π␈␈ε"(␈ε(u␈ε"/2,␈↓ λT␈ε(v␈↓ λg␈ε"/2).␈α→[See␈αEq.␈α(8).]
␈β
`␈↓ ↓`␈ε"b)␈↓ α␈ε"If␈ε(␈αu␈ε"␈αis␈αev␈α␈en␈αand␈↓ ∧
␈ε(v␈↓ ∧,␈ε"is␈αodd,␈αthen␈↓ ¬r␈ε"gcd␈↓ ε(␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ εX␈ε(v␈↓ εk␈ε")␈α
=␈↓ π/␈ε"gcd␈↓ πe␈ε"(␈ε(u␈ε"/2,␈↓ λ:␈ε(v␈↓ λM␈ε").␈α→[See␈αEq.␈α(6).]
␈β␈↓ ↓d␈ε"c)␈↓ α␈ε"As␈αin␈αEuclid's␈αalgorithm,␈↓ ¬ ␈ε"gcd␈↓ ¬V␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ επ␈ε(v␈↓ ε~␈ε")␈α
=␈↓ ε↑␈ε"gcd␈↓ π∀␈ε"(␈ε(u␈ε6␈απ␈␈↓ πh␈ε(v␈↓ π{␈ε",␈↓ λ␈ε(v␈↓ λ≡␈ε").␈α→[See␈αEqs.␈α(13),␈α(2).]
␈β6␈↓ ↓`␈ε"d)␈↓ α␈ε"If␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ β↔␈ε(v␈↓ β6␈ε"are␈αboth␈αodd,␈αthen␈ε(␈αu␈ε6␈απ␈␈↓ ε0␈ε(v␈↓ εO␈ε"is␈αev␈α␈en,␈αand␈ε6␈αj␈ε(u␈ε6␈αλ␈␈↓ λh␈ε(v␈↓ λ{␈ε6j␈ε"␈α
<␈↓ 	=␈ε"ma␈↓ 	m␈ε"x␈↓ 
↓␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ 
2␈ε(v␈↓ 
E␈ε").
␈βj␈↓ ↓H␈ε"These␈αfacts␈αimmediately␈αsuggest␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αalgorithm:
␈β(␈↓ ↓H␈ε2Algorithm␈αB␈ε"␈α(␈ε/Binary␈αgcd␈αalgorithm␈ε")␈ε2.␈ε"␈α_Giv␈α␈en␈αpositiv␈α␈e␈αin␈α␈tegers␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ 	s␈ε(v␈↓ 
¬␈ε",␈αthis␈αalgo-
␈βS␈↓ ↓H␈ε"rithm␈α|nds␈αtheir␈αgreatest␈αcomm␈α↓on␈αdivisor.
␈β
λ␈↓ ↓L␈ε2B1.␈↓ α␈ε"[Find␈αpo␈α␈w␈α␈er␈αof␈α2.]␈α⊗Set␈↓ ∧u␈ε(k␈↓ ¬∪␈ε6␈ ␈ε"␈α
0,␈αand␈αthen␈αrepeatedly␈αset␈↓ λd␈ε(k␈↓ 	β␈ε6␈ ␈↓ 	1␈ε(k␈↓ 	K␈ε"+␈απ1,␈ε(␈αu␈ε6␈α
␈ ␈ε(␈α
u␈ε"␈α␈/2,
␈β
3␈↓ α␈ε(v␈↓ α)␈ε6␈ ␈↓ αW␈ε(v␈↓ αj␈ε"/2,␈αzero␈αor␈αm␈α↓ore␈αtimes␈αun␈α␈til␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ π∪␈ε(v␈↓ π1␈ε"are␈αn␈α↓ot␈αboth␈αev␈α␈en.
␈β
a␈↓ ∩␈ε+k
␈β
g␈↓ ↓L␈ε2B2.␈↓ α␈ε"[Initialize.]␈α≡(No␈α␈w␈α∞the␈α∂original␈α∞v␈α⎇alues␈α∂of␈ε(␈α∞u␈ε"␈α∂and␈↓ π{␈ε(v␈↓ λ≥␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈α∞been␈α∂divided␈α∞by␈↓ ␈ε"2␈↓ "␈ε",
␈β∞∩␈↓ α␈ε"and␈αat␈αleast␈αone␈αof␈αtheir␈αpresen␈α␈t␈αv␈α⎇alues␈αis␈αodd.)␈α⊗If␈ε(␈αu␈ε"␈αis␈αodd,␈αset␈ε(␈αt␈ε6␈α
␈ ␈α
␈␈↓ 
T␈ε(v␈↓ 
r␈ε"and
␈β∞>␈↓ α␈ε"go␈αto␈αB4.␈α⊂Otherwise␈αset␈ε(␈αt␈ε6␈α
␈ ␈ε(␈α
u␈ε".
␈β∞r␈↓ ↓L␈ε2B3.␈↓ α␈ε"[Halv␈α␈e␈ε(␈αt␈ε".]␈α~(A␈α␈t␈αthis␈αpoin␈α␈t,␈ε(␈αt␈ε"␈αis␈αev␈α␈en,␈αand␈αn␈α↓onzero.)␈α→Set␈ε(␈αt␈ε6␈α
␈ ␈ε(␈α
t␈ε"/2.
␈β∂'␈↓ ↓L␈ε2B4.␈↓ α␈ε"[Is␈ε(␈αt␈ε"␈αev␈α␈en?]␈α~If␈ε(␈αt␈ε"␈αis␈αev␈α␈en,␈αgo␈αback␈αto␈αB3.
␈β∂[␈↓ ↓L␈ε2B5.␈↓ α␈ε"[Reset␈↓ αx␈ε"ma␈↓ β(␈ε"x␈↓ β=␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ βm␈ε(v␈↓ ∧␈ε").]␈α∀If␈ε(␈α
t␈ε"␈α
>␈α
0,␈αset␈ε(␈α
u␈ε6␈α
␈ ␈ε(␈α
t␈ε";␈αotherwise␈αset␈↓ λ<␈ε(v␈↓ λY␈ε6␈ ␈α
␈␈ε(t␈ε".␈α∀(The␈α
larger␈α
of
␈β⊂ε␈↓ α␈ε(u␈ε"␈α
and␈↓ αu␈ε(v␈↓ β∃␈ε"has␈α
been␈α
replaced␈α∞by␈ε6␈α
j␈ε(t␈ε6j␈ε",␈α
except␈α∞perhaps␈α
during␈α
the␈α
|rst␈α
time␈α
this
␈β⊂1␈↓ α␈ε"step␈αis␈αperformed.)
␈β⊂f␈↓ ↓L␈ε2B6.␈↓ α␈ε"[Subtract.]␈α∩Set␈ε(␈α
t␈ε6␈α␈ ␈ε(␈α
u␈ε6␈α∧␈␈↓ ¬π␈ε(v␈↓ ¬~␈ε".␈α∂If␈ε(␈α
t␈ε6␈α
≤␈ε"␈α
0,␈αgo␈α
back␈α
to␈α
B3.␈α∂Otherwise␈α
the␈α
algorithm
␈β⊃␈↓ ∧Q␈ε+k
␈β⊃⊃␈↓ α␈ε"terminates␈αwith␈ε(␈αu␈ε6␈αλ↓␈↓ ∧?␈ε"2␈↓ ∧m␈ε"as␈αthe␈αoutput.
␈β⊃~␈↓ εs␈∧⊃~εs≠∂
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"322␈↓ 
b␈ε"4.5.2
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα$␈↓ α␈ε"As␈α
an␈α
example␈α
of␈α
Algorithm␈α
B␈↓ ¬s␈ε",␈α
let␈α
us␈α
consider␈ε(␈αu␈ε"␈α=␈α40902,␈↓ 	;␈ε(v␈↓ 	Z␈ε"=␈α24140,␈α
the
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"same␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α
w␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈α
used␈αto␈α
try␈αout␈α
Euclid's␈αalgorithm.␈α∩Step␈αB1␈α
sets␈↓ 
C␈ε(k␈↓ 
b␈ε6␈ ␈ε"␈α
1,
␈βαz␈↓ ↓H␈ε(u␈ε6␈α
␈ ␈ε"␈α
20451,␈↓ βε␈ε(v␈↓ β#␈ε6␈ ␈ε"␈α12070.␈α⊃Then␈ε(␈αt␈ε"␈α
is␈αset␈αto␈ε6␈α
␈␈ε"12070,␈αand␈αreplaced␈α
by␈ε6␈α␈␈ε"6035;␈αthen
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε(v␈↓ ↓g␈ε"is␈αreplaced␈αby␈α6035,␈αand␈αthe␈αcomputation␈αproceeds␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈ββh␈↓ β¬␈ε(u␈↓ ∧∨␈ε(v␈↓ πL␈ε(t
␈β∧≡␈↓ αb␈ε"20451␈↓ ∧∧␈ε"6035␈↓ ¬∀␈ε"+14416,␈α+7208,␈α+3604,␈α+1802,␈α+901;
␈β∧I␈↓ βε␈ε"901␈↓ ∧∧␈ε"6035␈↓ ¬∀␈ε6␈␈ε"5134,␈ε6␈α␈␈ε"2567;
␈β∧t␈↓ βε␈ε"901␈↓ ∧∧␈ε"2567␈↓ ¬∀␈ε6␈␈ε"1666,␈ε6␈α␈␈ε"833;
␈β¬∨␈↓ βε␈ε"901␈↓ ∧⊗␈ε"833␈↓ ¬∀␈ε"+68,␈α+34,␈α+17;
␈β¬K␈↓ β_␈ε"17␈↓ ∧⊗␈ε"833␈↓ ¬∀␈ε6␈␈ε"816,␈ε6␈α␈␈ε"408,␈ε6␈α␈␈ε"204,␈ε6␈α␈␈ε"102,␈ε6␈α␈␈ε"51;
␈β¬v␈↓ β_␈ε"17␈↓ ∧(␈ε"51␈↓ ¬∀␈ε6␈␈ε"34,␈ε6␈α␈␈ε"17;
␈βε!␈↓ β_␈ε"17␈↓ ∧(␈ε"17␈↓ ¬∀␈ε"0.
␈βεg␈↓ ∧␈ε%1
␈βεm␈↓ ↓H␈ε"The␈α∂answ␈α␈er␈α⊂is␈α∂17␈ε6␈α↓␈↓ βz␈ε"2␈↓ ∧+␈ε"=␈α⊂34.␈α≠A␈α⊂few␈α∂m␈α↓ore␈α⊂iterations␈α⊂w␈α␈ere␈α∂necessary␈α⊂here␈α∂than
␈βπ_␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈αneeded␈αwith␈αAlgorithm␈αA␈↓ ¬␈ε",␈αbut␈αeach␈αiteration␈αw␈α␈as␈αsomewhat␈αsimpler␈αsince␈αn␈α↓o
␈βπC␈↓ ↓H␈ε"division␈αsteps␈αw␈α␈ere␈αused.
␈βπo␈↓ α␈ε"A␈↓ α}␈ε"program␈α⊂for␈α∂Algorithm␈α⊂B␈α∂requires␈α⊂just␈α∂a␈α⊂little␈α⊂m␈α↓ore␈α∂code␈α⊂than␈α∂for
␈βπq␈↓ α6␈ε5MI␈α␈X
␈βλ~␈↓ ↓H␈ε"Algorithm␈α
A␈↓ β∂␈ε".␈α∀In␈α
order␈α∞to␈α
mak␈α␈e␈α∞such␈α
a␈α
program␈α∞fairly␈α
t␈α␈ypical␈α
of␈α∞a␈α
binary␈α
com-
␈βλE␈↓ ↓H␈ε"puter's␈α∂represen␈α␈tation␈α⊂of␈α⊂Algorithm␈α⊂B␈↓ ε(␈ε",␈↓ εC␈ε"let␈α⊂us␈α⊂assume␈α∂that␈↓ 	G␈ε"is␈α⊂extended␈α∂to
␈βλG␈↓ λ}␈ε5MIX
␈βλp␈↓ ↓H␈ε"include␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αoperators:
␈β	,␈↓ ↓H␈ε6∂␈↓ α*␈ε"(shi$␈αle$␈αAX␈αbinary).␈α~C␈↓ ¬A␈ε"=␈α
6;␈α→F␈↓ εF␈ε"=␈α
6.
␈β	.␈↓ ↓f␈ε5SL␈α␈B
␈β	X␈↓ ↓H␈ε"The␈α∂con␈α␈ten␈α␈ts␈α∂of␈α∂registers␈α∂A␈α∂and␈α∂X␈α∂are␈α∂\shi$ed␈α∂le$"␈α∂M␈α∂binary␈α∂places;␈α⊂that␈α∂is,
␈β	⎇␈↓ β↓␈ε%M␈↓ ∧S␈ε%1␈α↓0
␈β
β␈↓ ↓H␈ε6j␈↓ ↓R␈ε"rAX␈↓ α∀␈ε6j␈α⊃␈ ␈α∩j␈↓ αo␈ε"2␈↓ β≤␈ε"rAX␈↓ β↑␈ε6j␈↓ βn␈ε"mod␈↓ ∧8␈ε(B␈↓ ∧r␈ε",␈α∩where␈↓ ¬z␈ε(B␈↓ ε&␈ε"is␈α⊃the␈α⊃byte␈α⊂size.␈α"(As␈α⊃with␈α⊂all␈↓ 
f␈ε"shi$
␈β
¬␈↓ 
≥␈ε5MIX
␈β
.␈↓ ↓H␈ε"commands,␈αthe␈αsigns␈αof␈αrA␈αand␈αrX␈αare␈αn␈α↓ot␈αa{ected.)
␈β
j␈↓ ↓H␈ε6∂␈↓ α*␈ε"(shi$␈αrigh␈α␈t␈αAX␈αbinary).␈α~C␈↓ ¬X␈ε"=␈α
6;␈α→F␈↓ ε]␈ε"=␈α
7.
␈β
l␈↓ ↓f␈ε5SR␈α␈B
␈β∃␈↓ ↓H␈ε"The␈α
con␈α␈ten␈α␈ts␈α∞of␈α
registers␈α
A␈α∞and␈α
X␈α∞are␈α
\shi$ed␈α∞righ␈α␈t"␈α
M␈α
binary␈α∞places;␈α∞that␈α
is,
␈β:␈↓ β↑␈ε%M
␈βA␈↓ ↓H␈ε6j␈↓ ↓R␈ε"rAX␈↓ α∀␈ε6j␈α
␈ ␈α
bj␈↓ αn␈ε"rAX␈↓ β0␈ε6j␈ε"/␈↓ βL␈ε"2␈↓ βx␈ε6c␈ε".
␈β⎇␈↓ ↓H␈ε6∂␈↓ βα␈ε"(jump␈αA␈αev␈α␈en,␈αjump␈αA␈αodd).␈α→C␈↓ ε␈␈ε"=␈α
40;␈α→F␈↓ λ⊗␈ε"=␈α
6,␈α7,␈αrespectiv␈α␈ely.
␈β␈␈↓ ↓f␈ε5JA␈α␈E,␈↓ α=␈ε5JAO
␈β(␈↓ ↓H␈ε"A␈↓ α2␈ε"occurs␈αif␈αrA␈αis␈αev␈α␈en␈αor␈αodd,␈αrespectiv␈α␈ely.
␈β*␈↓ ↓n␈ε5JM␈α␈P
␈βd␈↓ ↓H␈ε6∂␈↓ βα␈ε"(jump␈αX␈αev␈α␈en,␈αjump␈αX␈αodd).␈α→C␈↓ ε␈␈ε"=␈α
47;␈α→F␈↓ λ⊗␈ε"=␈α
6,␈α7,␈αrespectiv␈α␈ely.
␈βf␈↓ ↓f␈ε5JX␈α␈E,␈↓ α=␈ε5JXO
␈β
∂␈↓ ↓H␈ε"Analogous␈αto␈↓ βZ␈ε",␈↓ ∧)␈ε".
␈β
⊃␈↓ β"␈ε5JA␈α␈E␈↓ βp␈ε5JAO
␈β
K␈↓ ↓H␈ε2Program␈α∞B␈ε"␈α∂(␈ε/Binary␈α∂gcd␈α∂algorithm␈ε")␈ε2.␈ε"␈α≡Assume␈α∂that␈ε(␈α∂u␈ε"␈α∞and␈↓ λ↑␈ε(v␈↓ 	␈ε"are␈α∞single-precision
␈β
w␈↓ ↓H␈ε"positiv␈α␈e␈α⊃in␈α␈tegers,␈α∪stored␈α⊃respectiv␈α␈ely␈α⊃in␈α∩locations␈↓ λ∂␈ε"and␈↓ λn␈ε";␈α∀this␈α⊃program␈α⊃uses
␈β
y␈↓ πk␈ε5U␈↓ λ[␈ε5V
␈β∞"␈↓ ↓H␈ε"Algorithm␈αB␈αto␈αput␈↓ ∧ε␈ε"gcd␈↓ ∧<␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ ∧l␈ε(v␈↓ ∧␈␈ε")␈αin␈α␈to␈αrA.␈αRegister␈αassignmen␈α␈ts:␈ε(␈αt␈ε6␈α⊃␈↓ 	C␈ε"rA␈↓ 	k␈ε",␈↓ 
↓␈ε(k␈↓ 
∨␈ε6⊃␈↓ 
M␈ε"rI␈↓ 
g␈ε"1.
␈β∞\␈↓ α"␈ε)0␈α␈1␈↓ αd␈ε5ABS␈↓ β0␈ε5EQU␈↓ ∧∞␈ε51:5
␈β∂∧␈↓ α"␈ε)0␈α␈2␈↓ αd␈ε5B1␈↓ β0␈ε5ENT1␈↓ ∧∞␈ε50␈↓ ¬↑␈ε#1␈↓ ε[␈ε0B1.␈α∂Find␈↓ πj␈ε0p␈↓ π|␈ε0o␈α␈w␈α␈er␈αo␈α␈f␈α2␈α␈.
␈β∂#␈↓ ε[␈∧∂#ε[α↓∂␈↓ πq␈∧∂#πqα↓~
␈β∂,␈↓ α"␈ε)0␈α␈3␈↓ β0␈ε5LDX␈↓ ∧∞␈ε5U␈↓ ¬↑␈ε#1␈↓ ε[␈ε#rX␈↓ π	␈ε7␈ ␈ε)␈α
u␈ε#.
␈β∂S␈↓ α"␈ε)0␈α␈4␈↓ β0␈ε5LDAN␈↓ ∧∞␈ε5V␈↓ ¬↑␈ε#1␈↓ ε[␈ε#rA␈↓ π	␈ε7␈ ␈α
␈␈↓ πU␈ε)v␈↓ πg␈ε#.
␈β∂{␈↓ α"␈ε)0␈α␈5␈↓ β0␈ε5JMP␈↓ ∧∞␈ε51F␈↓ ¬↑␈ε#1
␈β⊂"␈↓ α"␈ε)0␈α␈6␈↓ αd␈ε52H␈↓ β0␈ε5SRB␈↓ ∧∞␈ε51␈↓ ¬Z␈ε)A␈↓ ε[␈ε#Halv␈α␈e␈αrA,␈αrX.
␈β⊂J␈↓ α"␈ε)0␈α␈7␈↓ β0␈ε5INC1␈↓ ∧∞␈ε51␈↓ ¬Z␈ε)A␈↓ ε[␈ε)k␈↓ εw␈ε7␈ ␈↓ π!␈ε)k␈↓ π;␈ε#+␈αλ1.
␈β⊂r␈↓ α"␈ε)0␈α␈8␈↓ β0␈ε5STX␈↓ ∧∞␈ε5U␈↓ ¬Z␈ε)A␈↓ ε[␈ε)u␈ε7␈α
␈ ␈ε)␈α	u␈ε#␈α↓/␈α␈2.
␈β⊃→␈↓ α"␈ε)0␈α␈9␈↓ β0␈ε5STA␈↓ ∧∞␈ε5V(ABS)␈↓ ¬Z␈ε)A␈↓ ε[␈ε)v␈↓ εv␈ε7␈ ␈↓ π!␈ε)v␈↓ π2␈ε#/2.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.2␈↓ 
v␈ε"323
␈β↓Z␈↓ ¬V␈ε.THE␈α
GR␈α␈EA␈α}TES␈α␈T␈αC␈α␈OMMON␈α
DI␈α␈VIS␈α␈OR
␈βα&␈↓ α"␈ε)1␈α␈0␈↓ αd␈ε51H␈↓ β0␈ε5JXO␈↓ ∧∞␈ε5B4␈↓ ¬:␈ε#1␈απ+␈ε)␈αλA␈↓ ε[␈ε#T␈α⎇o␈αB4␈αwith␈ε)␈αt␈ε7␈α
␈ ␈α	␈␈↓ λl␈ε)v␈↓ 	λ␈ε#i␈α↓f␈ε)␈αu␈ε#␈αi␈α↓s␈αo␈α␈dd␈α␈.
␈βαN␈↓ α"␈ε)1␈α␈1␈↓ αd␈ε5B2␈↓ β0␈ε5JAE␈↓ ∧∞␈ε52B␈↓ ¬5␈ε)B␈↓ ¬V␈ε#+␈ε)␈αλA␈↓ ε[␈ε0B2.␈α∂Initialize.
␈βαm␈↓ ε[␈∧αmε[α↓F
␈βαu␈↓ α"␈ε)1␈α␈2␈↓ β0␈ε5LDA␈↓ ∧∞␈ε5U␈↓ ¬Z␈ε)B␈↓ ε[␈ε)t␈ε7␈α
␈ ␈ε)␈α	u␈ε#␈α↓.
␈ββ≥␈↓ α"␈ε)1␈α␈3␈↓ αd␈ε5B3␈↓ β0␈ε5SRB␈↓ ∧∞␈ε51␈↓ ¬X␈ε)D␈↓ ε[␈ε0B3.␈α∂Halv␈α␈e␈ε)␈αt␈ε0.
␈ββ<␈↓ ε[␈∧β<ε[α↓2
␈ββD␈↓ α"␈ε)1␈α␈4␈↓ αd␈ε5B4␈↓ β0␈ε5JAE␈↓ ∧∞␈ε5B3␈↓ ¬∪␈ε#1␈ε7␈απ␈␈↓ ¬S␈ε)B␈↓ ¬t␈ε#+␈↓ ε≥␈ε)D␈↓ ε[␈ε0B4.␈α∂Is␈ε)␈αt␈ε0␈αev␈α}en?
␈ββd␈↓ ε[␈∧βdε[α↓H
␈ββl␈↓ α"␈ε)1␈α␈5␈↓ αd␈ε5B5␈↓ β0␈ε5JAN␈↓ ∧∞␈ε51F␈↓ ¬Y␈ε)C␈↓ ε[␈ε0B5.␈α∂Rese␈α␈t␈↓ πw␈ε#m␈α␈a␈↓ λ#␈ε#x␈↓ λ6␈ε#(␈↓ λA␈ε)u␈↓ λT␈ε#,␈↓ λc␈ε)v␈↓ λu␈ε#)␈↓ 	␈ε0.
␈β∧␈↓ ε[␈∧∧ε[α↓←␈↓ λA␈∧∧λAα∀␈↓ λZ␈∧∧λZα≠␈↓ λ|␈∧∧λ|α
␈β∧∀␈↓ α"␈ε)1␈α␈6␈↓ β0␈ε5STA␈↓ ∧∞␈ε5U␈↓ ¬Y␈ε)E␈↓ ε[␈ε#If␈ε)␈αt␈ε#␈α
>␈α
0␈α␈,␈αse␈α␈t␈ε)␈αu␈ε7␈α	␈ ␈ε)␈α
t␈ε#.
␈β∧;␈↓ α"␈ε)1␈α␈7␈↓ β0␈ε5SUB␈↓ ∧∞␈ε5V␈↓ ¬Y␈ε)E␈↓ ε[␈ε)t␈ε7␈α
␈ ␈ε)␈α	u␈ε7␈αλ␈␈↓ π←␈ε)v␈↓ πq␈ε#.
␈β∧c␈↓ α"␈ε)1␈α␈8␈↓ β0␈ε5JMP␈↓ ∧∞␈ε52F␈↓ ¬Y␈ε)E
␈β¬
␈↓ α"␈ε)1␈α␈9␈↓ αd␈ε51H␈↓ β0␈ε5STA␈↓ ∧∞␈ε5V(ABS)␈↓ ¬4␈ε)C␈↓ ¬V␈ε7␈␈↓ ¬}␈ε)E␈↓ ε[␈ε#If␈ε)␈αt␈ε#␈α
<␈α
0␈α␈,␈αse␈α␈t␈↓ λ⊗␈ε)v␈↓ λ0␈ε7␈ ␈α
␈␈ε)t␈ε#␈α↓.
␈β¬2␈↓ α"␈ε)2␈α␈0␈↓ αd␈ε5B6␈↓ β0␈ε5ADD␈↓ ∧∞␈ε5U␈↓ ¬4␈ε)C␈↓ ¬V␈ε7␈␈↓ ¬}␈ε)E␈↓ ε[␈ε0B6.␈α∂Su␈α␈bt␈α␈ract.
␈β¬Q␈↓ ε[␈∧¬Qε[α↓F
␈β¬Z␈↓ α"␈ε)2␈α␈1␈↓ αd␈ε52H␈↓ β0␈ε5JANZ␈↓ ∧∞␈ε5B3␈↓ ¬Y␈ε)C␈↓ ε[␈ε#T␈α⎇o␈αB3␈αif␈ε)␈αt␈ε7␈α	≤␈ε#␈α
0␈α␈.
␈βε↓␈↓ α"␈ε)2␈α␈2␈↓ β0␈ε5LDA␈↓ ∧∞␈ε5U␈↓ ¬↑␈ε#1␈↓ ε[␈ε#rA␈↓ π	␈ε7␈ ␈ε)␈α
u␈ε#.
␈βε)␈↓ α"␈ε)2␈α␈3␈↓ β0␈ε5ENTX␈↓ ∧∞␈ε50␈↓ ¬↑␈ε#1␈↓ ε[␈ε#rX␈↓ π	␈ε7␈ ␈ε#␈α
0.
␈βεK␈↓ πE␈ε,k
␈βεP␈↓ α"␈ε)2␈α␈4␈↓ β0␈ε5SLB␈↓ ∧∞␈ε50,1␈↓ ¬↑␈ε#1␈↓ ε[␈ε#rA␈↓ π	␈ε7␈ ␈↓ π4␈ε#2␈↓ π[␈ε7↓␈↓ πk␈ε#rA␈↓ λ⊂␈ε#.
␈βεW␈↓ λ?␈∧εWλ?≠∂
␈βπ
␈↓ α␈ε"The␈αrunning␈αtime␈αof␈αthis␈αprogram␈αis
␈βπV␈↓ ∧;␈ε"9␈ε(A␈ε"␈αλ+␈αλ2␈↓ ¬-␈ε(B␈↓ ¬Q␈ε"+␈αλ6␈↓ ε∂␈ε(C␈↓ ε3␈ε"+␈αλ3␈↓ εq␈ε(D␈↓ π→␈ε"+␈↓ πE␈ε(E␈↓ πi␈ε"+␈αλ13
␈βλ!␈↓ ↓H␈ε"units,␈α∂where␈ε(␈α∞A␈ε"␈α∂=␈↓ βt␈ε(k␈↓ ∧λ␈ε",␈↓ ∧!␈ε(B␈↓ ∧K␈ε"=␈α∞1␈α∂if␈ε(␈α∞t␈ε6␈α∂␈ ␈ε(␈α∞u␈ε"␈α∂in␈α∞step␈α∂B2␈α∞(otherwise␈↓ 	⊗␈ε(B␈↓ 	@␈ε"=␈α∞0),␈↓ 
)␈ε(C␈↓ 
T␈ε"is␈α∞the
␈βλL␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
subtraction␈α∞steps,␈↓ ¬≠␈ε(D␈↓ ¬H␈ε"is␈α
the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α
halvings␈α
in␈α∞step␈α
B3,␈α∞and␈↓ 
k␈ε(E␈↓ ∀␈ε"is
␈βλw␈↓ ↓H␈ε"the␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
times␈ε(␈α	t␈ε"␈α>␈α
0␈α	in␈α
step␈α
B5.␈α∂Calculations␈α
discussed␈α	later␈α
in␈α
this␈α	section
␈β	≡␈↓ ¬/␈ε%1␈↓ ε7␈ε%1
␈β	#␈↓ ↓H␈ε"imply␈α
that␈α∞w␈α␈e␈α
ma␈α␈y␈α∞tak␈α␈e␈ε(␈α
A␈ε"␈α
=␈↓ ¬B␈ε",␈↓ ¬Z␈ε(B␈↓ εα␈ε"=␈↓ εJ␈ε",␈↓ εb␈ε(C␈↓ π
␈ε"=␈α
0.71␈ε(n␈ε6␈α	␈␈ε"␈α	0.5,␈↓ 	
␈ε(D␈↓ 	8␈ε"=␈α
1.41␈ε(n␈ε6␈αλ␈␈ε"␈α	2.7,
␈β	3␈↓ ¬/␈ε%3␈↓ ε7␈ε%3
␈β	7␈↓ ¬/␈∧	7¬/α⊂␈↓ ε7␈∧	7ε7α⊂
␈β	N␈↓ ↓H␈ε(E␈↓ ↓n␈ε"=␈α
0.35␈ε(n␈ε6␈α¬␈␈ε"␈αε0.4␈αas␈α
a␈α␈v␈α␈erage␈αv␈α⎇alues␈αfor␈αthese␈αquan␈α␈tities,␈αassuming␈αrandom␈α
inputs
␈β	s␈↓ ¬l␈ε+n
␈β	y␈↓ ↓H␈ε(u␈ε"␈αand␈↓ α0␈ε(v␈↓ αO␈ε"in␈α
the␈α
range␈α1␈ε6␈α∀␈ε(␈αu␈ε"␈α␈,␈↓ ¬␈ε(v␈↓ ¬*␈ε"<␈↓ ¬Z␈ε"2␈↓ ¬}␈ε".␈α∩The␈α
total␈α
running␈αtime␈α
is␈α
therefore␈αabout
␈β
$␈↓ ↓H␈ε"8.8␈ε(n␈ε"␈α	+␈α	5␈α∞cy␈α␈cles,␈α∂compared␈α∞to␈α∞about␈α∞11.1␈ε(n␈ε"␈α	+␈α
7␈α∞for␈α∞Program␈α∞A␈α∞under␈α∞the␈α∞same
␈β
O␈↓ ↓H␈ε"assumptions.␈α∪The␈α
w␈α␈orst␈α
possible␈α
running␈α
time␈α
for␈ε(␈α
u␈ε"␈α
and␈↓ λU␈ε(v␈↓ λu␈ε"in␈α
this␈α
range␈α
occurs
␈β
{␈↓ ↓H␈ε"when␈ε(␈α
A␈ε"␈α
=␈α∞0,␈↓ β*␈ε(B␈↓ βR␈ε"=␈α
0,␈↓ ∧.␈ε(C␈↓ ∧W␈ε"=␈ε(␈α
n␈ε",␈↓ ¬6␈ε(D␈↓ ¬b␈ε"=␈α
2␈ε(n␈ε6␈α	␈␈ε"␈α
2,␈↓ π≤␈ε(E␈↓ πE␈ε"=␈α
1;␈α∂this␈α∞am␈α↓oun␈α␈ts␈α
to␈α∞12␈ε(n␈ε"␈α	+␈α	8
␈β&␈↓ ↓H␈ε"cy␈α␈cles.␈α→(The␈αcorresponding␈αv␈α⎇alue␈αfor␈αProgram␈αA␈αis␈α26.8␈ε(n␈ε"␈αλ+␈αλ19.)
␈βQ␈↓ α␈ε"Th␈α␈us␈αthe␈αgreater␈αspeed␈αof␈α
the␈αiterations␈αin␈αProgram␈αB,␈αdue␈αto␈αthe␈α
simplicit␈α␈y
␈β|␈↓ ↓H␈ε"of␈α
the␈α	operations,␈αcompensates␈α
for␈α
the␈α
greater␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
iterations␈α
required.␈α∂We
␈β'␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈α∞found␈α∂that␈α∞the␈α∂binary␈α∞algorithm␈α∂is␈α∞about␈α∂20␈α∞percen␈α␈t␈α∞faster␈α∂than␈↓ 
0␈ε"Euclid's
␈βS␈↓ ↓H␈ε"algorithm␈α∂on␈α∂the␈↓ ∧-␈ε"computer.␈α→Of␈α⊂course,␈α⊂the␈α∂situation␈α∂ma␈α␈y␈α∂be␈α∂di{eren␈α␈t␈α∂on
␈βU␈↓ βe␈ε5MIX
␈β}␈↓ ↓H␈ε"other␈α
computers,␈α
and␈α
in␈α
an␈α␈y␈α
ev␈α␈en␈α␈t␈αboth␈α
programs␈α
are␈α
quite␈α
e}cien␈α␈t;␈α∞but␈α
it␈αap-
␈β
)␈↓ ↓H␈ε"pears␈α	that␈α	n␈α↓ot␈α
ev␈α␈en␈α	a␈α	procedure␈α
as␈α	v␈α␈enerable␈α	as␈α	Euclid's␈α
algorithm␈α	can␈α	withstand
␈β
T␈↓ ↓H␈ε"progress.
␈β
␈␈↓ α␈ε"V.␈αC.␈↓ αi␈ε"Harris␈α[␈ε/Fibonacci␈α
Quarterly␈ε2␈α8␈ε"␈α
(1970),␈α102↑103]␈αhas␈α
suggested␈αan␈α
in␈α␈ter-
␈β∞+␈↓ ↓H␈ε"esting␈α
cross␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α
Euclid's␈αalgorithm␈α
and␈αthe␈αbinary␈α
algorithm.␈α⊂If␈ε(␈α
u␈ε"␈α
and␈↓ 
←␈ε(v␈↓ 
|␈ε"are
␈β∞V␈↓ ↓H␈ε"odd,␈αwith␈ε(␈αu␈ε6␈α∃␈↓ β8␈ε(v␈↓ βV␈ε">␈α
0,␈α
w␈α␈e␈αcan␈αalw␈α␈a␈α␈ys␈α
write␈ε(␈αu␈ε"␈α
=␈↓ πB␈ε(q␈↓ πU␈ε(v␈↓ πp␈ε6ε␈↓ λ≤␈ε(r␈↓ λ9␈ε"where␈α
0␈ε6␈α
∀␈↓ 	m␈ε(r␈↓ 
λ␈ε"<␈↓ 
6␈ε(v␈↓ 
V␈ε"and␈↓ ≤␈ε(r
␈β∂↓␈↓ ↓H␈ε"is␈αev␈α␈en;␈αif␈↓ αg␈ε(r␈↓ βα␈ε6≤␈ε"␈α
0␈αw␈α␈e␈αset␈↓ ∧8␈ε(r␈↓ ∧R␈ε6␈ ␈↓ ¬␈ε(r␈↓ ¬⊃␈ε"/2␈αun␈α␈til␈↓ ε∀␈ε(r␈↓ ε0␈ε"is␈αodd,␈αthen␈αset␈ε(␈αu␈ε6␈α
␈ ␈↓ λw␈ε(v␈↓ 	
␈ε",␈↓ 	∨␈ε(v␈↓ 	<␈ε6␈ ␈↓ 	j␈ε(r␈↓ 
¬␈ε"and␈αrepeat
␈β∂,␈↓ ↓H␈ε"the␈αprocess.␈α⊂In␈αsubsequen␈α␈t␈αiterations,␈↓ ε≥␈ε(q␈↓ ε:␈ε6∃␈ε"␈α
3.
␈β∂h␈↓ ↓H␈ε2Extensions.␈ε"␈α→We␈αcan␈α
extend␈αthe␈αmeth␈α↓ods␈αused␈α
to␈αcalculate␈↓ λr␈ε"gcd␈↓ 	(␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ 	Y␈ε(v␈↓ 	l␈ε")␈αin␈αorder␈αto
␈β⊂∪␈↓ ↓H␈ε"solv␈α␈e␈αsome␈α
sligh␈α␈tly␈α
m␈α↓ore␈α
di}cult␈αproblems.␈α∪F␈α⎇or␈αexample,␈α
assume␈α
that␈α
w␈α␈e␈αw␈α␈an␈α␈t
␈β⊂?␈↓ ↓H␈ε"to␈αcompute␈αthe␈αgreatest␈αcomm␈α↓on␈αdivisor␈αof␈ε(␈αn␈ε"␈αin␈α␈tegers␈↓ λ"␈ε(u␈↓ λF␈ε",␈↓ λ\␈ε(u␈↓ 	␈ε",␈↓ 	⊗␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	F␈ε",␈↓ 	\␈ε(u␈↓ 
∧␈ε".
␈β⊂K␈↓ λ7␈ε%1␈↓ λq␈ε%2␈↓ 	q␈ε+n
␈β⊂j␈↓ α␈ε"One␈αw␈α␈a␈α␈y␈αto␈αcalculate␈↓ ∧c␈ε"gcd␈↓ ¬→␈ε"(␈↓ ¬%␈ε(u␈↓ ¬I␈ε",␈↓ ¬Y␈ε(u␈↓ ¬⎇␈ε",␈↓ ε
␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε=␈ε",␈↓ εM␈ε(u␈↓ εt␈ε"),␈αassuming␈α
that␈αthe␈ε(␈αu␈ε"␈α␈'s␈αare␈αall␈αn␈α↓on-
␈β⊂v␈↓ ¬:␈ε%1␈↓ ¬n␈ε%2␈↓ εb␈ε+n
␈β⊃∃␈↓ ↓H␈ε"negativ␈α␈e,␈αis␈αto␈αextend␈αEuclid's␈αalgorithm␈αin␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αw␈α␈a␈α␈y:␈αIf␈αall␈↓ 	w␈ε(u␈↓ 
'␈ε"are␈αzero,
␈β⊃!␈↓ 
␈ε+j
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"324␈↓ 
b␈ε"4.5.2
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα!␈↓ ↓H␈ε"the␈α⊂greatest␈α⊃comm␈α↓on␈α⊃divisor␈α⊃is␈α⊂tak␈α␈en␈α⊃to␈α⊃be␈α⊃zero;␈α∪otherwise␈α⊂if␈α⊃only␈α⊃one␈↓ 
`␈ε(u␈↓ ∀␈ε"is
␈βα-␈↓ 
t␈ε+j
␈βαL␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓onzero,␈α∂it␈α∞is␈α∂the␈α∂greatest␈α∞comm␈α↓on␈α∂divisor;␈α⊂otherwise␈α∞replace␈↓ 	*␈ε(u␈↓ 	↑␈ε"by␈↓ 
∪␈ε(u␈↓ 
>␈ε"mod␈↓ λ␈ε(u
␈βαY␈↓ 	>␈ε+k␈↓ 
(␈ε+k␈↓ ≥␈ε+j
␈βαw␈↓ ↓H␈ε"for␈αall␈↓ α2␈ε(k␈↓ αP␈ε6≤␈↓ α}␈ε(j␈↓ β⊃␈ε",␈αwhere␈↓ ∧∂␈ε(u␈↓ ∧?␈ε"is␈αthe␈αminim␈α␈um␈αof␈αthe␈αn␈α↓onzero␈ε(␈αu␈ε"'s.
␈ββ∧␈↓ ∧$␈ε+j
␈ββ#␈↓ α␈ε"The␈αalgorithm␈αsk␈α␈etched␈αin␈α
the␈αpreceding␈αparagraph␈αis␈αa␈αnatural␈αgeneraliza-
␈ββN␈↓ ↓H␈ε"tion␈α
of␈α
Euclid's␈α
meth␈α↓od,␈α
and␈α
it␈α
can␈α∞be␈α
justi|ed␈α
in␈α
a␈α
similar␈α
manner.␈α∪But␈α
there
␈ββy␈↓ ↓H␈ε"is␈αa␈αsimpler␈αmeth␈α↓od␈αa␈α␈v␈α⎇ailable,␈αbased␈αon␈αthe␈αeasily␈αv␈α␈eri|ed␈αiden␈α␈tit␈α␈y
␈β∧≤␈↓ ε↑␈ε↓␈␈↓ 		␈ε↓↓
␈β∧:␈↓ βS␈ε"gcd␈↓ ∧	␈ε"(␈↓ ∧∃␈ε(u␈↓ ∧9␈ε",␈↓ ∧I␈ε(u␈↓ ∧m␈ε",␈↓ ∧⎇␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬-␈ε",␈↓ ¬=␈ε(u␈↓ ¬d␈ε")␈α
=␈↓ ε(␈ε"gcd␈↓ εl␈ε(u␈↓ π⊂␈ε",␈↓ π ␈ε"gcd␈↓ πV␈ε"(␈↓ πb␈ε(u␈↓ λε␈ε",␈↓ λ⊗␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λF␈ε",␈↓ λV␈ε(u␈↓ λ⎇␈ε")␈↓ 	↔␈ε".␈↓ 
p␈ε"(14)
␈β∧G␈↓ ∧*␈ε%1␈↓ ∧]␈ε%2␈↓ ¬Q␈ε+n␈↓ π↓␈ε%1␈↓ πw␈ε%2␈↓ λk␈ε+n
␈β∧|␈↓ ↓H␈ε"T␈α⎇o␈αcalculate␈↓ β∪␈ε"gcd␈↓ βI␈ε"(␈↓ βU␈ε(u␈↓ βy␈ε",␈↓ ∧	␈ε(u␈↓ ∧-␈ε",␈↓ ∧=␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧m␈ε",␈↓ ∧⎇␈ε(u␈↓ ¬$␈ε"),␈αw␈α␈e␈αma␈α␈y␈αtherefore␈αproceed␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈β¬λ␈↓ βi␈ε%1␈↓ ∧≥␈ε%2␈↓ ¬⊃␈ε+n
␈β¬-␈↓ ↓J␈ε2C1.␈↓ α␈ε"Set␈ε(␈αd␈ε6␈α
␈ ␈↓ β∃␈ε(u␈↓ β=␈ε",␈↓ βS␈ε(j␈↓ βp␈ε6␈ ␈ε(␈α
n␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ1.
␈β¬9␈↓ β*␈ε+n
␈β¬↑␈↓ ↓J␈ε2C2.␈↓ α␈ε"If␈ε(␈αd␈ε6␈α
≤␈ε"␈α
1␈αand␈↓ β↑␈ε(j␈↓ β{␈ε">␈α
0,␈αset␈ε(␈αd␈ε6␈α
␈ ␈↓ ¬T␈ε"gcd␈↓ ε
␈ε"(␈↓ ε⊗␈ε(u␈↓ ε:␈ε",␈ε(␈αεd␈ε")␈αand␈↓ π;␈ε(j␈↓ πX␈ε6␈ ␈↓ λε␈ε(j␈↓ λ ␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈αand␈αrepeat␈αthis␈αstep.
␈β¬k␈↓ ε+␈ε+j
␈βε	␈↓ α␈ε"Otherwise␈ε(␈αd␈ε"␈α
=␈↓ ∧↓␈ε"gcd␈↓ ∧7␈ε"(␈↓ ∧C␈ε(u␈↓ ∧g␈ε",␈↓ ∧w␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬'␈ε",␈↓ ¬7␈ε(u␈↓ ¬←␈ε").
␈βε⊗␈↓ ∧X␈ε%1␈↓ ¬L␈ε+n
␈βε;␈↓ ↓H␈ε"This␈αmeth␈α↓od␈α
reduces␈α
the␈α
calculation␈αof␈↓ ε?␈ε"gcd␈↓ εu␈ε"(␈↓ π↓␈ε(u␈↓ π%␈ε",␈↓ π5␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ πe␈ε",␈↓ πu␈ε(u␈↓ λ≤␈ε")␈α
to␈α
repeated␈αcalculations
␈βεG␈↓ π⊗␈ε%1␈↓ λ
␈ε+n
␈βεf␈↓ ↓H␈ε"of␈α
the␈α∞greatest␈α
comm␈α↓on␈α∞divisor␈α
of␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α∞at␈α
a␈α∞time.␈α∀It␈α∞mak␈α␈es␈α
use␈α∞of␈α
the
␈βπ⊃␈↓ ↓H␈ε"fact␈α∞that␈↓ αb␈ε"gcd␈↓ β_␈ε"(␈↓ β$␈ε(u␈↓ βH␈ε",␈↓ βX␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧λ␈ε",␈↓ ∧_␈ε(u␈↓ ∧<␈ε",␈αε1)␈α∞=␈α
1;␈α∂and␈α∂this␈α∞will␈α∞be␈α∞helpful,␈α∂since␈α∞w␈α␈e␈α∞will␈α∞already
␈βπ≥␈↓ β9␈ε%1␈↓ ∧-␈ε+j
␈βπ<␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈↓ α≠␈ε"gcd␈↓ αQ␈ε"(␈↓ α]␈ε(u␈↓ β2␈ε",␈↓ βB␈ε(u␈↓ βi␈ε")␈α=␈α1␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
60␈αpercen␈α␈t␈α
of␈α
the␈α
time␈αif␈↓ λ+␈ε(u␈↓ 	␈ε"and␈↓ 	S␈ε(u␈↓ 
π␈ε"are␈αch␈α↓osen
␈βπI␈↓ αr␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ βV␈ε+n␈↓ λ@␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ 	g␈ε+n
␈βπg␈↓ ↓H␈ε"at␈α∞random.␈α∃In␈α∞m␈α↓ost␈α∞cases,␈α∂the␈α∞v␈α⎇alue␈α∞of␈ε(␈α∞d␈ε"␈α∞will␈α∞decrease␈α∞rapidly␈α∞during␈α∞the␈α
|rst
␈βλ∪␈↓ ↓H␈ε"few␈αstages␈αof␈αthe␈αcalculation,␈αand␈αthis␈αwill␈αmak␈α␈e␈αthe␈αremainder␈αof␈αthe␈αcomputa-
␈βλ>␈↓ ↓H␈ε"tion␈α
quite␈αfast.␈α∪Here␈α
Euclid's␈α
algorithm␈α
has␈α
an␈α
adv␈α⎇an␈α␈tage␈α
o␈α␈v␈α␈er␈αAlgorithm␈α
B␈↓ 
w␈ε",␈α
in
␈βλi␈↓ ↓H␈ε"that␈α
its␈αrunning␈α
time␈α
is␈α
primarily␈α
go␈α␈v␈α␈erned␈α
by␈α
the␈α
v␈α⎇alue␈α
of␈↓ λy␈ε"min␈↓ 	5␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ 	e␈ε(v␈↓ 	x␈ε"),␈α∞while␈αthe
␈β	∀␈↓ ↓H␈ε"running␈α∞time␈α∂for␈α∞Algorithm␈α∂B␈α∞is␈α∂primarily␈α∞go␈α␈v␈α␈erned␈α∞by␈↓ λI␈ε"ma␈↓ λy␈ε"x␈↓ 	
␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ 	>␈ε(v␈↓ 	Q␈ε");␈α∂it␈α∂w␈α␈ould␈α∞be
␈β	?␈↓ ↓H␈ε"reasonable␈α	to␈α
perform␈α
one␈α
iteration␈α	of␈α
Euclid's␈α
algorithm,␈α
replacing␈ε(␈α
u␈ε"␈α	by␈ε(␈α
u␈↓ 
P␈ε"mod␈↓ ~␈ε(v
␈β	k␈↓ ↓H␈ε"if␈ε(␈αu␈ε"␈αis␈αm␈α␈uch␈αlarger␈αthan␈↓ ∧I␈ε(v␈↓ ∧\␈ε",␈αand␈αthen␈αto␈αcon␈α␈tin␈α␈ue␈αwith␈αAlgorithm␈αB.
␈β
⊗␈↓ α␈ε"The␈α	assertion␈α
that␈↓ ∧2␈ε"gcd␈↓ ∧h␈ε"(␈↓ ∧t␈ε(u␈↓ ¬H␈ε",␈↓ ¬X␈ε(u␈↓ ¬␈␈ε")␈α
will␈α	be␈α	equal␈α	to␈α	unit␈α␈y␈α
m␈α↓ore␈α	than␈α	60␈α	percen␈α␈t
␈β
"␈↓ ¬	␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ ¬m␈ε+n
␈β
A␈↓ ↓H␈ε"of␈α	the␈α
time␈α	for␈α	random␈α
inputs␈α	is␈α
a␈α	consequence␈α
of␈α	the␈α
follo␈α␈wing␈α	w␈α␈ell-kn␈α↓o␈α␈wn␈α	result
␈β
l␈↓ ↓H␈ε"of␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αtheory:
␈β$␈↓ ↓H␈ε2Theorem␈αD␈ε"␈α(G.␈αLejeune␈αDirichlet,␈ε/␈αAbhandlungen␈αK␈↓ πz␈ε/∪␈↓ πz␈ε/o␈↓ λ␈ε/niglich␈αPreu≠.␈αAk␈α⎇ad.␈αWiss.
␈βO␈↓ ↓H␈ε"(1849),␈α
69↑83)␈ε2.␈ε/␈α≤If␈ε(␈α
u␈ε/␈α∞and␈↓ ∧Z␈ε(v␈↓ ∧z␈ε/are␈α∞in␈α␈tegers␈α
ch␈α↓osen␈α∞at␈α
random,␈α∞the␈α
probabilit␈α␈y␈α
that
␈βt␈↓ ∧↓␈ε%2
␈βz␈↓ ↓H␈ε"gcd␈↓ ↓}␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ α.␈ε(v␈↓ αA␈ε")␈α
=␈α
1␈ε/␈αis␈ε"␈α6/␈↓ βk␈ε(→␈↓ ∧~␈ε6→␈ε"␈α
.60793␈ε/.
␈β1␈↓ α␈ε"A␈α
precise␈α
form␈α␈ulation␈α
of␈α
this␈αtheorem,␈α
which␈α
carefully␈α
de|nes␈α
what␈α
is␈α
mean␈α␈t
␈β]␈↓ ↓H␈ε"by␈αbeing␈α\ch␈α↓osen␈αat␈αrandom,"␈αappears␈αin␈αexercise␈α10␈αwith␈αa␈αrigorous␈αpro␈α↓of.␈α∂Let
␈β
λ␈↓ ↓H␈ε"us␈α
con␈α␈ten␈α␈t␈αourselv␈α␈es␈α
here␈αwith␈α
a␈αheuristic␈α
argumen␈α␈t␈αthat␈α
sh␈α↓o␈α␈ws␈α
wh␈α␈y␈αthe␈α
theorem
␈β
3␈↓ ↓H␈ε"is␈αplausible.
␈β
↑␈↓ α␈ε"If␈αλw␈α␈e␈αλassume,␈α	with␈α↓out␈αλpro␈α↓of,␈α	the␈α	existence␈αλof␈αλa␈αλw␈α␈ell-de|ned␈αλprobabilit␈α␈y␈ε(␈αλp␈ε"␈αλthat
␈β∞	␈↓ ↓H␈ε"gcd␈↓ ↓}␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ α.␈ε(v␈↓ αA␈ε")␈αequals␈αunit␈α␈y,␈αthen␈αw␈α␈e␈αcan␈αdetermine␈αthe␈αprobabilit␈α␈y␈αthat␈↓ 	\␈ε"gcd␈↓ 
∩␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ 
B␈ε(v␈↓ 
U␈ε")␈α
=␈ε(␈α
d
␈β∞5␈↓ ↓H␈ε"for␈αan␈α␈y␈αpositiv␈α␈e␈αin␈α␈teger␈ε(␈αd␈ε";␈αfor␈αthe␈αlatter␈αev␈α␈en␈α␈t␈αwill␈αhappen␈αonly␈αwhen␈ε(␈αu␈ε"␈αis␈αa␈αm␈α␈ul-
␈β∞`␈↓ ↓H␈ε"tiple␈αof␈ε(␈αd␈ε",␈αand␈↓ β1␈ε(v␈↓ βO␈ε"is␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈ε(␈αd␈ε",␈αand␈↓ ε5␈ε"gcd␈↓ εk␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈/␈ε(d␈ε"␈α↓,␈↓ πA␈ε(v␈↓ πS␈ε"/␈ε(d␈ε"␈α↓)␈α
=␈α
1.␈α∂Th␈α␈us␈αthe␈αprobabilit␈α␈y
␈β∂¬␈↓ 	U␈ε%2
␈β∂␈↓ ↓H␈ε"that␈↓ α↔␈ε"gcd␈↓ αM␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ α⎇␈ε(v␈↓ β⊂␈ε")␈α=␈ε(␈αd␈ε"␈α
is␈α
equal␈α
to␈α
1/␈ε(d␈ε"␈α∞times␈α
1/␈ε(d␈ε"␈α
times␈ε(␈α
p␈ε",␈α∞namely␈ε(␈α
p␈ε"/␈↓ 	B␈ε(d␈↓ 	d␈ε".␈α∪No␈α␈w␈α
let␈α
us
␈β∂6␈↓ ↓H␈ε"sum␈αthese␈αprobabilities␈αo␈α␈v␈α␈er␈αall␈αpossible␈αv␈α⎇alues␈αof␈ε(␈αd␈ε";␈αw␈α␈e␈αsh␈α↓ould␈αget
␈β∂d␈↓ ∧/␈ε↓X
␈β∂n␈↓ εV␈ε"1␈↓ π$␈ε"1␈↓ π{␈ε"1
␈β∂}␈↓ ¬&␈ε%2
␈β⊂ε␈↓ β`␈ε"1␈α
=␈↓ ∧m␈ε(p␈ε"/␈↓ ¬∩␈ε(d␈↓ ¬?␈ε"=␈ε(␈α
p␈ε"(1␈αλ+␈↓ εt␈ε"+␈↓ πB␈ε"+␈↓ λ"␈ε"+␈↓ λN␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ}␈ε").
␈β⊂~␈↓ εV␈∧⊂~εVα∩␈↓ π$␈∧⊂~π$α∩␈↓ πr␈∧⊂~πrα$
␈β⊂ ␈↓ εV␈ε"4␈↓ π$␈ε"9␈↓ πr␈ε"16
␈β⊂7␈↓ ∧*␈ε+d␈ε9␈α↓∃␈ε%␈α␈1
␈β⊂e␈↓ ε≥␈ε%(␈α↓2)␈↓ λ⊗␈ε%2
␈β⊂f␈↓ ∧␈ε%1␈↓ ∧M␈ε%1
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"Since␈α
the␈α
sum␈α∞1␈α	+␈↓ ∧≤␈ε"+␈↓ ∧i␈ε"+␈↓ ¬⊗␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬L␈ε"=␈↓ ¬|␈ε(H␈↓ εN␈ε"is␈α∞equal␈α
to␈↓ λ↓␈ε(→␈↓ λ&␈ε"/6␈α
(cf.␈α
Section␈α∞1.2.7),␈α
w␈α␈e
␈β⊂|␈↓ ∧␈ε%4␈↓ ∧M␈ε%9␈↓ ε_␈ε91
␈β⊂␈␈↓ ∧␈∧⊂␈∧α⊂␈↓ ∧M␈∧⊂␈∧Mα⊂
␈β⊃⊂␈↓ β!␈ε%2
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"need␈ε(␈αp␈ε"␈α
=␈α
6/␈↓ β␈ε(→␈↓ β<␈ε"in␈αorder␈αto␈αmak␈α␈e␈αthis␈αequation␈αcome␈αout␈αrigh␈α␈t.
␈β⊃∨␈↓ 	?␈∧⊃∨	?≠∂
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.2␈↓ 
v␈ε"325
␈β↓Z␈↓ ¬V␈ε.THE␈α
GR␈α␈EA␈α}TES␈α␈T␈αC␈α␈OMMON␈α
DI␈α␈VIS␈α␈OR
␈βα$␈↓ α␈ε"Euclid's␈αalgorithm␈α
can␈αbe␈αextended␈αin␈α
an␈α↓other␈αimportan␈α␈t␈αw␈α␈a␈α␈y:␈α
We␈αcan␈αcal-
␈βαI␈↓ βK␈ε90␈↓ ∧8␈ε90
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"culate␈αin␈α␈tegers␈↓ β7␈ε(u␈↓ β←␈ε"and␈↓ ∧%␈ε(v␈↓ ∧L␈ε"such␈αthat
␈ββλ␈↓ ¬;␈ε90␈↓ ε≥␈ε90
␈ββ⊂␈↓ ¬∩␈ε(u␈↓ ¬&␈ε(u␈↓ ¬K␈ε"+␈↓ ¬w␈ε(v␈↓ ε
␈ε(v␈↓ ε/␈ε"=␈↓ ε]␈ε"gcd␈↓ π∪␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ πD␈ε(v␈↓ πV␈ε")␈↓ 
p␈ε"(15)
␈ββP␈↓ ↓H␈ε"at␈α
the␈α
same␈α
time␈↓ βc␈ε"gcd␈↓ ∧→␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ ∧I␈ε(v␈↓ ∧\␈ε")␈α
is␈α∞being␈α
calculated.␈α∀This␈α
extension␈α
of␈α
Euclid's␈α
algo-
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"rithm␈αcan␈αbe␈αdescribed␈αcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈tly␈αin␈αv␈α␈ector␈αn␈α↓otation:
␈β∧3␈↓ ↓H␈ε2Algorithm␈α	X␈ε"␈α	(␈↓ β ␈ε/Extended␈α	Euclid's␈α	algorithm␈ε")␈ε2.␈ε"␈α∂Giv␈α␈en␈α	n␈α↓onnegativ␈α␈e␈α	in␈α␈tegers␈ε(␈α
u␈ε"␈αλand␈↓ ⊂␈ε(v␈↓ "␈ε",
␈β∧↑␈↓ ↓H␈ε"this␈α⊂algorithm␈α⊂determines␈α⊃a␈α⊂v␈α␈ector␈α⊂(␈↓ ε∪␈ε(u␈↓ ε7␈ε",␈↓ εG␈ε(u␈↓ εk␈ε",␈↓ ε{␈ε(u␈↓ π∨␈ε")␈α⊂such␈α⊃that␈ε(␈α⊂u␈↓ λy␈ε(u␈↓ 	'␈ε"+␈↓ 	V␈ε(v␈↓ 	i␈ε(u␈↓ 
≡␈ε"=␈↓ 
S␈ε(u␈↓ λ␈ε"=
␈β∧j␈↓ ε(␈ε%1␈↓ ε\␈ε%2␈↓ π⊂␈ε%3␈↓ 	
␈ε%1␈↓ 	}␈ε%2␈↓ 
h␈ε%3
␈β¬	␈↓ ↓H␈ε"gcd␈↓ ↓}␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ α.␈ε(v␈↓ αA␈ε").␈α⊂The␈αcomputation␈αmak␈α␈es␈αuse␈αof␈αauxiliary␈αv␈α␈ectors␈α(␈↓ λq␈ε(v␈↓ 	∩␈ε",␈↓ 	"␈ε(v␈↓ 	C␈ε",␈↓ 	S␈ε(v␈↓ 	t␈ε"),␈α(␈↓ 
!␈ε(t␈↓ 
>␈ε",␈↓ 
N␈ε(t␈↓ 
j␈ε",␈↓ 
z␈ε(t␈↓ ⊗␈ε");
␈β¬∃␈↓ 	β␈ε%1␈↓ 	4␈ε%2␈↓ 	d␈ε%3␈↓ 
.␈ε%1␈↓ 
[␈ε%2␈↓ π␈ε%3
␈β¬4␈↓ ↓H␈ε"all␈αv␈α␈ectors␈αare␈αmanipulated␈αin␈αsuch␈αa␈αw␈α␈a␈α␈y␈αthat␈αthe␈αrelations
␈β¬u␈↓ αs␈ε(u␈↓ βλ␈ε(t␈↓ β,␈ε"+␈↓ βX␈ε(v␈↓ βk␈ε(t␈↓ ∧⊃␈ε"=␈↓ ∧?␈ε(t␈↓ ∧\␈ε",␈ε(␈↓ ¬4u␈↓ ¬I␈ε(u␈↓ ¬u␈ε"+␈↓ ε!␈ε(v␈↓ ε4␈ε(u␈↓ εa␈ε"=␈↓ π∂␈ε(u␈↓ π3␈ε",␈ε(␈↓ λu␈↓ λ ␈ε(v␈↓ λI␈ε"+␈↓ λu␈ε(v␈↓ 	λ␈ε(v␈↓ 	2␈ε"=␈↓ 	`␈ε(v␈↓ 
p␈ε"(16)
␈βε↓␈↓ β∃␈ε%1␈↓ βx␈ε%2␈↓ ∧M␈ε%3␈↓ ¬]␈ε%1␈↓ εH␈ε%2␈↓ π$␈ε%3␈↓ λ2␈ε%1␈↓ 	→␈ε%2␈↓ 	r␈ε%3
␈βε5␈↓ ↓H␈ε"h␈α↓old␈αthrough␈α↓out␈αthe␈αcalculation.
␈βεg␈↓ ↓J␈ε2X1.␈↓ α␈ε"[Initialize.]␈α→Set␈α(␈↓ ∧∃␈ε(u␈↓ ∧9␈ε",␈↓ ∧I␈ε(u␈↓ ∧m␈ε",␈↓ ∧⎇␈ε(u␈↓ ¬!␈ε")␈ε6␈α
␈ ␈ε"␈α
(1,␈αε0,␈ε(␈αεu␈ε"),␈α(␈↓ εx␈ε(v␈↓ π→␈ε",␈↓ π)␈ε(v␈↓ πI␈ε",␈↓ πY␈ε(v␈↓ πz␈ε")␈ε6␈α
␈ ␈ε"␈α
(0,␈αε1,␈↓ 	∞␈ε(v␈↓ 	!␈ε").
␈βεs␈↓ ∧*␈ε%1␈↓ ∧↑␈ε%2␈↓ ¬∩␈ε%3␈↓ π	␈ε%1␈↓ π:␈ε%2␈↓ πk␈ε%3
␈βπ_␈↓ ↓J␈ε2X2.␈↓ α␈ε"[Is␈↓ α<␈ε(v␈↓ αg␈ε"=␈α
0?]␈α→If␈↓ β|␈ε(v␈↓ ∧'␈ε"=␈α
0,␈αthe␈αalgorithm␈αterminates.
␈βπ$␈↓ αN␈ε%3␈↓ ∧
␈ε%3
␈βπI␈↓ ↓J␈ε2X3.␈↓ α␈ε"[Divide,␈αsubtract.]␈α→Set␈↓ ¬␈ε(q␈↓ ¬≥␈ε6␈ ␈α
b␈↓ ¬Y␈ε(u␈↓ ¬⎇␈ε"/␈↓ ε∂␈ε(v␈↓ ε0␈ε6c␈ε",␈αand␈αthen␈αset
␈βπU␈↓ ¬n␈ε%3␈↓ ε!␈ε%3
␈βλε␈↓ ∧2␈ε"(␈↓ ∧>␈ε(t␈↓ ∧Z␈ε",␈↓ ∧j␈ε(t␈↓ ¬π␈ε",␈↓ ¬↔␈ε(t␈↓ ¬3␈ε")␈ε6␈α
␈ ␈ε"␈α
(␈↓ εβ␈ε(u␈↓ ε'␈ε",␈↓ ε7␈ε(u␈↓ ε[␈ε",␈↓ εk␈ε(u␈↓ π∂␈ε")␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ(␈↓ π[␈ε(v␈↓ π|␈ε",␈↓ λ␈ε(v␈↓ λ-␈ε",␈↓ λ=␈ε(v␈↓ λ]␈ε")␈↓ λi␈ε(q␈↓ λ|␈ε",
␈βλ∩␈↓ ∧K␈ε%1␈↓ ∧x␈ε%2␈↓ ¬$␈ε%3␈↓ ε_␈ε%1␈↓ εL␈ε%2␈↓ π␈ε%3␈↓ πm␈ε%1␈↓ λ≥␈ε%2␈↓ λN␈ε%3
␈βλ<␈↓ βA␈ε"(␈↓ βM␈ε(u␈↓ βp␈ε",␈↓ ∧␈ε(u␈↓ ∧$␈ε",␈↓ ∧4␈ε(u␈↓ ∧X␈ε")␈ε6␈α
␈ ␈ε"␈α
(␈↓ ¬(␈ε(v␈↓ ¬I␈ε",␈↓ ¬Y␈ε(v␈↓ ¬z␈ε",␈↓ ε
␈ε(v␈↓ ε*␈ε"),␈↓ π∞(␈↓ π~␈ε(v␈↓ π;␈ε",␈↓ πK␈ε(v␈↓ πl␈ε",␈↓ π|␈ε(v␈↓ λ≥␈ε")␈ε6␈α
␈ ␈ε"␈α
(␈↓ λm␈ε(t␈↓ 		␈ε",␈↓ 	→␈ε(t␈↓ 	5␈ε",␈↓ 	E␈ε(t␈↓ 	b␈ε").
␈βλH␈↓ βa␈ε%1␈↓ ∧∃␈ε%2␈↓ ∧I␈ε%3␈↓ ¬:␈ε%1␈↓ ¬k␈ε%2␈↓ ε≠␈ε%3␈↓ π,␈ε%1␈↓ π]␈ε%2␈↓ λ
␈ε%3␈↓ λz␈ε%1␈↓ 	&␈ε%2␈↓ 	S␈ε%3
␈βλv␈↓ α␈ε"Return␈αto␈αstep␈αX2.
␈βλ␈␈↓ ∧↑␈∧λ␈∧↑≠∂
␈β	.␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇or␈αexample,␈αlet␈ε(␈αu␈ε"␈α	=␈α
40902,␈↓ ¬⊃␈ε(v␈↓ ¬.␈ε"=␈α
24140.␈α⊂A␈α␈t␈αstep␈αX2␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β	g␈↓ α\␈ε(q␈↓ β[␈ε(u␈↓ ∧⎇␈ε(u␈↓ ε∧␈ε(u␈↓ πD␈ε(v␈↓ λf␈ε(v␈↓ 	l␈ε(v
␈β	s␈↓ βp␈ε%1␈↓ ¬∩␈ε%2␈↓ ε→␈ε%3␈↓ πV␈ε%1␈↓ λx␈ε%2␈↓ 	⎇␈ε%3
␈β
≥␈↓ αK␈ε"←␈↓ βm␈ε"1␈↓ ¬∂␈ε"0␈↓ ¬i␈ε"40902␈↓ πS␈ε"0␈↓ λu␈ε"1␈↓ 	O␈ε"24140
␈β
H␈↓ α]␈ε"1␈↓ βm␈ε"0␈↓ ¬∂␈ε"1␈↓ ¬i␈ε"24140␈↓ πS␈ε"1␈↓ λQ␈ε6␈␈ε"1␈↓ 	O␈ε"16762
␈β
s␈↓ α]␈ε"1␈↓ βm␈ε"1␈↓ ∧k␈ε6␈␈ε"1␈↓ ¬i␈ε"16762␈↓ π/␈ε6␈␈ε"1␈↓ λu␈ε"2␈↓ 	a␈ε"7378
␈β≡␈↓ α]␈ε"2␈↓ βI␈ε6␈␈ε"1␈↓ ¬∂␈ε"2␈↓ ¬{␈ε"7378␈↓ πS␈ε"3␈↓ λQ␈ε6␈␈ε"5␈↓ 	a␈ε"2006
␈βJ␈↓ α]␈ε"3␈↓ βm␈ε"3␈↓ ∧k␈ε6␈␈ε"5␈↓ ¬{␈ε"2006␈↓ π≥␈ε6␈␈ε"10␈↓ λc␈ε"17␈↓ 	a␈ε"1360
␈βu␈↓ α]␈ε"1␈↓ β7␈ε6␈␈ε"10␈↓ ∧⎇␈ε"17␈↓ ¬{␈ε"1360␈↓ πA␈ε"13␈↓ λ?␈ε6␈␈ε"22␈↓ 	s␈ε"646
␈β ␈↓ α]␈ε"2␈↓ β[␈ε"13␈↓ ∧Y␈ε6␈␈ε"22␈↓ ε
␈ε"646␈↓ π≥␈ε6␈␈ε"36␈↓ λc␈ε"61␈↓ 
¬␈ε"68
␈βK␈↓ α]␈ε"9␈↓ β7␈ε6␈␈ε"36␈↓ ∧⎇␈ε"61␈↓ ε∨␈ε"68␈↓ π/␈ε"337␈↓ λ-␈ε6␈␈ε"571␈↓ 
¬␈ε"34
␈βv␈↓ α]␈ε"2␈↓ βI␈ε"337␈↓ ∧G␈ε6␈␈ε"571␈↓ ε∨␈ε"34␈↓ π␈ε6␈␈ε"710␈↓ λ?␈ε"1203␈↓ 
↔␈ε"0
␈β
7␈↓ ↓H␈ε"The␈αsolution␈αis␈αtherefore␈α337␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ40902␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ571␈ε6␈αλ↓␈ε"␈αλ24140␈α
=␈α
34␈α
=␈↓ λr␈ε"gcd␈↓ 	(␈ε"(40902,␈αε24140).
␈β
h␈↓ α␈ε"The␈α∂v␈α⎇alidit␈α␈y␈α∞of␈α∂Algorithm␈α∞X␈α∂follo␈α␈ws␈α∞from␈α∂(16)␈α∂and␈α∞the␈α∂fact␈α∞that␈α∂the␈α∞algo-
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"rithm␈αis␈αiden␈α␈tical␈αto␈αAlgorithm␈αA␈αwith␈αrespect␈αto␈αits␈αmanipulation␈αof␈↓ 
␈ε(u␈↓ 
<␈ε"and␈↓ α␈ε(v␈↓ "␈ε";
␈β∞ ␈↓ 
!␈ε%3␈↓ ∪␈ε%3
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε"a␈α
detailed␈αpro␈α↓of␈α
of␈α
Algorithm␈αX␈α
is␈αdiscussed␈α
in␈αSection␈α
1.2.1.␈α⊂Gordon␈α
H.␈↓ 
3␈ε"Bradley
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε"has␈α∞observ␈α␈ed␈α∞that␈α∞w␈α␈e␈α∞can␈α∞a␈α␈v␈α␈oid␈α∞a␈α∂go␈α↓od␈α∞deal␈α∞of␈α∞the␈α∞calculation␈α∞in␈α∞Algorithm␈α∞X
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"by␈α
suppressing␈↓ β>␈ε(u␈↓ βb␈ε",␈↓ βz␈ε(v␈↓ ∧≠␈ε",␈α∞and␈↓ ∧{␈ε(t␈↓ ¬↔␈ε";␈α∂then␈↓ εβ␈ε(u␈↓ ε5␈ε"can␈α∞be␈α
determined␈α∞a$erw␈α␈ards␈α∞using␈α
the
␈β∂!␈↓ βS␈ε%2␈↓ ∧␈ε%2␈↓ ¬λ␈ε%2␈↓ ε_␈ε%2
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"relation␈ε(␈αu␈↓ α`␈ε(u␈↓ β␈ε"+␈↓ β8␈ε(v␈↓ βK␈ε(u␈↓ βy␈ε"=␈↓ ∧'␈ε(u␈↓ ∧K␈ε".
␈β∂L␈↓ αu␈ε%1␈↓ β`␈ε%2␈↓ ∧<␈ε%3
␈β∂k␈↓ α␈ε"Exercise␈α⊂14␈α⊂sh␈α↓o␈α␈ws␈α⊃that␈α⊂the␈α⊂v␈α⎇alues␈α⊂of␈ε6␈α⊂j␈↓ εy␈ε(u␈↓ π≥␈ε6j␈ε",␈ε6␈α⊃j␈↓ πL␈ε(u␈↓ πp␈ε6j␈ε",␈ε6␈α∩j␈↓ λ ␈ε(v␈↓ λ@␈ε6j␈ε",␈ε6␈α⊃j␈↓ λo␈ε(v␈↓ 	⊂␈ε6j␈ε"␈α⊂remain␈α⊂bounded
␈β∂x␈↓ π∞␈ε%1␈↓ πa␈ε%2␈↓ λ1␈ε%1␈↓ 	↓␈ε%2
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"by␈α∞the␈α∂size␈α∞of␈α∂the␈α∂inputs␈ε(␈α∞u␈ε"␈α∂and␈↓ ¬N␈ε(v␈↓ ¬a␈ε".␈α_Algorithm␈α∞B␈↓ πI␈ε",␈α⊂which␈α∞computes␈α∂the␈α∞greatest
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"comm␈α↓on␈α	divisor␈α
using␈α
properties␈α	of␈α
binary␈α
n␈α↓otation,␈α
can␈α
be␈α	extended␈α
in␈α
a␈α	similar
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈a␈α␈y;␈α
see␈αexercise␈α
35.␈α∩F␈α⎇or␈αsome␈α
instructiv␈α␈e␈αextensions␈α
to␈α
Algorithm␈αX␈↓ 

␈ε",␈α
see␈αexer-
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"cises␈α18␈αand␈α19␈αin␈αSection␈α4.6.1.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"326␈↓ 
b␈ε"4.5.2
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα$␈↓ α␈ε"The␈α
ideas␈α	underlying␈α
Euclid's␈α
algorithm␈α	can␈α
also␈α	be␈α
applied␈α
to␈α	|nd␈α
a␈ε/␈α	general
␈βαO␈↓ ↓H␈ε/solution␈α
in␈α∞in␈α␈tegers␈ε"␈α∞of␈α∞an␈α␈y␈α
set␈α∞of␈↓ ¬[␈ε"linear␈α∞equations␈α∞with␈α
in␈α␈teger␈α∞coe}cien␈α␈ts.␈α∃F␈α⎇or
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"example,␈α
suppose␈αthat␈α
w␈α␈e␈αw␈α␈an␈α␈t␈α
to␈α|nd␈α
all␈αin␈α␈tegers␈↓ π↑␈ε(w␈↓ πy␈ε",␈ε(␈αx␈ε",␈↓ λ7␈ε(y␈↓ λJ␈ε",␈↓ λ←␈ε(z␈↓ λ|␈ε"that␈α
satisfy␈αthe␈α
t␈α␈w␈α␈o
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"equations
␈ββN␈↓ ∧M␈ε"10␈↓ ∧q␈ε(w␈↓ ¬∀␈ε"+␈αλ3␈ε(x␈↓ ¬n␈ε"+␈αλ3␈↓ ε,␈ε(y␈↓ εG␈ε"+␈αλ8␈↓ π¬␈ε(z␈↓ π!␈ε"=␈α
1,␈↓ 
p␈ε"(17)
␈β∧π␈↓ ∧←␈ε"6␈↓ ∧q␈ε(w␈↓ ¬∀␈ε6␈␈ε"␈αλ7␈ε(x␈↓ εG␈ε6␈␈ε"␈αλ5␈↓ π¬␈ε(z␈↓ π!␈ε"=␈α
2.␈↓ 
p␈ε"(18)
␈β∧U␈↓ ↓H␈ε"We␈αcan␈αin␈α␈troduce␈αa␈αnew␈αv␈α⎇ariable
␈β¬#␈↓ α?␈ε6b␈ε"10/3␈ε6c␈↓ β#␈ε(w␈↓ βF␈ε"+␈ε6␈αλb␈ε"3/3␈ε6c␈ε(x␈ε"␈αλ+␈ε6␈αλb␈ε"3/3␈ε6c␈↓ ¬↑␈ε(y␈↓ ¬y␈ε"+␈ε6␈αλb␈ε"8/3␈ε6c␈↓ εw␈ε(z␈↓ π∀␈ε"=␈α
3␈↓ πT␈ε(w␈↓ πw␈ε"+␈ε(␈αλx␈ε"␈αλ+␈↓ λk␈ε(y␈↓ 	ε␈ε"+␈αλ2␈↓ 	D␈ε(z␈↓ 	`␈ε"=␈↓ 
∞␈ε(t␈↓ 
+␈ε",
␈β¬0␈↓ 
≤␈ε%1
␈β¬q␈↓ ↓H␈ε"and␈αuse␈αit␈αto␈αeliminate␈↓ ∧8␈ε(y␈↓ ∧K␈ε";␈αEq.␈α(17)␈αbecomes
␈βε?␈↓ ↓l␈ε"(10␈↓ α"␈ε"mod␈↓ αl␈ε"3)␈↓ β
␈ε(w␈↓ β-␈ε"+␈αλ(3␈↓ β⎇␈ε"mod␈↓ ∧G␈ε"3)␈ε(x␈ε"␈αλ+␈αλ3␈↓ ¬?␈ε(t␈↓ ¬c␈ε"+␈αλ(8␈↓ ε3␈ε"mod␈↓ ε⎇␈ε"3)␈↓ π≠␈ε(z␈↓ π8␈ε"=␈↓ πf␈ε(w␈↓ λ	␈ε"+␈αλ3␈↓ λG␈ε(t␈↓ λk␈ε"+␈αλ2␈↓ 	)␈ε(z␈↓ 	F␈ε"=␈α
1,␈↓ 
p␈ε"(19)
␈βεL␈↓ ¬L␈ε%1␈↓ λT␈ε%1
␈βπ
␈↓ ↓H␈ε"and␈α
Eq.␈α∞(18)␈α
remains␈α∞unchanged.␈α∀The␈α∞new␈α
equation␈α∞(19)␈α
ma␈α␈y␈α∞be␈α
used␈α∞to␈α
elim-
␈βπ8␈↓ ↓H␈ε"inate␈↓ α"␈ε(w␈↓ α=␈ε",␈αand␈α(18)␈αbecomes
␈βλε␈↓ ∧;␈ε"6(1␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ3␈↓ ¬1␈ε(t␈↓ ¬V␈ε6␈␈ε"␈αλ2␈↓ ε∀␈ε(z␈↓ ε&␈ε")␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ7␈ε(x␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ5␈↓ πR␈ε(z␈↓ πo␈ε"=␈α
2;
␈βλ∪␈↓ ¬>␈ε%1
␈βλT␈↓ ↓H␈ε"that␈αis,
␈β	␈↓ ¬
␈ε"7␈ε(x␈ε"␈αλ+␈αλ18␈↓ ε␈ε(t␈↓ ε0␈ε"+␈αλ17␈↓ π␈ε(z␈↓ π≥␈ε"=␈α
4.␈↓ 
p␈ε"(20)
␈β	␈↓ ε→␈ε%1
␈β	@␈↓ ↓H␈ε"No␈α␈w␈αas␈αbefore␈αw␈α␈e␈αin␈α␈troduce␈αa␈αnew␈αv␈α⎇ariable
␈β
∞␈↓ ¬(␈ε(x␈ε"␈αλ+␈αλ2␈↓ εα␈ε(t␈↓ ε'␈ε"+␈αλ2␈↓ εe␈ε(z␈↓ π↓␈ε"=␈↓ π/␈ε(t
␈β
≠␈↓ ε∂␈ε%1␈↓ π=␈ε%2
␈β
\␈↓ ↓H␈ε"and␈αeliminate␈ε(␈αx␈ε"␈αfrom␈α(20):
␈β*␈↓ ¬≠␈ε"7␈↓ ¬-␈ε(t␈↓ ¬R␈ε"+␈αλ4␈↓ ε⊂␈ε(t␈↓ ε4␈ε"+␈αλ3␈↓ εr␈ε(z␈↓ π∂␈ε"=␈α
4.␈↓ 
p␈ε"(21)
␈β7␈↓ ¬:␈ε%2␈↓ ε≥␈ε%1
␈βx␈↓ ↓H␈ε"An␈α↓other␈αλnew␈α	v␈α⎇ariable␈α	can␈α	be␈α	in␈α␈troduced␈αλin␈α	the␈α	same␈α	fashion,␈α	in␈α	order␈α	to␈αλeliminate
␈β#␈↓ ↓H␈ε"the␈αv␈α⎇ariable␈↓ β␈ε(z␈↓ β≡␈ε",␈αwhich␈αhas␈αthe␈αsmallest␈αcoe}cien␈α␈t:
␈βq␈↓ ¬(␈ε"2␈↓ ¬:␈ε(t␈↓ ¬↑␈ε"+␈↓ ε
␈ε(t␈↓ ε/␈ε"+␈↓ ε[␈ε(z␈↓ εx␈ε"=␈↓ π&␈ε(t␈↓ πB␈ε".
␈β}␈↓ ¬G␈ε%2␈↓ ε_␈ε%1␈↓ π3␈ε%3
␈β
?␈↓ ↓H␈ε"Eliminating␈↓ β␈ε(z␈↓ β*␈ε"from␈α(21)␈αyields
␈β∞
␈↓ ¬(␈ε(t␈↓ ¬M␈ε"+␈↓ ¬y␈ε(t␈↓ ε≥␈ε"+␈αλ3␈↓ ε[␈ε(t␈↓ πα␈ε"=␈α
4,␈↓ 
p␈ε"(22)
␈β∞~␈↓ ¬6␈ε%2␈↓ εε␈ε%1␈↓ εi␈ε%3
␈β∞[␈↓ ↓H␈ε"and␈α∂this␈α⊂equation,␈α⊃|nally,␈α⊂can␈α⊂be␈α⊂used␈α⊂to␈α∂eliminate␈↓ λ⊗␈ε(t␈↓ λ2␈ε".␈α≤We␈α∂are␈α⊂le$␈α⊂with␈α∂t␈α␈w␈α␈o
␈β∞h␈↓ λ#␈ε%2
␈β∂ε␈↓ ↓H␈ε"independen␈α␈t␈αv␈α⎇ariables,␈↓ ∧0␈ε(t␈↓ ∧Y␈ε"and␈↓ ¬≡␈ε(t␈↓ ¬;␈ε";␈αsubstituting␈αback␈αfor␈αthe␈αoriginal␈αv␈α⎇ariables,␈αw␈α␈e
␈β∂∪␈↓ ∧>␈ε%1␈↓ ¬,␈ε%3
␈β∂2␈↓ ↓H␈ε"obtain␈αthe␈αgeneral␈αsolution
␈β∂v␈↓ ∧s␈ε(w␈↓ ¬_␈ε"=␈α.17␈ε6␈αλ␈␈ε"␈α~5␈↓ εf␈ε(t␈↓ π
␈ε6␈␈ε"␈αλ14␈↓ πZ␈ε(t␈↓ πw␈ε",
␈β⊂β␈↓ εs␈ε%1␈↓ πh␈ε%3
␈β⊂,␈↓ ∧z␈ε(x␈↓ ¬_␈ε"=␈α.20␈ε6␈αλ␈␈ε"␈α~5␈↓ εf␈ε(t␈↓ π
␈ε6␈␈ε"␈αλ17␈↓ πZ␈ε(t␈↓ πw␈ε",
␈β⊂9␈↓ εs␈ε%1␈↓ πh␈ε%3
␈β⊂H␈↓ 
p␈ε"(23)
␈β⊂b␈↓ ∧{␈ε(y␈↓ ¬_␈ε"=␈ε6␈α
␈␈ε"55␈αλ+␈αλ19␈↓ εf␈ε(t␈↓ π
␈ε"+␈αλ45␈↓ πZ␈ε(t␈↓ πw␈ε",
␈β⊂o␈↓ εs␈ε%1␈↓ πh␈ε%3
␈β⊃_␈↓ ∧{␈ε(z␈↓ ¬_␈ε"=␈ε6␈α≤␈␈ε"8␈αλ+␈↓ εf␈ε(t␈↓ π
␈ε"+␈α~7␈↓ πZ␈ε(t␈↓ πw␈ε".
␈β⊃%␈↓ εs␈ε%1␈↓ πh␈ε%3
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.2␈↓ 
v␈ε"327
␈β↓Z␈↓ ¬V␈ε.THE␈α
GR␈α␈EA␈α}TES␈α␈T␈αC␈α␈OMMON␈α
DI␈α␈VIS␈α␈OR
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"In␈α⊂other␈α⊂w␈α␈ords,␈α∩all␈α⊂in␈α␈teger␈α⊂solutions␈α⊂(␈↓ ε(␈ε(w␈↓ εC␈ε",␈ε(␈αεx␈ε",␈↓ εw␈ε(y␈↓ π
␈ε",␈↓ π~␈ε(z␈↓ π-␈ε")␈α⊂to␈α⊃the␈α⊂original␈α⊂equations␈α⊂(17),
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"(18)␈α∞are␈α∞obtained␈α∞from␈α∞(23)␈α∞by␈α∞letting␈↓ ε1␈ε(t␈↓ ε\␈ε"and␈↓ π$␈ε(t␈↓ πN␈ε"independen␈α␈tly␈α∞run␈α∞through␈α∞all
␈βαZ␈↓ ε>␈ε%1␈↓ π1␈ε%3
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈tegers.
␈ββ$␈↓ α␈ε"The␈αgeneral␈αmeth␈α↓od␈αthat␈αhas␈αjust␈αbeen␈αillustrated␈αis␈αbased␈αon␈αthe␈αfollo␈α␈wing
␈ββO␈↓ ↓H␈ε"procedure:␈α
Find␈αa␈α
n␈α↓onzero␈αcoe}cien␈α␈t␈ε(␈α
c␈ε"␈αof␈α
smallest␈αabsolute␈α
v␈α⎇alue␈αin␈α
the␈αsystem
␈ββz␈↓ ↓H␈ε"of␈α∂equations.␈α≠Suppose␈α∂that␈α⊂this␈α∂coe}cien␈α␈t␈α⊂appears␈α∂in␈α⊂an␈α∂equation␈α⊂ha␈α␈ving␈α∂the
␈β∧&␈↓ ↓H␈ε"form
␈β∧Q␈↓ ∧P␈ε(c␈↓ ∧←␈ε(x␈↓ ¬␈ε"+␈↓ ¬7␈ε(c␈↓ ¬U␈ε(x␈↓ ε␈ε"+␈↓ ε,␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε↑␈ε"+␈↓ π
␈ε(c␈↓ π*␈ε(x␈↓ πY␈ε"=␈ε(␈α
d␈ε";␈↓ 
p␈ε"(24)
␈β∧↑␈↓ ∧s␈ε%0␈↓ ¬F␈ε%1␈↓ ¬i␈ε%1␈↓ π~␈ε+k␈↓ π>␈ε+k
␈β¬⊗␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈α	ma␈α␈y␈α
assume␈α
for␈α	simplicit␈α␈y␈α
that␈ε(␈α	c␈ε"␈α>␈α
0.␈α∂If␈ε(␈α
c␈ε"␈α
=␈α
1,␈α
use␈α
this␈α	equation␈α
to␈α	eliminate
␈β¬B␈↓ ↓H␈ε"the␈α	v␈α⎇ariable␈↓ βε␈ε(x␈↓ β2␈ε"from␈α
the␈α	other␈α	equations␈α	remaining␈α	in␈α
the␈α	system;␈α
then␈α	repeat␈α	the
␈β¬N␈↓ β~␈ε%0
␈β¬m␈↓ ↓H␈ε"procedure␈αon␈α
the␈αremaining␈α
equations.␈α~(If␈αn␈α↓o␈αm␈α↓ore␈α
equations␈αremain,␈α
the␈αcom-
␈βε_␈↓ ↓H␈ε"putation␈α	stops,␈α	and␈α	a␈α	general␈α	solution␈α	in␈α	terms␈α	of␈α	the␈α	v␈α⎇ariables␈α	n␈α↓ot␈α	y␈α␈et␈α	eliminated
␈βεC␈↓ ↓H␈ε"has␈αessen␈α␈tially␈αbeen␈αobtained.)␈α~If␈ε(␈αc␈ε"␈α>␈α
1,␈α
then␈αif␈↓ πI␈ε(c␈↓ πn␈ε"mod␈↓ λ8␈ε(c␈ε"␈α
=␈↓ 	␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	4␈ε"=␈↓ 	c␈ε(c␈↓ 
λ␈ε"mod␈↓ 
R␈ε(c␈ε"␈α=␈α
0
␈βεP␈↓ πX␈ε%1␈↓ 	r␈ε+k
␈βεn␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈α∞m␈α␈ust␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈ε(␈α∞d␈↓ βI␈ε"mod␈↓ ∧∪␈ε(c␈ε"␈α∞=␈α∞0,␈α∞otherwise␈α∂there␈α∞is␈α∞n␈α↓o␈α∞in␈α␈teger␈α∂solution;␈α∂divide␈α∞both
␈βπ~␈↓ ↓H␈ε"sides␈α
of␈α∞(24)␈α
by␈ε(␈α
c␈ε"␈α∞and␈α∞eliminate␈↓ ¬J␈ε(x␈↓ ¬{␈ε"as␈α
in␈α
the␈α∞case␈ε(␈α
c␈ε"␈α
=␈α1.␈α∃Finally,␈α∞if␈ε(␈α
c␈ε"␈α
>␈α1␈α
and
␈βπ&␈↓ ¬↑␈ε%0
␈βπE␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓ot␈αall␈αof␈↓ αe␈ε(c␈↓ β	␈ε"mod␈↓ βS␈ε(c␈ε",␈↓ βx␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧(␈ε",␈↓ ∧>␈ε(c␈↓ ∧d␈ε"mod␈↓ ¬.␈ε(c␈ε"␈αare␈αzero,␈αthen␈αin␈α␈troduce␈αa␈αnew␈αv␈α⎇ariable
␈βπQ␈↓ αt␈ε%1␈↓ ∧N␈ε+k
␈βλ≤␈↓ βw␈ε6b␈ε(c␈ε"␈α↓/␈ε(c␈ε6c␈↓ ∧D␈ε(x␈↓ ∧o␈ε"+␈ε6␈αλb␈↓ ¬)␈ε(c␈↓ ¬G␈ε"/␈ε(c␈ε6␈α↓c␈↓ ¬w␈ε(x␈↓ ε"␈ε"+␈↓ εN␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π␈ε"+␈ε6␈αλb␈↓ π:␈ε(c␈↓ πZ␈ε"/␈ε(c␈ε6c␈↓ λ	␈ε(x␈↓ λ8␈ε"=␈ε(␈α
t␈ε";␈↓ 
p␈ε"(25)
␈βλ(␈↓ ∧X␈ε%0␈↓ ¬8␈ε%1␈↓ ε␈ε%1␈↓ πI␈ε+k␈↓ λ≥␈ε+k
␈βλs␈↓ ↓H␈ε"eliminate␈αthe␈αv␈α⎇ariable␈↓ ∧%␈ε(x␈↓ ∧T␈ε"from␈αthe␈αother␈αequations,␈αin␈αfa␈α␈v␈α␈or␈αof␈ε(␈αt␈ε"␈α↓,␈αand␈αreplace␈αthe
␈βλ␈␈↓ ∧9␈ε%0
␈β	≡␈↓ ↓H␈ε"original␈αequation␈α(24)␈αby
␈β	u␈↓ βd␈ε(ct␈ε"␈αλ+␈αλ(␈↓ ∧@␈ε(c␈↓ ∧e␈ε"mod␈↓ ¬/␈ε(c␈ε")␈↓ ¬J␈ε(x␈↓ ¬u␈ε"+␈↓ ε!␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εS␈ε"+␈αλ(␈↓ π␈ε(c␈↓ π1␈ε"mod␈↓ π{␈ε(c␈ε")␈↓ λ⊗␈ε(x␈↓ λE␈ε"=␈ε(␈α
d␈ε".␈↓ 
p␈ε"(26)
␈β
↓␈↓ ∧P␈ε%1␈↓ ¬↑␈ε%1␈↓ π≠␈ε+k␈↓ λ*␈ε+k
␈β
-␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ εA␈ε↓↓
␈β
L␈↓ ↓V␈ε"Cf.␈α(19)␈αand␈α(21)␈αin␈αthe␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αexample.
␈β
w␈↓ α␈ε"This␈α∞process␈α
m␈α␈ust␈α∞terminate,␈α∞since␈α
each␈α∞step␈α
reduces␈α∞either␈α
the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α
of
␈β"␈↓ ↓H␈ε"equations␈α	or␈α
the␈α
size␈α
of␈α
the␈α
smallest␈α	n␈α↓onzero␈α
coe}cien␈α␈t␈α
in␈α
the␈α
system.␈α∂A␈α
study␈α	of
␈βN␈↓ ↓H␈ε"the␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αprocedure␈αwill␈αrev␈α␈eal␈αits␈αin␈α␈timate␈αconnection␈αwith␈αEuclid's␈αalgorithm.
␈βy␈↓ ↓H␈ε"The␈α∞meth␈α↓od␈α∞is␈α∞a␈α∞comparativ␈α␈ely␈α∞simple␈α∞means␈α∞of␈α
solving␈α∞linear␈α∞equations␈α∞when
␈β$␈↓ ↓H␈ε"the␈αv␈α⎇ariables␈α
are␈α
required␈α
to␈α
tak␈α␈e␈αon␈α
in␈α␈teger␈α
v␈α⎇alues␈α
only.␈α∩It␈α
isn't␈α
the␈α
best␈αa␈α␈v␈α⎇ail-
␈βO␈↓ ↓H␈ε"able␈α
meth␈α↓od␈αfor␈αthis␈αproblem,␈αh␈α↓o␈α␈w␈α␈ev␈α␈er;␈αsubstan␈α␈tial␈αre|nemen␈α␈ts␈αare␈α
possible,␈αbut
␈βz␈↓ ↓H␈ε"bey␈α␈ond␈αthe␈αscope␈αof␈αthis␈αbo␈α↓ok.
␈β
=␈↓ ↓H␈ε2High-precision␈αλcalculation.␈ε"␈α
If␈ε(␈αλu␈ε"␈αλand␈↓ ¬q␈ε(v␈↓ ε␈ε"are␈αλv␈α␈ery␈α	large␈αλin␈α␈tegers,␈α
requiring␈αλa␈αλm␈α␈ultiple-
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"precision␈αrepresen␈α␈tation,␈αthe␈αbinary␈αmeth␈α↓od␈α(Algorithm␈αB)␈αis␈αa␈αsimple␈α
and␈αfairly
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"e}cien␈α␈t␈α⊂means␈α⊂of␈α⊃calculating␈α⊂their␈α⊂greatest␈α⊃comm␈α↓on␈α⊂divisor,␈α∩since␈α⊂it␈α⊂in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε"only␈αsubtractions␈αand␈αshi$ing.
␈β∞j␈↓ α␈ε"By␈α∂con␈α␈trast,␈α⊂Euclid's␈α∂algorithm␈α⊂seems␈α∂m␈α␈uch␈α∂less␈α∂attractiv␈α␈e,␈α⊂since␈α∂step␈α∂A2
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"requires␈α
a␈α
m␈α␈ultiple-precision␈α
division␈↓ ε_␈ε"of␈ε(␈α
u␈ε"␈α
by␈↓ π→␈ε(v␈↓ π,␈ε".␈α∪But␈α
this␈α
di}cult␈α␈y␈α
is␈α
n␈α↓ot␈α
really
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"as␈α
bad␈α
as␈α∞it␈α
seems,␈α∞since␈α
w␈α␈e␈α
will␈α∞pro␈α␈v␈α␈e␈α
in␈α
Section␈α∞4.5.3␈α
that␈α
the␈α
quotien␈α␈t␈ε6␈α∞b␈ε(u␈ε"/␈↓ ␈ε(v␈↓ ≡␈ε6c
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"is␈αalm␈α↓ost␈αalw␈α␈a␈α␈ys␈αv␈α␈ery␈αsmall;␈αfor␈αexample,␈αassuming␈αrandom␈αinputs,␈αthe␈αquotien␈α␈t
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε6b␈ε(u␈ε"␈α␈/␈↓ ↓|␈ε(v␈↓ α∂␈ε6c␈ε"␈α
will␈α
be␈α
less␈α
than␈α
1000␈α
appro␈α␈ximately␈α
99.856␈α	percen␈α␈t␈α
of␈α
the␈α
time.␈α∂Therefore
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"it␈α
is␈α
alm␈α↓ost␈α
alw␈α␈a␈α␈ys␈α	possible␈α
to␈α
|nd␈ε6␈α
b␈ε(u␈ε"/␈↓ ε_␈ε(v␈↓ ε+␈ε6c␈ε"␈α
and␈α
(␈ε(u␈↓ π.␈ε"mod␈↓ πx␈ε(v␈↓ λ␈ε")␈α
using␈α	single-precision␈α
cal-
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"culations,␈α	together␈α
with␈α	the␈α	comparativ␈α␈ely␈α
simple␈α	operation␈α	of␈α	calculating␈ε(␈α
u␈ε6␈αα␈␈↓ ε␈ε(q␈↓ ~␈ε(v
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"where␈↓ α0␈ε(q␈↓ αP␈ε"is␈αa␈α
single-precision␈α
n␈α␈um␈α␈ber.␈α⊃F␈α⎇urtherm␈α↓ore,␈α
if␈αit␈α
does␈αturn␈α
out␈α
that␈ε(␈αu␈ε"␈αis
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"328␈↓ 
b␈ε"4.5.2
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈uch␈αlarger␈α
than␈↓ βd␈ε(v␈↓ ∧∧␈ε"(e.g.,␈αthe␈α
initial␈αinput␈α
data␈α
migh␈α␈t␈αha␈α␈v␈α␈e␈α
this␈αform),␈α
w␈α␈e␈αdon't
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"really␈α∂mind␈α∂ha␈α␈ving␈α∂a␈α∂large␈α∂quotien␈α␈t␈↓ ε⊃␈ε(q␈↓ ε$␈ε",␈α⊂since␈α∂Euclid's␈α∂algorithm␈α∂mak␈α␈es␈α∂a␈α∂great
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"deal␈αof␈αprogress␈αwhen␈αit␈αreplaces␈ε(␈αu␈ε"␈αby␈ε(␈αu␈↓ εB␈ε"mod␈↓ π␈ε(v␈↓ π+␈ε"in␈αsuch␈αa␈αcase.
␈ββ&␈↓ α␈ε"A␈α⊂signi|can␈α␈t␈α⊂impro␈α␈v␈α␈emen␈α␈t␈α⊂in␈α⊃the␈α⊂speed␈α⊂of␈α⊂Euclid's␈α⊂algorithm␈α⊂when␈α⊂high-
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"precision␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αare␈αin␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed␈αcan␈αbe␈αachiev␈α␈ed␈αby␈αusing␈αa␈αmeth␈α↓od␈αdue␈αto␈αD.␈αH.
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"Lehmer␈α	[␈ε/AMM␈ε2␈α	45␈ε"␈α
(1938),␈α	227↑233].␈α∂Working␈α
only␈α	with␈α	the␈α
leading␈α	digits␈α	of␈α	large
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers,␈αit␈αis␈αpossible␈αto␈αdo␈αm␈α↓ost␈αof␈αthe␈αcalculations␈αwith␈αsingle-precision␈αarith-
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"metic,␈α
and␈αto␈α
mak␈α␈e␈α
a␈αsubstan␈α␈tial␈α
reduction␈α
in␈αthe␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈αm␈α␈ultiple-precision
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"operations␈α⊃in␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed.␈α∨We␈α∩sa␈α␈v␈α␈e␈α⊃a␈α⊃lot␈α⊃of␈α⊃time␈α∩by␈α⊃doing␈α⊃a␈α⊃\virtual"␈α⊃calculation
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε"instead␈αof␈αthe␈αactual␈αone.
␈β¬V␈↓ α␈ε"F␈α⎇or␈αexample,␈α
let␈αus␈αconsider␈αthe␈α
pair␈αof␈αeigh␈α␈t-digit␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈ε(␈αu␈ε"␈α
=␈α
27182818,
␈βε↓␈↓ ↓H␈ε(v␈↓ ↓e␈ε"=␈α
10000000,␈α
assuming␈α
that␈α
w␈α␈e␈α	are␈α
using␈α
a␈α
machine␈α
with␈α
only␈α
four-digit␈α	w␈α␈ords.
␈βε&␈↓ α!␈ε90␈↓ β`␈ε90␈↓ ¬!␈ε900␈↓ εh␈ε900␈↓ 	π␈ε90␈↓ 	4␈ε90␈↓ 
)␈ε900␈↓ 
]␈ε900
␈βε,␈↓ ↓H␈ε"Let␈↓ α
␈ε(u␈↓ α9␈ε"=␈α∂2718,␈↓ βN␈ε(v␈↓ βw␈ε"=␈α⊂1001,␈↓ ¬␈ε(u␈↓ ¬@␈ε"=␈α∂2719,␈↓ εU␈ε(v␈↓ ππ␈ε"=␈α∂1000;␈α⊃then␈↓ λr␈ε(u␈↓ 	∂␈ε"/␈↓ 	!␈ε(v␈↓ 	K␈ε"and␈↓ 
∀␈ε(u␈↓ 
9␈ε"/␈↓ 
K␈ε(v␈↓ 
|␈ε"are
␈βεW␈↓ ↓H␈ε"appro␈α␈ximations␈αto␈ε(␈αu␈ε"␈α␈/␈↓ ∧→␈ε(v␈↓ ∧,␈ε",␈αwith
␈βπ+␈↓ ¬#␈ε90␈↓ ¬P␈ε90␈↓ π↔␈ε900␈↓ πK␈ε900
␈βπ3␈↓ ¬∂␈ε(u␈↓ ¬+␈ε"/␈↓ ¬=␈ε(v␈↓ ¬b␈ε"<␈ε(␈α
u␈ε"/␈↓ ε7␈ε(v␈↓ εT␈ε"<␈↓ πα␈ε(u␈↓ π'␈ε"/␈↓ π9␈ε(v␈↓ π[␈ε".␈↓ 
p␈ε"(27)
␈βλ∂␈↓ ↓H␈ε"The␈α∂ratio␈ε(␈α∞u␈ε"/␈↓ β∀␈ε(v␈↓ β6␈ε"determines␈α∂the␈α∂sequence␈α∂of␈α∂quotien␈α␈ts␈α∂obtained␈α∂in␈α∂Euclid's␈α∞algo-
␈βλ:␈↓ ↓H␈ε"rithm.␈α⊂If␈αw␈α␈e␈αcarry␈αout␈αEuclid's␈αalgorithm␈αsim␈α␈ultaneously␈αon␈αthe␈αsingle-precision
␈βλ←␈↓ αP␈ε90␈↓ α{␈ε90␈↓ β⎇␈ε900␈↓ ∧0␈ε900
␈βλf␈↓ ↓H␈ε"v␈α⎇alues␈α	(␈↓ α;␈ε(u␈↓ αX␈ε",␈↓ αh␈ε(v␈↓ ββ␈ε")␈α
and␈α	(␈↓ βh␈ε(u␈↓ ∧
␈ε",␈↓ ∧≥␈ε(v␈↓ ∧@␈ε")␈α
un␈α␈til␈α
w␈α␈e␈α	get␈α
a␈α
di{eren␈α␈t␈α
quotien␈α␈t,␈α
it␈α	is␈α
n␈α↓ot␈α
di}cult␈α
to␈α	see
␈β	⊃␈↓ ↓H␈ε"that␈α
the␈αsame␈αsequence␈αof␈αquotien␈α␈ts␈αw␈α␈ould␈αha␈α␈v␈α␈e␈α
appeared␈αto␈αthis␈αpoin␈α␈t␈αif␈αw␈α␈e␈α
had
␈β	<␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈ork␈α␈ed␈α
with␈α
the␈α
m␈α␈ultiple-precision␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ π.␈ε(v␈↓ πA␈ε").␈α⊂Th␈α␈us,␈α
consider␈α
what␈α
happens
␈β	a␈↓ ε@␈ε90␈↓ εk␈ε90␈↓ λ≡␈ε900␈↓ λQ␈ε900
␈β	g␈↓ ↓H␈ε"when␈αEuclid's␈αalgorithm␈αis␈αapplied␈αto␈α(␈↓ ε,␈ε(u␈↓ εH␈ε",␈↓ εX␈ε(v␈↓ εs␈ε")␈αand␈αto␈α(␈↓ λ	␈ε(u␈↓ λ.␈ε",␈↓ λ>␈ε(v␈↓ λa␈ε"):
␈β
9␈↓ β⊃␈ε90␈↓ ∧ ␈ε90␈↓ ¬≡␈ε90␈↓ πq␈ε900␈↓ 	␈ε900␈↓ 	}␈ε900
␈β
?␈↓ α|␈ε(u␈↓ ∧
␈ε(v␈↓ ¬␈ε(q␈↓ π\␈ε(u␈↓ λm␈ε(v␈↓ 	j␈ε(q
␈β
u␈↓ αf␈ε"2718␈↓ βv␈ε"1001␈↓ ¬_␈ε"2␈↓ πJ␈ε"2719␈↓ λZ␈ε"1000␈↓ 	|␈ε"2
␈β!␈↓ αf␈ε"1001␈↓ ∧λ␈ε"716␈↓ ¬_␈ε"1␈↓ πJ␈ε"1000␈↓ λl␈ε"719␈↓ 	|␈ε"1
␈βL␈↓ αx␈ε"716␈↓ ∧λ␈ε"285␈↓ ¬_␈ε"2␈↓ π\␈ε"719␈↓ λl␈ε"281␈↓ 	|␈ε"2
␈βw␈↓ αx␈ε"285␈↓ ∧λ␈ε"146␈↓ ¬_␈ε"1␈↓ π\␈ε"281␈↓ λl␈ε"157␈↓ 	|␈ε"1
␈β"␈↓ αx␈ε"146␈↓ ∧λ␈ε"139␈↓ ¬_␈ε"1␈↓ π\␈ε"157␈↓ λl␈ε"124␈↓ 	|␈ε"1
␈βM␈↓ αx␈ε"139␈↓ ∧,␈ε"7␈↓ ¬ε␈ε"19␈↓ π\␈ε"124␈↓ λ}␈ε"33␈↓ 	|␈ε"3
␈β
)␈↓ ↓H␈ε"The␈α
|rst␈α
|v␈α␈e␈α
quotien␈α␈ts␈α	are␈α
the␈α
same␈α
in␈α
both␈α
cases,␈αso␈α
they␈α
m␈α␈ust␈α
be␈α
the␈α	true␈α
ones.
␈β
N␈↓ ε
␈ε90␈↓ εe␈ε900
␈β
T␈↓ ↓H␈ε"But␈α
on␈α
the␈α∞sixth␈α
step␈α∞w␈α␈e␈α
|nd␈α
that␈↓ ¬z␈ε(q␈↓ ε!␈ε6≤␈↓ εQ␈ε(q␈↓ εu␈ε",␈α
so␈α∞the␈α
single-precision␈α
calculations
␈β∞␈↓ ↓H␈ε"are␈αsuspended.␈α∪We␈αha␈α␈v␈α␈e␈α
gained␈α
the␈α
kn␈α↓o␈α␈wledge␈αthat␈α
the␈α
calculation␈α
w␈α␈ould␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β∞+␈↓ ↓H␈ε"proceeded␈αas␈αfollo␈α␈ws␈αif␈αw␈α␈e␈αhad␈αbeen␈αw␈α␈orking␈αwith␈αthe␈αoriginal␈αm␈α␈ultiple-precision
␈β∞V␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers:
␈β∂
␈↓ ∧u␈ε(u␈↓ π⊂␈ε(v␈↓ λK␈ε(q
␈β∂@␈↓ ∧m␈ε(u␈↓ π	␈ε(v␈↓ λL␈ε"2
␈β∂M␈↓ ¬α␈ε%0␈↓ π≠␈ε%0
␈β∂k␈↓ ∧o␈ε(v␈↓ εT␈ε(u␈↓ π␈ε6␈␈ε"␈αλ2␈↓ π>␈ε(v␈↓ λL␈ε"1
␈β∂x␈↓ ¬␈ε%0␈↓ εi␈ε%0␈↓ πP␈ε%0
␈β⊂λ␈↓ 
p␈ε"(28)
␈β⊂↔␈↓ ∧:␈ε(u␈↓ ∧f␈ε6␈␈ε"␈αλ2␈↓ ¬$␈ε(v␈↓ εB␈ε6␈␈↓ εf␈ε(u␈↓ π∩␈ε"+␈αλ3␈↓ πP␈ε(v␈↓ λL␈ε"2
␈β⊂#␈↓ ∧O␈ε%0␈↓ ¬5␈ε%0␈↓ ε{␈ε%0␈↓ πb␈ε%0
␈β⊂B␈↓ ∧(␈ε6␈␈↓ ∧L␈ε(u␈↓ ∧x␈ε"+␈αλ3␈↓ ¬6␈ε(v␈↓ εK␈ε"3␈↓ ε]␈ε(u␈↓ π	␈ε6␈␈ε"␈αλ8␈↓ πG␈ε(v␈↓ λL␈ε"1
␈β⊂N␈↓ ∧a␈ε%0␈↓ ¬G␈ε%0␈↓ εr␈ε%0␈↓ πY␈ε%0
␈β⊂m␈↓ ∧1␈ε"3␈↓ ∧C␈ε(u␈↓ ∧o␈ε6␈␈ε"␈αλ8␈↓ ¬-␈ε(v␈↓ ε0␈ε6␈␈ε"4␈↓ εf␈ε(u␈↓ π∩␈ε"+␈αλ11␈↓ πb␈ε(v␈↓ λL␈ε"1
␈β⊂y␈↓ ∧X␈ε%0␈↓ ¬>␈ε%0␈↓ ε{␈ε%0␈↓ πt␈ε%0
␈β⊃_␈↓ ∧⊗␈ε6␈␈ε"4␈↓ ∧L␈ε(u␈↓ ∧x␈ε"+␈αλ11␈↓ ¬H␈ε(v␈↓ εB␈ε"7␈↓ εT␈ε(u␈↓ π␈ε6␈␈ε"␈αλ19␈↓ πP␈ε(v␈↓ λN␈ε"?
␈β⊃%␈↓ ∧a␈ε%0␈↓ ¬Y␈ε%0␈↓ εi␈ε%0␈↓ πb␈ε%0
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.2␈↓ 
v␈ε"329
␈β↓Z␈↓ ¬V␈ε.THE␈α
GR␈α␈EA␈α}TES␈α␈T␈αC␈α␈OMMON␈α
DI␈α␈VIS␈α␈OR
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"(The␈α∂next␈α⊂quotien␈α␈t␈α∂lies␈α⊂somewhere␈α∂bet␈α␈w␈α␈een␈α⊂3␈α⊂and␈α∂19.)␈α≠No␈α∂matter␈α⊂h␈α↓o␈α␈w␈α∂man␈α␈y
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"digits␈αare␈α
in␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ βq␈ε(v␈↓ ∧∧␈ε",␈αthe␈α|rst␈α
|v␈α␈e␈αsteps␈αof␈αEuclid's␈αalgorithm␈αw␈α␈ould␈αbe␈αthe␈α
same
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"as␈α⊂(28),␈α⊃so␈α⊃long␈α⊂as␈α⊂(27)␈α⊃h␈α↓olds.␈α≥We␈α⊂can␈α⊂therefore␈α⊃a␈α␈v␈α␈oid␈α⊂the␈α⊂m␈α␈ultiple-precision
␈ββ$␈↓ ↓H␈ε"operations␈α∂of␈α∂the␈α⊂|rst␈α∂|v␈α␈e␈α∂steps,␈α⊂and␈α⊂replace␈α∂them␈α∂all␈α⊂by␈α∂a␈α∂m␈α␈ultiple-precision
␈ββO␈↓ ↓H␈ε"calculation␈α
of␈ε6␈α
␈␈ε"4␈↓ βZ␈ε(u␈↓ ∧α␈ε"+␈α∧11␈↓ ∧N␈ε(v␈↓ ∧y␈ε"and␈α
7␈↓ ¬O␈ε(u␈↓ ¬x␈ε6␈␈ε"␈α∧19␈↓ εD␈ε(v␈↓ εe␈ε".␈α∂In␈α
this␈α
case␈α
w␈α␈e␈αobtain␈ε(␈α
u␈ε"␈α	=␈α
1268728,
␈ββ[␈↓ βo␈ε%0␈↓ ∧`␈ε%0␈↓ ¬d␈ε%0␈↓ εU␈ε%0
␈ββt␈↓ 
~␈ε90
␈ββz␈↓ ↓H␈ε(v␈↓ ↓e␈ε"=␈α
279726;␈α	the␈αλcalculation␈α	can␈αλn␈α↓o␈α␈w␈α	proceed␈αλin␈αλa␈α	similar␈αλmanner␈αλwith␈↓ 
ε␈ε(u␈↓ 
,␈ε"=␈α
1268,
␈β∧∨␈↓ ↓[␈ε90␈↓ α{␈ε900␈↓ ∧3␈ε900
␈β∧%␈↓ ↓H␈ε(v␈↓ ↓m␈ε"=␈α
280,␈↓ αf␈ε(u␈↓ β∃␈ε"=␈α
1269,␈↓ ∧ ␈ε(v␈↓ ∧M␈ε"=␈α
279,␈αetc.␈α⊂If␈αw␈α␈e␈αhad␈αa␈αlarger␈αaccum␈α␈ulator,␈αm␈α↓ore␈αsteps
␈β∧Q␈↓ ↓H␈ε"could␈α∂be␈α⊂done␈α⊂by␈α⊂single-precision␈α⊂calculations;␈α⊃our␈α⊂example␈α⊂sh␈α↓o␈α␈w␈α␈ed␈α⊂that␈α∂only
␈β∧|␈↓ ↓H␈ε"|v␈α␈e␈αcy␈α␈cles␈αof␈αEuclid's␈αalgorithm␈αw␈α␈ere␈αcom␈α␈bined␈αin␈α␈to␈αone␈αm␈α␈ultiple␈αstep,␈αbut␈αwith
␈β¬'␈↓ ↓H␈ε"(sa␈α␈y)␈α
a␈αw␈α␈ord␈α
size␈αof␈α
10␈α
digits␈αw␈α␈e␈α
could␈αdo␈α
about␈αt␈α␈w␈α␈elv␈α␈e␈α
cy␈α␈cles␈αat␈α
a␈αtime.␈α∪(Results
␈β¬R␈↓ ↓H␈ε"pro␈α␈v␈α␈ed␈α
in␈αSection␈α
4.5.3␈α
imply␈α
that␈α
the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
m␈α␈ultiple-precision␈α
cy␈α␈cles␈αthat
␈β¬⎇␈↓ ↓H␈ε"can␈α∂be␈α⊂replaced␈α⊂at␈α⊂each␈α∂iteration␈α⊂is␈α⊂essen␈α␈tially␈α⊂proportional␈α∂to␈α⊂the␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈α∂of
␈βε)␈↓ ↓H␈ε"digits␈αused␈αin␈αthe␈αsingle-precision␈αcalculations.)
␈βεT␈↓ α␈ε"Lehmer's␈αmeth␈α↓od␈αcan␈αbe␈αform␈α␈ulated␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈βπ
␈↓ ↓H␈ε2Algorithm␈α∂L␈ε"␈α⊂(␈ε/Euclid's␈α∂algorithm␈α∂for␈α⊂large␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈↓ πz␈ε")␈ε2.␈ε"␈α∨Let␈ε(␈α⊂u␈ε",␈↓ 	~␈ε(v␈↓ 	<␈ε"be␈α∂n␈α↓onnegativ␈α␈e
␈βπ5␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ultiprecision␈α	in␈α␈tegers,␈α
with␈ε(␈α
u␈ε6␈α
∃␈↓ ¬X␈ε(v␈↓ ¬k␈ε",␈α
represen␈α␈ted␈α	in␈α
m␈α␈ultiple␈α
precision.␈α∂This␈α	algo-
␈βπ`␈↓ ↓H␈ε"rithm␈α
computes␈α
the␈α
greatest␈α
comm␈α↓on␈α
divisor␈α
of␈ε(␈αu␈ε"␈α
and␈↓ λ_␈ε(v␈↓ λ+␈ε",␈α
making␈α
use␈α
of␈α
auxiliary
␈βλ␈↓ ↓H␈ε"single-precision␈ε(␈αp␈ε"-digit␈αv␈α⎇ariables␈ε(␈αu␈ε",␈↓ ¬u␈ε(v␈↓ επ␈ε",␈ε(␈α
A␈ε",␈↓ εN␈ε(B␈↓ εj␈ε",␈↓ π␈ε(C␈↓ π≤␈ε",␈↓ π3␈ε(D␈↓ πR␈ε",␈↓ πh␈ε(T␈↓ λα␈ε",␈↓ λ_␈ε(q␈↓ λ,␈ε",␈αand␈αauxiliary␈αm␈α␈ultiple-
␈βλ7␈↓ ↓H␈ε"precision␈αv␈α⎇ariables␈ε(␈αt␈ε"␈αand␈↓ ∧Q␈ε(w␈↓ ∧l␈ε".
␈βλh␈↓ ↓L␈ε2L1.␈↓ α␈ε"[Initialize.]␈α%If␈↓ ∧↓␈ε(v␈↓ ∧'␈ε"is␈α∩small␈α∪en␈α↓ough␈α∩to␈α∪be␈α∩represen␈α␈ted␈α∪as␈α∩a␈α∩single-precision
␈β	∪␈↓ α␈ε"v␈α⎇alue,␈α∂calculate␈↓ ∧
␈ε"gcd␈↓ ∧C␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ ∧t␈ε(v␈↓ ¬π␈ε")␈α∞by␈α∂Algorithm␈α∞A␈α∞and␈α∂terminate␈α∞the␈α∞computation.
␈β	>␈↓ α␈ε"Otherwise,␈αlet␈↓ βs␈ε(u␈↓ βt␈ε"∂␈↓ ∧∪␈ε"be␈αthe␈ε(␈αp␈ε"␈αleading␈αdigits␈αof␈ε(␈αu␈ε",␈αand␈αlet␈↓ λG␈ε(v␈↓ λH␈ε"∂␈↓ λf␈ε"be␈αthe␈αcorresponding
␈β	c␈↓ 
I␈ε+k
␈β	i␈↓ α␈ε"digits␈αof␈↓ β∃␈ε(v␈↓ β(␈ε";␈αin␈αother␈α
w␈α␈ords,␈αif␈αradix-␈ε(b␈ε"␈αn␈α↓otation␈α
is␈αbeing␈αused,␈↓ 	8␈ε(u␈↓ 	9␈ε"∂␈↓ 	V␈ε6␈ ␈α
b␈ε(u␈ε"/␈↓ 
9␈ε(b␈↓ 
Z␈ε6c␈ε"␈α
and
␈β
∞␈↓ β$␈ε+k
␈β
∀␈↓ α␈ε"∂␈↓ α␈ε(v␈↓ α.␈ε6␈ ␈α∂b␈↓ αo␈ε(v␈↓ βα␈ε"/␈↓ β∀␈ε(b␈↓ β5␈ε6c␈ε",␈α⊂where␈↓ ∧H␈ε(k␈↓ ∧k␈ε"is␈α∂as␈α∂small␈α∂as␈α∂possible␈α∂consisten␈α␈t␈α∂with␈α∂the␈α∂condition
␈β
9␈↓ αi␈ε+p
␈β
@␈↓ α␈ε(u␈↓ α
␈ε"∂␈↓ α+␈ε"<␈↓ αY␈ε(b␈↓ αy␈ε".
␈β
k␈↓ αP␈ε"Set␈ε(␈α⊂A␈ε6␈α∂␈ ␈ε"␈α⊂1,␈↓ ∧≠␈ε(B␈↓ ∧F␈ε6␈ ␈ε"␈α∂0,␈↓ ¬%␈ε(C␈↓ ¬Q␈ε6␈ ␈ε"␈α∂0,␈↓ ε0␈ε(D␈↓ ε←␈ε6␈ ␈ε"␈α⊂1.␈α∨(These␈α∂v␈α⎇ariables␈α∂represen␈α␈t␈α∂the
␈β⊗␈↓ α␈ε"coe}cien␈α␈ts␈αin␈α(28),␈αwhere
␈βT␈↓ ∧.␈ε(u␈ε"␈α
=␈ε(␈α
A␈↓ ¬∃␈ε(u␈↓ ¬A␈ε"+␈↓ ¬m␈ε(B␈↓ ελ␈ε(v␈↓ ε)␈ε",␈↓ π↓␈ε(v␈↓ π≡␈ε"=␈↓ πL␈ε(C␈↓ πh␈ε(u␈↓ λ∀␈ε"+␈↓ λ@␈ε(D␈↓ λ`␈ε(v␈↓ 	␈ε",␈↓ 
p␈ε"(29)
␈βa␈↓ ¬*␈ε%0␈↓ ε~␈ε%0␈↓ π⎇␈ε%0␈↓ λq␈ε%0
␈β∪␈↓ α␈ε"in␈α⊂the␈α∂equiv␈α⎇alen␈α␈t␈α⊂actions␈α⊂of␈α⊂Algorithm␈α∂A␈α⊂on␈α⊂m␈α␈ultiprecision␈α∂n␈α␈um␈α␈bers.␈α≠We
␈β>␈↓ α␈ε"also␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βu␈↓ α!␈ε90␈↓ ∧0␈ε90␈↓ εC␈ε900␈↓ λX␈ε900
␈β⎇␈↓ α␈ε(u␈↓ α3␈ε"=␈↓ αa␈ε(u␈↓ αb␈ε"∂␈↓ α}␈ε"+␈↓ β*␈ε(B␈↓ βE␈ε",␈↓ ∧≥␈ε(v␈↓ ∧B␈ε"=␈↓ ∧p␈ε"∂␈↓ ∧p␈ε(v␈↓ ¬␈ε"+␈↓ ¬7␈ε(D␈↓ ¬V␈ε",␈↓ ε.␈ε(u␈↓ ε]␈ε"=␈↓ π␈ε(u␈↓ π␈ε"∂␈↓ π(␈ε"+␈ε(␈αλA␈ε",␈↓ λF␈ε(v␈↓ λr␈ε"=␈↓ 	 ␈ε(v␈↓ 	!␈ε"∂␈↓ 	;␈ε"+␈↓ 	g␈ε(C␈↓ 
p␈ε"(30)
␈β
;␈↓ α␈ε"in␈αterms␈αof␈αthe␈αn␈α↓otation␈αin␈αthe␈αexample␈αw␈α␈ork␈α␈ed␈αabo␈α␈v␈α␈e.)
␈β
l␈↓ ↓L␈ε2L2.␈↓ α␈ε"[T␈α⎇est␈α
quotien␈α␈t.]␈α∪Set␈↓ ∧G␈ε(q␈↓ ∧e␈ε6␈ ␈α
b␈ε"(␈↓ ¬-␈ε(u␈↓ ¬.␈ε"∂␈↓ ¬F␈ε"+␈ε(␈α∧A␈ε")/(␈↓ ε2␈ε(v␈↓ ε3␈ε"∂␈↓ εJ␈ε"+␈↓ εr␈ε(C␈↓ π∞␈ε")␈ε6c␈ε".␈α⊂If␈↓ πd␈ε(q␈↓ λ↓␈ε6≤␈α
b␈ε"(␈↓ λI␈ε(u␈↓ λK␈ε"∂␈↓ λb␈ε"+␈↓ 	␈ε(B␈↓ 	'␈ε")/(␈↓ 	Q␈ε"∂␈↓ 	Q␈ε(v␈↓ 	h␈ε"+␈↓ 
⊂␈ε(D␈↓ 
0␈ε")␈ε6c␈ε",␈α
go␈α
to
␈β∞⊃␈↓ ¬\␈ε90␈↓ ε1␈ε900
␈β∞↔␈↓ α␈ε"step␈α
L4.␈α~(This␈αstep␈α
tests␈αif␈↓ ¬I␈ε(q␈↓ ¬o␈ε6≤␈↓ ε≡␈ε(q␈↓ εA␈ε",␈αin␈α
the␈αn␈α↓otation␈α
of␈αthe␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈αexample.
␈β∞B␈↓ α␈ε"Note␈α	that␈α
single-precision␈α	o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈α
can␈α	occur␈α	in␈α
special␈α	circumstances␈α	during
␈β∞g␈↓ λ"␈ε+p
␈β∞m␈↓ α␈ε"the␈αcomputation␈α
in␈αthis␈α
step,␈αbut␈α
only␈αwhen␈↓ πE␈ε(u␈↓ πG␈ε"∂␈↓ πd␈ε"=␈↓ λ∩␈ε(b␈↓ λ7␈ε6␈␈ε"␈α¬1␈αand␈ε(␈α
A␈ε"␈α
=␈α
1␈αor␈α
when
␈β∂∪␈↓ αg␈ε+p
␈β∂→␈↓ α␈ε"∂␈↓ α␈ε(v␈↓ α)␈ε"=␈↓ αW␈ε(b␈↓ α␈␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈αand␈↓ ∧∂␈ε(D␈↓ ∧8␈ε"=␈α1;␈αthe␈αconditions
␈β∂I␈↓ ε≥␈ε+p␈↓ λv␈ε+p
␈β∂Q␈↓ ∧(␈ε"0␈↓ ∧D␈ε6∀␈↓ ∧r␈ε(u␈↓ ∧t␈ε"∂␈↓ ¬∂␈ε"+␈ε(␈αλA␈ε6␈α
∀␈↓ ε
␈ε(b␈↓ ε-␈ε",␈↓ π↓␈ε"0␈↓ π≥␈ε6∀␈↓ πK␈ε"∂␈↓ πK␈ε(v␈↓ πf␈ε"+␈↓ λ∩␈ε(C␈↓ λ8␈ε"<␈↓ λf␈ε(b␈↓ 	ε␈ε",
␈β∂k␈↓ 
p␈ε"(31)
␈β∂␈␈↓ ε∨␈ε+p␈↓ λy␈ε+p
␈β⊂π␈↓ ∧(␈ε"0␈↓ ∧D␈ε6∀␈↓ ∧r␈ε(u␈↓ ∧t␈ε"∂␈↓ ¬∂␈ε"+␈↓ ¬;␈ε(B␈↓ ¬a␈ε"<␈↓ ε∂␈ε(b␈↓ ε/␈ε",␈↓ π↓␈ε"0␈↓ π≥␈ε6∀␈↓ πK␈ε"∂␈↓ πK␈ε(v␈↓ πf␈ε"+␈↓ λ∩␈ε(D␈↓ λ;␈ε6∀␈↓ λi␈ε(b
␈β⊂@␈↓ α␈ε"will␈α⊃alw␈α␈a␈α␈ys␈α⊃h␈α↓old,␈α∪because␈α⊃of␈α⊃(30).␈α It␈α⊃is␈α⊃possible␈α⊃to␈α∩ha␈α␈v␈α␈e␈↓ 	6␈ε"∂␈↓ 	6␈ε(v␈↓ 	T␈ε"+␈↓ 
∧␈ε(C␈↓ 
3␈ε"=␈α∩0␈α⊃or
␈β⊂k␈↓ α␈ε"∂␈↓ α␈ε(v␈↓ α'␈ε"+␈↓ αS␈ε(D␈↓ α⎇␈ε"=␈α0,␈αbut␈α
n␈α↓ot␈αboth␈αsim␈α␈ultaneously;␈α
therefore␈αdivision␈αby␈α
zero␈αin␈αthis
␈β⊃⊗␈↓ α␈ε"step␈αis␈αtak␈α␈en␈αto␈αmean␈α\Go␈αdirectly␈αto␈αL4.")
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"330␈↓ 
b␈ε"4.5.2
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα"␈↓ ↓L␈ε2L3.␈↓ α␈ε"[Em␈α␈ulate␈α
Euclid.]␈α∀Set␈↓ ∧k␈ε(T␈↓ ¬∂␈ε6␈ ␈ε(␈α
A␈ε6␈α∧␈␈↓ ε∧␈ε(q␈↓ ε↔␈ε(C␈↓ ε4␈ε",␈ε(␈α
A␈ε6␈α
␈ ␈↓ π~␈ε(C␈↓ π7␈ε",␈↓ πK␈ε(C␈↓ πq␈ε6␈ ␈↓ λ∨␈ε(T␈↓ λ9␈ε",␈↓ λN␈ε(T␈↓ λr␈ε6␈ ␈↓ 	 ␈ε(B␈↓ 	@␈ε6␈␈↓ 	i␈ε(q␈↓ 	|␈ε(D␈↓ 
≠␈ε",␈↓ 
0␈ε(B␈↓ 
U␈ε6␈ ␈↓ β␈ε(D␈↓ "␈ε",
␈βα/␈↓ 	T␈ε↓␈
␈βαM␈↓ α␈ε(D␈↓ α5␈ε6␈ ␈↓ αc␈ε(T␈↓ α⎇␈ε",␈↓ β∩␈ε(T␈↓ β6␈ε6␈ ␈↓ βd␈ε(u␈↓ βe␈ε"∂␈↓ β⎇␈ε6␈␈↓ ∧'␈ε(q␈↓ ∧:␈ε"∂␈↓ ∧:␈ε(v␈↓ ∧M␈ε",␈↓ ∧a␈ε(u␈↓ ∧c␈ε"∂␈↓ ¬␈ε6␈ ␈↓ ¬.␈ε(v␈↓ ¬/␈ε"∂␈↓ ¬A␈ε",␈↓ ¬V␈ε"∂␈↓ ¬V␈ε(v␈↓ ¬s␈ε6␈ ␈↓ ε!␈ε(T␈↓ ε:␈ε",␈αand␈αgo␈α
back␈αto␈α
step␈αL2.␈↓ 	b␈ε"These␈α
single-
␈βαy␈↓ α␈ε"precision␈αcalculations␈αare␈αthe␈αequiv␈α⎇alen␈α␈t␈αof␈αm␈α␈ultiple-precision␈αoperations,␈αas
␈ββ¬␈↓ ε↑␈ε↓↓
␈ββ$␈↓ α␈ε"in␈α(28),␈αunder␈αthe␈αcon␈α␈v␈α␈en␈α␈tions␈αof␈α(29).
␈ββ\␈↓ ↓L␈ε2L4.␈↓ α␈ε"[Multiprecision␈α⊂step.]␈α!If␈↓ ¬#␈ε(B␈↓ ¬O␈ε"=␈α⊂0,␈α∩set␈ε(␈α⊂t␈ε6␈α⊂␈ ␈ε(␈α⊃u␈↓ πZ␈ε"mod␈↓ λ$␈ε(v␈↓ λ7␈ε",␈ε(␈α⊃u␈ε6␈α⊂␈ ␈↓ 	,␈ε(v␈↓ 	?␈ε",␈↓ 	Z␈ε(v␈↓ 	⎇␈ε6␈ ␈ε(␈α⊃t␈ε",␈α⊃using
␈β∧π␈↓ α␈ε"m␈α␈ultiple-precision␈α
division.␈α∪(This␈α
happens␈α
only␈α
if␈α
the␈α
single-precision␈α
opera-
␈β∧2␈↓ α␈ε"tions␈α	cann␈α↓ot␈α
sim␈α␈ulate␈α	an␈α␈y␈α
of␈α	the␈α
m␈α␈ultiprecision␈α	ones.␈α∂It␈α
implies␈α	that␈α	Euclid's
␈β∧]␈↓ α␈ε"algorithm␈α∞requires␈α∞a␈α∞v␈α␈ery␈α∞large␈α∞quotien␈α␈t,␈α∂and␈α∞this␈α∞is␈α∞an␈α∞extremely␈α∞rare␈α∞oc-
␈β¬	␈↓ α␈ε"currence.)␈α≥Otherwise,␈α∂set␈ε(␈α∞t␈ε6␈α∞␈ ␈ε(␈α∞Au␈ε",␈ε(␈α∞t␈ε6␈α∞␈ ␈ε(␈α∞t␈ε"␈α
+␈↓ πY␈ε(B␈↓ πu␈ε(v␈↓ λπ␈ε",␈↓ λ ␈ε(w␈↓ λI␈ε6␈ ␈↓ λz␈ε(C␈↓ 	↔␈ε(u␈ε",␈↓ 	D␈ε(w␈↓ 	m␈ε6␈ ␈↓ 
∨␈ε(w␈↓ 
C␈ε"+␈↓ 
p␈ε(D␈↓ ⊂␈ε(v␈↓ "␈ε",
␈β¬4␈↓ α␈ε(u␈ε6␈α
␈ ␈ε(␈α∞t␈ε",␈↓ βε␈ε(v␈↓ β&␈ε6␈ ␈↓ βX␈ε(w␈↓ ∧↓␈ε"(using␈α∞straigh␈α␈tforw␈α␈ard␈α∞m␈α␈ultiprecision␈α∞operations).␈α⊗Go␈α∞back
␈β¬←␈↓ α␈ε"to␈αstep␈αL1.
␈β¬h␈↓ β`␈∧¬hβ`≠∂
␈βε#␈↓ α␈ε"The␈α∂v␈α⎇alues␈α∂of␈ε(␈α∂A␈ε",␈↓ ∧'␈ε(B␈↓ ∧C␈ε",␈↓ ∧]␈ε(C␈↓ ∧y␈ε",␈↓ ¬∪␈ε(D␈↓ ¬A␈ε"remain␈α∂as␈α∂single-precision␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈α∂through␈α↓out
␈βεN␈↓ ↓H␈ε"this␈αcalculation,␈αbecause␈αof␈α(31).
␈βεz␈↓ α␈ε"Algorithm␈α⊃L␈α⊂requires␈α⊃a␈α⊂somewhat␈α⊃m␈α↓ore␈α⊃complicated␈α⊂program␈α⊃than␈α⊂Algo-
␈βπ%␈↓ ↓H␈ε"rithm␈α
B␈↓ αB␈ε",␈α
but␈αwith␈α
large␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈αit␈α
will␈α
be␈α
faster␈αon␈α
man␈α␈y␈α
computers.␈α∂Algorithm
␈βπQ␈↓ ↓H␈ε"B␈α∞can,␈α∞h␈α↓o␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α∂be␈α∞speeded␈α∞up␈α∂in␈α∞a␈α∞similar␈α∞w␈α␈a␈α␈y␈α∞(see␈α∞exercise␈α∞34),␈α∂to␈α∞the␈α∞poin␈α␈t
␈βπ|␈↓ ↓H␈ε"where␈α∞it␈α∂con␈α␈tin␈α␈ues␈α∞to␈α∂win.␈α_Algorithm␈α∞L␈α∂has␈α∂the␈α∞adv␈α⎇an␈α␈tage␈α∂that␈α∞it␈α∂can␈α∞readily
␈βλ'␈↓ ↓H␈ε"be␈αextended,␈αas␈αin␈αAlgorithm␈αX␈α(see␈αexercise␈α17);␈αfurtherm␈α↓ore,␈αit␈αdetermines␈αthe
␈βλR␈↓ ↓H␈ε"sequence␈αof␈αquotien␈α␈ts␈αobtained␈αin␈αEuclid's␈αalgorithm,␈αand␈αthis␈αyields␈αthe␈αregular
␈βλ⎇␈↓ ↓H␈ε"con␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction␈αexpansion␈αof␈αa␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α(see␈αexercise␈α4.5.3↑18).
␈β	B␈↓ ↓H␈ε2Analysis␈αof␈α
the␈αbinary␈α
algorithm.␈ε"␈α~Let␈α
us␈αconclude␈α
this␈α
section␈αby␈α
studying␈αthe
␈β	m␈↓ ↓H␈ε"running␈αtime␈αof␈↓ βJ␈ε"Algorithm␈αB␈↓ ¬∞␈ε",␈αin␈αorder␈αto␈αjustify␈αthe␈αform␈α␈ulas␈αstated␈αearlier.
␈β
_␈↓ α␈ε"An␈α∞exact␈α∞determination␈α∂of␈α∞the␈α∞beha␈α␈vior␈α∞of␈α∞Algorithm␈α∂B␈α∞appears␈α∞to␈α∞be␈α∞ex-
␈β
D␈↓ ↓H␈ε"ceedingly␈α∞di}cult␈α∂to␈α∂deriv␈α␈e,␈α∂but␈α∂w␈α␈e␈α∞can␈α∂begin␈α∂to␈α∞study␈α∂it␈α∂by␈α∞means␈α∂of␈α∂an␈α∞ap-
␈β
o␈↓ ↓H␈ε"pro␈α␈ximate␈α
m␈α↓odel␈α
of␈α
its␈α
beha␈α␈vior.␈α∀Suppose␈α
that␈ε(␈α
u␈ε"␈α
and␈↓ λ'␈ε(v␈↓ λG␈ε"are␈α
odd␈α
n␈α␈um␈α␈bers,␈α
with
␈β~␈↓ ↓H␈ε(u␈ε"␈α	>␈↓ α∀␈ε(v␈↓ α3␈ε"and
␈βG␈↓ ∧d␈ε6b␈↓ ∧r␈ε"lg␈↓ ¬∀␈ε(u␈ε6c␈ε"␈α
=␈ε(␈α
m␈ε",␈ε6␈↓ εgb␈↓ εu␈ε"lg␈↓ π↔␈ε(v␈↓ π*␈ε6c␈ε"␈α
=␈ε(␈α
n␈ε".␈↓ 
p␈ε"(32)
␈βn␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ 	R␈ε↓↓
␈β
␈↓ ↓V␈ε"Th␈α␈us,␈ε(␈α
u␈ε"␈α
is␈αan␈α
(␈ε(m␈ε"␈α∧+␈α¬1)-bit␈α
n␈α␈um␈α␈ber,␈αand␈↓ ε3␈ε(v␈↓ εP␈ε"is␈α
an␈α(␈ε(n␈ε"␈α∧+␈α¬1)-bit␈α
n␈α␈um␈α␈ber.␈↓ 	j␈ε"Algorithm␈α
B
␈β2␈↓ 
X␈ε90
␈β8␈↓ ↓H␈ε"forms␈ε(␈αu␈ε6␈α¬␈␈↓ αo␈ε(v␈↓ β
␈ε"and␈αshi$s␈αthis␈α
quan␈α␈tit␈α␈y␈αrigh␈α␈t␈αun␈α␈til␈αobtaining␈αan␈αodd␈αn␈α␈um␈α␈ber␈↓ 
C␈ε(u␈↓ 
j␈ε"that
␈β]␈↓ 	Q␈ε90
␈βc␈↓ ↓H␈ε"replaces␈ε(␈αu␈ε".␈α∩Under␈α
random␈α
conditions,␈α
w␈α␈e␈α
w␈α␈ould␈αexpect␈α
to␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ 	=␈ε(u␈↓ 	e␈ε"=␈α(␈ε(u␈ε6␈αλ␈␈↓ 
j␈ε(v␈↓ 
|␈ε")/2
␈β
λ␈↓ ¬⊗␈ε90␈↓ 
u␈ε90
␈β
∞␈↓ ↓H␈ε"about␈α
one-half␈α
of␈α
the␈α
time,␈↓ ¬↓␈ε(u␈↓ ¬*␈ε"=␈α(␈ε(u␈ε6␈αλ␈␈↓ ε0␈ε(v␈↓ εC␈ε")/4␈α
about␈α
one-fourth␈α
of␈α
the␈α
time,␈↓ 
`␈ε(u␈↓ λ␈ε"=
␈β
9␈↓ ↓H␈ε"(␈ε(u␈ε6␈απ␈␈↓ α≤␈ε(v␈↓ α/␈ε")/8␈αabout␈αone-eigh␈α␈th␈αof␈αthe␈αtime,␈αand␈αso␈αon.␈α⊂We␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β∞	␈↓ ¬Z␈ε90
␈β∞⊃␈↓ ¬∃␈ε6b␈↓ ¬#␈ε"lg␈↓ ¬E␈ε(u␈↓ ¬b␈ε6c␈ε"␈α
=␈ε(␈α
m␈ε6␈αλ␈␈↓ ε|␈ε(k␈↓ π_␈ε6␈␈↓ πD␈ε(r␈↓ πU␈ε",␈↓ 
p␈ε"(33)
␈β∞i␈↓ ↓H␈ε"where␈↓ α5␈ε(k␈↓ αZ␈ε"is␈α⊃the␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊃of␈α⊃places␈α⊃that␈ε(␈α⊃u␈ε6␈α␈␈↓ π␈ε(v␈↓ π0␈ε"is␈α⊃shi$ed␈α⊃righ␈α␈t,␈α∩and␈α⊃where␈↓ 
s␈ε(r␈↓ ∀␈ε"is
␈β∂∀␈↓ ↓H␈ε6b␈↓ ↓V␈ε"lg␈↓ ↓x␈ε(u␈ε6␈α␈c␈α
␈␈α	b␈↓ α←␈ε"lg␈↓ α{␈ε"(␈ε(u␈ε6␈α	␈␈↓ βS␈ε(v␈↓ βe␈ε")␈ε6c␈ε",␈α∂the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∞bits␈α∞lost␈α∞at␈α∞the␈α∞le$␈α∞during␈α∞the␈α∞subtraction
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"of␈↓ ↓s␈ε(v␈↓ α∩␈ε"from␈ε(␈α
u␈ε".␈α∪Note␈αthat␈↓ ∧B␈ε(r␈↓ ∧↑␈ε6∀␈ε"␈α1␈α
when␈ε(␈α
m␈ε6␈α∃␈ε(␈αn␈ε"␈α	+␈αλ2,␈α
and␈↓ λ!␈ε(r␈↓ λ=␈ε6∃␈ε"␈α1␈αwhen␈ε(␈α
m␈ε"␈α=␈ε(␈αn␈ε".␈α∩F␈α⎇or
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"simplicit␈α␈y,␈α
w␈α␈e␈α
will␈α	assume␈α
that␈↓ ¬.␈ε(r␈↓ ¬H␈ε"=␈α
0␈α
when␈ε(␈α
m␈ε6␈α
≤␈ε(␈α
n␈ε"␈α	and␈α
that␈↓ λu␈ε(r␈↓ 	∂␈ε"=␈α
1␈α
when␈ε(␈α
m␈ε"␈α
=␈ε(␈α
n␈ε"␈α␈,
␈β⊂⊂␈↓ εp␈ε90
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"alth␈α↓ough␈αthis␈αlo␈α␈w␈α␈er␈αbound␈αtends␈αto␈αmak␈α␈e␈↓ ε\␈ε(u␈↓ π∧␈ε"seem␈αlarger␈αthan␈αit␈αusually␈αis.
␈β⊂B␈↓ α␈ε"The␈α∞appro␈α␈ximate␈α∞m␈α↓odel␈α
w␈α␈e␈α∞shall␈α∞use␈α∞to␈α∞study␈α
Algorithm␈α∞B␈α∞is␈α∞based␈α
solely
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"on␈α
the␈αv␈α⎇alues␈ε(␈α
m␈ε"␈α
=␈ε6␈α
b␈↓ ∧β␈ε"lg␈↓ ∧%␈ε(u␈ε6c␈ε"␈αand␈ε(␈α
n␈ε"␈α
=␈ε6␈α
b␈↓ ¬s␈ε"lg␈↓ ε∃␈ε(v␈↓ ε(␈ε6c␈ε"␈α
through␈α↓out␈αthe␈αcourse␈α
of␈αthe␈α
algorithm,
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓ot␈α∞on␈α∂the␈α∞actual␈α∂v␈α⎇alues␈α∞of␈ε(␈α∂u␈ε"␈α∞and␈↓ ¬t␈ε(v␈↓ επ␈ε".␈α↔Let␈α∂us␈α∞call␈α∂this␈α∞appro␈α␈ximation␈α∂a␈↓ 
>␈ε/lattice-
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.2␈↓ 
v␈ε"331
␈β↓Z␈↓ ¬V␈ε.THE␈α
GR␈α␈EA␈α}TES␈α␈T␈αC␈α␈OMMON␈α
DI␈α␈VIS␈α␈OR
␈βα"␈↓ ↓H␈ε/poin␈α␈t␈α
m␈α↓odel␈ε",␈α
since␈αw␈α␈e␈α
will␈α
sa␈α␈y␈α
that␈αw␈α␈e␈α
are␈α
\at␈α
the␈αpoin␈α␈t␈α
(␈ε(m␈ε",␈ε(␈αεn␈ε"␈α␈)"␈αwhen␈ε6␈α
b␈↓ 
⊂␈ε"lg␈↓ 
2␈ε(u␈ε6c␈ε"␈α
=␈ε(␈α
m
␈βαG␈↓ 	P␈ε90
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"and␈ε6␈α∞b␈↓ α≡␈ε"lg␈↓ α@␈ε(v␈↓ αS␈ε6c␈ε"␈α
=␈ε(␈α
n␈ε".␈α⊗F␈α⎇rom␈α∞poin␈α␈t␈α∞(␈ε(m␈ε",␈ε(␈αεn␈ε")␈α∞the␈α∞algorithm␈α∞tak␈α␈es␈α∞us␈α∞to␈α∞(␈↓ 	0␈ε(m␈↓ 	X␈ε",␈ε(␈αεn␈ε")␈α∞if␈ε(␈α∞u␈ε"␈α
>␈↓ ⊂␈ε(v␈↓ "␈ε",
␈βαs␈↓ αx␈ε90
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"or␈α∂to␈α⊂(␈ε(m␈ε"␈α␈,␈↓ αb␈ε(n␈↓ β␈ε")␈α∂if␈ε(␈α⊂u␈ε"␈α∂<␈↓ ∧→␈ε(v␈↓ ∧,␈ε",␈α⊂or␈α⊂terminates␈α∂if␈ε(␈α⊂u␈ε"␈α∂=␈↓ π)␈ε(v␈↓ π<␈ε".␈α~F␈α⎇or␈α⊂example,␈α⊂the␈α∂calculation
␈ββ$␈↓ ↓H␈ε"starting␈α
with␈ε(␈α
u␈ε"␈α=␈α20451,␈↓ ∧e␈ε(v␈↓ ¬∧␈ε"=␈α6035␈α
that␈α
is␈α
tabulated␈α∞a$er␈α
Algorithm␈α
B␈α
begins
␈ββO␈↓ ↓H␈ε"at␈α∞the␈α∞poin␈α␈t␈α∂(14,␈αε12),␈α∞then␈α∂goes␈α∞to␈α∞(9,␈αε12),␈α∂(9,␈αε11),␈α∂(9,␈αε9),␈α∂(4,␈αε9),␈α∂(4,␈αε5),␈α∂(4,␈αε4),␈α∞and
␈ββz␈↓ ↓H␈ε"terminates.␈α∂In␈αline␈α
with␈αthe␈α
commen␈α␈ts␈αof␈α
the␈αpreceding␈αparagraph,␈α
w␈α␈e␈αwill␈α
mak␈α␈e
␈β∧%␈↓ ↓H␈ε"the␈α
follo␈α␈wing␈αassumptions␈α
about␈αthe␈α
probabilit␈α␈y␈αthat␈α
w␈α␈e␈αreach␈α
a␈α
giv␈α␈en␈αpoin␈α␈t␈α
just
␈β∧Q␈↓ ↓H␈ε"a$er␈αpoin␈α␈t␈α(␈ε(m␈ε"␈α␈,␈ε(␈αεn␈ε"):
␈β¬.␈↓ βε␈ε"Case␈α1,␈ε(␈αm␈ε"␈α
>␈ε(␈α
n␈ε".␈↓ πx␈ε"Case␈α2,␈ε(␈αm␈ε"␈α
<␈ε(␈α
n␈ε".
␈β¬d␈↓ α%␈ε"Next␈αpoin␈α␈t␈↓ ∧-␈ε"Probabilit␈α␈y␈↓ π↔␈ε"Next␈αpoin␈α␈t␈↓ 	∨␈ε"Probabilit␈α␈y
␈βε∃␈↓ ∧⎇␈ε%1␈↓ 	p␈ε%1
␈βε~␈↓ α)␈ε"(␈ε(m␈ε6␈απ␈␈ε"␈αλ1,␈ε(␈αεn␈ε")␈↓ π≠␈ε"(␈ε(m␈ε",␈ε(␈αεn␈ε6␈απ␈␈ε"␈αλ1)
␈βε*␈↓ ∧⎇␈ε%2␈↓ 	p␈ε%2
␈βε.␈↓ ∧⎇␈∧ε.∧⎇α⊂␈↓ 	p␈∧ε.	pα⊂
␈βεD␈↓ ∧⎇␈ε%1␈↓ 	p␈ε%1
␈βεH␈↓ α)␈ε"(␈ε(m␈ε6␈απ␈␈ε"␈αλ2,␈ε(␈αεn␈ε")␈↓ π≠␈ε"(␈ε(m␈ε",␈ε(␈αεn␈ε6␈απ␈␈ε"␈αλ2)
␈βεY␈↓ ∧⎇␈ε%4␈↓ 	p␈ε%4
␈βε]␈↓ ∧⎇␈∧ε]∧⎇α⊂␈↓ 	p␈∧ε]	pα⊂
␈βεt␈↓ αe␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧p␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πX␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	b␈ε6↓␈αε↓␈αε↓
␈βπ→␈↓ ∧y␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ 	o␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈βπ~␈↓ ∧Z␈ε%1␈↓ 	P␈ε%1
␈βπ∨␈↓ αR␈ε"(1,␈ε(␈αεn␈ε")␈↓ ∧J␈ε"(␈↓ ∧m␈ε")␈↓ π@␈ε"(␈ε(m␈ε",␈αε1)␈↓ 	@␈ε"(␈↓ 	c␈ε")
␈βπ0␈↓ ∧Z␈ε%2␈↓ 	P␈ε%2
␈βπ3␈↓ ∧Z␈∧π3∧Zα⊂␈↓ 	P␈∧π3	Pα⊂
␈βπH␈↓ ∧y␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ 	o␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈βπI␈↓ ∧Z␈ε%1␈↓ 	P␈ε%1
␈βπN␈↓ αR␈ε"(0,␈ε(␈αεn␈ε")␈↓ ∧J␈ε"(␈↓ ∧m␈ε")␈↓ π@␈ε"(␈ε(m␈ε",␈αε0)␈↓ 	@␈ε"(␈↓ 	c␈ε")
␈βπ↑␈↓ ∧Z␈ε%2␈↓ 	P␈ε%2
␈βπb␈↓ ∧Z␈∧πb∧Zα⊂␈↓ 	P␈∧πb	Pα⊂
␈βλ+␈↓ ¬~␈ε"Case␈α3,␈ε(␈αm␈ε"␈α
=␈ε(␈α
n␈ε"␈α
>␈α
0.
␈βλa␈↓ ∧∪␈ε"Next␈αpoin␈α␈t␈↓ λ
␈ε"Probabilit␈α␈y
␈β	∪␈↓ λD␈ε%1␈↓ λq␈ε%1
␈β	↔␈↓ β:␈ε"(␈ε(m␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ2,␈ε(␈αεn␈ε"),␈α(␈ε(m␈ε"␈α␈,␈ε(␈αεn␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ2)␈↓ λW␈ε",
␈β	(␈↓ λD␈ε%4␈↓ λq␈ε%4
␈β	+␈↓ λD␈∧	+λDα⊂␈↓ λq␈∧	+λqα⊂
␈β	B␈↓ λD␈ε%1␈↓ λq␈ε%1
␈β	F␈↓ β:␈ε"(␈ε(m␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ3,␈ε(␈αεn␈ε"),␈α(␈ε(m␈ε"␈α␈,␈ε(␈αεn␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ3)␈↓ λW␈ε",
␈β	W␈↓ λD␈ε%8␈↓ λq␈ε%8
␈β	Z␈↓ λD␈∧	ZλDα⊂␈↓ λq␈∧	Zλqα⊂
␈β	q␈↓ ∧T␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λM␈ε6↓␈αε↓␈αε↓
␈β
⊗␈↓ λ<␈ε+m␈↓ 	≤␈ε+m
␈β
_␈↓ λ≥␈ε%1␈↓ λ⎇␈ε%1
␈β
≥␈↓ ∧	␈ε"(0,␈ε(␈αεn␈ε"),␈α(␈ε(m␈ε"␈α␈,␈αε0)␈↓ λ
␈ε"(␈↓ λ0␈ε")␈↓ λW␈ε",␈α(␈↓ 	⊂␈ε")
␈β
-␈↓ λ≥␈ε%2␈↓ λ⎇␈ε%2
␈β
1␈↓ λ≥␈∧
1λ≥α⊂␈↓ λ⎇␈∧
1λ⎇α⊂
␈β
E␈↓ λh␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1
␈β
G␈↓ λI␈ε%1
␈β
K␈↓ ∧≥␈ε"terminate␈↓ λ9␈ε"(␈↓ λ\␈ε")
␈β
\␈↓ λI␈ε%2
␈β
←␈↓ λI␈∧
←λIα⊂
␈β4␈↓ α␈ε"F␈α⎇or␈α∞example,␈α∂from␈α∞poin␈α␈ts␈α∞(5,␈αε3)␈α
the␈α∞lattice-poin␈α␈t␈α∞m␈α↓odel␈α∞w␈α␈ould␈α∞go␈α∞to␈α∞poin␈α␈ts
␈β[␈↓ 	8␈ε%1␈↓ 	f␈ε%1␈↓ 
∀␈ε%1␈↓ 
J␈ε%1␈↓ λ␈ε%1
␈β←␈↓ ↓H␈ε"(4,␈αε3),␈α
(3,␈αε3),␈α
(2,␈αε3),␈α
(1,␈αε3),␈α
(0,␈αε3)␈α
with␈αthe␈α
respectiv␈α␈e␈α
probabilities␈↓ 	K␈ε",␈↓ 	y␈ε",␈↓ 
(␈ε",␈↓ 
e␈ε",␈↓ "␈ε";
␈βp␈↓ 	8␈ε%2␈↓ 	f␈ε%4␈↓ 
∀␈ε%8␈↓ 
C␈ε%16␈↓ ␈ε%16
␈βs␈↓ 	8␈∧s	8α⊂␈↓ 	f␈∧s	fα⊂␈↓ 
∀␈∧s
∀α⊂␈↓ 
C␈∧s
Cα∨␈↓ ␈∧sα∨
␈β
␈↓ ↓H␈ε"from␈α∂(4,␈αε4)␈α∂it␈α⊂w␈α␈ould␈α∂go␈α⊂to␈α∂(2,␈αε4),␈α⊂(1,␈αε4),␈α⊃(0,␈αε4),␈α⊂(4,␈αε2),␈α⊂(4,␈αε1),␈α⊂(4,␈αε0),␈α⊃or␈α∂w␈α␈ould␈α∂ter-
␈β1␈↓ εV␈ε%1␈↓ π¬␈ε%1␈↓ π:␈ε%1␈↓ πp␈ε%1␈↓ λ∨␈ε%1␈↓ λU␈ε%1␈↓ 	
␈ε%1
␈β6␈↓ ↓H␈ε"minate,␈α
with␈α
the␈α
respectiv␈α␈e␈αprobabilities␈↓ εi␈ε",␈↓ π_␈ε",␈↓ πU␈ε",␈↓ λ∧␈ε",␈↓ λ2␈ε",␈↓ λo␈ε",␈↓ 	≡␈ε".␈α∩When␈ε(␈α
m␈ε"␈α
and␈ε(␈α
n
␈βF␈↓ εV␈ε%4␈↓ π¬␈ε%8␈↓ π3␈ε%16␈↓ πp␈ε%4␈↓ λ∨␈ε%8␈↓ λM␈ε%16␈↓ 	
␈ε%8
␈βJ␈↓ εV␈∧JεVα⊂␈↓ π¬␈∧Jπ¬α⊂␈↓ π3␈∧Jπ3α∨␈↓ πp␈∧Jπpα⊂␈↓ λ∨␈∧Jλ∨α⊂␈↓ λM␈∧JλMα∨␈↓ 	
␈∧J	
α⊂
␈βa␈↓ ↓H␈ε"are␈αboth␈α
0,␈αthe␈αform␈α␈ulas␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αdo␈αn␈α↓ot␈αapply;␈αthe␈αalgorithm␈αalw␈α␈a␈α␈ys␈αterminates␈α
in
␈β
␈↓ ↓H␈ε"such␈αa␈αcase,␈αsince␈ε(␈αm␈ε"␈α	=␈ε(␈α
n␈ε"␈α
=␈α
0␈αimplies␈αthat␈ε(␈αu␈ε"␈α
=␈↓ π>␈ε(v␈↓ π[␈ε"=␈α
1.
␈β
=␈↓ α␈ε"The␈α∞detailed␈α∞calculations␈α∞of␈α
exercise␈α∞18␈α∞sh␈α↓o␈α␈w␈α∞that␈α∞this␈α∞lattice-poin␈α␈t␈α
m␈α↓odel
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"is␈α∩somewhat␈α∩pessimistic.␈α#In␈α∩fact,␈α∀when␈ε(␈α∩m␈ε"␈α∀>␈α∃3␈α∩the␈α∩actual␈α∩probabilit␈α␈y␈α∩that
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"Algorithm␈α
B␈αgoes␈αfrom␈α(␈ε(m␈ε"␈α␈,␈ε(␈αεm␈ε")␈αto␈αone␈α
of␈αthe␈αt␈α␈w␈α␈o␈α
poin␈α␈ts␈α(␈ε(m␈ε6␈α¬␈␈ε"␈αε2,␈ε(␈αεm␈ε")␈α
or␈α(␈ε(m␈ε",␈ε(␈αεm␈ε6␈α¬␈␈ε"␈α¬2)
␈β∞:␈↓ αt␈ε%1␈↓ π]␈ε%1
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε"is␈α
equal␈α
to␈↓ βπ␈ε",␈αalth␈α↓ough␈α
w␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
assumed␈α
the␈α
v␈α⎇alue␈↓ πp␈ε";␈αthe␈α
algorithm␈α
actually␈α
goes
␈β∞O␈↓ αt␈ε%8␈↓ π]␈ε%2
␈β∞S␈↓ αt␈∧∞Sαtα⊂␈↓ π]␈∧∞Sπ]α⊂
␈β∞e␈↓ λm␈ε%7␈↓ 	c␈ε%1
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε"from␈α(␈ε(m␈ε",␈ε(␈αεm␈ε")␈αto␈α(␈ε(m␈ε6␈αλ␈␈ε"␈απ3,␈ε(␈αεm␈ε")␈αor␈α(␈ε(m␈ε",␈ε(␈αεm␈ε6␈απ␈␈ε"␈αλ3)␈αwith␈αprobabilit␈α␈y␈↓ 	λ␈ε",␈αn␈α↓ot␈↓ 	v␈ε";␈αit␈αactually
␈β∞z␈↓ λf␈ε%32␈↓ 	c␈ε%4
␈β∞}␈↓ λf␈∧∞}λfα∨␈↓ 	c␈∧∞}	cα⊂
␈β∂⊂␈↓ πW␈ε%1␈↓ λG␈ε%1
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"goes␈αfrom␈α
(␈ε(m␈ε"␈αλ+␈αλ1,␈ε(␈αεm␈ε")␈αto␈α
(␈ε(m␈ε",␈ε(␈αεm␈ε")␈αwith␈α
probabilit␈α␈y␈↓ πj␈ε",␈α
n␈α↓ot␈↓ λZ␈ε".␈α⊃The␈α
probabilities␈αin
␈β∂&␈↓ πW␈ε%8␈↓ λG␈ε%2
␈β∂)␈↓ πW␈∧∂)πWα⊂␈↓ λG␈∧∂)λGα⊂
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"the␈α
m␈α↓odel␈αare␈α
nearly␈α
correct␈α
when␈ε6␈α
j␈ε(m␈ε6␈αλ␈␈ε(␈α	n␈ε6␈α␈j␈ε"␈α
is␈α
large,␈α
but␈α
when␈ε6␈α
j␈ε(m␈ε6␈αλ␈␈ε(␈α	n␈ε6j␈ε"␈α
is␈αsmall
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"the␈αm␈α↓odel␈αpredicts␈αslo␈α␈w␈α␈er␈αcon␈α␈v␈α␈ergence␈αthan␈αis␈αactually␈αobtained.␈α∂In␈αspite␈αof␈αthe
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"fact␈αthat␈α
our␈α
m␈α↓odel␈α
is␈αn␈α↓ot␈α
a␈α
completely␈α
faithful␈αrepresen␈α␈tation␈α
of␈α
Algorithm␈αB␈↓ "␈ε",
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"it␈α
has␈α
one␈α∞great␈α
virtue:␈α∂It␈α
can␈α∞be␈α
completely␈α∞analyzed!␈α∀F␈α⎇urtherm␈α↓ore,␈α
empirical
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"experimen␈α␈ts␈αwith␈α
Algorithm␈αB␈αsh␈α↓o␈α␈w␈α
that␈αthe␈α
beha␈α␈vior␈αpredicted␈α
by␈αthe␈αlattice-
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈αm␈α↓odel␈αis␈αanalogous␈αto␈αthe␈αtrue␈αbeha␈α␈vior.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"332␈↓ 
b␈ε"4.5.2
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα$␈↓ α␈ε"An␈α⊃analysis␈α⊃of␈α⊂the␈α⊃lattice-poin␈α␈t␈α⊃m␈α↓odel␈α⊃can␈α⊃be␈α⊂carried␈α⊃out␈α⊃by␈α⊃solving␈α⊂the
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"follo␈α␈wing␈αrather␈αcomplicated␈αset␈αof␈αdouble␈αrecurrence␈αrelations:
␈ββ#␈↓ β~␈ε"1␈↓ ¬z␈ε"1␈↓ πT␈ε(b
␈ββ;␈↓ ↓H␈ε(A␈↓ α!␈ε"=␈ε(␈α
a␈ε"␈αλ+␈↓ β0␈ε(A␈↓ ∧I␈ε"+␈↓ ∧u␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬'␈ε"+␈↓ ε4␈ε(A␈↓ π␈ε"+␈↓ λ
␈ε",␈↓ λc␈ε"if␈ε(␈αm␈ε6␈α
∃␈ε"␈α
1;
␈ββG␈↓ ↓b␈ε+m␈α␈m␈↓ βJ␈ε+m␈ε%␈α␈(␈ε+␈α↓m␈ε9␈α␈␈␈ε%2)␈↓ εN␈ε+m␈ε%0
␈ββO␈↓ β~␈∧βOβ~α∩␈↓ ¬W␈∧βO¬WαZ␈↓ π0␈∧βOπ0αZ
␈ββQ␈↓ ¬i␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ πB␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1
␈ββT␈↓ β~␈ε"2␈↓ ¬W␈ε"2␈↓ π0␈ε"2
␈ββ⎇␈↓ β⊗␈ε"1␈↓ ¬o␈ε"1␈↓ π@␈ε"1
␈β∧∃␈↓ ↓P␈ε(A␈↓ α!␈ε"=␈ε(␈α
c␈ε"␈αλ+␈↓ β,␈ε(A␈↓ ∧=␈ε"+␈↓ ∧i␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬≠␈ε"+␈↓ ε(␈ε(A␈↓ εl␈ε"+␈↓ πy␈ε(A␈↓ λ5␈ε",␈↓ λc␈ε"if␈ε(␈αm␈ε"␈α
>␈ε(␈α
n␈ε6␈α
∃␈ε"␈α
0;
␈β∧!␈↓ ↓j␈ε+m␈α␈n␈↓ βF␈ε%(␈ε+m␈ε9␈␈ε%1)␈ε+n␈↓ εB␈ε%1␈ε+n␈↓ λ∪␈ε%0␈ε+␈α↓n
␈β∧)␈↓ β⊗␈∧∧)β⊗α∩␈↓ ¬K␈∧∧)¬KαZ␈↓ π≤␈∧∧)π≤αZ
␈β∧+␈↓ ¬]␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ π.␈ε+m␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈β∧.␈↓ β⊗␈ε"2␈↓ ¬K␈ε"2␈↓ π≤␈ε"2
␈β∧d␈↓ ↓P␈ε(A␈↓ α!␈ε"=␈↓ αO␈ε(A␈↓ β⊗␈ε",␈↓ λc␈ε"if␈ε(␈αn␈ε"␈α
>␈ε(␈α
m␈ε6␈α
∃␈ε"␈α
0.␈↓ 
p␈ε"(34)
␈β∧p␈↓ ↓j␈ε+m␈α␈n␈↓ αi␈ε+n␈α␈m
␈β¬?␈↓ ↓H␈ε"The␈α
problem␈α
is␈α
to␈α
solv␈α␈e␈α
for␈↓ ∧r␈ε(A␈↓ ¬D␈ε"in␈α
terms␈α
of␈ε(␈α
m␈ε",␈ε(␈α
n␈ε",␈α
and␈αthe␈α
parameters␈ε(␈α
a␈ε",␈ε(␈α
b␈ε"␈α↓,␈ε(␈α
c␈ε"␈α
and
␈β¬K␈↓ ¬␈ε+mn
␈β¬j␈↓ ↓H␈ε(A␈↓ α␈ε".␈α∂This␈αis␈α
an␈α
in␈α␈teresting␈αset␈α
of␈↓ ¬J␈ε"recurrence␈αequations,␈α
which␈αha␈α␈v␈α␈e␈α
an␈α
in␈α␈teresting
␈β¬v␈↓ ↓b␈ε%00
␈βε∃␈↓ ↓H␈ε"solution.
␈βεB␈↓ α␈ε"First␈αw␈α␈e␈αobserv␈α␈e␈αthat␈αif␈α0␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
n␈ε"␈α
<␈ε(␈α
m␈ε",
␈βε|␈↓ ∧⎇␈ε↓X
␈βπ⊗␈↓ ¬j␈ε9␈␈↓ ελ␈ε+k␈↓ λ∃␈ε9␈␈ε+m
␈βπ≡␈↓ αX␈ε(A␈↓ βk␈ε"=␈ε(␈α
c␈ε"␈α	+␈↓ ¬X␈ε"2␈↓ ε_␈ε(A␈↓ πW␈ε"+␈↓ λβ␈ε"2␈↓ λM␈ε(A
␈βπ+␈↓ αr␈ε%(␈ε+␈α↓m␈ε%␈α␈+1)␈ε+␈α↓n␈↓ ε2␈ε%(␈ε+␈α↓m␈ε%␈α␈+1␈ε9␈␈↓ π"␈ε+k␈↓ π2␈ε%)␈ε+␈α↓n␈↓ λg␈ε%0␈ε+␈α↓n
␈βπO␈↓ ∧]␈ε%1␈ε9∀␈↓ ¬	␈ε+k␈↓ ¬~␈ε9∀␈ε+␈α␈m
␈βπb␈↓ ε⊂␈ε↓X
␈βπ⎇␈↓ ε|␈ε9␈␈↓ π~␈ε+k␈↓ π+␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ 	(␈ε9␈␈ε+␈α␈m
␈βλ␈↓ ∧a␈ε%1
␈βλ∧␈↓ βk␈ε"=␈ε(␈α
c␈ε"␈α	+␈↓ ∧t␈ε(A␈↓ ¬C␈ε"+␈↓ εj␈ε"2␈↓ πW␈ε(A␈↓ λj␈ε"+␈↓ 	⊗␈ε"2␈↓ 	`␈ε(A
␈βλ⊃␈↓ ¬∞␈ε+m␈α␈n␈↓ πq␈ε%(␈ε+␈α↓m␈ε9␈α␈␈␈↓ λ4␈ε+k␈↓ λE␈ε%)␈ε+n␈↓ 	z␈ε%0␈ε+n
␈βλ∃␈↓ ∧a␈ε%2
␈βλ→␈↓ ∧a␈∧λ→∧aα⊂
␈βλ5␈↓ ¬o␈ε%1␈ε9∀␈↓ ε≤␈ε+k␈↓ ε,␈ε%<␈ε+m
␈βλ`␈↓ ∧a␈ε%1␈↓ ¬s␈ε%1
␈βλd␈↓ βk␈ε"=␈ε(␈α
c␈ε"␈α	+␈↓ ∧t␈ε(A␈↓ ¬C␈ε"+␈↓ εε␈ε"(␈↓ ε∩␈ε(A␈↓ εa␈ε6␈␈ε(␈αλc␈ε"␈α↓)
␈βλp␈↓ ¬∞␈ε+m␈α␈n␈↓ ε,␈ε+mn
␈βλu␈↓ ∧a␈ε%2␈↓ ¬s␈ε%2
␈βλx␈↓ ∧a␈∧λx∧aα⊂␈↓ ¬s␈∧λx¬sα⊂
␈β	$␈↓ ∧≥␈ε%1
␈β	(␈↓ βk␈ε"=␈↓ ∧0␈ε(c␈ε"␈α	+␈↓ ∧t␈ε(A␈↓ ¬;␈ε".
␈β	5␈↓ ¬∞␈ε+m␈α␈n
␈β	9␈↓ ∧≥␈ε%2
␈β	=␈↓ ∧≥␈∧	=∧≥α⊂
␈β	⎇␈↓ β␈␈ε%1
␈β
↓␈↓ ↓H␈ε"Hence␈↓ α3␈ε(A␈↓ βJ␈ε"=␈↓ ∧∪␈ε(c␈↓ ∧"␈ε(k␈↓ ∧?␈ε"+␈↓ ∧l␈ε(A␈↓ ¬4␈ε",␈α∞by␈α∞induction␈α
on␈↓ πV␈ε(k␈↓ πj␈ε".␈α∃In␈α∞particular,␈α∞since␈↓ 
C␈ε(A␈↓ λ␈ε"=
␈β
∞␈↓ αM␈ε%(␈ε+␈α↓m␈ε%␈α␈+␈↓ β⊂␈ε+k␈↓ β!␈ε%)␈ε+n␈↓ ¬ε␈ε+mn␈↓ 
]␈ε%10
␈β
∩␈↓ β␈␈ε%2
␈β
⊗␈↓ β␈␈∧
⊗β␈α⊂
␈β
-␈↓ ↓H␈ε(c␈ε"␈αλ+␈↓ α␈ε(A␈↓ αC␈ε",␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β
9␈↓ α%␈ε%00
␈ββ␈↓ ¬∞␈ε%1
␈βλ␈↓ ∧∞␈ε(A␈↓ ∧\␈ε"=␈↓ ¬!␈ε(c␈ε"(␈ε(m␈ε"␈αλ+␈αλ1)␈αλ+␈↓ εb␈ε(A␈↓ π~␈ε",␈ε(␈↓ πrm␈ε"␈α
>␈α
0.␈↓ 
p␈ε"(35)
␈β∀␈↓ ∧(␈ε+m␈ε%0␈↓ ε|␈ε%00
␈β_␈↓ ¬∞␈ε%2
␈β≤␈↓ ¬∞␈∧≤¬∞α⊂
␈βd␈↓ α␈ε"No␈α␈w␈αlet␈↓ β∪␈ε(A␈↓ βR␈ε"=␈↓ ∧␈ε(A␈↓ ∧O␈ε".␈α⊂If␈ε(␈αm␈ε"␈α
>␈α
0,␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βp␈↓ β-␈ε+m␈↓ ∧~␈ε+m␈α␈m
␈β≡␈↓ ∧
␈ε↓X
␈β9␈↓ ¬⊂␈ε9␈␈↓ ¬-␈ε+k␈↓ πC␈ε9␈␈ε+␈α␈m␈ε9␈␈ε%1
␈β@␈↓ ↓I␈ε(A␈↓ αd␈ε"=␈ε(␈α
c␈ε"␈αλ+␈↓ ∧}␈ε"2␈↓ ¬>␈ε(A␈↓ π¬␈ε"+␈↓ π1␈ε"2␈↓ λ(␈ε(A
␈βM␈↓ ↓c␈ε%(␈ε+␈α↓m␈ε%␈α␈+1)␈ε+m␈↓ ¬X␈ε%(␈ε+m␈ε%+␈α␈1␈ε9␈α↓␈␈↓ εG␈ε+k␈↓ εX␈ε%)␈ε+m␈↓ λB␈ε%0␈ε+m
␈βq␈↓ βU␈ε%1␈ε9␈α↓∀␈↓ ∧α␈ε+k␈↓ ∧∪␈ε9∀␈ε+␈α␈m␈ε%+␈α␈1
␈β
∧␈↓ ¬␈ε↓X
␈β
λ␈↓ ¬←␈ε↓␈␈↓ 	-␈ε↓↓
␈β
∨␈↓ ¬␈␈ε9␈␈↓ ε≥␈ε+k␈↓ ε-␈ε9␈␈ε%1␈↓ 
↓␈ε9␈␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1
␈β
"␈↓ βY␈ε%1
␈β
'␈↓ αd␈ε"=␈ε(␈α
c␈ε"␈αλ+␈↓ βm␈ε(A␈↓ ∧D␈ε"+␈↓ ¬m␈ε"2␈↓ εZ␈ε"(␈↓ εf␈ε(A␈↓ λB␈ε6␈␈ε(␈αλc␈ε"/2)␈↓ 	C␈ε"+␈↓ 	o␈ε"2␈↓ 
f␈ε(A
␈β
3␈↓ ∧π␈ε+m␈α␈m␈↓ π␈ε%(␈ε+␈α↓m␈ε9␈α␈␈␈↓ πC␈ε+k␈↓ πS␈ε%)␈α↓(␈ε+m␈ε%+␈α␈1␈α↓)␈↓ ␈ε%0␈ε+m
␈β
7␈↓ βY␈ε%2
␈β
;␈↓ βY␈∧
;βYα⊂
␈β
W␈↓ ∧j␈ε%1␈ε9∀␈↓ ¬↔␈ε+k␈↓ ¬'␈ε9∀␈ε+m
␈β∞␈↓ πX␈ε9␈␈ε+␈α␈m␈↓ 	k␈ε9␈␈ε+␈α␈m
␈β∞α␈↓ βY␈ε%1␈↓ ∧Y␈ε%1␈↓ λd␈ε%1
␈β∞ε␈↓ αd␈ε"=␈ε(␈α
c␈ε"␈αλ+␈↓ βm␈ε(A␈↓ ∧)␈ε"+␈↓ ∧l␈ε"(␈↓ ∧x␈ε(A␈↓ εS␈ε6␈␈ε(␈αλa␈ε6␈αλ␈␈↓ πF␈ε"2␈↓ λ⊂␈ε(b␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ λw␈ε(c␈ε"␈α↓(1␈ε6␈αλ␈␈↓ 	Y␈ε"2␈↓ 
#␈ε")
␈β∞∪␈↓ ∧π␈ε+m␈↓ ¬∩␈ε%(␈ε+␈α↓m␈ε%␈α␈+1)␈α↓(␈ε+m␈ε%+␈α␈1)
␈β∞↔␈↓ βY␈ε%2␈↓ ∧Y␈ε%2␈↓ λd␈ε%4
␈β∞~␈↓ βY␈∧∞~βYα⊂␈↓ ∧Y␈∧∞~∧Yα⊂␈↓ λd␈∧∞~λdα⊂
␈β∞%␈↓ λl␈ε↓␈␈↓ 
␈ε↓↓
␈β∞=␈↓ λπ␈ε9␈␈ε+␈α␈m␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈β∞?␈↓ λ}␈ε%1
␈β∞C␈↓ πI␈ε"+␈↓ πu␈ε"2␈↓ 	⊃␈ε(c␈ε"(␈ε(m␈ε"␈αλ+␈αλ1)␈αλ+␈↓ 
R␈ε(A
␈β∞P␈↓ 
l␈ε%00
␈β∞T␈↓ λ}␈ε%2
␈β∞X␈↓ λ}␈∧∞Xλ}α⊂
␈β∂¬␈↓ π
␈ε9␈␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ 
-␈ε9␈␈ε+␈α␈m␈ε9␈␈ε%␈α␈2
␈β∂π␈↓ β⊗␈ε%1␈↓ ¬C␈ε%3␈↓ ε≡␈ε%1
␈β∂␈↓ αd␈ε"=␈↓ β)␈ε"(␈↓ β5␈ε(A␈↓ βr␈ε"+␈↓ ∧≡␈ε(A␈↓ ∧␈␈ε")␈αλ+␈↓ ¬V␈ε(c␈ε6␈α	␈␈↓ ε1␈ε(a␈ε"␈αλ+␈↓ εx␈ε"2␈↓ πo␈ε"(␈ε(c␈ε6␈αλ␈␈ε(␈αλb␈ε"␈αλ+␈↓ 	α␈ε(A␈↓ 	;␈ε")␈αλ+␈ε(␈αλm␈↓ 
≠␈ε"2␈↓ ∩␈ε(c␈ε".
␈β∂_␈↓ βO␈ε+m␈↓ ∧8␈ε+m␈ε%␈α␈+1␈↓ 	≤␈ε%0␈α↓0
␈β∂≤␈↓ β⊗␈ε%2␈↓ ¬C␈ε%4␈↓ ε≡␈ε%2
␈β∂ ␈↓ β⊗␈∧∂ β⊗α⊂␈↓ ¬C␈∧∂ ¬Cα⊂␈↓ ε≡␈∧∂ ε≡α⊂
␈β∂4␈↓ 
p␈ε"(36)
␈β∂`␈↓ ↓H␈ε"Similar␈αmaneuv␈α␈ering,␈αas␈αsh␈α↓o␈α␈wn␈αin␈αexercise␈α19,␈αestablishes␈αthe␈αrelation
␈β⊂4␈↓ ¬t␈ε9␈␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ λ"␈ε9␈␈ε+␈α␈n␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈β⊂6␈↓ β↓␈ε%3␈↓ βy␈ε%1
␈β⊂;␈↓ ↓l␈ε(A␈↓ αO␈ε"=␈↓ β∀␈ε(A␈↓ βI␈ε"+␈↓ ∧␈ε(A␈↓ ∧m␈ε"+␈ε(␈αλ␈ε"␈αλ+␈↓ ¬b␈ε"2␈↓ εQ␈ε(␈␈↓ εp␈ε"+␈αλ(␈ε(n␈ε"␈αλ+␈αλ2)␈↓ λ⊂␈ε"2␈↓ λ␈␈ε(␈
␈↓ 	∀␈ε",␈ε(␈α*n␈ε6␈α	∃␈ε"␈α
2,␈↓ 
p␈ε"(37)
␈β⊂G␈↓ αε␈ε+n␈ε%␈α␈+1␈↓ β.␈ε+n␈↓ ∧&␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈β⊂K␈↓ β↓␈ε%4␈↓ βy␈ε%4
␈β⊂O␈↓ β↓␈∧⊂Oβ↓α⊂␈↓ βy␈∧⊂Oβyα⊂
␈β⊃⊃␈↓ β↓␈ε%1␈↓ β←␈ε%7␈↓ ε~␈ε%3␈↓ πj␈ε%1
␈β⊃∃␈↓ ↓H␈ε"where␈ε(␈α␈ε"␈α
=␈↓ β∀␈ε(a␈ε"␈αλ+␈↓ βr␈ε(c␈ε",␈↓ ∧↔␈ε(␈␈↓ ∧8␈ε"=␈↓ ∧f␈ε(A␈↓ ¬&␈ε6␈␈ε(␈αλb␈ε6␈αλ␈␈↓ ε.␈ε(c␈ε",␈αand␈↓ π→␈ε(␈
␈↓ π8␈ε"=␈↓ π⎇␈ε(c␈ε".
␈β⊃"␈↓ ¬␈ε%00
␈β⊃&␈↓ β↓␈ε%4␈↓ β←␈ε%8␈↓ ε~␈ε%2␈↓ πj␈ε%2
␈β⊃*␈↓ β↓␈∧⊃*β↓α⊂␈↓ β←␈∧⊃*β←α⊂␈↓ ε~␈∧⊃*ε~α⊂␈↓ πj␈∧⊃*πjα⊂
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.2␈↓ 
v␈ε"333
␈β↓Z␈↓ ¬V␈ε.THE␈α
GR␈α␈EA␈α}TES␈α␈T␈αC␈α␈OMMON␈α
DI␈α␈VIS␈α␈OR
␈βα"␈↓ α␈ε"Th␈α␈us␈αλthe␈αλdouble␈αλrecurrence␈αλ(34)␈αλcan␈αλbe␈αλtransformed␈αλin␈α␈to␈αλthe␈αλsingle␈αλrecurrence
␈βαG␈↓ 
?␈ε%2
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"relation␈αin␈α(37).␈α⊂Use␈αof␈αthe␈αgenerating␈αfunction␈ε(␈αG␈ε"␈α↓(␈↓ π←␈ε(z␈↓ πr␈ε")␈α
=␈↓ λ6␈ε(A␈↓ λg␈ε"+␈↓ 	∪␈ε(A␈↓ 	<␈ε(z␈↓ 	W␈ε"+␈↓ 
β␈ε(A␈↓ 
,␈ε(z␈↓ 
V␈ε"+␈↓ α␈ε6↓␈αε↓␈αε↓
␈βαZ␈↓ λP␈ε%0␈↓ 	-␈ε%1␈↓ 
≥␈ε%2
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓o␈α␈w␈αtransforms␈α(37)␈αin␈α␈to␈αthe␈αequation
␈ββB␈↓ π␈ε(␈↓ λ≥␈ε(␈␈↓ 	b␈ε(␈
␈ββR␈↓ ε∨␈ε%2
␈ββT␈↓ β"␈ε%2
␈ββU␈↓ α≡␈ε%3␈↓ α|␈ε%1
␈ββZ␈↓ ↓H␈ε"(1␈ε6␈αλ␈␈↓ α1␈ε(z␈↓ αL␈ε6␈␈↓ β∂␈ε(z␈↓ β1␈ε")␈↓ β=␈ε(G␈ε"(␈↓ βe␈ε(z␈↓ βx␈ε")␈α
=␈↓ ∧<␈ε(a␈↓ ∧b␈ε"+␈↓ ¬
␈ε(a␈↓ ¬,␈ε(z␈↓ ¬B␈ε"+␈↓ ¬j␈ε(a␈↓ ε␈ε(z␈↓ ε2␈ε"+␈↓ π>␈ε"+␈↓ λo␈ε"+␈↓ 
B␈ε",␈↓ 
p␈ε"(38)
␈ββf␈↓ ∧O␈ε%0␈↓ ¬≥␈ε%1␈↓ ¬⎇␈ε%2
␈ββk␈↓ α≡␈ε%4␈↓ α|␈ε%4
␈ββn␈↓ α≡␈∧βnα≡α⊂␈↓ α|␈∧βnα|α⊂␈↓ ε↑␈∧βnε↑αY␈↓ πj␈∧βnπjα⎇␈↓ 	~␈∧βn	~α↓$
␈ββp␈↓ 
/␈ε%2
␈ββs␈↓ ε↑␈ε"1␈ε6␈αλ␈␈↓ π$␈ε(z␈↓ πj␈ε"1␈ε6␈αλ␈␈↓ λ0␈ε(z␈↓ λC␈ε"/2␈↓ 	~␈ε"(1␈ε6␈αλ␈␈↓ 	l␈ε(z␈↓ 	␈␈ε"/2␈↓ 
#␈ε")
␈β∧=␈↓ ↓H␈ε"where␈↓ α0␈ε(a␈↓ αR␈ε",␈↓ αi␈ε(a␈↓ β␈ε",␈α
and␈↓ βi␈ε(a␈↓ ∧↔␈ε"are␈α
constan␈α␈ts␈α
that␈αcan␈α
be␈αdetermined␈α
by␈αthe␈α
v␈α⎇alues␈α
of␈↓ 
y␈ε(A␈↓ "␈ε",
␈β∧I␈↓ αC␈ε%0␈↓ α|␈ε%1␈↓ β|␈ε%2␈↓ ∪␈ε%0
␈β∧b␈↓ ¬4␈ε%2
␈β∧c␈↓ ∧3␈ε%3␈↓ ¬∞␈ε%1␈↓ εN␈ε%1
␈β∧h␈↓ ↓H␈ε(A␈↓ ↓q␈ε",␈αand␈↓ αK␈ε(A␈↓ αu␈ε".␈α∂Since␈α1␈ε6␈αε␈␈↓ ∧F␈ε(z␈↓ ∧←␈ε"+␈↓ ¬!␈ε(z␈↓ ¬M␈ε"=␈α
(1␈αε+␈↓ εa␈ε(z␈↓ εt␈ε")(1␈ε6␈αε␈␈↓ πO␈ε(z␈↓ πb␈ε"),␈αw␈α␈e␈αcan␈αexpress␈ε(␈αG␈ε"(␈↓ 
≡␈ε(z␈↓ 
1␈ε")␈αby␈αthe
␈β∧t␈↓ ↓b␈ε%1␈↓ αe␈ε%2
␈β∧y␈↓ ∧3␈ε%4␈↓ ¬∞␈ε%4␈↓ εN␈ε%4
␈β∧|␈↓ ∧3␈∧∧|∧3α⊂␈↓ ¬∞␈∧∧|¬∞α⊂␈↓ εN␈∧∧|εNα⊂
␈β¬∪␈↓ ↓H␈ε"meth␈α↓od␈αof␈αpartial␈αfractions␈αin␈αthe␈αform
␈β¬Z␈↓ ∧O␈ε(b␈↓ ¬w␈ε(b␈↓ π1␈ε(b␈↓ λ}␈ε(b␈↓ 
6␈ε(b
␈β¬g␈↓ ∧←␈ε%2␈↓ επ␈ε%3␈↓ πB␈ε%4␈↓ 	∞␈ε%5␈↓ 
G␈ε%6
␈β¬r␈↓ ↓b␈ε(G␈ε"(␈↓ α
␈ε(z␈↓ α≥␈ε")␈α
=␈↓ αa␈ε(b␈↓ βλ␈ε"+␈↓ β4␈ε(b␈↓ βT␈ε(z␈↓ βn␈ε"+␈↓ ¬*␈ε"+␈↓ ε?␈ε"+␈↓ λ∨␈ε"+␈↓ 	X␈ε"+␈↓ 	␈ε".
␈β¬␈␈↓ αq␈ε%0␈↓ βD␈ε%1
␈βεε␈↓ ∧≡␈∧εε∧≡α↓␈↓ ¬Z␈∧εε¬ZαY␈↓ εo␈∧εεεoα↓$␈↓ λO␈∧εελOα⎇␈↓ 
λ␈∧εε
λα⎇
␈βε	␈↓ ¬∂␈ε%2␈↓ λ∧␈ε%2
␈βε␈↓ ∧≡␈ε"(1␈ε6␈αλ␈␈↓ ∧p␈ε(z␈↓ ¬β␈ε")␈↓ ¬Z␈ε"1␈ε6␈αλ␈␈↓ ε ␈ε(z␈↓ εo␈ε"(1␈ε6␈αλ␈␈↓ πA␈ε(z␈↓ πT␈ε"/2␈↓ πx␈ε")␈↓ λO␈ε"1␈ε6␈αλ␈␈↓ 	∃␈ε(z␈↓ 	(␈ε"/2␈↓ 
λ␈ε"1␈αλ+␈↓ 
N␈ε(z␈↓ 
a␈ε"/4
␈βεU␈↓ ↓H␈ε"T␈α⎇edious␈α⊂manipulations␈α⊃produce␈α⊂the␈α⊃v␈α⎇alues␈α⊃of␈α⊂these␈α⊃constan␈α␈ts␈↓ 	0␈ε(b␈↓ 	P␈ε",␈↓ 	l␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 
≤␈ε",␈↓ 
7␈ε(b␈↓ 
W␈ε",␈α⊃and
␈βεb␈↓ 	A␈ε%0␈↓ 
H␈ε%6
␈βπ␈↓ ↓H␈ε"therefore␈αthe␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈ε(␈αG␈ε"␈α↓(␈↓ ¬%␈ε(z␈↓ ¬8␈ε")␈αare␈αdetermined.␈α⊂We␈α|nally␈αobtain␈αthe␈αsolution
␈βπH␈↓ β*␈ε%1␈↓ ∧⊂␈ε%7␈↓ ¬
␈ε%16␈↓ ¬w␈ε%2␈↓ εR␈ε%2␈α↓3␈↓ π<␈ε%3
␈βπL␈↓ α
␈ε(A␈↓ αV␈ε"=␈ε(␈α
n␈ε"(␈↓ β=␈ε(a␈ε"␈αλ+␈↓ ∧*␈ε(c␈ε"␈α↓)␈αλ+␈αλ(␈↓ ¬,␈ε(a␈ε"␈αλ+␈↓ ε
␈ε(b␈ε6␈αλ␈␈↓ εu␈ε(c␈ε"␈αλ+␈↓ πO␈ε(A␈↓ λλ␈ε")
␈βπY␈↓ α'␈ε+n␈α␈n␈↓ πi␈ε%00
␈βπ]␈↓ β*␈ε%5␈↓ ∧λ␈ε%10␈↓ ¬
␈ε%25␈↓ ¬w␈ε%5␈↓ εR␈ε%5␈α↓0␈↓ π<␈ε%5
␈βπa␈↓ β*␈∧πaβ*α⊂␈↓ ∧λ␈∧πa∧λα∨␈↓ ¬
␈∧πa¬
α∨␈↓ ¬w␈∧πa¬wα⊂␈↓ εR␈∧πaεRα∨␈↓ π<␈∧πaπ<α⊂
␈βπ|␈↓ βZ␈ε9␈␈ε+n
␈βπ}␈↓ ∧>␈ε%1␈↓ ¬.␈ε%2␈↓ ε
␈ε%1␈↓ εd␈ε%2
␈βλα␈↓ β≤␈ε"+␈↓ βH␈ε"2␈↓ ∧
␈ε"(␈ε6␈␈↓ ∧Q␈ε(c␈α↓n␈ε"␈απ+␈↓ ¬B␈ε(b␈ε6␈αλ␈␈↓ ε≥␈ε(c␈ε6␈αλ␈␈↓ εw␈ε(A␈↓ π0␈ε")
␈βλ∂␈↓ π⊃␈ε%0␈α↓0
␈βλ∪␈↓ ∧>␈ε%3␈↓ ¬.␈ε%3␈↓ ε
␈ε%9␈↓ εd␈ε%3
␈βλ↔␈↓ ∧>␈∧λ↔∧>α⊂␈↓ ¬.␈∧λ↔¬.α⊂␈↓ ε
␈∧λ↔ε
α⊂␈↓ εd␈∧λ↔εdα⊂
␈βλ2␈↓ ∧≠␈ε+n
␈βλ4␈↓ β|␈ε%1␈↓ ∧b␈ε%16␈↓ ¬O␈ε%16␈↓ εA␈ε%1␈α↓6␈↓ π3␈ε%16␈↓ λQ␈ε%1
␈βλ8␈↓ β≤␈ε"+␈αλ(␈ε6␈␈↓ ∧∂␈ε")␈↓ ∧.␈ε"(␈ε6␈␈↓ ¬∧␈ε(a␈ε6␈αλ␈␈↓ ¬r␈ε(b␈ε"␈αλ+␈↓ εk␈ε(c␈ε"␈α	+␈↓ πU␈ε(A␈↓ λ
␈ε")␈αλ+␈↓ λe␈ε(c␈↓ λt␈ε(∞␈↓ 	%␈ε";
␈βλE␈↓ πo␈ε%00␈↓ 	β␈ε+n␈ε%0
␈βλI␈↓ β|␈ε%4␈↓ ∧b␈ε%25␈↓ ¬O␈ε%15␈↓ ε:␈ε%225␈↓ π3␈ε%15␈↓ λQ␈ε%2
␈βλM␈↓ β|␈∧λMβ|α⊂␈↓ ∧b␈∧λM∧bα∨␈↓ ¬O␈∧λM¬Oα∨␈↓ ε:␈∧λMε:α.␈↓ π3␈∧λMπ3α∨␈↓ λQ␈∧λMλQα⊂
␈βλs␈↓ 	E␈ε9␈␈ε+␈α␈n
␈βλu␈↓ βλ␈ε%1␈↓ ∧$␈ε%1␈↓ ¬α␈ε%1␈↓ ¬|␈ε%6␈↓ εb␈ε%2␈↓ πE␈ε%7␈↓ λ'␈ε%3␈↓ 
¬␈ε%1
␈βλy␈↓ α¬␈ε(A␈↓ αV␈ε"=␈↓ β≠␈ε(mc␈ε"␈αλ+␈ε(␈αλn␈ε"(␈↓ ∧7␈ε(a␈ε"␈αλ+␈↓ ¬∃␈ε(c␈ε"␈α↓)␈αλ+␈αλ(␈↓ ε↔␈ε(a␈ε"␈αλ+␈↓ εu␈ε(b␈ε"␈αλ+␈↓ π`␈ε(c␈ε"␈αλ+␈↓ λ:␈ε(A␈↓ λs␈ε")␈αλ+␈↓ 	3␈ε"2␈↓ 	u␈ε"(␈↓ 
_␈ε(c␈ε")
␈β	ε␈↓ α∨␈ε+m␈α␈n␈↓ λT␈ε%00
␈β	
␈↓ βλ␈ε%2␈↓ ∧$␈ε%5␈↓ ¬α␈ε%5␈↓ ¬u␈ε%25␈↓ εb␈ε%5␈↓ π=␈ε%5␈α↓0␈↓ λ'␈ε%5␈↓ 
¬␈ε%3
␈β	
␈↓ βλ␈∧	
βλα⊂␈↓ ∧$␈∧	
∧$α⊂␈↓ ¬α␈∧	
¬αα⊂␈↓ ¬u␈∧	
¬uα∨␈↓ εb␈∧	
εbα⊂␈↓ π=␈∧	
π=α∨␈↓ λ'␈∧	
λ'α⊂␈↓ 
¬␈∧	
¬α⊂
␈β	)␈↓ ∧≠␈ε+n
␈β	+␈↓ β|␈ε%1␈↓ ∧i␈ε%6␈↓ ¬O␈ε%2␈↓ ε2␈ε%2␈↓ π∀␈ε%2
␈β	/␈↓ β≤␈ε"+␈αλ(␈ε6␈␈↓ ∧∂␈ε")␈↓ ∧.␈ε"(␈ε6␈␈↓ ¬∧␈ε(a␈ε6␈αλ␈␈↓ ¬b␈ε(b␈ε"␈α	+␈↓ εM␈ε(c␈ε"␈αλ+␈↓ π'␈ε(A␈↓ π`␈ε"),␈ε(␈↓ λDm␈ε"␈α
>␈ε(␈α
n␈ε"␈α␈.␈↓ 
p␈ε"(39)
␈β	<␈↓ πA␈ε%0␈α↓0
␈β	@␈↓ β|␈ε%4␈↓ ∧b␈ε%25␈↓ ¬O␈ε%5␈↓ ε+␈ε%75␈↓ π∀␈ε%5
␈β	C␈↓ β|␈∧	Cβ|α⊂␈↓ ∧b␈∧	C∧bα∨␈↓ ¬O␈∧	C¬Oα⊂␈↓ ε+␈∧	Cε+α∨␈↓ π∀␈∧	Cπ∀α⊂
␈β	}␈↓ α␈ε"With␈α⊂these␈α∂elaborate␈α⊂calculations␈α∂done,␈α⊃w␈α␈e␈α∂can␈α⊂readily␈α∂determine␈α⊂the␈α∂be-
␈β
)␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈vior␈α
of␈α
the␈α
lattice-poin␈α␈t␈α
m␈α↓odel.␈α∪Assume␈α
that␈α
the␈α
inputs␈ε(␈α
u␈ε"␈α
and␈↓ 	T␈ε(v␈↓ 	t␈ε"to␈α
the␈α
algo-
␈β
T␈↓ ↓H␈ε"rithm␈αare␈α
odd,␈αand␈α
let␈ε(␈αm␈ε"␈α=␈ε6␈αb␈↓ ¬≤␈ε"lg␈↓ ¬>␈ε(u␈ε6c␈ε",␈ε(␈αn␈ε"␈α=␈ε6␈αb␈↓ εU␈ε"lg␈↓ εw␈ε(v␈↓ π
␈ε6c␈ε".␈α⊃The␈α
a␈α␈v␈α␈erage␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈αsubtrac-
␈β␈↓ ↓H␈ε"tion␈αcy␈α␈cles,␈αnamely␈αthe␈αquan␈α␈tit␈α␈y␈↓ ¬K␈ε(C␈↓ ¬s␈ε"in␈αthe␈αanalysis␈αof␈αProgram␈αB␈↓ 	8␈ε",␈αis␈αobtained␈αby
␈β+␈↓ ↓H␈ε"setting␈ε(␈α
a␈ε"␈α
=␈α
1,␈ε(␈αb␈ε"␈α=␈α
0,␈ε(␈αc␈ε"␈α
=␈α
1,␈↓ ¬␈ε(A␈↓ ¬N␈ε"=␈α
1␈αin␈αthe␈αrecurrence␈α(34).␈α∂By␈α(39)␈αw␈α␈e␈αsee␈α
that
␈β7␈↓ ¬&␈ε%00
␈βV␈↓ ↓H␈ε"(for␈ε(␈αm␈ε6␈α	∃␈ε(␈α
n␈ε")␈αthe␈αlattice␈αm␈α↓odel␈αpredicts
␈β ␈↓ ¬+␈ε%1␈↓ ε⊗␈ε%2␈↓ εw␈ε%49␈↓ πR␈ε%1
␈β%␈↓ ∧S␈ε(C␈↓ ∧y␈ε"=␈↓ ¬?␈ε(m␈ε"␈απ+␈↓ ε*␈ε(n␈ε"␈απ+␈↓ π"␈ε6␈␈↓ πe␈ε(∞␈↓ 
p␈ε"(40)
␈β1␈↓ πt␈ε+m␈α␈n
␈β6␈↓ ¬+␈ε%2␈↓ ε⊗␈ε%5␈↓ εw␈ε%50␈↓ πR␈ε%5
␈β9␈↓ ¬+␈∧9¬+α⊂␈↓ ε⊗␈∧9ε⊗α⊂␈↓ εw␈∧9εwα∨␈↓ πR␈∧9πRα⊂
␈βt␈↓ ↓H␈ε"subtraction␈αcy␈α␈cles,␈αplus␈αterms␈αthat␈αrapidly␈αgo␈αto␈αzero␈αas␈ε(␈αn␈ε"␈αapproaches␈αin|nit␈α␈y.
␈β
∨␈↓ α␈ε"The␈αa␈α␈v␈α␈erage␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αtimes␈αthat␈↓ ε0␈ε"gcd␈↓ εf␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ π↔␈ε(v␈↓ π)␈ε")␈α
=␈α
1␈αis␈αobtained␈αby␈αsetting␈ε(␈αa␈ε"␈α
=
␈β
J␈↓ ↓H␈ε(b␈ε"␈α
=␈ε(␈α
c␈ε"␈α
=␈α
0,␈↓ α}␈ε(A␈↓ β@␈ε"=␈α
1;␈αthis␈α
giv␈α␈es␈αthe␈α
probabilit␈α␈y␈αthat␈ε(␈αu␈ε"␈α
and␈↓ λU␈ε(v␈↓ λr␈ε"are␈αrelativ␈α␈ely␈α
prime,
␈β
W␈↓ β_␈ε%00
␈β
q␈↓ β<␈ε%3
␈β
u␈↓ ↓H␈ε"appro␈α␈ximately␈↓ βO␈ε".␈α∃Actually,␈α∂since␈ε(␈α∞u␈ε"␈α
and␈↓ εP␈ε(v␈↓ εq␈ε"are␈α∞assumed␈α
to␈α∞be␈α∞odd,␈α∂they␈α
sh␈α↓ould
␈β∞ε␈↓ β<␈ε%5
␈β∞
␈↓ β<␈∧∞
β<α⊂
␈β∞~␈↓ εM␈ε%2
␈β∞!␈↓ ↓H␈ε"be␈α∞relativ␈α␈ely␈α∂prime␈α∂with␈α∂probabilit␈α␈y␈α∂8/␈↓ ε7␈ε(→␈↓ εk␈ε"(see␈α∂exercise␈α∞13),␈α⊂so␈α∂this␈α∂re⎇ects␈α∞the
␈β∞L␈↓ ↓H␈ε"degree␈αof␈αinaccuracy␈αof␈αthe␈αlattice-poin␈α␈t␈αm␈α↓odel.
␈β∞w␈↓ α␈ε"The␈α∞a␈α␈v␈α␈erage␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α
times␈α∞that␈α
a␈α∞path␈α
from␈α∞(␈ε(m␈ε",␈ε(␈αεn␈ε"␈α␈)␈α∞goes␈α
through␈α∞one␈α
of
␈β∂≤␈↓ ∧X␈ε90␈↓ ¬⊂␈ε90␈↓ εi␈ε90
␈β∂"␈↓ ↓H␈ε"the␈α∞\diagonal"␈α∂poin␈α␈ts␈α∞(␈↓ ∧8␈ε(m␈↓ ∧`␈ε",␈↓ ∧p␈ε(m␈↓ ¬_␈ε")␈α∞for␈α∂some␈↓ εI␈ε(m␈↓ ε␈␈ε6∃␈ε"␈α∞1␈α∂is␈α∞obtained␈α∂by␈α∂setting␈ε(␈α∞a␈ε"␈α∞=␈α∞1,
␈β∂M␈↓ ↓H␈ε(b␈ε"␈α
=␈ε(␈α
c␈ε"␈α
=␈↓ αW␈ε(A␈↓ β~␈ε"=␈α
0␈αin␈α(34);␈αso␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat␈αthis␈αquan␈α␈tit␈α␈y␈αis␈αappro␈α␈ximately
␈β∂Z␈↓ αq␈ε%00
␈β⊂_␈↓ ∧ ␈ε%1␈↓ ¬λ␈ε%6␈↓ ¬[␈ε%2
␈β⊂≤␈↓ ∧3␈ε(n␈ε"␈αλ+␈↓ ¬+␈ε"+␈↓ ¬n␈ε(∞␈↓ ε+␈ε",␈↓ πβ␈ε"when␈↓ πa␈ε(m␈ε6␈α	∃␈ε(␈α
n␈ε".
␈β⊂)␈↓ ¬⎇␈ε+mn
␈β⊂-␈↓ ∧ ␈ε%5␈↓ ¬↓␈ε%25␈↓ ¬[␈ε%5
␈β⊂0␈↓ ∧ ␈∧⊂0∧ α⊂␈↓ ¬↓␈∧⊂0¬↓α∨␈↓ ¬[␈∧⊂0¬[α⊂
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"No␈α␈w␈α
w␈α␈e␈α∞can␈α
determine␈α∞the␈α
a␈α␈v␈α␈erage␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α∞shi$s,␈α
the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α∞times␈α
step
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"B3␈α
is␈α∞performed.␈α≤(This␈α
is␈α∞the␈α
quan␈α␈tit␈α␈y␈↓ ε@␈ε(D␈↓ εm␈ε"in␈α
Program␈α∞B.)␈α≤In␈α
an␈α␈y␈α∞execution␈α
of
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"334␈↓ 
b␈ε"4.5.2
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα→␈↓ ¬|␈ε=T␈α⎇able␈α
1
␈βαK␈↓ β ␈ε#NUM␈α␈BE␈α↓R␈α⊂OF␈α⊃SUBTRA␈α␈CTIONS␈α⊃IN␈α⊂A␈α↓L␈α␈GOR␈α␈I␈α↓THM␈α⊂B
␈βαx␈↓ ∧↓␈ε)n␈↓ λ←␈ε)n
␈ββ!␈↓ απ␈∧β!απα∧
␈↓ εd␈∧β!εdα∧

␈ββ5␈↓ α≤␈ε#0␈↓ αx1␈↓ βU2␈↓ ∧13␈↓ ¬∞4␈↓ ¬j5␈↓ εy␈ε#0␈↓ πV1␈↓ λ22␈↓ 	∂3␈↓ 	k4␈↓ 
H5
␈ββb␈↓ ↓H␈ε#0␈↓ απ␈ε#1␈α␈.00␈α!2.00␈α!2␈α␈.50␈α!3.00␈α!3␈α␈.50␈α!4.00␈↓ εd␈ε#1␈α␈.␈α↓0␈α␈0␈α!2.00␈α!2␈α␈.␈α↓5␈α␈0␈α!3.00␈α!3␈α␈.␈α↓5␈α␈0␈α!4.00␈↓ ≤␈ε#0
␈β∧
␈↓ ↓H␈ε#1␈↓ απ␈ε#2␈α␈.00␈α!1.00␈α!2␈α␈.50␈α!3.00␈α!3␈α␈.50␈α!4.00␈↓ εd␈ε#2␈α␈.␈α↓0␈α␈0␈α!1.00␈α!3␈α␈.␈α↓0␈α␈0␈α!2.75␈α!3␈α␈.␈α↓6␈α␈3␈α!3.94␈↓ ≤␈ε#1
␈β∧8␈↓ ↓H␈ε#2␈↓ απ␈ε#2␈α␈.50␈α!2.50␈α!2␈α␈.25␈α!3.38␈α!3␈α␈.88␈α!4.38␈↓ εd␈ε#2␈α␈.␈α↓5␈α␈0␈α!3.00␈α!2␈α␈.␈α↓0␈α␈0␈α!3.50␈α!3␈α␈.␈α↓8␈α␈8␈α!4.25␈↓ ≤␈ε#2
␈β∧c␈↓ ↓H␈ε#3␈↓ απ␈ε#3␈α␈.00␈α!3.00␈α!3␈α␈.38␈α!3.25␈α!4␈α␈.22␈α!4.72␈↓ εd␈ε#3␈α␈.␈α↓0␈α␈0␈α!2.75␈α!3␈α␈.␈α↓5␈α␈0␈α!2.88␈α!4␈α␈.␈α↓1␈α␈3␈α!4.34␈↓ ≤␈ε#3
␈β¬∂␈↓ ↓H␈ε#4␈↓ απ␈ε#3␈α␈.50␈α!3.50␈α!3␈α␈.88␈α!4.22␈α!4␈α␈.25␈α!5.10␈↓ εd␈ε#3␈α␈.␈α↓5␈α␈0␈α!3.63␈α!3␈α␈.␈α↓8␈α␈8␈α!4.13␈α!3␈α␈.␈α↓9␈α␈4␈α!4.80␈↓ ≤␈ε#4
␈β¬:␈↓ ↓H␈ε#5␈↓ απ␈ε#4␈α␈.00␈α!4.00␈α!4␈α␈.38␈α!4.72␈α!5␈α␈.10␈α!5.19␈↓ εd␈ε#4␈α␈.␈α↓0␈α␈0␈α!3.94␈α!4␈α␈.␈α↓2␈α␈5␈α!4.34␈α!4␈α␈.␈α↓8␈α␈0␈α!4.60␈↓ ≤␈ε#5
␈β¬n␈↓ ↓H␈ε)m␈↓ α⎇␈ε#Pred␈α␈i␈α↓c␈α␈ted␈αb␈α␈y␈αm␈α↓o␈α␈del␈↓ πL␈ε#Actu␈α␈al␈αa␈α␈v␈α␈e␈α␈rage␈αv␈α|alues␈↓ ∂␈ε)m
␈βε&␈↓ απ␈∧ε&απα∧
␈↓ εd␈∧ε&εdα∧

␈βεu␈↓ ↓H␈ε"Algorithm␈α	B␈↓ β	␈ε",␈αwith␈ε(␈α
u␈ε"␈α	and␈↓ ∧P␈ε(v␈↓ ∧m␈ε"both␈α	odd,␈αthe␈α	corresponding␈α
path␈α
in␈α
the␈α
lattice␈α	m␈α↓odel
␈βπ ␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ust␈αsatisfy␈αthe␈αrelation
␈βπi␈↓ ↓x␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αshi$s␈↓ ∧␈ε"+␈↓ ∧,␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αdiagonal␈αpoin␈α␈ts␈↓ πO␈ε"+␈αλ2␈ε6b␈↓ λ≠␈ε"lg␈↓ λ=␈ε"gcd␈↓ λs␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ 	$␈ε(v␈↓ 	7␈ε")␈ε6c␈ε"␈α
=␈ε(␈α
m␈ε"␈απ+␈ε(␈αλn␈ε",
␈βλ2␈↓ ↓H␈ε"since␈α
w␈α␈e␈α
are␈α
assuming␈α
that␈↓ ¬↓␈ε(r␈↓ ¬≡␈ε"in␈α
(33)␈α∞is␈α
alw␈α␈a␈α␈ys␈α
either␈α
0␈α
or␈α∞1.␈α∪The␈α
a␈α␈v␈α␈erage␈α
v␈α⎇alue
␈βλY␈↓ 
N␈ε%4
␈βλ↑␈↓ ↓H␈ε"of␈ε6␈α⊃b␈↓ α¬␈ε"lg␈↓ α'␈ε"gcd␈↓ α]␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ β∞␈ε(v␈↓ β!␈ε")␈ε6c␈ε"␈α⊃predicted␈α∩by␈α⊃the␈α∩lattice-poin␈α␈t␈α⊃m␈α↓odel␈α∩is␈α⊃appro␈α␈ximately␈↓ 
r␈ε"(see
␈βλn␈↓ 
N␈ε%5
␈βλr␈↓ 
N␈∧λr
Nα⊂
␈β		␈↓ ↓H␈ε"exercise␈α20).␈α⊂Therefore␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e,␈αfor␈αthe␈αtotal␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αshi$s,
␈β	K␈↓ ε␈ε%1␈↓ εt␈ε%6␈↓ πG␈ε%2␈↓ λZ␈ε%4
␈β	O␈↓ ∧π␈ε(D␈↓ ∧0␈ε"=␈ε(␈α
m␈ε"␈αλ+␈ε(␈αλn␈ε6␈απ␈␈ε"␈αλ(␈↓ ε∨␈ε(n␈ε"␈απ+␈↓ π↔␈ε"+␈↓ πZ␈ε(∞␈↓ λ⊗␈ε")␈ε6␈αλ␈
␈β	\␈↓ πi␈ε+mn
␈β	`␈↓ ε␈ε%5␈↓ εl␈ε%2␈α↓5␈↓ πG␈ε%5␈↓ λZ␈ε%5
␈β	d␈↓ ε␈∧	dεα⊂␈↓ εl␈∧	dεlα∨␈↓ πG␈∧	dπGα⊂␈↓ λZ␈∧	dλZα⊂
␈β	r␈↓ 
p␈ε"(41)
␈β
∂␈↓ ¬6␈ε%4␈↓ ε↔␈ε%46␈↓ εq␈ε%2
␈β
∀␈↓ ∧0␈ε"=␈ε(␈α
m␈ε"␈αλ+␈↓ ¬I␈ε(n␈ε6␈αλ␈␈↓ εA␈ε6␈␈↓ π∧␈ε(∞␈↓ π@␈ε",
␈β
 ␈↓ π∪␈ε+mn
␈β
%␈↓ ¬6␈ε%5␈↓ ε↔␈ε%25␈↓ εq␈ε%5
␈β
(␈↓ ¬6␈∧
(¬6α⊂␈↓ ε↔␈∧
(ε↔α∨␈↓ εq␈∧
(εqα⊂
␈β
X␈↓ ↓H␈ε"when␈ε(␈αm␈ε6␈α	∃␈ε(␈α
n␈ε",␈αplus␈αterms␈αthat␈αdecrease␈αrapidly␈αto␈αzero␈αfor␈αlarge␈ε(␈αn␈ε".
␈ββ␈↓ α␈ε"T␈α⎇o␈α∞summarize␈α∂the␈α∞m␈α↓ost␈α∞importan␈α␈t␈α∂facts␈α∞w␈α␈e␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∂deriv␈α␈ed␈α∞from␈α∞the␈α∞lattice-
␈β/␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈α	m␈α↓odel,␈α	w␈α␈e␈α	ha␈α␈v␈α␈e␈α	sh␈α↓o␈α␈wn␈α	that␈α	if␈ε(␈α	u␈ε"␈α	and␈↓ εL␈ε(v␈↓ εh␈ε"are␈α	odd␈α	and␈α	if␈ε6␈α	b␈↓ λT␈ε"lg␈↓ λv␈ε(u␈ε6␈α␈c␈ε"␈α
=␈ε(␈α
m␈ε",␈ε6␈α
b␈↓ 
∩␈ε"lg␈↓ 
4␈ε(v␈↓ 
G␈ε6c␈ε"␈α
=␈ε(␈α
n␈ε"␈α␈,
␈βZ␈↓ ↓H␈ε"then␈αthe␈αquan␈α␈tities␈↓ β⎇␈ε(C␈↓ ∧&␈ε"and␈↓ ∧l␈ε(D␈↓ ¬↔␈ε"that␈αare␈αthe␈α
critical␈αfactors␈αin␈αthe␈αrunning␈αtime␈αof
␈β¬␈↓ ↓H␈ε"Program␈αB␈αwill␈αha␈α␈v␈α␈e␈αa␈α␈v␈α␈erage␈αv␈α⎇alues␈αgiv␈α␈en␈αby
␈βJ␈↓ β"␈ε%1␈↓ ∧
␈ε%2␈↓ π7␈ε%4
␈βN␈↓ αJ␈ε(C␈↓ αp␈ε"=␈↓ β5␈ε(m␈ε"␈αλ+␈↓ ∧ ␈ε(n␈ε"␈αλ+␈↓ ∧j␈ε(O␈↓ ¬ε␈ε"(1),␈↓ ελ␈ε(D␈↓ ε2␈ε"=␈ε(␈α
m␈ε"␈απ+␈↓ πK␈ε(n␈ε"␈απ+␈↓ λ∀␈ε(O␈↓ λ1␈ε"(1),␈ε(␈↓ 	3m␈ε6␈α
∃␈ε(␈α
n␈ε"␈α␈.␈↓ 
p␈ε"(42)
␈β←␈↓ β"␈ε%2␈↓ ∧
␈ε%5␈↓ π7␈ε%5
␈βc␈↓ β"␈∧cβ"α⊂␈↓ ∧
␈∧c∧
α⊂␈↓ π7␈∧cπ7α⊂
␈β
_␈↓ ↓H␈ε"But␈αthe␈αm␈α↓odel␈αthat␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αused␈αto␈αderiv␈α␈e␈α(42)␈αis␈αonly␈αa␈αpessimistic␈αappro␈α␈xima-
␈β
C␈↓ ↓H␈ε"tion␈αto␈α
the␈α
true␈α
beha␈α␈vior;␈α
T␈α⎇able␈α
1␈α
compares␈α
the␈α
true␈α
a␈α␈v␈α␈erage␈αv␈α⎇alues␈α
of␈↓ 
-␈ε(C␈↓ 
I␈ε",␈α
com-
␈β
n␈↓ ↓H␈ε"puted␈α∞by␈α∂actually␈α∂running␈α∂Algorithm␈α∂B␈α∂with␈α∂all␈α∞possible␈α∂inputs,␈α⊂to␈α∂the␈α∞v␈α⎇alues
␈β∞→␈↓ ↓H␈ε"predicted␈α∞by␈α∞the␈α∂lattice-poin␈α␈t␈α∞m␈α↓odel,␈α∂for␈α∞small␈ε(␈α∞m␈ε"␈α∞and␈ε(␈α∂n␈ε".␈α⊗The␈α∂lattice␈α∞m␈α↓odel␈α∞is
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε"completely␈αaccurate␈α
when␈ε(␈αm␈ε"␈α
or␈ε(␈αn␈ε"␈αis␈α
zero,␈α
but␈αit␈α
tends␈αto␈α
be␈αless␈α
accurate␈αwhen
␈β∞p␈↓ ↓H␈ε6j␈ε(m␈ε6␈α	␈␈ε(␈α
n␈ε6␈α␈j␈ε"␈α∂is␈α∞small␈α∂and␈↓ ∧&␈ε"min␈↓ ∧b␈ε"(␈ε(m␈ε",␈ε(␈αεn␈ε")␈α∞is␈α∞large.␈α_When␈ε(␈α∞m␈ε"␈α∞=␈ε(␈α∞n␈ε"␈α∞=␈α∞9,␈α∂the␈α∞lattice-poin␈α␈t
␈β∂≠␈↓ ↓H␈ε"m␈α↓odel␈αgiv␈α␈es␈↓ β␈ε(C␈↓ β1␈ε"=␈α
8.78,␈αcompared␈αto␈αthe␈αtrue␈αv␈α⎇alue␈↓ πk␈ε(C␈↓ λ⊃␈ε"=␈α
7.58.
␈β∂F␈↓ α␈ε"Empirical␈αtests␈α
of␈αAlgorithm␈α
B␈αwith␈αsev␈α␈eral␈α
million␈αrandom␈α
inputs␈αand␈α
with
␈β∂q␈↓ ↓H␈ε"v␈α⎇arious␈α∂v␈α⎇alues␈α⊂of␈ε(␈α∂m␈ε",␈ε(␈αεn␈ε"␈α∂in␈α⊂the␈α∂range␈α⊂29␈ε6␈α∂∀␈ε(␈α⊂m␈ε",␈ε(␈αεn␈ε6␈α⊂∀␈ε"␈α∂37␈α⊂indicate␈α∂that␈α⊂the␈α∂actual
␈β⊂≥␈↓ ↓H␈ε"a␈α␈v␈α␈erage␈αbeha␈α␈vior␈αof␈αthe␈αalgorithm␈αis␈αgiv␈α␈en␈αby
␈β⊂Z␈↓ πJ␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε+n
␈β⊂`␈↓ ∧,␈ε"+␈αλ0.203␈ε(n␈↓ ¬H␈ε"+␈αλ1.9␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ0.4(0.6␈↓ π>␈ε")␈↓ λ∃␈ε",
␈β⊂a␈↓ βq␈ε%1
␈β⊂d␈↓ β→␈ε(C␈↓ β?␈ε6→
␈β⊂e␈↓ ∧∧␈ε(m
␈β⊂v␈↓ βq␈ε%2
␈β⊂y␈↓ βq␈∧⊂yβqα⊂
␈β⊂{␈↓ λg␈ε(m␈ε6␈α	∃␈ε(␈α
n␈ε".␈↓ 
p␈ε"(43)
␈β⊃⊂␈↓ πJ␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε+n
␈β⊃⊗␈↓ ∧,␈ε"+␈αλ0.41␈ε(n␈↓ ¬H␈ε6␈␈ε"␈αλ0.5␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ0.7(0.6␈↓ π>␈ε")␈↓ λ∃␈ε",
␈β⊃~␈↓ β⊗␈ε(D␈↓ β?␈ε6→
␈β⊃≠␈↓ ∧∧␈ε(m
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.2␈↓ 
v␈ε"335
␈β↓Z␈↓ ¬V␈ε.THE␈α
GR␈α␈EA␈α}TES␈α␈T␈αC␈α␈OMMON␈α
DI␈α␈VIS␈α␈OR
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"These␈αexperimen␈α␈ts␈αsh␈α↓o␈α␈w␈α␈ed␈αa␈αrather␈αsmall␈αstandard␈αdeviation␈αfrom␈αthe␈αobserv␈α␈ed
␈βαK␈↓ ¬S␈ε%1
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"a␈α␈v␈α␈erage␈α∞v␈α⎇alues.␈α_The␈α∂coe}cien␈α␈ts␈↓ ¬u␈ε"and␈α∞1␈α∂of␈ε(␈α∂m␈ε"␈α∞in␈α∂(42)␈α∞and␈α∂(43)␈α∞can␈α∂be␈α∞v␈α␈eri|ed
␈βα`␈↓ ¬S␈ε%2
␈βαc␈↓ ¬S␈∧αc¬Sα⊂
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"rigorously␈α
with␈α↓out␈α
using␈α
the␈αlattice-poin␈α␈t␈α
appro␈α␈ximation␈α
(see␈α
exercise␈α
21);␈αso␈α
the
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"error␈αin␈αthe␈αlattice-poin␈α␈t␈αm␈α↓odel␈αis␈αapparen␈α␈tly␈αin␈αthe␈αcoe}cien␈α␈t␈αof␈ε(␈αn␈ε",␈αwhich␈αis␈αto␈α↓o
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"high.
␈ββ⎇␈↓ α␈ε"The␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αcalculations␈αha␈α␈v␈α␈e␈αbeen␈αmade␈αunder␈αthe␈αassumption␈αthat␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ ~␈ε(v
␈β∧"␈↓ ∧|␈ε+m␈↓ ε0␈ε+m␈ε%␈α␈+1␈↓ π ␈ε+n␈↓ λJ␈ε+n␈ε%␈α␈+1
␈β∧(␈↓ ↓H␈ε"are␈αodd␈αand␈α
in␈αthe␈α
ranges␈↓ ∧j␈ε"2␈↓ ¬!␈ε6∀␈ε(␈αu␈ε"␈α
<␈↓ ε≡␈ε"2␈↓ εw␈ε",␈↓ π∞␈ε"2␈↓ π=␈ε6∀␈↓ πl␈ε(v␈↓ λ	␈ε"<␈↓ λ8␈ε"2␈↓ 		␈ε".␈α⊃If␈α
w␈α␈e␈αsa␈α␈y␈αinstead
␈β∧S␈↓ ↓H␈ε"that␈ε(␈α∂u␈ε"␈α∂and␈↓ βε␈ε(v␈↓ β(␈ε"are␈α∂to␈α∂be␈ε/␈α⊂an␈α␈y␈ε"␈α∂in␈α␈tegers,␈α⊂independen␈α␈tly␈α∂and␈α∂uniformly␈α∂distributed
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"o␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αranges
␈β¬#␈↓ ¬n␈ε+N␈↓ λ	␈ε+N
␈β¬+␈↓ ∧F␈ε"1␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
u␈ε"␈α	<␈↓ ¬\␈ε"2␈↓ ε
␈ε",␈↓ εb1␈ε6␈α
∀␈↓ π,␈ε(v␈↓ πI␈ε"<␈↓ πw␈ε"2␈↓ λ%␈ε",
␈β¬r␈↓ ↓H␈ε"then␈α	w␈α␈e␈α	can␈α
calculate␈α	the␈α	a␈α␈v␈α␈erage␈α
v␈α⎇alues␈α	of␈↓ εd␈ε(C␈↓ π
␈ε"and␈↓ πM␈ε(D␈↓ πv␈ε"from␈α	the␈α
data␈α	already␈α	giv␈α␈en;
␈βε≥␈↓ ↓H␈ε"in␈α∞fact,␈α⊂if␈↓ αo␈ε(C␈↓ βE␈ε"den␈α↓otes␈α∞the␈α∂a␈α␈v␈α␈erage␈α∂v␈α⎇alue␈α∂of␈↓ π≠␈ε(C␈↓ πF␈ε"under␈α∂our␈α∂earlier␈α∞assumptions,
␈βε)␈↓ β	␈ε+m␈α␈n
␈βεH␈↓ ↓H␈ε"exercise␈α22␈αsh␈α↓o␈α␈ws␈αthat␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βεy␈↓ ε%␈ε↓X
␈βπ∪␈↓ α`␈ε+N␈↓ βM␈ε%2␈↓ ∧T␈ε%2␈↓ λ␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈βπ≠␈↓ αB␈ε"(␈↓ αN␈ε"2␈↓ ββ␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈↓ βA␈ε")␈↓ β\␈ε(C␈↓ ∧β␈ε"=␈↓ ∧1␈ε(N␈↓ ∧c␈ε(C␈↓ ¬#␈ε"+␈αλ2␈↓ ¬a␈ε(N␈↓ εt␈ε"(␈↓ π␈ε(N␈↓ π+␈ε6␈␈ε(␈αλn␈ε")␈↓ πy␈ε"2␈↓ λK␈ε(C
␈βπ'␈↓ ∧⎇␈ε%00␈↓ λd␈ε+n␈ε%0
␈βπK␈↓ εβ␈ε%1␈ε9∀␈ε+n␈ε9␈α␈∀␈↓ ε`␈ε+N
␈βπb␈↓ ¬6␈ε↓X
␈βπ⎇␈↓ λ8␈ε+m␈ε%+␈ε+␈α␈n␈ε9␈␈ε%␈α␈2
␈βλ¬␈↓ ∧I␈ε"+␈αλ2␈↓ ε∩␈ε"(␈↓ ε≡␈ε(N␈↓ εI␈ε6␈␈ε(␈αλm␈ε")(␈↓ π-␈ε(N␈↓ πX␈ε6␈␈ε(␈αλn␈ε")␈↓ λ&␈ε"2␈↓ 	0␈ε(C
␈βλ⊃␈↓ 	I␈ε+mn
␈βλ5␈↓ ∧w␈ε%1␈ε9∀␈ε+n␈ε%<␈ε+␈α␈m␈ε9∀␈↓ ε␈ε+N
␈βλL␈↓ ¬	␈ε↓X
␈βλf␈↓ ε]␈ε%2␈↓ ε}␈ε%2␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈2
␈βλn␈↓ ∧I␈ε"+␈↓ ¬X␈ε"(␈↓ ¬d␈ε(N␈↓ ε∂␈ε6␈␈ε(␈αλn␈↓ εQ␈ε")␈↓ εl␈ε"2␈↓ πL␈ε(C␈↓ λ␈ε".␈↓ 
p␈ε"(44)
␈βλ{␈↓ πf␈ε+nn
␈β	∨␈↓ ∧f␈ε%1␈ε9␈α↓∀␈ε+␈α␈n␈ε9∀␈↓ ¬C␈ε+N
␈β	j␈↓ ↓H␈ε"The␈α	same␈α
form␈α␈ula␈α	h␈α↓olds␈α
for␈↓ ∧{␈ε(D␈↓ ¬$␈ε"in␈α	terms␈α
of␈↓ εT␈ε(D␈↓ π ␈ε".␈α∂If␈α	the␈α
indicated␈α	sums␈α
are␈α	carried
␈β	v␈↓ εs␈ε+m␈α␈n
␈β
∃␈↓ ↓H␈ε"out␈αusing␈αthe␈αappro␈α␈ximations␈αin␈α(43),␈αw␈α␈e␈αobtain
␈β
m␈↓ βV␈ε(C␈↓ β|␈ε6→␈ε"␈α
0.70␈↓ ∧j␈ε(N␈↓ ¬∃␈ε"+␈↓ ¬A␈ε(O␈↓ ¬↑␈ε"(1),␈↓ ε`␈ε(D␈↓ π	␈ε6→␈ε"␈α
1.41␈↓ πw␈ε(N␈↓ λ"␈ε"+␈↓ λN␈ε(O␈↓ λj␈ε"(1).
␈βF␈↓ ↓H␈ε"(See␈α	exercise␈α	23.)␈α∂This␈α
agrees␈α	perfectly␈α	with␈α
the␈α	results␈α	of␈α
further␈α	empirical␈α	tests,
␈βq␈↓ ↓H␈ε"made␈α
on␈α
sev␈α␈eral␈α∞million␈α
random␈α∞inputs␈α
for␈↓ ε{␈ε(N␈↓ π+␈ε6∀␈ε"␈α30;␈α∞the␈α
latter␈α∞tests␈α
sh␈α↓o␈α␈w␈α
that
␈β≤␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈αma␈α␈y␈αtak␈α␈e
␈βI␈↓ βs␈ε(C␈↓ ∧~␈ε"=␈α
0.70␈↓ ¬λ␈ε(N␈↓ ¬3␈ε6␈␈ε"␈αλ0.5,␈↓ εe␈ε(D␈↓ π∞␈ε"=␈α
1.41␈↓ π|␈ε(N␈↓ λ'␈ε6␈␈ε"␈αλ2.7␈↓ 
p␈ε"(45)
␈β
∂␈↓ ↓H␈ε"as␈αgo␈α↓od␈αestimates␈αof␈αthe␈αv␈α⎇alues,␈αgiv␈α␈en␈αthis␈αdistribution␈αof␈αthe␈αinputs␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ 
i␈ε(v␈↓ 
|␈ε".
␈β
;␈↓ α␈ε"Richard␈↓ β∀␈ε"Bren␈α␈t␈α	has␈α
disco␈α␈v␈α␈ered␈α
a␈α	con␈α␈tin␈α␈uous␈α
m␈α↓odel␈α
that␈α	accoun␈α␈ts␈α
for␈α
the␈α	lead-
␈β
f␈↓ ↓H␈ε"ing␈α
terms␈α∞in␈α∞(45).␈α∃Let␈α∞us␈α
assume␈α∞that␈ε(␈α∞u␈ε"␈α
and␈↓ π≥␈ε(v␈↓ π=␈ε"are␈α∞large,␈α∞and␈α∞that␈α∞the␈α
n␈α␈um␈α␈ber
␈β∞␈↓ 	i␈ε+d
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈ε"of␈α⊂shi$s␈α⊃per␈α⊃iteration␈α⊃has␈α⊃the␈α⊃v␈α⎇alue␈ε(␈α⊂d␈ε"␈α∩with␈α⊂probabilit␈α␈y␈α⊃exactly␈↓ 	W␈ε"2␈↓ 	y␈ε".␈α∨If␈α⊃w␈α␈e␈α⊂let
␈β∞7␈↓ 	o␈ε+d
␈β∞=␈↓ ↓H␈ε(X␈↓ ↓w␈ε"=␈ε(␈α
u␈ε"␈α␈/␈↓ αN␈ε(v␈↓ αa␈ε",␈α∞the␈α∞e{ect␈α∞of␈α∞steps␈α∞B3↑B5␈α
is␈α∞to␈α∞replace␈↓ πd␈ε(X␈↓ λ∀␈ε"by␈α
(␈↓ λT␈ε(X␈↓ 	␈ε6␈␈ε"␈α	1)/␈↓ 	]␈ε"2␈↓ 

␈ε"if␈↓ 
0␈ε(X␈↓ 
←␈ε">␈α
1,
␈β∞b␈↓ α9␈ε+d␈↓ β	␈ε9␈␈ε%1
␈β∞h␈↓ ↓H␈ε"or␈αby␈↓ α'␈ε"2␈↓ αI␈ε"/(␈↓ αg␈ε(X␈↓ β>␈ε6␈␈ε"␈αλ1)␈α
if␈↓ ∧7␈ε(X␈↓ ∧c␈ε"<␈α1.␈α⊃The␈αrandom␈αv␈α⎇ariable␈↓ λ∪␈ε(X␈↓ λB␈ε"has␈αa␈αlimiting␈αdistribu-
␈β∂∪␈↓ ↓H␈ε"tion␈α∞that␈α∞mak␈α␈es␈α∂it␈α∞possible␈α∞to␈α∂analyze␈α∞the␈α∞a␈α␈v␈α␈erage␈α∂v␈α⎇alue␈α∞of␈α∞the␈α∂ratio␈α∞by␈α∞which
␈β∂>␈↓ ↓H␈ε"ma␈↓ ↓x␈ε"x␈↓ α␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ α=␈ε(v␈↓ αO␈ε")␈α⊂decreases␈α⊂at␈α⊂each␈α∂iteration;␈α∩see␈α⊂exercise␈α∂25.␈α≤Numerical␈α∂calculations
␈β∂i␈↓ ↓H␈ε"sh␈α↓o␈α␈w␈α∞that␈α∞this␈α∂maxim␈α␈um␈α∞decreases␈α∞by␈↓ ε;␈ε(␈␈↓ ε`␈ε"=␈α∞0.705971246102␈α∞bits␈α∞per␈α∞iteration;
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈ε"the␈α
agreemen␈α␈t␈α
with␈α
experimen␈α␈t␈α
is␈α
so␈α
go␈α↓od␈α
that␈α
Bren␈α␈t's␈α∞constan␈α␈t␈↓ 	L␈ε(␈␈↓ 	o␈ε"m␈α␈ust␈α
be␈α
the
␈β⊂@␈↓ ↓H␈ε"true␈αv␈α⎇alue␈αof␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α\0.70"␈αin␈α(45),␈αand␈αw␈α␈e␈αsh␈α↓ould␈αreplace␈α0.203␈αby␈α0.206␈αin
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"(43).␈α∪[See␈ε/␈αAlgorithms␈α
and␈αComplexit␈α␈y␈ε",␈α
ed.␈αby␈α
J.␈αF.␈↓ πn␈ε"T␈α⎇raub␈α(New␈α
Y␈α⎇ork:␈αAcademic
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"Press,␈α1976),␈α321↑355.]
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"336␈↓ 
b␈ε"4.5.2
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα$␈↓ α␈ε"This␈α∞completes␈α∞our␈α∂analysis␈α∞of␈α∞the␈α∞a␈α␈v␈α␈erage␈α∞v␈α⎇alues␈α∂of␈↓ λ\␈ε(C␈↓ 	ε␈ε"and␈↓ 	N␈ε(D␈↓ 	n␈ε".␈α⊗The␈α∞other
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"three␈αquan␈α␈tities␈αappearing␈α
in␈αthe␈α
running␈αtime␈αof␈α
Algorithm␈αB␈α
are␈αrather␈αeasily
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"analyzed;␈αsee␈αexercises␈α6,␈α7,␈αand␈α8.
␈ββ&␈↓ α␈ε"Th␈α␈us␈α
w␈α␈e␈α
kn␈α↓o␈α␈w␈α
appro␈α␈ximately␈α
h␈α↓o␈α␈w␈αAlgorithm␈α
B␈α
beha␈α␈v␈α␈es␈α
on␈α
the␈α
a␈α␈v␈α␈erage.␈α∂Let
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"us␈α∞n␈α↓o␈α␈w␈α∂consider␈α∂a␈α∂\w␈α␈orst␈α∂case"␈α∂analysis:␈α⊃What␈α∂v␈α⎇alues␈α∂of␈ε(␈α∂u␈ε"␈α∞and␈↓ 	Q␈ε(v␈↓ 	s␈ε"are␈α∂in␈α∞some
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"sense␈αthe␈αhardest␈αto␈αhandle?␈α⊂If␈αw␈α␈e␈αassume␈αas␈αbefore␈αthat
␈β∧R␈↓ ∧+␈ε6b␈↓ ∧9␈ε"lg␈↓ ∧[␈ε(u␈ε6c␈ε"␈α
=␈ε(␈α
m␈↓ ε≡␈ε"and␈↓ π ␈ε6b␈↓ π.␈ε"lg␈↓ πP␈ε(v␈↓ πc␈ε6c␈ε"␈α
=␈ε(␈α
n␈ε",
␈β¬(␈↓ ↓H␈ε"let␈α∂us␈α∂try␈α∂to␈α⊂|nd␈α∂(␈ε(u␈ε",␈↓ ∧~␈ε(v␈↓ ∧,␈ε")␈α⊂that␈α∂mak␈α␈e␈α∂the␈α∂algorithm␈α⊂run␈α∂m␈α↓ost␈α∂slo␈α␈wly.␈α~In␈α∂view␈α∂of
␈β¬S␈↓ ↓H␈ε"the␈α∞fact␈α∞that␈α
the␈α∞subtractions␈α∞tak␈α␈e␈α∞somewhat␈α∞longer␈α∞than␈α∞the␈α∞shi$s,␈α∞when␈α∞the
␈β¬}␈↓ ↓H␈ε"auxiliary␈α
bo␈α↓okk␈α␈eeping␈α∞is␈α∞considered,␈α∞this␈α∞question␈α∞ma␈α␈y␈α∞be␈α∞rephrased␈α∞by␈α
asking
␈βε)␈↓ ↓H␈ε"for␈αthe␈αinputs␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ ∧∪␈ε(v␈↓ ∧2␈ε"that␈αrequire␈αm␈α↓ost␈αsubtractions.␈α⊂The␈αansw␈α␈er␈αis␈αsomewhat
␈βεU␈↓ ↓H␈ε"surprising;␈αthe␈αmaxim␈α␈um␈αv␈α⎇alue␈αof␈↓ ¬e␈ε(C␈↓ ε
␈ε"is␈αexactly
␈βπ*␈↓ ¬A␈ε"ma␈↓ ¬q␈ε"x␈↓ ε¬␈ε"(␈ε(m␈ε",␈ε(␈αεn␈ε")␈αλ+␈αλ1,␈↓ 
p␈ε"(46)
␈βλ␈↓ ↓H␈ε"alth␈α↓ough␈α
the␈α
lattice-poin␈α␈t␈α
m␈α↓odel␈α
w␈α␈ould␈α
predict␈α
that␈αsubstan␈α␈tially␈α
higher␈α
v␈α⎇alues
␈βλ+␈↓ ↓H␈ε"of␈↓ ↓q␈ε(C␈↓ α→␈ε"are␈αpossible␈α(see␈αexercise␈α26).␈α⊂The␈αderiv␈α⎇ation␈αof␈αthe␈αw␈α␈orst␈αcase␈α(46)␈αis␈αquite
␈βλW␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈teresting,␈αso␈αit␈αhas␈αbeen␈αle$␈αas␈αan␈αam␈α␈using␈αproblem␈αfor␈αthe␈αreader␈αto␈αw␈α␈ork␈αout
␈β	α␈↓ ↓H␈ε"by␈αhimself␈α(see␈αexercises␈α27␈αand␈α28).
␈β
β␈↓ ↓H␈ε=E␈α␈XERCISES
␈β
T␈↓ ↓g␈ε31.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈1␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Ho␈α␈w␈αcan␈α
(8),␈α(␈α↓9␈α␈),␈α(1␈α␈0),␈α(␈α↓1␈α␈1),␈αan␈α␈d␈α(12␈α␈)␈αb␈α␈e␈αde␈α␈ri␈α↓v␈α}ed␈αe␈α␈asil␈α↓y␈α
from␈α(6)␈αa␈α␈nd␈α
(␈α↓7␈α␈)?
␈βε␈↓ ↓g␈ε32.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈2␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Giv␈α␈en␈α
that␈ε)␈αu␈ε#␈αdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ ¬2␈ε)v␈↓ ¬P␈ε)v␈↓ ¬t␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ε ␈ε)v␈↓ εB␈ε#,␈αpr␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈ε)␈αu␈ε#␈αdivide␈α␈s
␈β∩␈↓ ¬C␈ε&1␈↓ ¬a␈ε&2␈↓ ε1␈ε,n
␈βU␈↓ ∧I␈ε#g␈α␈cd␈↓ ∧z␈ε#(␈ε)␈α↓u␈ε#,␈↓ ¬(␈ε)v␈↓ ¬F␈ε#)␈↓ ¬W␈ε#g␈α␈cd␈↓ ε	␈ε#(␈ε)u␈ε#,␈↓ ε6␈ε)v␈↓ εT␈ε#)␈↓ εe␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ π↔␈ε#g␈α␈cd␈↓ πI␈ε#(␈ε)u␈ε#,␈↓ πv␈ε)v␈↓ λ↔␈ε#).
␈β`␈↓ ¬8␈ε&1␈↓ εF␈ε&2␈↓ λε␈ε,n
␈β.␈↓ ↓g␈ε33.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈3␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Sho␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈α
the␈α
n␈α}um␈α}ber␈α
o␈α␈f␈αo␈α␈rdere␈α␈d␈α
p␈α␈airs␈α
of␈α
po␈α␈si␈α↓tiv␈α}e␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈α
(␈ε)u␈ε#␈α↓,␈↓ 	}␈ε)v␈↓ 
∂␈ε#)␈αs␈α␈uch␈α	tha␈α␈t
␈βP␈↓ εG␈ε&2
␈βV␈↓ ↓H␈ε#lcm␈↓ ↓{␈ε#(␈ε)␈α↓u␈ε#,␈↓ α)␈ε)v␈↓ α:␈ε#)␈α
=␈ε)␈α	n␈ε#␈αis␈αthe␈α
n␈α␈um␈α}ber␈αo␈α␈f␈αd␈α␈ivisors␈αo␈α␈f␈↓ ε3␈ε)n␈↓ εU␈ε#.
␈β
α␈↓ 
≠␈ε:0
␈β
λ␈↓ ↓g␈ε34.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈1␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Giv␈α␈en␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈ε)␈α
u␈ε#␈α
a␈α␈nd␈↓ ε7␈ε)v␈↓ εI␈ε#,␈α
sho␈α␈w␈αthat␈αthe␈α␈re␈α
a␈α␈re␈α
d␈α␈ivisors␈↓ 
π␈ε)u␈↓ 
/␈ε#o␈α␈f␈ε)␈α
u␈ε#␈α
a␈α␈nd
␈β
*␈↓ ↓Y␈ε:0␈↓ ∧∀␈ε:0␈↓ ∧<␈ε:0␈↓ ¬r␈ε:0␈↓ ε␈ε:0
␈β
0␈↓ ↓H␈ε)v␈↓ ↓l␈ε#of␈↓ α∪␈ε)v␈↓ α0␈ε#s␈α␈uch␈α
tha␈α␈t␈↓ βD␈ε#g␈α␈cd␈↓ βu␈ε#(␈↓ ∧↓␈ε)u␈↓ ∧≤␈ε#,␈↓ ∧*␈ε)v␈↓ ∧C␈ε#)␈α
=␈↓ ¬α␈ε#1␈αan␈α␈d␈↓ ¬←␈ε)u␈↓ ¬z␈ε)v␈↓ ε≤␈ε#=␈↓ εG␈ε#lcm␈↓ ε{␈ε#(␈ε)u␈ε#,␈↓ π(␈ε)v␈↓ π:␈ε#).
␈β
`␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
b␈↓ ↓c␈ε35.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈6␈↓ α\␈ε#]␈α⊗In␈α␈v␈α␈e␈α␈n␈α␈t␈αλan␈αλa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αλ(a␈α␈nalo␈α␈gou␈α␈s␈α	to␈αλAlg␈α␈orithm␈αλB)␈α	fo␈α␈r␈α	c␈α␈alcula␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈αλthe␈αλg␈α␈reates␈α␈t
␈β∞
␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈omm␈α↓o␈α␈n␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈isor␈αof␈αt␈α␈w␈α␈o␈αin␈α␈teg␈α␈ers␈αba␈α␈sed␈αon␈α
the␈α␈i␈α↓r␈↓ εv␈ε0b␈α␈alan␈α␈ced␈αte␈α␈rnar␈α␈y␈ε#␈αrepr␈α␈esen␈α␈ta␈α␈tion.␈α∂Dem␈α␈-
␈β∞1␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈nstra␈α␈te␈αy␈α␈o␈α␈ur␈αalgo␈α␈rithm␈αb␈α␈y␈αap␈α␈ply␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αit␈αto␈αth␈α␈e␈αcalcu␈α␈lation␈αo␈α␈f␈↓ λ6␈ε#gcd␈↓ λh␈ε#(409␈α␈02,␈αε2␈α␈41␈α␈40).
␈β∞d␈↓ ↓g␈ε36.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈2␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Giv␈α␈en␈αtha␈α␈t␈ε)␈α
u␈ε#␈α∞a␈α␈nd␈↓ ¬
␈ε)v␈↓ ¬)␈ε#are␈α
r␈α␈and␈α␈om␈αpositiv␈α␈e␈αi␈α↓n␈α}teger␈α␈s,␈↓ λa␈ε#|n␈α␈d␈α
th␈α␈e␈α
me␈α␈an␈α
a␈α␈nd␈αthe
␈β∂␈↓ ↓H␈ε#sta␈α␈nd␈α␈ard␈α
dev␈α␈iation␈α
of␈αth␈α␈e␈αqu␈α␈an␈α␈tit␈α␈y␈ε)␈α
A␈ε#␈αtha␈α␈t␈αen␈α␈te␈α␈rs␈αi␈α↓n␈α}to␈αth␈α␈e␈αtiming␈α
of␈αProg␈α␈ram␈αB.␈α→(Th␈α␈is
␈β∂3␈↓ ↓H␈ε#is␈αth␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αo␈α␈f␈αri␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈αsh␈α␈i␈α↓$s␈αa␈α␈pp␈α␈l␈α↓ied␈α
to␈αb␈α␈oth␈ε)␈αu␈ε#␈αan␈α␈d␈↓ π5␈ε)v␈↓ πR␈ε#d␈α␈urin␈α␈g␈αthe␈α
prep␈α␈ara␈α␈tory␈αp␈α␈ha␈α␈se.)
␈β∂e␈↓ ↓g␈ε37.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Ana␈α␈l␈α↓y␈α␈ze␈αth␈α␈e␈αqu␈α␈an␈α␈tit␈α␈y␈↓ ¬8␈ε)B␈↓ ¬\␈ε#tha␈α␈t␈αen␈α␈te␈α␈rs␈αi␈α↓n␈α}to␈αth␈α␈e␈αti␈α↓m␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αo␈α␈f␈αPro␈α␈gram␈αB.
␈β⊂⊗␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β⊂_␈↓ ↓c␈ε38.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Sho␈α␈w␈α
th␈α␈at␈α
in␈α
Prog␈α␈ram␈α
B␈↓ ¬↑␈ε#,␈α
the␈α
a␈α}v␈α␈era␈α␈ge␈α
v␈α⎇a␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α
of␈↓ λ~␈ε)E␈↓ λ>␈ε#is␈α
ap␈α␈pr␈α␈o␈α␈xima␈α␈tely␈α
eq␈α␈ual␈α
to
␈β⊂=␈↓ ↓K␈ε&1
␈β⊂?␈↓ ↓]␈ε)C␈↓ α≤␈ε#,␈αwhere␈↓ β⊃␈ε)C␈↓ β[␈ε#is␈αthe␈α
a␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈αv␈α⎇a␈α␈lue␈αof␈↓ ε)␈ε)C␈↓ εC␈ε#.
␈β⊂K␈↓ ↓u␈ε&a␈α␈v␈α␈e␈↓ β(␈ε&a␈α␈v␈α␈e
␈β⊂P␈↓ ↓K␈ε&2
␈β⊂R␈↓ ↓K␈∧⊂R↓Kα∞
␈β⊂r␈↓ ↓g␈ε39.␈↓ α␈ε#[␈ε)18␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Usin␈α␈g␈α∂Algo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hm␈α∞B␈α∂an␈α␈d␈α∞ha␈α␈nd␈α∞calcu␈α␈lation␈α␈,␈α⊂|n␈α␈d␈↓ λ_␈ε#gcd␈↓ λJ␈ε#(31␈α␈408␈α␈,␈αε271␈α␈8).␈α→A␈α↓lso␈α∞|␈α␈nd
␈β⊃→␈↓ ↓H␈ε#in␈α}tegers␈ε)␈αm␈ε#␈α
and␈ε)␈α
n␈ε#␈αsu␈α␈ch␈α
that␈α3␈α␈140␈α␈8␈ε)m␈ε#␈απ+␈αλ2␈α␈71␈α␈8␈ε)n␈ε#␈α
=␈↓ π␈ε#gcd␈↓ π=␈ε#(314␈α␈08,␈α¬271␈α␈8),␈αusing␈α
Al␈α↓g␈α␈orithm␈α
X␈α↓.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.2␈↓ 
v␈ε"337
␈β↓Z␈↓ ¬V␈ε.THE␈α
GR␈α␈EA␈α}TES␈α␈T␈αC␈α␈OMMON␈α
DI␈α␈VIS␈α␈OR
␈βα#␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βα%␈↓ ↓S␈ε31␈α␈0.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈24␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Let␈↓ βN␈ε)q␈↓ βy␈ε#b␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α	of␈α	ord␈α␈ered␈α	p␈α␈airs␈α	of␈α
in␈α}tegers␈α	(␈ε)u␈ε#,␈↓ 		␈ε)v␈↓ 	≠␈ε#)␈α	l␈α↓y␈α␈ing␈α	in␈α	the␈α	ra␈α␈nge
␈βα1␈↓ β←␈ε,n
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#1␈ε7␈α
∀␈ε)␈α
u␈ε#␈α↓,␈↓ α0␈ε)v␈↓ αL␈ε7∀␈ε)␈αn␈ε#␈αsu␈α␈ch␈αtha␈α␈t␈↓ ∧-␈ε#gc␈α␈d␈↓ ∧←␈ε#(␈ε)u␈ε#,␈↓ ¬␈ε)v␈↓ ¬≡␈ε#)␈α
=␈α1␈α␈.␈α⊃The␈αobje␈α␈ct␈αof␈αthis␈αe␈α␈xercise␈αis␈αto␈αpro␈α␈v␈α}e␈αth␈α␈at␈αw␈α␈e
␈βαo␈↓ βT␈ε&2␈↓ ∧K␈ε&2
␈βαt␈↓ ↓H␈ε#h␈α␈a␈α␈v␈α␈e␈↓ α∀␈ε#l␈α↓im␈↓ β∞␈ε)q␈↓ β/␈ε#/␈↓ β@␈ε)n␈↓ βk␈ε#=␈α
6/␈↓ ∧7␈ε)→␈↓ ∧Y␈ε#,␈αt␈α␈hereb␈α␈y␈αes␈α␈tablishin␈α␈g␈αThe␈α␈orem␈αD␈↓ λC␈ε#.
␈ββ␈↓ αC␈ε,n␈ε:␈α␈!␈α↓1␈↓ β≡␈ε,n
␈ββ(␈↓ ↓e␈ε#a)␈↓ α␈ε#Use␈αth␈α␈e␈αprin␈α␈ci␈α↓p␈α␈le␈αof␈↓ ∧4␈ε#inclu␈α␈si␈α↓o␈α␈n␈αa␈α␈nd␈αe␈α␈xclu␈α␈si␈α↓o␈α␈n␈α(S␈α␈ection␈α1␈α␈.3.3)␈αto␈αsho␈α␈w␈αtha␈α␈t
␈ββZ␈↓ ¬&␈ε↓X␈↓ π¬␈ε↓X
␈ββv␈↓ ∧h␈ε&2␈↓ ε8␈ε&2␈↓ λG␈ε&2
␈ββ⎇␈↓ β}␈ε)q␈↓ ∧)␈ε#=␈↓ ∧T␈ε)n␈↓ ∧⎇␈ε7␈␈↓ ¬Z␈ε7b␈ε)n␈ε#/␈↓ ε␈ε)p␈↓ ε+␈ε7c␈↓ εN␈ε#+␈↓ πI␈ε7b␈ε)␈α␈n␈ε#␈α↓/␈↓ πz␈ε)p␈↓ λ~␈ε)p␈↓ λ:␈ε7c␈↓ λ\␈ε7␈␈↓ 	¬␈ε7↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ 	1␈ε#,
␈β∧	␈↓ ∧∂␈ε,n␈↓ ε≡␈ε&1␈↓ λ␈ε&1␈↓ λ,␈ε&2
␈β∧0␈↓ ¬2␈ε,p␈↓ εv␈ε,p␈↓ π∩␈ε&<␈↓ π-␈ε,p
␈β∧6␈↓ ¬A␈ε'1␈↓ π¬␈ε'1␈↓ π;␈ε'2
␈β∧r␈↓ α␈ε#whe␈α␈re␈αthe␈αsu␈α␈ms␈αar␈α␈e␈αtak␈α␈e␈α␈n␈αo␈α␈v␈α}er␈αall␈ε0␈αprime␈ε#␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈↓ πe␈ε)p␈↓ λ↓␈ε#.
␈β∧}␈↓ πw␈ε,i
␈β¬∀␈↓  ␈ε,r
␈β¬~␈↓ ↓c␈ε#b)␈↓ α␈ε#The␈↓ αP␈ε0M␈↓ αm␈ε0∪␈↓ αm␈ε0o␈↓ α}␈ε0b␈α␈i␈α↓u␈α␈s␈α
fun␈α␈ction␈ε)␈α
⊗␈ε#(␈ε)n␈ε#)␈αis␈α
de|␈α␈ne␈α␈d␈α
by␈α	the␈α
ru␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈ε)␈α⊗␈ε#(1␈α␈)␈α
=␈α	1,␈ε)␈α⊗␈ε#(␈↓ 		␈ε)p␈↓ 	(␈ε)p␈↓ 	N␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ 	z␈ε)p␈↓ 
→␈ε#)␈α	=␈α
(␈ε7␈␈ε#1␈↓ ∃␈ε#)
␈β¬&␈↓ 	≠␈ε&1␈↓ 	:␈ε&2␈↓ 
␈ε,r
␈β¬B␈↓ α␈ε#if␈↓ α,␈ε)p␈↓ αL␈ε#,␈↓ αb␈ε)p␈↓ β↓␈ε#,␈↓ β↔␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ βC␈ε#,␈↓ βY␈ε)p␈↓ ∧β␈ε#are␈αd␈α␈i␈α↓stin␈α␈ct␈αprime␈α␈s,␈α
a␈α␈nd␈ε)␈α⊗␈ε#(␈ε)n␈ε#)␈α=␈α0␈αif␈ε)␈αn␈ε#␈α
is␈αdiv␈α␈i␈α↓sib␈α␈l␈α↓e␈αby␈αth␈α␈e␈αsqu␈α␈are
␈β¬M␈↓ α>␈ε&1␈↓ αs␈ε&2␈↓ βk␈ε,r␈↓ ¬0␈ε↓P
␈β¬d␈↓ π!␈ε&2
␈β¬i␈↓ α␈ε#of␈αa␈αp␈α␈rime.␈α∂S␈α␈h␈α↓o␈α␈w␈αth␈α␈at␈↓ ∧[␈ε)q␈↓ ¬ε␈ε#=␈↓ ε∪␈ε)⊗␈ε#(␈↓ ε2␈ε)k␈↓ εD␈ε#)␈ε7␈α↓b␈ε)n␈ε#/␈↓ πα␈ε)k␈↓ π∀␈ε7c␈↓ π/␈ε#.
␈β¬u␈↓ ∧l␈ε,n
␈β¬⎇␈↓ ¬V␈ε,k␈↓ ¬e␈ε:∃␈ε&1␈↓ λ~␈ε↓P
␈βε∪␈↓ πX␈ε&2␈↓ 	]␈ε&2
␈βε→␈↓ ↓g␈ε#c)␈↓ α␈ε#As␈αa␈αco␈α␈nseq␈α␈uen␈α␈ce␈αo␈α␈f␈α(b␈α␈),␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈↓ ε→␈ε#lim␈↓ π∩␈ε)q␈↓ π3␈ε#/␈↓ πD␈ε)n␈↓ πo␈ε#=␈↓ λ|␈ε)⊗␈ε#␈α↓(␈↓ 	≤␈ε)k␈↓ 	.␈ε#)/␈↓ 	J␈ε)k␈↓ 	j␈ε#.
␈βε$␈↓ εG␈ε,n␈ε:!1␈↓ π#␈ε,n
␈βε,␈↓ βE␈ε↓P␈↓ ¬-␈ε↓P␈↓ λ@␈ε,k␈↓ λO␈ε:∃␈ε&1
␈βεB␈↓ ¬π␈ε&2␈↓ εW␈ε&2
␈βεF␈↓ β9␈ε"(␈↓ ¬∃␈ε")(␈↓ εe␈ε")
␈βεH␈↓ ↓c␈ε#d)␈↓ α␈ε#Pro␈α␈v␈α␈e␈α∞th␈α␈at␈↓ ∧'␈ε)⊗␈ε#(␈↓ ∧F␈ε)k␈↓ ∧Y␈ε#)/␈↓ ∧u␈ε)k␈↓ ε→␈ε#1␈α␈/␈↓ ε:␈ε)m␈↓ π␈ε#=␈α⊂1.␈ε0␈α Hin␈α␈t:␈ε#␈α∩When␈α∞th␈α␈e␈α∂series␈α∞are␈α∞ab␈α␈-
␈βε\␈↓ βk␈ε,k␈↓ βy␈ε:∃␈ε&␈α↓1␈↓ ¬S␈ε,m␈ε:∃␈ε&1
␈βεp␈↓ α␈ε#solu␈α␈tely␈αcon␈α}v␈α␈erg␈α␈en␈α␈t␈αw␈α␈e␈αh␈α␈a␈α␈v␈α␈e
␈βπ2␈↓ βj␈ε↓X␈↓ ¬)␈ε↓X␈↓ π_␈ε↓X␈↓ πd␈ε↓X
␈βπ;␈↓ βS␈ε↓∩␈↓ ∧w␈ε↓∪␈↓ ¬
␈ε↓∩␈↓ εL␈ε↓∪␈↓ πN␈ε↓∩␈↓ λ␈␈ε↓∪␈↓ 	∃␈ε↓≡
␈βπN␈↓ ∧i␈ε,z␈↓ ε>␈ε,z␈↓ 	O␈ε,z
␈βπV␈↓ ∧%␈ε)a␈↓ ∧F␈ε#/␈↓ ∧V␈ε)k␈↓ ¬h␈ε)b␈↓ ε∂␈ε#/␈↓ ε ␈ε)m␈↓ εk␈ε#=␈↓ λ≡␈ε)a␈↓ λ>␈ε)b␈↓ 	:␈ε)n␈↓ 	]␈ε#.
␈βπa␈↓ ∧7␈ε,k␈↓ ¬x␈ε,m␈↓ λ0␈ε,d
␈βπb␈↓ λN␈ε,n␈ε&␈α␈/␈ε,d
␈βλλ␈↓ βi␈ε,k␈↓ βw␈ε:∃␈ε&␈α↓1␈↓ ¬#␈ε,m␈ε:∃␈ε&1␈↓ π∃␈ε,n␈ε:∃␈ε&␈α↓1␈↓ πh␈ε,d␈ε:␈α␈∧␈ε,n
␈βλY␈↓ ↓V␈ε311.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈2␈↓ α\␈ε#]␈α⊗W␈α↓h␈α␈at␈αis␈α
th␈α␈e␈αpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓it␈α␈y␈αth␈α␈at␈↓ ε+␈ε#gcd␈↓ ε]␈ε#(␈ε)u␈ε#␈α↓,␈↓ π␈ε)v␈↓ π≤␈ε#)␈ε7␈α∀␈ε#␈α3␈α␈?␈α≤(S␈α␈ee␈α
Th␈α␈eor␈α␈em␈αD␈↓ 
λ␈ε#.␈α↓)␈α≠W␈α↓h␈α␈at␈αis
␈β	↓␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈ε0␈αa␈α␈v␈α}erag␈α␈e␈ε#␈αv␈α⎇alue␈α
of␈↓ βt␈ε#gcd␈↓ ∧&␈ε#(␈ε)u␈ε#␈α↓,␈↓ ∧T␈ε)v␈↓ ∧e␈ε#)?
␈β	4␈↓ ↓V␈ε312.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈4␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(E␈α↓.␈↓ β1␈ε#Ces␈↓ βe␈ε#␈
␈↓ βe␈ε#a␈↓ βv␈ε#ro␈α␈.␈α↓)␈α→I␈α↓f␈ε)␈αu␈ε#␈αan␈α␈d␈↓ ¬C␈ε)v␈↓ ¬`␈ε#are␈αra␈α␈nd␈α␈om␈αpo␈α␈si␈α↓tiv␈α}e␈αin␈α␈t␈α␈egers,␈αwhat␈αis␈αth␈α␈e␈αa␈α␈v␈α␈e␈α␈rage
␈β	\␈↓ ↓H␈ε#n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
of␈α(p␈α␈ositiv␈α␈e)␈α
divisors␈α
the␈α␈y␈α
ha␈α␈v␈α}e␈αin␈α
co␈α␈mm␈α↓on␈α␈?␈α↔[␈ε0Hi␈α↓n␈α}t:␈ε#␈αSee␈α
th␈α␈e␈αide␈α␈n␈α␈tit␈α␈y␈α
i␈α↓n␈α
e␈α␈xerc␈α␈i␈α↓se
␈β
∧␈↓ ↓H␈ε#1␈α␈0(d),␈αwith␈↓ αr␈ε)a␈↓ β≤␈ε#=␈↓ βF␈ε)b␈↓ βw␈ε#=␈α	1.]
␈β
∂␈↓ β∧␈ε,k␈↓ βV␈ε,m
␈β
7␈↓ ↓V␈ε313.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈23␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Giv␈α␈e␈α␈n␈α
th␈α␈at␈ε)␈α
u␈ε#␈α
an␈α␈d␈↓ ¬⊗␈ε)v␈↓ ¬1␈ε#are␈α	ran␈α␈dom␈ε0␈α	od␈α␈d␈↓ π!␈ε#po␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈α
in␈α␈teg␈α␈ers,␈α
sh␈α↓o␈α}w␈α
tha␈α␈t␈α
they␈α	are
␈β
Y␈↓ ¬c␈ε&2
␈β
←␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αwi␈α↓t␈α␈h␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈α
8/␈↓ ¬O␈ε)→␈↓ ¬q␈ε#.
␈β∩␈↓ ↓V␈ε314.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈6␈↓ α\␈ε#]␈α⊗W␈α↓h␈α␈at␈αa␈α␈re␈αthe␈αv␈α|alues␈αo␈α␈f␈↓ ¬R␈ε)v␈↓ ¬{␈ε#a␈α␈nd␈↓ ε<␈ε)v␈↓ εe␈ε#wh␈α␈en␈αAlgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αX␈αtermin␈α␈ates?
␈β≡␈↓ ¬b␈ε&1␈↓ εL␈ε&2
␈βD␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βF␈↓ ↓S␈ε31␈α␈5.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈2␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Design␈α
a␈α␈n␈α
algo␈α␈rithm␈α
to␈↓ ¬T␈ε0d␈α␈i␈α↓v␈α␈ide␈ε)␈α
u␈ε0␈αb␈α␈y␈↓ πα␈ε)v␈↓ π≡␈ε0m␈α↓od␈α␈ulo␈ε)␈α
m␈ε#␈α␈,␈αgiv␈α␈e␈α␈n␈α
po␈α␈si␈α↓tiv␈α}e␈αin␈α}tegers␈ε)␈α
u␈ε#,
␈βn␈↓ ↓H␈ε)v␈↓ ↓Y␈ε#,␈αand␈ε)␈α
m␈ε#␈α␈,␈αwi␈α↓th␈↓ β+␈ε)v␈↓ βG␈ε#relativ␈α␈ely␈↓ ∧X␈ε#prime␈α
to␈ε)␈α
m␈ε#.␈α∂In␈α
oth␈α␈er␈αw␈α␈ord␈α␈s,␈αy␈α␈o␈α␈ur␈αa␈α␈lgorith␈α␈m␈αshou␈α␈l␈α↓d␈α
|␈α␈nd␈↓ 
␈ε)w␈↓ #␈ε#,
␈β∃␈↓ ↓H␈ε#in␈α
the␈αra␈α␈nge␈α0␈ε7␈αλ∀␈↓ βG␈ε)w␈↓ βi␈ε#<␈ε)␈α
m␈ε#␈α␈,␈αsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈ε)␈αu␈ε7␈α
⊃␈↓ ε!␈ε)v␈↓ ε3␈ε)w␈↓ εU␈ε#(mod␈α␈ulo␈ε)␈αm␈ε#␈α␈).
␈βI␈↓ ↓V␈ε316.␈↓ α␈ε#[␈ε)21␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Use␈αthe␈αtex␈α␈t's␈αmethod␈αto␈α|n␈α␈d␈αa␈αgen␈α␈eral␈αso␈α␈lution␈αin␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈αto␈αthe␈αfollo␈α␈wing
␈βq␈↓ ↓H␈ε#se␈α␈ts␈αof␈αequ␈α␈ation␈α␈s:
␈β
;␈↓ α?␈ε#a␈α␈)␈↓ α|␈ε#3␈ε)␈α␈x␈ε#␈απ+␈αλ7␈↓ β`␈ε)y␈↓ βy␈ε#+␈απ11␈↓ ∧C␈ε)z␈↓ ∧]␈ε#=␈α
1␈↓ π8␈ε#b)␈↓ πw␈ε#3␈ε)x␈ε#␈απ+␈αλ7␈↓ λ[␈ε)y␈↓ λt␈ε#+␈αλ11␈↓ 	>␈ε)z␈↓ 	Y␈ε#=␈α+1
␈β
n␈↓ α|␈ε#5␈ε)␈α␈x␈ε#␈απ+␈αλ7␈↓ β`␈ε)y␈↓ βy␈ε7␈␈ε#␈α_5␈↓ ∧C␈ε)z␈↓ ∧]␈ε#=␈α
3␈↓ πw␈ε#5␈ε)x␈ε#␈απ+␈αλ7␈↓ λ[␈ε)y␈↓ λt␈ε7␈␈ε#␈α→5␈↓ 	>␈ε)z␈↓ 	Y␈ε#=␈ε7␈α	␈␈ε#␈α↓3
␈β∞B␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∞D␈↓ ↓S␈ε31␈α␈7.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈4␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Sho␈α␈w␈α
h␈α↓o␈α␈w␈α
Algorith␈α␈m␈α
L␈αcan␈α	be␈α
ex␈α␈tend␈α␈ed␈α
(as␈α
Algorith␈α␈m␈α
A␈αw␈α␈as␈α
ex␈α␈tend␈α␈ed␈α
to
␈β∞l␈↓ ↓H␈ε#Algo␈α␈rithm␈αX)␈αto␈αo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α
solution␈α␈s␈αof␈α(15␈α␈)␈αwh␈α␈en␈ε)␈α
u␈ε#␈αan␈α␈d␈↓ πP␈ε)v␈↓ πm␈ε#a␈α␈re␈αlarge␈α␈.
␈β∂ ␈↓ ↓V␈ε318.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈7␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Let␈ε)␈α
u␈ε#␈α
a␈α␈nd␈↓ ∧≤␈ε)v␈↓ ∧:␈ε#be␈αod␈α␈d␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs,␈α∞in␈α␈dep␈α␈en␈α␈den␈α}tly␈α
a␈α␈nd␈αu␈α␈niformly␈αdistrib␈α␈uted␈αin
␈β∂A␈↓ α␈␈ε,m␈↓ ∧6␈ε,m␈ε&+1␈↓ ¬∨␈ε,n␈↓ εM␈ε,n␈ε&+1
␈β∂G␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α∞ran␈α␈ge␈α␈s␈↓ αn␈ε#2␈↓ β%␈ε7∀␈ε)␈α∞u␈ε#␈α∂<␈↓ ∧%␈ε#2␈↓ ∧v␈ε#,␈↓ ¬∞␈ε#2␈↓ ¬>␈ε7∀␈↓ ¬m␈ε)v␈↓ ε
␈ε#<␈↓ ε<␈ε#2␈↓ πε␈ε#.␈α_Wh␈α␈at␈α∞is␈α∞the␈ε0␈α∞e␈α␈xac␈α␈t␈ε#␈α∞pro␈α␈bab␈α␈il␈α↓it␈α␈y␈α
tha␈α␈t
␈β∂o␈↓ ↓H␈ε#a␈α∞sin␈α␈gle␈α∞\su␈α␈btra␈α␈ct␈α∞and␈α
shi$"␈α∞cy␈α}cle␈α∂in␈α∞Algo␈α␈rithm␈α∞B␈↓ π8␈ε#,␈α∂na␈α␈mely␈α∞an␈α∞o␈α␈per␈α␈ation␈α∞th␈α␈at␈α∞start␈α␈s
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈t␈α∂step␈α∂B6␈α∂a␈α␈nd␈α∞then␈α∞stop␈α␈s␈α∂a$er␈α∂ste␈α␈p␈α∂B5␈α∂is␈α∂|n␈α␈ished␈α␈,␈α⊃re␈α␈du␈α␈ces␈ε)␈α∂u␈ε#␈α∂and␈↓ 	E␈ε)v␈↓ 	f␈ε#to␈α∂th␈α␈e␈α∂ran␈α␈ge␈α␈s
␈β⊂2␈↓ ↓p␈ε;0␈↓ β≠␈ε;0␈↓ ∧␈ε;0␈↓ ¬#␈ε;0
␈β⊂8␈↓ ↓X␈ε,m␈↓ ββ␈ε,m␈↓ β#␈ε&+1␈↓ βp␈ε,n␈↓ ¬∩␈ε,n␈↓ ¬*␈ε&+␈α↓1␈↓ λJ␈ε:0␈↓ 	:␈ε:0
␈β⊂>␈↓ ↓H␈ε#2␈↓ α↓␈ε7∀␈ε)␈α
u␈ε#␈α	<␈↓ αs␈ε#2␈↓ βK␈ε#,␈↓ β←␈ε#2␈↓ ∧⊃␈ε7∀␈↓ ∧<␈ε)v␈↓ ∧W␈ε#<␈↓ ¬↓␈ε#2␈↓ ¬S␈ε#,␈α
as␈α
a␈αfu␈α␈nctio␈α␈n␈α
of␈ε)␈αm␈ε#␈α␈,␈ε)␈αn␈ε#␈α↓,␈↓ λ,␈ε)m␈↓ λQ␈ε#,␈αand␈↓ 	&␈ε)n␈↓ 	A␈ε#?␈α↔(This␈αe␈α␈xerc␈α␈i␈α↓se
␈β⊂f␈↓ ↓H␈ε#g␈α␈i␈α↓v␈α}es␈αmore␈α
accu␈α␈rate␈α
v␈α⎇alu␈α␈es␈αfo␈α␈r␈αthe␈α
tran␈α␈sition␈α
pro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ities␈α
tha␈α␈n␈αth␈α␈e␈αte␈α␈xt's␈αmod␈α␈el␈αdo␈α␈es.)
␈β⊃→␈↓ ↓V␈ε319.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈4␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Comp␈α␈lete␈αthe␈α
text's␈αd␈α␈eriv␈α⎇ation␈α
of␈α(38)␈αb␈α␈y␈αesta␈α␈blishing␈α
(37).
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"338␈↓ 
b␈ε"4.5.2
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα%␈↓ ↓V␈ε320.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈6␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Let␈ε)␈α∂∃␈ε#␈α⊂=␈ε7␈α∂b␈↓ ∧≤␈ε#l␈α↓g␈↓ ∧<␈ε#g␈α␈cd␈↓ ∧n␈ε#(␈ε)u␈ε#,␈↓ ¬≠␈ε)v␈↓ ¬-␈ε#)␈ε7c␈ε#.␈α~S␈α␈h␈α↓o␈α␈w␈α∞tha␈α␈t␈α∂the␈↓ πM␈ε#lattice-p␈α␈oin␈α␈t␈α∂mod␈α␈el␈α∂giv␈α␈es␈ε)␈α∞∃␈ε#␈α⊂=␈α⊂1
␈βαJ␈↓ βE␈ε&1␈↓ ε[␈ε&1␈↓ 	x␈ε&1
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#with␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈↓ βV␈ε#,␈ε)␈α∞∃␈ε#␈α=␈α
2␈αwith␈α
p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lit␈α␈y␈↓ εs␈ε#,␈ε)␈α∞∃␈ε#␈α=␈α
3␈αwith␈α
p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lit␈α␈y␈↓ 
⊃␈ε#,␈α
etc.,␈α
plu␈α␈s
␈βα]␈↓ βE␈ε&5␈↓ εT␈ε&10␈↓ 	q␈ε&20
␈βα`␈↓ βE␈∧α`βEα∞␈↓ εT␈∧α`εTα≤␈↓ 	q␈∧α`	qα≤
␈βαt␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈orrectio␈α␈n␈α	terms␈α	th␈α␈at␈α	go␈α	ra␈α␈pid␈α␈l␈α↓y␈αλto␈α	zero␈α	a␈α␈s␈ε)␈α
u␈ε#␈α	an␈α␈d␈↓ π
␈ε)v␈↓ π%␈ε#ap␈α␈pro␈α␈ach␈αλi␈α↓n␈α␈|n␈α␈it␈α␈y;␈α
he␈α␈nce␈α	th␈α␈e␈α	a␈α␈v␈α␈e␈α␈rage
␈ββ→␈↓ ∧b␈ε&4
␈ββ≤␈↓ ↓H␈ε#v␈α|alue␈α
of␈ε)␈α∃␈ε#␈αis␈αap␈α␈pro␈α}ximat␈α␈el␈α↓y␈↓ ∧s␈ε#.␈α_[␈ε0Hi␈α↓n␈α}t:␈ε#␈αConsid␈α␈er␈αth␈α␈e␈αrela␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α
th␈α␈e␈αp␈α␈rob␈α␈abilit␈α␈y␈αo␈α␈f
␈ββ,␈↓ ∧b␈ε&5
␈ββ/␈↓ ∧b␈∧β/∧bα∞
␈ββD␈↓ ↓H␈ε#a␈αpa␈α␈th␈α
from␈α(␈ε)␈α↓m␈ε#␈α␈,␈ε)␈αεn␈ε#)␈α
to␈α
(␈↓ ∧ ␈ε)k␈↓ ∧;␈ε#+␈α	1,␈↓ ¬¬␈ε)k␈↓ ¬ ␈ε#+␈α	1)␈α
an␈α␈d␈α
a␈αcorre␈α␈spo␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
p␈α␈ath␈α
fro␈α␈m␈α
(␈ε)m␈ε7␈αλ␈␈↓ 
&␈ε)k␈↓ 
9␈ε#,␈ε)␈αεn␈ε7␈α	␈␈↓ ∂␈ε)k␈↓ !␈ε#)
␈ββk␈↓ ↓H␈ε#to␈α
(1,␈αε1).]
␈β∧≥␈↓ ↓V␈ε321.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈26␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Let␈↓ βN␈ε)C␈↓ ∧_␈ε#an␈α␈d␈↓ ∧W␈ε)D␈↓ ¬%␈ε#b␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α	a␈α␈v␈α␈e␈α␈rage␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α
o␈α␈f␈α
su␈α␈btra␈α␈ction␈α	a␈α␈nd␈α	sh␈α␈i$␈α
cy␈α}cles,
␈β∧)␈↓ βf␈ε,mn␈↓ ∧s␈ε,mn
␈β∧E␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈spec␈α␈ti␈α↓v␈α}ely,␈α
in␈α	Al␈α↓g␈α␈orithm␈α	B␈↓ ∧]␈ε#,␈α
when␈ε)␈α	u␈ε#␈α
a␈α␈nd␈↓ ε"␈ε)v␈↓ ε=␈ε#are␈α	od␈α␈d,␈ε7␈α
b␈↓ πI␈ε#lg␈↓ πh␈ε)u␈ε7␈α↓c␈ε#␈α	=␈ε)␈α
m␈ε#␈α␈,␈ε7␈α
b␈↓ λz␈ε#l␈α↓g␈↓ 	~␈ε)v␈↓ 	+␈ε7c␈ε#␈α
=␈ε)␈α	n␈ε#␈α↓.␈α∞Sho␈α␈w␈α	tha␈α␈t
␈β∧j␈↓ βm␈ε&1
␈β∧m␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈α|x␈α␈ed␈ε)␈αn␈ε#,␈↓ αv␈ε)C␈↓ β?␈ε#=␈↓ β␈␈ε)m␈ε#␈απ+␈↓ ∧M␈ε)O␈↓ ∧g␈ε#(1)␈αan␈α␈d␈↓ ¬Z␈ε)D␈↓ ε(␈ε#=␈ε)␈α	m␈ε#␈απ+␈↓ π ␈ε)O␈↓ π:␈ε#(1)␈αas␈ε)␈αm␈ε7␈α	!␈α	1␈ε#␈α↓.
␈β∧x␈↓ β
␈ε,mn␈↓ ¬v␈ε,mn
␈β∧⎇␈↓ βm␈ε&2
␈β¬␈↓ βm␈∧¬βmα∞
␈β¬∨␈↓ ↓V␈ε322.␈↓ α␈ε#[␈ε)23␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αEq.␈α(44).
␈β¬Q␈↓ ↓V␈ε323.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈8␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Sho␈α␈w␈αtha␈α␈t␈αif␈↓ ∧<␈ε)C␈↓ ¬¬␈ε#=␈ε)␈α
m␈ε#␈απ+␈↓ ε⊃␈ε)␈␈↓ ε&␈ε)n␈ε#␈αλ+␈↓ εj␈ε)␈
␈↓ π	␈ε#for␈αso␈α␈me␈αco␈α␈nsta␈α␈n␈α␈ts␈ε)␈α␈ε#,␈↓ 	K␈ε)␈␈↓ 	`␈ε#,␈αan␈α␈d␈↓ 
5␈ε)␈
␈↓ 
H␈ε#,␈αthen
␈β¬]␈↓ ∧S␈ε,mn
␈βεα␈↓ αk␈ε↓X
␈βε≥␈↓ ¬c␈ε,m␈ε&+␈ε,␈α↓n␈ε:␈α␈␈␈ε&␈α↓2␈↓ πS␈ε&2␈↓ πa␈ε,N
␈βε"␈↓ λ	␈ε&11
␈βε#␈↓ πz␈ε"(␈↓ 
)␈ε")
␈βε%␈↓ βT␈ε#(␈↓ β←␈ε)N␈↓ ∧π␈ε7␈␈ε)␈απm␈ε#)(␈↓ ∧c␈ε)N␈↓ ¬␈ε7␈␈ε)␈απn␈ε#␈α↓)␈↓ ¬S␈ε#2␈↓ εO␈ε)C␈↓ π_␈ε#=␈↓ πC␈ε#2␈↓ λ)␈ε#(␈ε)␈ε#␈απ+␈↓ λx␈ε)␈␈↓ 	␈ε#)␈↓ 	↔␈ε)N␈↓ 	?␈ε#+␈↓ 	h␈ε)O␈↓ 
α␈ε#(1)␈↓ 
5␈ε#,
␈βε0␈↓ εf␈ε,mn
␈βε5␈↓ λ	␈ε&27
␈βε8␈↓ λ	␈∧ε8λ	α≤
␈βεW␈↓ α6␈ε&1␈ε:∀␈ε,n␈ε:∀␈ε,␈α↓m␈ε:␈α␈∀␈↓ β<␈ε,N
␈βε`␈↓ ∧&␈ε↓X
␈βε{␈↓ ¬p␈ε&2␈↓ ε∂␈ε&2␈ε,n␈ε:␈α␈␈␈ε&␈α↓2␈↓ πS␈ε&2␈↓ πa␈ε,N
␈βπ␈↓ λ⊂␈ε&5
␈βπ↓␈↓ πz␈ε"(␈↓ 
)␈ε")
␈βπβ␈↓ ∧v␈ε#(␈↓ ¬↓␈ε)N␈↓ ¬(␈ε7␈␈ε)␈αλn␈↓ ¬e␈ε#)␈↓ ¬}␈ε#2␈↓ εV␈ε)C␈↓ π_␈ε#=␈↓ πC␈ε#2␈↓ λ)␈ε#(␈ε)␈ε#␈απ+␈↓ λx␈ε)␈␈↓ 	␈ε#)␈↓ 	↔␈ε)N␈↓ 	?␈ε#+␈↓ 	h␈ε)O␈↓ 
α␈ε#(1)␈↓ 
5␈ε#.
␈βπ∂␈↓ εm␈ε,nn
␈βπ∪␈↓ λ	␈ε&27
␈βπ⊗␈↓ λ	␈∧π⊗λ	α≤
␈βπ5␈↓ ∧
␈ε&1␈ε:∀␈ε,n␈ε:∀␈↓ ∧]␈ε,N
␈βπv␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βπx␈↓ ↓S␈ε32␈α␈4.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗If␈↓ β≠␈ε)v␈↓ β6␈ε#=␈α
1␈α
b␈α␈ut␈ε)␈α	u␈ε#␈αis␈α
larg␈α␈e,␈αd␈α␈urin␈α␈g␈α
Algorith␈α␈m␈α
B␈↓ πk␈ε#,␈αit␈α
ma␈α}y␈α
ta␈α␈k␈α␈e␈α
fairly␈α
lo␈α␈ng␈α
fo␈α␈r␈α
the
␈βλ∨␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈α
to␈αd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈e␈αtha␈α␈t␈↓ ∧q␈ε#g␈α␈cd␈↓ ¬#␈ε#(␈ε)u␈ε#,␈↓ ¬P␈ε)v␈↓ ¬a␈ε#)␈α=␈α1␈α␈.␈α∪Perh␈α␈aps␈αit␈αwo␈α␈uld␈αb␈α␈e␈αwo␈α␈rth␈α␈wh␈α␈il␈α↓e␈αto␈αa␈α␈dd␈αa
␈βλA␈↓ 
8␈ε,k
␈βλG␈↓ ↓H␈ε#te␈α␈st␈α
at␈α
the␈α
b␈α␈eg␈α␈i␈α↓n␈α␈nin␈α␈g␈α
of␈α
step␈αB␈α↓5␈α␈:␈α⊂\␈α␈If␈ε)␈α∞t␈ε#␈α
=␈α
1␈α␈,␈α∞the␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αtermina␈α␈tes␈α
with␈↓ 
'␈ε#2␈↓ 
S␈ε#as␈α
the
␈βλo␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nsw␈α␈er."␈α∂E␈α↓x␈α␈plo␈α␈re␈αth␈α␈e␈αqu␈α␈estion␈αof␈αwhe␈α␈ther␈αor␈αn␈α↓o␈α␈t␈αth␈α␈is␈αw␈α␈o␈α␈uld␈αbe␈αan␈α
i␈α↓m␈α␈pro␈α␈v␈α}emen␈α}t␈αwh␈α␈en
␈β	⊗␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αalgorith␈α␈m␈αd␈α␈eals␈αwi␈α↓th␈αra␈α␈nd␈α␈om␈αi␈α↓n␈α␈pu␈α␈ts,␈αb␈α␈y␈αd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈ing␈αth␈α␈e␈αa␈α␈v␈α}erag␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αtime␈α␈s
␈β	>␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈αste␈α␈p␈αB6␈αis␈αexe␈α␈cuted␈α
with␈ε)␈αu␈ε#␈α
=␈α	1␈αor␈↓ ε␈ε)v␈↓ ε'␈ε#=␈α	1,␈αusin␈α␈g␈αthe␈α
l␈α↓a␈α␈ttice-po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈αm␈α↓od␈α␈el.
␈β	n␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β	p␈↓ ↓S␈ε32␈α␈5.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈6␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(R.␈α
P.␈↓ βa␈ε#B␈α↓re␈α␈n␈α␈t.)␈α≤Let␈↓ ¬ ␈ε)u␈↓ ¬P␈ε#an␈α␈d␈↓ ε∩␈ε)v␈↓ ε@␈ε#b␈α␈e␈αthe␈αv␈α|alues␈αof␈ε)␈αu␈ε#␈αand␈↓ 	∀␈ε)v␈↓ 	2␈ε#a$er␈ε)␈αn␈ε#␈α
iter␈α␈ation␈α␈s
␈β	|␈↓ ¬3␈ε,n␈↓ ε#␈ε,n
␈β
_␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈αste␈α␈ps␈αB3↑B5;␈αlet␈↓ βf␈ε)X␈↓ ∧≠␈ε#=␈↓ ∧F␈ε)u␈↓ ∧k␈ε#/␈↓ ∧{␈ε)v␈↓ ¬≤␈ε#,␈αan␈α␈d␈αassu␈α␈me␈αth␈α␈at␈↓ π-␈ε)F␈↓ πS␈ε#(␈ε)x␈ε#)␈αi␈α↓s␈αth␈α␈e␈αprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓it␈α␈y␈αth␈α␈at␈↓ 
U␈ε)X␈↓ ␈ε7∀
␈β
#␈↓ ∧↓␈ε,n␈↓ ∧Z␈ε,n␈↓ ¬␈ε,n␈↓ πC␈ε,n␈↓ 
q␈ε,n
␈β
?␈↓ ↓H␈ε)x␈ε#␈α␈,␈α⊂fo␈α␈r␈α∂0␈ε7␈α∞∀␈ε)␈α∂x␈ε#␈α∞<␈ε7␈α∂1␈ε#␈α↓.␈α∨(␈α↓a␈α␈)␈α∂Ex␈α␈press␈↓ ¬I␈ε)F␈↓ ε↔␈ε#(␈ε)x␈ε#)␈α∞i␈α↓n␈α
terms␈α∞of␈↓ λα␈ε)F␈↓ λ(␈ε#(␈ε)x␈ε#),␈α⊂u␈α␈nd␈α␈er␈α∞the␈α∞a␈α␈ssump␈α␈tion
␈β
K␈↓ ¬↑␈ε,n␈ε&+1␈↓ λ_␈ε,n
␈β
d␈↓ 	␈ε&1
␈β
g␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈αs␈α␈tep␈αB4␈α
alw␈α␈a␈α␈ys␈α
bran␈α␈ch␈α␈es␈αto␈α
B␈α↓3␈α
with␈αin␈α␈dep␈α␈end␈α␈en␈α}t␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈↓ 	≤␈ε#.␈α→(b␈α␈)␈αL␈α↓e␈α␈t␈↓ 
.␈ε)G␈↓ 
Y␈ε#(␈ε)x␈ε#)␈α	=
␈β
r␈↓ 
H␈ε,n
␈β
w␈↓ 	␈ε&2
␈β
z␈↓ 	␈∧
z	α∞
␈β	␈↓ βQ␈ε:␈␈ε&␈α↓1
␈β∞␈↓ ↓H␈ε)F␈↓ ↓n␈ε#(␈ε)x␈ε#␈α␈)␈α	+␈α
1␈ε7␈αλ␈␈↓ β∞␈ε)F␈↓ β4␈ε#(␈↓ β?␈ε)x␈↓ βz␈ε#)␈α
be␈α
the␈α
p␈α␈rob␈α␈abilit␈α␈y␈α∞t␈α␈hat␈↓ εt␈ε)Y␈↓ π%␈ε7∀␈ε)␈α∞x␈ε#,␈α∞for␈α
0␈ε7␈α
∀␈ε)␈α∞x␈ε7␈α
∀␈ε#␈α
1,␈α∞where␈↓ 
Z␈ε)Y␈↓ ␈ε#=
␈β~␈↓ ↓]␈ε,n␈↓ β#␈ε,n␈↓ ππ␈ε,n␈↓ 
m␈ε,n
␈β6␈↓ ↓H␈ε#m␈α␈i␈α↓n␈↓ ↓␈␈ε#(␈↓ α
␈ε)u␈↓ α.␈ε#,␈↓ α=␈ε)v␈↓ α↑␈ε#)␈α↓/␈↓ αz␈ε#ma␈↓ β'␈ε#x␈↓ β9␈ε#(␈↓ βD␈ε)u␈↓ βi␈ε#,␈↓ βw␈ε)v␈↓ ∧→␈ε#).␈α∩E␈α↓x␈α␈pr␈α␈ess␈↓ ¬<␈ε)G␈↓ ε≤␈ε#in␈αterm␈α␈s␈α
o␈α␈f␈↓ πJ␈ε)G␈↓ πu␈ε#.␈α≠(c)␈α
Ex␈α␈pres␈α␈s␈α
th␈α␈e␈αdistribu␈α␈tion
␈βB␈↓ α≡␈ε,n␈↓ αN␈ε,n␈↓ βX␈ε,n␈↓ ∧λ␈ε,n␈↓ ¬W␈ε,n␈ε&␈α␈+␈α↓1␈↓ πd␈ε,n
␈β↑␈↓ ↓H␈ε)H␈↓ ↓s␈ε#(␈ε)␈α↓x␈ε#␈α␈)␈α	=␈↓ αP␈ε#pr␈α␈oba␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈α
tha␈α␈t␈↓ ∧H␈ε#ma␈↓ ∧t␈ε#x␈↓ ¬π␈ε#(␈↓ ¬∩␈ε)u␈↓ ¬↑␈ε#,␈↓ ¬m␈ε)v␈↓ ε7␈ε#)/␈↓ εR␈ε#ma␈↓ ε␈␈ε#x␈↓ π⊃␈ε#(␈↓ π≥␈ε)u␈↓ πA␈ε#,␈↓ πP␈ε)v␈↓ πq␈ε#)␈α	<␈ε)␈α
x␈ε#␈α
i␈α↓n␈α
terms␈αo␈α␈f␈↓ 	x␈ε)G␈↓ 
"␈ε#.
␈βi␈↓ ↓c␈ε,n␈↓ ¬%␈ε,n␈ε&+␈α↓1␈↓ ¬}␈ε,n␈ε&␈α␈+␈α↓1␈↓ π0␈ε,n␈↓ π`␈ε,n␈↓ 
∩␈ε,n
␈β⊂␈↓ ↓V␈ε326.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈3␈↓ α\␈ε#]␈α⊗W␈α↓h␈α␈at␈αis␈αth␈α␈e␈αleng␈α␈th␈αof␈αthe␈αlon␈α␈gest␈αpa␈α␈th␈αfrom␈α(␈ε)m␈ε#,␈ε)␈α¬n␈ε#␈α↓)␈αto␈α(0,␈αε0␈α␈)␈αin␈αthe␈αlatt␈α␈i␈α↓ce␈α␈-
␈β8␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈oin␈α␈t␈αmode␈α␈l␈α↓?
␈βh␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βj␈↓ ↓S␈ε32␈α␈7.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈8␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Giv␈α␈en␈ε)␈αm␈ε7␈α∃␈ε)␈α
n␈ε7␈α∃␈ε#␈α1␈α␈,␈α∞|␈α␈nd␈αv␈α⎇a␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αof␈ε)␈α
u␈ε#,␈↓ π"␈ε)v␈↓ π@␈ε#with␈ε7␈αb␈↓ λ~␈ε#lg␈↓ λ:␈ε)u␈ε7c␈ε#␈α=␈ε)␈αm␈ε#,␈ε7␈α
b␈↓ 	T␈ε#lg␈↓ 	s␈ε)v␈↓ 
¬␈ε7c␈ε#␈α=␈ε)␈αn␈ε#␈α
su␈α␈ch
␈β
⊃␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈αAlgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αB␈αrequ␈α␈ires␈ε)␈αm␈ε#␈απ+␈αλ1␈αsu␈α␈btr␈α␈action␈α
steps.
␈β
D␈↓ ↓V␈ε328.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈7␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈α
th␈α␈at␈α
th␈α␈e␈α
sub␈α␈traction␈α	step␈α
B6␈α
o␈α␈f␈αAlgo␈α␈rithm␈α
B␈α
is␈αn␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈αe␈α␈xec␈α␈uted␈α	m␈α↓ore
␈β
k␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈an␈α
1␈απ+␈ε7␈αλb␈↓ αc␈ε#lg␈↓ ββ␈ε#m␈α␈a␈↓ β/␈ε#x␈↓ βB␈ε#(␈ε)u␈ε#,␈↓ βo␈ε)v␈↓ ∧↓␈ε#)␈ε7c␈ε#␈αtime␈α␈s.
␈β∞≡␈↓ ↓V␈ε329.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Ev␈α⎇alua␈α␈te␈αthe␈↓ ∧>␈ε#d␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈an␈α}t
␈β∞N␈↓ ∧#␈ε↓␈␈↓ λ<␈ε↓␈
␈β∞d␈↓ ∧#␈ε↓␈␈↓ λ<␈ε↓␈
␈β∞i␈↓ ∧6␈ε#gcd␈↓ ∧h␈ε#(1,␈αε1␈α␈)␈↓ ¬S␈ε#gcd␈↓ ε¬␈ε#(1,␈αε2)␈↓ εo␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ π9␈ε#g␈α␈cd␈↓ πk␈ε#(1␈α␈,␈ε)␈αεn␈ε#␈α↓)
␈β∞y␈↓ ∧#␈ε↓␈␈↓ λ<␈ε↓␈
␈β∂∂␈↓ ∧#␈ε↓␈␈↓ λ<␈ε↓␈
␈β∂⊂␈↓ ∧6␈ε#gcd␈↓ ∧h␈ε#(2,␈αε1␈α␈)␈↓ ¬S␈ε#gcd␈↓ ε¬␈ε#(2,␈αε2)␈↓ εo␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ π9␈ε#g␈α␈cd␈↓ πk␈ε#(2␈α␈,␈ε)␈αεn␈ε#␈α↓)
␈β∂$␈↓ ∧#␈ε↓␈␈↓ λ<␈ε↓␈
␈β∂.␈↓ λH␈ε#.
␈β∂0␈↓ ∧n␈ε#.␈↓ ε␈ε#.␈↓ πr␈ε#.
␈β∂:␈↓ ∧#␈ε↓␈␈↓ λ<␈ε↓␈
␈β∂>␈↓ ∧n␈ε#.␈↓ ε␈ε#.␈↓ πr␈ε#.
␈β∂L␈↓ ∧n␈ε#.␈↓ ε␈ε#.␈↓ πr␈ε#.
␈β∂P␈↓ ∧#␈ε↓␈␈↓ λ<␈ε↓␈
␈β∂e␈↓ ∧#␈ε↓␈␈↓ λ<␈ε↓␈
␈β∂t␈↓ ∧4␈ε#gcd␈↓ ∧f␈ε#(␈ε)n␈ε#␈α↓,␈α¬1)␈↓ ¬R␈ε#g␈α␈cd␈↓ εβ␈ε#(␈ε)␈α↓n␈ε#,␈αε2␈α␈)␈↓ εo␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ π7␈ε#gc␈α␈d␈↓ πi␈ε#(␈ε)n␈ε#,␈ε)␈αεn␈ε#)
␈β⊂J␈↓ ↓V␈ε330.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Sho␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈α∞Eu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s␈α
algorith␈α␈m␈α
(Al␈α↓g␈α␈orithm␈α
A)␈α
ap␈α␈plied␈α
to␈α
t␈α␈w␈α␈o␈ε)␈α
n␈ε#-bit␈α
bin␈α␈ary
␈β⊂l␈↓ ∧¬␈ε&2
␈β⊂r␈↓ ↓H␈ε#n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈αreq␈α␈uires␈↓ βK␈ε)O␈↓ βe␈ε#(␈↓ βp␈ε)n␈↓ ∧∪␈ε#)␈αu␈α␈nits␈αof␈αtime,␈α
a␈α␈s␈ε)␈α
n␈ε7␈α!␈α1␈ε#␈α↓.␈α≠(The␈αsa␈α␈me␈αup␈α␈per␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈αo␈α␈bv␈α␈i␈α↓o␈α␈usly
␈β⊃→␈↓ ↓H␈ε#hold␈α␈s␈αfo␈α␈r␈αAl␈α↓g␈α␈orithm␈α
B␈α↓.)
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λ4␈ε"'␈↓ 
v␈ε"339
␈β↓Z␈↓ ¬9␈ε.AN␈α␈AL␈α}Y␈α␈SIS␈α
O␈α␈F␈αEUCLI␈α␈D␈↓ λ>␈ε.S␈α
AL␈α␈GO␈α␈RIT␈α␈HM
␈βα∨␈↓ 	Q␈ε,m␈↓ 
L␈ε,n
␈βα%␈↓ ↓V␈ε331.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈2␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Use␈α∞Eu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s␈α∞alg␈α␈orithm␈α
to␈α
|n␈α␈d␈α
a␈α∞simp␈α␈le␈α∞fo␈α␈rm␈α␈ula␈α
for␈↓ 	β␈ε#gcd␈↓ 	5␈ε#(␈↓ 	A␈ε#2␈↓ 	r␈ε7␈␈ε#␈α	1,␈↓ 
<␈ε#2␈↓ 
f␈ε7␈␈ε#␈α
1␈α␈)
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈en␈ε)␈αm␈ε#␈α
an␈α␈d␈ε)␈αn␈ε#␈αa␈α␈re␈αnonn␈α␈ega␈α␈tiv␈α␈e␈αin␈α␈teg␈α␈ers.
␈βαz␈↓ ¬␈␈ε&2
␈ββ␈↓ ↓V␈ε332.␈↓ α␈ε#[␈ε)M4␈α␈3␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Can␈αthe␈αup␈α␈per␈αbo␈α␈un␈α␈d␈↓ ¬F␈ε)O␈↓ ¬`␈ε#(␈↓ ¬k␈ε)n␈↓ ε
␈ε#)␈α
in␈α
e␈α␈xerc␈α␈i␈α↓se␈α30␈αbe␈αdec␈α␈rease␈α␈d,␈α
i␈α↓f␈αan␈α↓o␈α␈the␈α␈r␈α
algo␈α␈-
␈ββ(␈↓ ↓H␈ε#rith␈α␈m␈αfor␈αca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulating␈α
the␈αg␈α␈reate␈α␈st␈αcommon␈αd␈α␈ivisor␈αis␈αuse␈α␈d?
␈ββ[␈↓ ↓V␈ε333.␈↓ α␈ε#[␈ε)M4␈α␈6␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Ana␈α␈l␈α↓y␈α␈ze␈αV.␈αC.␈↓ ∧S␈ε#Har␈α␈ri␈α↓s's␈α\b␈α␈ina␈α␈ry␈αEuclide␈α␈an␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m."
␈β∧␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∧∞␈↓ ↓S␈ε33␈α␈4.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈2␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(R.␈αW.␈↓ βi␈ε#Gosp␈α␈er.)␈α↔Demons␈α␈trate␈α
h␈α↓o␈α}w␈αto␈α
m␈α↓o␈α␈dify␈α
Al␈α↓g␈α␈orithm␈α
B␈αfo␈α␈r␈αlarg␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈-
␈β∧6␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈ers,␈αusin␈α␈g␈αidea␈α␈s␈αana␈α␈logo␈α␈us␈αto␈αthose␈αin␈α
Al␈α↓g␈α␈orithm␈αL.
␈β∧g␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∧i␈↓ ↓S␈ε33␈α␈5.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈8␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(V.␈α
R␈α␈.␈↓ βc␈ε#Pra␈α␈tt.␈α↓)␈α~E␈α↓x␈α␈ten␈α␈d␈αAlgo␈α␈rithm␈αB␈αto␈αan␈αAlgorith␈α␈m␈αY␈αth␈α␈at␈αis␈αan␈α␈alog␈α␈ou␈α␈s
␈β¬⊂␈↓ ↓H␈ε#to␈α
Al␈α↓g␈α␈orithm␈α
X␈α↓.
␈β¬D␈↓ ↓V␈ε336.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈49␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Find␈α
a␈α∞rigo␈α␈rou␈α␈s␈α∞proof␈α∞th␈α␈at␈α∞Bren␈α}t'␈α↓s␈α∞mod␈α␈el␈α∞desc␈α␈ri␈α↓b␈α␈es␈α∞th␈α␈e␈α∞asy␈α␈mp␈α␈totic␈α∞be␈α␈-
␈β¬k␈↓ ↓H␈ε#h␈α␈a␈α␈v␈α␈i␈α↓o␈α␈r␈αof␈αAl␈α↓g␈α␈orithm␈α
B␈α↓.
␈βεj␈↓ ↓4␈ε=*␈↓ ↓H␈ε=4␈α␈.5.3.␈α∩Analysi␈α↓s␈α
of␈α
Euclid's␈α∞Algori␈α↓thm
␈βπ,␈↓ α␈ε"The␈α
execution␈α	time␈α
of␈α	Euclid's␈α
algorithm␈α	depends␈α
on␈↓ λH␈ε(T␈↓ λb␈ε",␈α
the␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α	times
␈βπW␈↓ ↓H␈ε"the␈αdivision␈αstep␈αA2␈αis␈αperformed.␈α↔(See␈αAlgorithm␈α4.5.2A␈αand␈αProgram␈α4.5.2A.)
␈βλα␈↓ ↓H␈ε"The␈α∞quan␈α␈tit␈α␈y␈↓ β&␈ε(T␈↓ βN␈ε"is␈α∞also␈α∂an␈α∞importan␈α␈t␈α∂factor␈α∞in␈α∂the␈α∞running␈α∂time␈α∞of␈α∂other␈α∞algo-
␈βλ-␈↓ ↓H␈ε"rithms,␈α
such␈α
as␈α
the␈α
ev␈α⎇aluation␈α
of␈α
functions␈α
satisfying␈α
a␈α
reciprocit␈α␈y␈αform␈α␈ula␈α
(see
␈βλX␈↓ ↓H␈ε"Section␈α
3.3.3).␈α∂We␈α
shall␈α
see␈α
in␈α
this␈α
section␈α
that␈α
the␈α
mathematical␈α
analysis␈α
of␈α
this
␈β	∧␈↓ ↓H␈ε"quan␈α␈tit␈α␈y␈↓ αW␈ε(T␈↓ α|␈ε"is␈αin␈α␈teresting␈αand␈αinstructiv␈α␈e.
␈β	F␈↓ ↓H␈ε2Relation␈α
to␈α
con␈α␈tin␈α␈ued␈αfractions.␈ε"␈α∪Euclid's␈αalgorithm␈α
is␈αin␈α␈timately␈α
connected␈α
with
␈β	q␈↓ ↓H␈ε/con␈α␈tin␈α␈ued␈αfractions␈ε",␈αwhich␈αare␈αexpressions␈αof␈αthe␈αform
␈β
:␈↓ ¬Z␈ε↓␈␈↓ 
b␈ε↓↓
␈β
@␈↓ ↓T␈ε(b
␈β
M␈↓ ↓d␈ε%1
␈β
X␈↓ ∧z␈ε"=␈↓ ¬(␈ε(b␈↓ ¬H␈ε"/␈↓ ¬h␈ε(a␈↓ ε
␈ε"+␈↓ ε.␈ε(b␈↓ εN␈ε"/(␈↓ εl␈ε(a␈↓ π∞␈ε"+␈↓ π2␈ε(b␈↓ πQ␈ε"/(␈↓ πo␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ→␈ε"/(␈↓ λ7␈ε(a␈↓ 	
␈ε"+␈↓ 	.␈ε(b␈↓ 	P␈ε"/␈↓ 	b␈ε(a␈↓ 
λ␈ε")␈↓ 
~␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 
J␈ε"))␈↓ 
p␈ε".
␈β
e␈↓ ¬9␈ε%1␈↓ ¬{␈ε%1␈↓ ε>␈ε%2␈↓ ε␈␈ε%2␈↓ πB␈ε%3␈↓ λJ␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ 	>␈ε+n␈↓ 	u␈ε+n
␈β
m␈↓ ↓T␈∧
m↓Tαβ→
␈β
r␈↓ α.␈ε(b
␈β
}␈↓ α>␈ε%2
␈β
␈↓ ↓T␈ε(a␈↓ ↓}␈ε"+
␈β⊗␈↓ ↓g␈ε%1
␈β≡␈↓ α.␈∧≡α.αα;
␈β$␈↓ βλ␈ε(b
␈β0␈↓ β→␈ε%3
␈β<␈↓ α.␈ε(a␈↓ αX␈ε"+
␈βD␈↓ α␈ε"(1)
␈βH␈↓ αA␈ε%2
␈βP␈↓ βλ␈∧Pβλα↓]
␈βm␈↓ βλ␈ε6↓␈αε↓␈αε↓
␈β↓␈↓ β<␈∧↓β<α↓$
␈β␈↓ ∧8␈ε(b
␈β_␈↓ ∧H␈ε+n
␈β$␈↓ β<␈ε(a␈↓ ∧∂␈ε"+
␈β0␈↓ βO␈ε+n␈ε9␈␈ε%1
␈β8␈↓ ∧7␈∧8∧7α&
␈β>␈↓ ∧7␈ε(a
␈βJ␈↓ ∧J␈ε+n
␈β
␈↓ ↓H␈ε"Con␈α␈tin␈α␈ued␈αfractions␈αha␈α␈v␈α␈e␈αa␈αbeautiful␈αtheory␈αthat␈αis␈αthe␈αsubject␈αof␈αsev␈α␈eral␈αbo␈α↓oks.
␈β
7␈↓ ↓H␈ε"[See,␈αfor␈αexample,␈αO.␈↓ ∧≤␈ε"Perron,␈ε/␈αDie␈αLehre␈αv␈α␈on␈αden␈αKetten␈α␈br␈↓ λW␈ε/u␈↓ λX␈ε/∪␈↓ λk␈ε/chen␈ε",␈α3rd␈αed.␈α(Stutt-
␈β
b␈↓ ↓H␈ε"gart:␈α∪T␈α⎇eubner,␈α⊂1954),␈α⊃2␈α∂v␈α␈ols.;␈α⊃A.␈↓ ¬e␈ε"Khinchin,␈ε/␈α⊂Con␈α␈tin␈α␈ued␈α⊂F␈α⎇ractions␈ε",␈α⊂tr.␈α⊂by␈α∂Peter
␈β∞
␈↓ ↓H␈ε"Wynn␈α∂(Groningen:␈α∩P.␈α⊂No␈α↓ordh␈α↓o{,␈α⊂1963);␈α⊂H.␈α⊂S.␈↓ π;␈ε"Wall,␈ε/␈α⊂Analytic␈α∂Theory␈α∂of␈α∂Con-
␈β∞8␈↓ ↓H␈ε/tinued␈α⊃F␈α⎇ractions␈ε"␈α∩(New␈α∩Y␈α⎇ork:␈α_V␈α⎇an␈α⊃Nostrand,␈α∀1948);␈α∀and␈α∩see␈α∩also␈α∩J.␈↓ 
(␈ε"T␈α⎇ropfk␈α␈e,
␈β∞c␈↓ ↓H␈ε/Geschich␈α␈te␈αder␈αElemen␈α␈tar-Mathematik␈ε2␈α
6␈ε"␈α(Berlin:␈α
Gruyter,␈α1924),␈α
74↑84,␈αfor␈αthe
␈β∂∂␈↓ ↓H␈ε"early␈α
history␈αof␈α
the␈α
subject.]␈α⊂It␈α
is␈αnecessary␈α
to␈αlimit␈α
ourselv␈α␈es␈αto␈α
a␈α
comparativ␈α␈ely
␈β∂:␈↓ ↓H␈ε"brief␈α
treatmen␈α␈t␈α
of␈α
the␈α
theory␈α
here,␈α
studying␈α
only␈α
th␈α↓ose␈α
aspects␈α
that␈α
giv␈α␈e␈α
us␈α
m␈α↓ore
␈β∂e␈↓ ↓H␈ε"insigh␈α␈t␈αin␈α␈to␈αthe␈αbeha␈α␈vior␈αof␈αEuclid's␈αalgorithm.
␈β⊂⊂␈↓ α␈ε"The␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfractions␈αof␈αprimary␈αin␈α␈terest␈αto␈αus␈αare␈αth␈α↓ose␈αin␈αwhich␈αall␈αthe
␈β⊂<␈↓ ↓H␈ε(b␈ε"'s␈αin␈α(1)␈αare␈αequal␈αto␈αunit␈α␈y.␈α⊂F␈α⎇or␈αcon␈α␈v␈α␈enience␈αin␈αn␈α↓otation,␈αlet␈αus␈αde|ne
␈β⊂t␈↓ ¬∩␈ε↓␈␈↓ 
↔␈ε↓↓
␈β⊃∪␈↓ αE␈ε6?␈↓ αW␈ε(x␈↓ α{␈ε",␈↓ β␈ε(x␈↓ β.␈ε",␈↓ β>␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ βn␈ε",␈↓ β}␈ε(x␈↓ ∧$␈ε6?␈ε"␈α
=␈α
1/␈↓ ¬ ␈ε(x␈↓ ¬L␈ε"+␈αλ1/(␈↓ ε(␈ε(x␈↓ εS␈ε"+␈αλ1/(␈↓ π/␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π←␈ε"(␈↓ πk␈ε(x␈↓ λF␈ε"+␈αλ1/␈↓ 	⊗␈ε(x␈↓ 	=␈ε")␈↓ 	O␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	␈␈ε"))␈↓ 
%␈ε".␈↓ α␈ε"(2)
␈β⊃∨␈↓ αk␈ε%1␈↓ β∨␈ε%2␈↓ ∧∩␈ε+n␈↓ ¬4␈ε%1␈↓ ε<␈ε%2␈↓ π␈␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ 	*␈ε+n
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"340␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"Th␈α␈us,␈αfor␈αexample,
␈βαq␈↓ ∧-␈ε"1␈↓ π ␈ε"1␈↓ λm␈ε(x
␈βα⎇␈↓ 	↓␈ε%2
␈ββ	␈↓ β!␈ε6?␈↓ β3␈ε(x␈↓ βV␈ε6?␈ε"␈α
=␈↓ ∧L␈ε",␈ε6␈↓ ¬$?␈↓ ¬6␈ε(x␈↓ ¬Y␈ε",␈↓ ¬i␈ε(x␈↓ ε␈ε6?␈ε"␈α
=␈↓ λε␈ε"=␈↓ 	I␈ε".␈↓ α␈ε"(3)
␈ββ∃␈↓ βG␈ε%1␈↓ ¬J␈ε%1␈↓ ¬⎇␈ε%2
␈ββ≥␈↓ ∧$␈∧β≥∧$α$␈↓ εZ␈∧β≥εZα↓∨␈↓ λ8␈∧β≥λ8α↓
␈ββ#␈↓ ∧$␈ε(x␈↓ εZ␈ε(x␈↓ π¬␈ε"+␈αλ1/␈↓ πU␈ε(x␈↓ λ8␈ε(x␈↓ λ\␈ε(x␈↓ 	π␈ε"+␈αλ1
␈ββ/␈↓ ∧8␈ε%1␈↓ εn␈ε%1␈↓ πi␈ε%2␈↓ λL␈ε%1␈↓ λp␈ε%2
␈ββu␈↓ ↓H␈ε"If␈ε(␈α∂n␈ε"␈α∞=␈α∂0,␈α∂the␈α∂sym␈α␈bol␈ε6␈α∂?␈↓ ∧A␈ε(x␈↓ ∧d␈ε",␈↓ ∧t␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬$␈ε",␈↓ ¬4␈ε(x␈↓ ¬[␈ε6?␈ε"␈α∂is␈α∂tak␈α␈en␈α∂to␈α∞mean␈α∂0.␈α→Let␈α∂us␈α∂also␈α∂de|ne␈α∞the
␈β∧α␈↓ ∧U␈ε%1␈↓ ¬H␈ε+n
␈β∧!␈↓ ↓H␈ε"polyn␈α↓omials␈↓ β⊂␈ε(Q␈↓ β?␈ε"(␈↓ βK␈ε(x␈↓ βn␈ε",␈↓ β}␈ε(x␈↓ ∧!␈ε",␈↓ ∧1␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧a␈ε",␈↓ ∧q␈ε(x␈↓ ¬_␈ε")␈αof␈ε(␈αn␈ε"␈αv␈α⎇ariables,␈αfor␈ε(␈αn␈ε6␈α	∃␈ε"␈α
0,␈αby␈αthe␈αrule
␈β∧-␈↓ β,␈ε+n␈↓ β←␈ε%1␈↓ ∧∩␈ε%2␈↓ ¬¬␈ε+n
␈β∧X␈↓ ∧∀␈ε↓8
␈β∧r␈↓ ∧,␈ε"1,␈↓ 	L␈ε"if␈ε(␈αn␈ε"␈α
=␈α
0;
␈β∧y␈↓ ∧∀␈ε↓>
␈β¬∧␈↓ ∧∀␈ε↓<
␈β¬,␈↓ ∧,␈ε(x␈↓ ∧O␈ε",␈↓ 	L␈ε"if␈ε(␈αn␈ε"␈α
=␈α
1;
␈β¬-␈↓ ↓H␈ε(Q␈↓ ↓w␈ε"(␈↓ αβ␈ε(x␈↓ α&␈ε",␈↓ α6␈ε(x␈↓ αY␈ε",␈↓ αi␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ β→␈ε",␈↓ β)␈ε(x␈↓ βP␈ε")␈α
=␈↓ α␈ε"(4)
␈β¬8␈↓ ∧@␈ε%1
␈β¬9␈↓ ↓d␈ε+n␈↓ α↔␈ε%1␈↓ αJ␈ε%2␈↓ β=␈ε+n
␈β¬D␈↓ ∧∀␈ε↓>
␈β¬O␈↓ ∧∀␈ε↓:
␈β¬f␈↓ ∧,␈ε(x␈↓ ∧O␈ε(Q␈↓ ¬+␈ε"(␈↓ ¬7␈ε(x␈↓ ¬Z␈ε",␈↓ ¬j␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε~␈ε",␈↓ ε*␈ε(x␈↓ εQ␈ε")␈αλ+␈↓ π⊃␈ε(Q␈↓ πm␈ε"(␈↓ πy␈ε(x␈↓ λ≤␈ε",␈↓ λ,␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λ\␈ε",␈↓ λl␈ε(x␈↓ 	∩␈ε"),␈↓ 	L␈ε"if␈ε(␈αn␈ε"␈α
>␈α
1.
␈β¬r␈↓ ∧@␈ε%1␈↓ ∧k␈ε+n␈ε9␈␈ε%1␈↓ ¬K␈ε%2␈↓ ε>␈ε+n␈↓ π-␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈2␈↓ λ
␈ε%3␈↓ 	␈ε+n
␈βε9␈↓ ↓H␈ε"Th␈α␈us␈↓ α"␈ε(Q␈↓ αN␈ε"(␈↓ αZ␈ε(x␈↓ α⎇␈ε",␈↓ β
␈ε(x␈↓ β0␈ε")␈α
=␈↓ βt␈ε(x␈↓ ∧_␈ε(x␈↓ ∧B␈ε"+␈απ1,␈↓ ¬∂␈ε(Q␈↓ ¬;␈ε"(␈↓ ¬G␈ε(x␈↓ ¬j␈ε",␈↓ ¬z␈ε(x␈↓ ε≥␈ε",␈↓ ε-␈ε(x␈↓ εP␈ε")␈α
=␈↓ π∀␈ε(x␈↓ π8␈ε(x␈↓ π[␈ε(x␈↓ λ¬␈ε"+␈↓ λ0␈ε(x␈↓ λ[␈ε"+␈↓ 	ε␈ε(x␈↓ 	)␈ε",␈αetc.␈α⊂In␈αgeneral,
␈βεF␈↓ α?␈ε%2␈↓ αn␈ε%1␈↓ β!␈ε%2␈↓ ∧λ␈ε%1␈↓ ∧,␈ε%2␈↓ ¬,␈ε%3␈↓ ¬[␈ε%1␈↓ ε∞␈ε%2␈↓ εA␈ε%3␈↓ π(␈ε%1␈↓ πL␈ε%2␈↓ πo␈ε%3␈↓ λD␈ε%1␈↓ 	~␈ε%3
␈βεe␈↓ ↓H␈ε"as␈αn␈α↓oted␈αby␈α
L.␈↓ β;␈ε"Euler␈αin␈α
the␈αeigh␈α␈teen␈α␈th␈αcen␈α␈tury,␈↓ π?␈ε(Q␈↓ πn␈ε"(␈↓ πz␈ε(x␈↓ λ≥␈ε",␈↓ λ-␈ε(x␈↓ λP␈ε",␈↓ λ`␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	⊂␈ε",␈↓ 	 ␈ε(x␈↓ 	G␈ε")␈αis␈α
the␈αsum␈αof
␈βεq␈↓ π[␈ε+n␈↓ λ∞␈ε%1␈↓ λA␈ε%2␈↓ 	4␈ε+n
␈βπ⊂␈↓ ↓H␈ε"all␈αterms␈αobtainable␈αby␈αstarting␈αwith␈↓ ε↔␈ε(x␈↓ ε:␈ε(x␈↓ εc␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ π∪␈ε(x␈↓ πF␈ε"and␈αdeleting␈αzero␈αor␈αm␈α↓ore␈αn␈α↓on-
␈βπ≤␈↓ ε+␈ε%1␈↓ εN␈ε%2␈↓ π'␈ε+n
␈βπ;␈↓ ↓H␈ε"o␈α␈v␈α␈erlapping␈α∞pairs␈α∞of␈α∞consecutiv␈α␈e␈α∂v␈α⎇ariables␈↓ εh␈ε(x␈↓ π␈ε(x␈↓ π[␈ε";␈α⊂there␈α∞are␈↓ 	⊃␈ε(F␈↓ 	v␈ε"such␈α∞terms.
␈βπG␈↓ ε|␈ε+j␈↓ π∨␈ε+j␈↓ π.␈ε%+1␈↓ 	(␈ε+n␈ε%+1
␈βπf␈↓ ↓H␈ε"The␈αpolyn␈α↓omials␈αde|ned␈αin␈α(4)␈αare␈αcalled␈α\␈↓ εj␈ε"con␈α␈tin␈α␈uan␈α␈ts."
␈βλ⊃␈↓ α␈ε"The␈αbasic␈αpropert␈α␈y␈αof␈αthe␈ε(␈αQ␈ε"␈α↓-polyn␈α↓omials␈αis␈αthat
␈βλh␈↓ α+␈ε6?␈↓ α=␈ε(x␈↓ α`␈ε",␈↓ αp␈ε(x␈↓ β∪␈ε",␈↓ β#␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ βS␈ε",␈↓ βc␈ε(x␈↓ ∧
␈ε6?␈ε"␈α
=␈↓ ∧T␈ε(Q␈↓ ¬0␈ε"(␈↓ ¬<␈ε(x␈↓ ¬←␈ε",␈↓ ¬o␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε∨␈ε",␈↓ ε/␈ε(x␈↓ εU␈ε")/␈↓ εs␈ε(Q␈↓ π#␈ε"(␈↓ π/␈ε(x␈↓ πR␈ε",␈↓ πb␈ε(x␈↓ λ¬␈ε",␈↓ λ∃␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λE␈ε",␈↓ λU␈ε(x␈↓ λ|␈ε"),␈ε(␈↓ 	`n␈ε6␈α	∃␈ε"␈α
1.␈↓ α␈ε"(5)
␈βλt␈↓ αQ␈ε%1␈↓ β∧␈ε%2␈↓ βw␈ε+n␈↓ ∧p␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ ¬P␈ε%2␈↓ εC␈ε+n␈↓ π⊂␈ε+n␈↓ πC␈ε%1␈↓ πv␈ε%2␈↓ λi␈ε+n
␈β	>␈↓ ↓H␈ε"This␈αcan␈αbe␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αby␈αinduction,␈αsince␈αit␈αimplies␈αthat
␈β
∃␈↓ αu␈ε(x␈↓ β ␈ε"+␈ε6␈αλ?␈↓ β↑␈ε(x␈↓ ∧↓␈ε",␈↓ ∧⊃␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧A␈ε",␈↓ ∧Q␈ε(x␈↓ ∧x␈ε6?␈ε"␈α
=␈↓ ¬B␈ε(Q␈↓ ε≡␈ε"(␈↓ ε*␈ε(x␈↓ εM␈ε",␈↓ ε]␈ε(x␈↓ π␈ε",␈↓ π⊂␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ π@␈ε",␈↓ πP␈ε(x␈↓ πw␈ε")/␈↓ λ∃␈ε(Q␈↓ λD␈ε"(␈↓ λP␈ε(x␈↓ λs␈ε",␈↓ 	β␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	3␈ε",␈↓ 	C␈ε(x␈↓ 	i␈ε");
␈β
!␈↓ β	␈ε%0␈↓ βr␈ε%1␈↓ ∧e␈ε+n␈↓ ¬↑␈ε+n␈ε%+␈α␈1␈↓ ε>␈ε%0␈↓ εq␈ε%1␈↓ πd␈ε+n␈↓ λ1␈ε+n␈↓ λd␈ε%1␈↓ 	W␈ε+n
␈β
k␈↓ ↓H␈ε"hence␈ε6␈α?␈↓ α>␈ε(x␈↓ αa␈ε",␈↓ αq␈ε(x␈↓ β∀␈ε",␈↓ β$␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ βT␈ε",␈↓ βd␈ε(x␈↓ ∧␈ε6?␈ε"␈αis␈αthe␈αreciprocal␈αof␈αthe␈αlatter␈αquan␈α␈tit␈α␈y.
␈β
w␈↓ αR␈ε%0␈↓ β¬␈ε%1␈↓ βx␈ε+n
␈β⊗␈↓ α␈ε"The␈ε(␈αQ␈ε"␈α↓-polyn␈α↓omials␈αare␈αsymmetrical␈αin␈αthe␈αsense␈αthat
␈βm␈↓ ∧¬␈ε(Q␈↓ ∧4␈ε"(␈↓ ∧@␈ε(x␈↓ ∧c␈ε",␈↓ ∧s␈ε(x␈↓ ¬⊗␈ε",␈↓ ¬&␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬V␈ε",␈↓ ¬f␈ε(x␈↓ ε
␈ε")␈α
=␈↓ εQ␈ε(Q␈↓ π␈ε"(␈↓ π␈ε(x␈↓ π3␈ε",␈↓ πC␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ πs␈ε",␈↓ λβ␈ε(x␈↓ λ&␈ε",␈↓ λ6␈ε(x␈↓ λY␈ε").␈↓ α␈ε"(6)
␈βy␈↓ ∧!␈ε+n␈↓ ∧T␈ε%1␈↓ ¬π␈ε%2␈↓ ¬z␈ε+n␈↓ εn␈ε+n␈↓ π ␈ε+n␈↓ λ↔␈ε%2␈↓ λJ␈ε%1
␈βC␈↓ ↓H␈ε"This␈αfollo␈α␈ws␈αfrom␈αEuler's␈αobserv␈α⎇ation␈αabo␈α␈v␈α␈e,␈αand␈αas␈αa␈αconsequence␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β
~␈↓ αF␈ε(Q␈↓ αu␈ε"(␈↓ β↓␈ε(x␈↓ β$␈ε",␈↓ β4␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ βd␈ε",␈↓ βt␈ε(x␈↓ ∧≠␈ε")␈α
=␈↓ ∧←␈ε(x␈↓ ¬¬␈ε(Q␈↓ ¬a␈ε"(␈↓ ¬m␈ε(x␈↓ ε⊂␈ε",␈↓ ε ␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ εP␈ε",␈↓ ε`␈ε(x␈↓ π4␈ε")␈αλ+␈↓ πt␈ε(Q␈↓ λP␈ε"(␈↓ λ\␈ε(x␈↓ λ␈␈ε",␈↓ 	∂␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	?␈ε",␈↓ 	O␈ε(x␈↓ 
"␈ε")␈↓ α␈ε"(7)
␈β
&␈↓ αb␈ε+n␈↓ β∃␈ε%1␈↓ ∧λ␈ε+n␈↓ ∧s␈ε+n␈↓ ¬"␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ ε↓␈ε%1␈↓ εt␈ε+n␈ε9␈␈ε%1␈↓ λ⊂␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈2␈↓ λp␈ε%1␈↓ 	c␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%2
␈β
p␈↓ ↓H␈ε"for␈ε(␈αn␈ε"␈α	>␈α
1.␈α⊂The␈ε(␈αQ␈ε"␈α↓-polyn␈α↓omials␈αalso␈αsatisfy␈αthe␈αimportan␈α␈t␈αiden␈α␈tit␈α␈y
␈β∞A␈↓ ↓l␈ε(Q␈↓ α≠␈ε"(␈↓ α'␈ε(x␈↓ αJ␈ε",␈↓ αZ␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ β
␈ε",␈↓ β~␈ε(x␈↓ βA␈ε")␈↓ βM␈ε(Q␈↓ β|␈ε"(␈↓ ∧λ␈ε(x␈↓ ∧+␈ε",␈↓ ∧;␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧k␈ε",␈↓ ∧{␈ε(x␈↓ ¬N␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ ε∞␈ε(Q␈↓ εj␈ε"(␈↓ εv␈ε(x␈↓ π→␈ε",␈↓ π)␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ πY␈ε",␈↓ πi␈ε(x␈↓ λ=␈ε")␈↓ λI␈ε(Q␈↓ 	%␈ε"(␈↓ 	1␈ε(x␈↓ 	T␈ε",␈↓ 	d␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 
∀␈ε",␈↓ 
$␈ε(x␈↓ 
J␈ε")
␈β∞M␈↓ αλ␈ε+n␈↓ α;␈ε%1␈↓ β.␈ε+n␈↓ βi␈ε+n␈↓ ∧≤␈ε%2␈↓ ¬∂␈ε+n␈ε%␈α␈+1␈↓ ε+␈ε+n␈ε%␈α␈+1␈↓ π
␈ε%1␈↓ π⎇␈ε+n␈ε%+1␈↓ λe␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ 	E␈ε%2␈↓ 
8␈ε+n
␈β∞r␈↓ λf␈ε+n
␈β∞z␈↓ πj␈ε"=␈α
(␈ε6␈␈ε"1␈↓ λZ␈ε")␈↓ λy␈ε",␈ε(␈↓ 	Qn␈ε6␈α	∃␈ε"␈α
1.␈↓ α(8)
␈β∂Q␈↓ ↓H␈ε"(See␈αexercise␈α4.)␈α⊂The␈αlatter␈αequation␈αin␈αconnection␈αwith␈α(5)␈αimplies␈αthat
␈β⊂ ␈↓ λ␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈β⊂&␈↓ β⎇␈ε"1␈↓ ∧{␈ε"1␈↓ ¬y␈ε"1␈↓ π=␈ε"(␈ε6␈␈ε"1␈↓ π␈␈ε")
␈β⊂>␈↓ ↓l␈ε6?␈↓ ↓}␈ε(x␈↓ α!␈ε",␈↓ α1␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ αa␈ε",␈↓ αq␈ε(x␈↓ β↔␈ε6?␈ε"␈α
=␈↓ ∧3␈ε6␈␈↓ ¬1␈ε"+␈↓ ε/␈ε6␈␈↓ ε[␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π
␈ε"+␈↓ λO␈ε",
␈β⊂J␈↓ α∩␈ε%1␈↓ β¬␈ε+n
␈β⊂R␈↓ βe␈∧⊂RβeαB␈↓ ∧c␈∧⊂R∧cαB␈↓ ¬a␈∧⊂R¬aαB␈↓ π=␈∧⊂Rπ=α↓∞
␈β⊂W␈↓ βe␈ε(q␈↓ ∧ε␈ε(q␈↓ ∧c␈ε(q␈↓ ¬∧␈ε(q␈↓ ¬a␈ε(q␈↓ εα␈ε(q␈↓ πI␈ε(q␈↓ λ~␈ε(q
␈β⊂d␈↓ βw␈ε%0␈↓ ∧_␈ε%1␈↓ ∧u␈ε%1␈↓ ¬⊗␈ε%2␈↓ ¬s␈ε%2␈↓ ε∀␈ε%3␈↓ π[␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ λ,␈ε+n
␈β⊃⊗␈↓ π⊃␈ε"where␈↓ πy␈ε(q␈↓ λ&␈ε"=␈↓ λT␈ε(Q␈↓ 	↓␈ε"(␈↓ 	
␈ε(x␈↓ 	0␈ε",␈↓ 	@␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	p␈ε",␈↓ 
␈ε(x␈↓ 
$␈ε").␈↓ α(9)
␈β⊃#␈↓ λ␈ε+k␈↓ λp␈ε+k␈↓ 	!␈ε%1␈↓ 
∀␈ε+k
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λ4␈ε"'␈↓ 
v␈ε"341
␈β↓Z␈↓ ¬9␈ε.AN␈α␈AL␈α}Y␈α␈SIS␈α
O␈α␈F␈αEUCLI␈α␈D␈↓ λ>␈ε.S␈α
AL␈α␈GO␈α␈RIT␈α␈HM
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"Th␈α␈us␈αthe␈ε(␈αQ␈ε"-polyn␈α↓omials␈αare␈αin␈α␈timately␈αrelated␈αto␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfractions.
␈βαW␈↓ α␈ε"Ev␈α␈ery␈α⊂real␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈↓ ∧G␈ε(X␈↓ ∧y␈ε"in␈α⊂the␈α⊂range␈α⊂0␈ε6␈α⊃∀␈↓ π'␈ε(X␈↓ πZ␈ε"<␈α⊂1␈α⊂has␈α⊂a␈↓ 	⊗␈ε/regular␈α⊂con␈α␈tin␈α␈ued
␈ββα␈↓ ↓H␈ε/fraction␈ε"␈α
de|ned␈α
as␈α∞follo␈α␈ws:␈α∂Let␈↓ ¬A␈ε(X␈↓ ¬z␈ε"=␈↓ ε+␈ε(X␈↓ εM␈ε",␈α∞and␈α
for␈α
all␈ε(␈α∞n␈ε6␈α∃␈ε"␈α0␈α
such␈α∞that␈↓ 
-␈ε(X␈↓ 
j␈ε6≤␈ε"␈α0
␈ββ∂␈↓ ¬←␈ε%0␈↓ 
K␈ε+n
␈ββ.␈↓ ↓H␈ε"let
␈ββp␈↓ βL␈ε(A␈↓ ∧0␈ε"=␈ε6␈α
b␈ε"1/␈↓ ¬⊂␈ε(X␈↓ ¬@␈ε6c␈ε",␈↓ ε&␈ε(X␈↓ π∞␈ε"=␈α
1/␈↓ π`␈ε(X␈↓ λ_␈ε6␈␈↓ λD␈ε(A␈↓ 	≡␈ε".␈↓ 
p␈ε"(10)
␈ββ⎇␈↓ βf␈ε+n␈ε%+1␈↓ ¬.␈ε+n␈↓ εD␈ε+n␈ε%+1␈↓ π}␈ε+n␈↓ λ↑␈ε+n␈ε%+1
␈β∧L␈↓ ↓H␈ε"If␈↓ ↓p␈ε(X␈↓ α2␈ε"=␈α⊃0,␈α⊃the␈α⊂quan␈α␈tities␈↓ ¬␈ε(A␈↓ ¬i␈ε"and␈↓ ε3␈ε(X␈↓ π!␈ε"are␈α⊂n␈α↓ot␈α⊃de|ned,␈α⊃and␈α⊂the␈α⊂regular
␈β∧Y␈↓ α∞␈ε+n␈↓ ¬~␈ε+n␈ε%␈α␈+1␈↓ εQ␈ε+n␈ε%+1
␈β∧x␈↓ ↓H␈ε"con␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction␈α
for␈↓ ∧,␈ε(X␈↓ ∧[␈ε"is␈ε6␈α?␈↓ ¬⊃␈ε(A␈↓ ¬:␈ε",␈↓ ¬J␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬z␈ε",␈↓ ε
␈ε(A␈↓ ε7␈ε6?␈ε".␈α∩If␈↓ π
␈ε(X␈↓ πF␈ε6≤␈ε"␈α0,␈α
this␈α
de|nition␈αguaran␈α␈tees
␈β¬∧␈↓ ¬+␈ε%1␈↓ ε$␈ε+n␈↓ π(␈ε+n
␈β¬#␈↓ ↓H␈ε"that␈α0␈ε6␈α
∀␈↓ α←␈ε(X␈↓ βG␈ε"<␈α
1,␈αso␈αeach␈αof␈αthe␈ε(␈αA␈ε"'s␈αis␈αa␈αpositiv␈α␈e␈αin␈α␈teger.␈α∂The␈αde|nition␈α(10)
␈β¬/␈↓ α⎇␈ε+n␈ε%+␈α␈1
␈β¬N␈↓ ↓H␈ε"clearly␈αimplies␈αthat
␈βε3␈↓ ¬&␈ε"1␈↓ π=␈ε"1
␈βεK␈↓ β&␈ε(X␈↓ βR␈ε"=␈↓ ∧␈ε(X␈↓ ∧8␈ε"=␈↓ εα␈ε"=␈↓ λf␈ε"=␈↓ 	∀␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	D␈ε";
␈βεW␈↓ ∧≡␈ε%0
␈βε←␈↓ ∧j␈∧ε←∧jα↓␈↓ ε4␈∧ε←ε4αα$
␈βεd␈↓ ∧j␈ε(A␈↓ ¬≠␈ε"+␈↓ ¬G␈ε(X␈↓ ε4␈ε(A␈↓ εe␈ε"+␈αλ1/(␈↓ πA␈ε(A␈↓ πr␈ε"+␈↓ λ≡␈ε(X␈↓ λL␈ε")
␈βεq␈↓ ¬∧␈ε%1␈↓ ¬e␈ε%1␈↓ εN␈ε%1␈↓ π[␈ε%2␈↓ λ<␈ε%2
␈βπM␈↓ ↓H␈ε"hence
␈βλ⊂␈↓ ∧A␈ε(X␈↓ ∧m␈ε"=␈ε6␈α
?␈↓ ¬-␈ε(A␈↓ ¬V␈ε",␈↓ ¬f␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε⊗␈ε",␈↓ ε&␈ε(A␈↓ π␈ε",␈↓ π⊂␈ε(A␈↓ πD␈ε"+␈↓ πp␈ε(X␈↓ λ!␈ε6?␈↓ 
p␈ε"(11)
␈βλ≤␈↓ ¬G␈ε%1␈↓ ε@␈ε+n␈ε9␈␈ε%1␈↓ π*␈ε+n␈↓ λ∞␈ε+n
␈βλl␈↓ ↓H␈ε"for␈αall␈ε(␈α
n␈ε6␈α
∃␈ε"␈α
1,␈αwhenev␈α␈er␈↓ ∧A␈ε(X␈↓ ∧⎇␈ε"is␈α
de|ned.␈α⊂In␈αparticular,␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ 		␈ε(X␈↓ 	5␈ε"=␈ε6␈α
?␈↓ 	u␈ε(A␈↓ 
≡␈ε",␈↓ 
.␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 
↑␈ε",␈↓ 
n␈ε(A␈↓ ~␈ε6?
␈βλx␈↓ ∧←␈ε+n␈↓ 
∂␈ε%1␈↓ λ␈ε+n
␈β	↔␈↓ ↓H␈ε"when␈↓ α&␈ε(X␈↓ αa␈ε"=␈α
0.␈α⊃If␈↓ β`␈ε(X␈↓ ∧≠␈ε6≤␈ε"␈α0,␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈↓ ε2␈ε(X␈↓ εa␈ε"alw␈α␈a␈α␈ys␈αlies␈ε/␈αbet␈α␈w␈α␈een␈ε6␈α?␈↓ 	.␈ε(A␈↓ 	X␈ε",␈↓ 	h␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 
_␈ε",␈↓ 
(␈ε(A␈↓ 
T␈ε6?␈ε"␈αand
␈β	#␈↓ αD␈ε+n␈↓ β}␈ε+n␈↓ 	H␈ε%1␈↓ 
B␈ε+n
␈β	B␈↓ ↓H␈ε6?␈↓ ↓Z␈ε(A␈↓ αβ␈ε",␈↓ α∪␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ αC␈ε",␈↓ αS␈ε(A␈↓ β¬␈ε"+␈α¬1␈ε6?␈ε",␈αsince␈αby␈α(7)␈αthe␈α
quan␈α␈tit␈α␈y␈↓ εo␈ε(q␈↓ π≥␈ε"=␈↓ πK␈ε(Q␈↓ πz␈ε"(␈↓ λε␈ε(A␈↓ λ0␈ε",␈↓ λ@␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λp␈ε",␈↓ 	␈ε(A␈↓ 	2␈ε"+␈↓ 	[␈ε(X␈↓ 
␈ε")␈α
increases
␈β	N␈↓ ↓t␈ε%1␈↓ αm␈ε+n␈↓ π↓␈ε+n␈↓ πh␈ε+n␈↓ λ ␈ε%1␈↓ 	~␈ε+n␈↓ 	y␈ε+n
␈β	m␈↓ ↓H␈ε"m␈α↓on␈α↓otonically␈α∞from␈↓ ∧∞␈ε(Q␈↓ ∧=␈ε"(␈↓ ∧I␈ε(A␈↓ ∧r␈ε",␈↓ ¬α␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬2␈ε",␈↓ ¬B␈ε(A␈↓ ¬o␈ε")␈α∂up␈α∞to␈↓ εo␈ε(Q␈↓ π≡␈ε"(␈↓ π*␈ε(A␈↓ πS␈ε",␈↓ πc␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λ∪␈ε",␈↓ λ#␈ε(A␈↓ λZ␈ε"+␈α
1)␈α∞as␈↓ 	c␈ε(X␈↓ 
"␈ε"increases
␈β	z␈↓ ∧+␈ε+n␈↓ ∧c␈ε%1␈↓ ¬\␈ε+n␈↓ π␈ε+n␈↓ πD␈ε%1␈↓ λ=␈ε+n␈↓ 
↓␈ε+n
␈β
_␈↓ ↓H␈ε"from␈α∞0␈α∂to␈α∂1,␈α∂and␈α∞by␈α∂(9)␈α∂the␈α∞con␈α␈tin␈α␈ued␈α∂fraction␈α∂increases␈α∞or␈α∂decreases␈α∞when␈↓ λ␈ε(q
␈β
%␈↓ ~␈ε+n
␈β
D␈↓ ↓H␈ε"increases,␈αaccording␈αas␈ε(␈αn␈ε"␈αis␈αev␈α␈en␈αor␈αodd.␈α⊂In␈αfact,
␈β,␈↓ ↓l␈ε6j␈↓ ↓v␈ε(X␈↓ α ␈ε6␈␈αλ?␈↓ α↑␈ε(A␈↓ βπ␈ε",␈↓ β↔␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ βG␈ε",␈↓ βW␈ε(A␈↓ ∧∧␈ε6?j␈↓ ∧*␈ε"=␈ε6␈α
j?␈↓ ∧t␈ε(A␈↓ ¬≥␈ε",␈↓ ¬-␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬]␈ε",␈↓ ¬m␈ε(A␈↓ ε"␈ε"+␈↓ εN␈ε(X␈↓ ε}␈ε6?␈αλ␈␈αλ?␈↓ πV␈ε(A␈↓ λ␈ε",␈↓ λ⊂␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λ@␈ε",␈↓ λP␈ε(A␈↓ λ|␈ε6?j
␈β8␈↓ αx␈ε%1␈↓ βq␈ε+n␈↓ ¬∞␈ε%1␈↓ επ␈ε+n␈↓ εl␈ε+n␈↓ πp␈ε%1␈↓ λj␈ε+n
␈βb␈↓ ∧*␈ε"=␈ε6␈α
j?␈↓ ∧t␈ε(A␈↓ ¬≥␈ε",␈↓ ¬-␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬]␈ε",␈↓ ¬m␈ε(A␈↓ ε~␈ε",␈αε1/␈↓ εN␈ε(X␈↓ ε}␈ε6?␈αλ␈␈αλ?␈↓ πV␈ε(A␈↓ λ␈ε",␈↓ λ⊂␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λ@␈ε",␈↓ λP␈ε(A␈↓ λ|␈ε6?j
␈βn␈↓ ¬∞␈ε%1␈↓ επ␈ε+n␈↓ εl␈ε+n␈↓ πp␈ε%1␈↓ λj␈ε+n
␈β↓␈↓ ∧X␈ε↓␈␈↓ 
@␈ε↓␈
␈β⊗␈↓ ∧X␈ε↓␈␈↓ 
@␈ε↓␈
␈β(␈↓ ∧}␈ε(Q␈↓ ¬-␈ε"(␈↓ ¬9␈ε(A␈↓ ¬c␈ε",␈↓ ¬s␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε#␈ε",␈↓ ε3␈ε(A␈↓ ε←␈ε",␈αε1/␈↓ π∪␈ε(X␈↓ πD␈ε")␈↓ λ"␈ε(Q␈↓ λ}␈ε"(␈↓ 	
␈ε(A␈↓ 	3␈ε",␈↓ 	C␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	s␈ε",␈↓ 
β␈ε(A␈↓ 
0␈ε")
␈β,␈↓ ∧X␈ε↓␈␈↓ 
@␈ε↓␈
␈β4␈↓ ¬≠␈ε+n␈↓ ¬S␈ε%2␈↓ εM␈ε+n␈↓ π1␈ε+n␈↓ λ?␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ 	$␈ε%2␈↓ 
≥␈ε+n
␈β@␈↓ ∧*␈ε"=␈↓ πr␈ε6␈
␈βA␈↓ ∧X␈ε↓␈␈↓ 
@␈ε↓␈
␈βT␈↓ ∧h␈∧T∧hαα␈␈↓ λ"␈∧Tλ"αα~
␈βW␈↓ ∧X␈ε↓␈␈↓ 
@␈ε↓␈
␈βY␈↓ ∧h␈ε(Q␈↓ ¬D␈ε"(␈↓ ¬P␈ε(A␈↓ ¬y␈ε",␈↓ ε	␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε9␈ε",␈↓ εI␈ε(A␈↓ εv␈ε",␈αε1/␈↓ π*␈ε(X␈↓ πZ␈ε")␈↓ λ9␈ε(Q␈↓ λh␈ε"(␈↓ λt␈ε(A␈↓ 	≥␈ε",␈↓ 	-␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	]␈ε",␈↓ 	m␈ε(A␈↓ 
~␈ε")
␈βf␈↓ ¬∧␈ε+n␈ε%+1␈↓ ¬j␈ε%1␈↓ εc␈ε+n␈↓ πH␈ε+n␈↓ λU␈ε+n␈↓ 	∞␈ε%1␈↓ 
π␈ε+n
␈β
≥␈↓ ∧*␈ε"=␈α
1/␈↓ ∧|␈ε(Q␈↓ ¬+␈ε"(␈↓ ¬7␈ε(A␈↓ ¬`␈ε",␈↓ ¬p␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε ␈ε",␈↓ ε0␈ε(A␈↓ ε]␈ε")␈↓ εi␈ε(Q␈↓ πE␈ε"(␈↓ πQ␈ε(A␈↓ πz␈ε",␈↓ λ
␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λ:␈ε",␈↓ λJ␈ε(A␈↓ λw␈ε",␈αε1/␈↓ 	+␈ε(X␈↓ 	[␈ε")
␈β
*␈↓ ¬_␈ε+n␈↓ ¬Q␈ε%1␈↓ εJ␈ε+n␈↓ π¬␈ε+n␈ε%+1␈↓ πk␈ε%1␈↓ λd␈ε+n␈↓ 	I␈ε+n
␈β
S␈↓ ∧*␈ε6∀␈ε"␈α
1/␈↓ ∧|␈ε(Q␈↓ ¬+␈ε"(␈↓ ¬7␈ε(A␈↓ ¬`␈ε",␈↓ ¬p␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε ␈ε",␈↓ ε0␈ε(A␈↓ ε]␈ε")␈↓ εi␈ε(Q␈↓ πE␈ε"(␈↓ πQ␈ε(A␈↓ πz␈ε",␈↓ λ
␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λ:␈ε",␈↓ λJ␈ε(A␈↓ λw␈ε",␈↓ 	π␈ε(A␈↓ 	`␈ε")␈↓ 
p␈ε"(12)
␈β
`␈↓ ¬_␈ε+n␈↓ ¬Q␈ε%1␈↓ εJ␈ε+n␈↓ π¬␈ε+n␈ε%+1␈↓ πk␈ε%1␈↓ λd␈ε+n␈↓ 	!␈ε+n␈ε%␈α␈+1
␈β∞A␈↓ ↓H␈ε"by␈α	(5),␈α
(8),␈α	and␈α	(10).␈α⊂Therefore␈ε6␈α	?␈↓ ¬?␈ε(A␈↓ ¬h␈ε",␈↓ ¬x␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε(␈ε",␈↓ ε8␈ε(A␈↓ εe␈ε6?␈ε"␈α	is␈α	an␈α	extremely␈α	close␈α	appro␈α␈ximation
␈β∞N␈↓ ¬Y␈ε%1␈↓ εR␈ε+n
␈β∞m␈↓ ↓H␈ε"to␈↓ ↓x␈ε(X␈↓ α~␈ε".␈α≥If␈↓ αi␈ε(X␈↓ β≠␈ε"is␈α⊃irrational,␈α⊃it␈α⊂is␈α⊂impossible␈α⊃to␈α⊂ha␈α␈v␈α␈e␈↓ π{␈ε(X␈↓ λ=␈ε"=␈α⊃0␈α⊂for␈α⊃an␈α␈y␈ε(␈α⊂n␈ε",␈α⊃so␈α⊂the
␈β∞y␈↓ λ→␈ε+n
␈β∂_␈↓ ↓H␈ε"regular␈α
con␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction␈α
expansion␈α
in␈αthis␈α
case␈αis␈α
an␈↓ λ_␈ε/in|nite␈α
con␈α␈tin␈α␈ued␈α
fraction
␈β∂C␈↓ ↓H␈ε6?␈↓ ↓Z␈ε(A␈↓ αβ␈ε",␈↓ α∪␈ε(A␈↓ α<␈ε",␈↓ αL␈ε(A␈↓ αu␈ε",␈↓ β¬␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ β5␈ε6?␈ε".␈α≥The␈α⊂v␈α⎇alue␈α⊂of␈α⊂an␈α⊂in|nite␈α⊂con␈α␈tin␈α␈ued␈α⊂fraction␈α⊂is␈α⊂de|ned␈α⊂to␈α⊂be
␈β∂O␈↓ ↓t␈ε%1␈↓ α-␈ε%2␈↓ αf␈ε%3
␈β∂n␈↓ ↓H␈ε"lim␈↓ αM␈ε6?␈↓ α←␈ε(A␈↓ β	␈ε",␈↓ β→␈ε(A␈↓ βB␈ε",␈↓ βR␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧α␈ε",␈↓ ∧∩␈ε(A␈↓ ∧>␈ε6?␈ε",␈α
and␈αfrom␈αthe␈αinequalit␈α␈y␈α(12)␈α
it␈αis␈αclear␈αthat␈αthis␈αlimit
␈β∂{␈↓ ↓z␈ε+n␈ε9␈α␈!1␈↓ αy␈ε%1␈↓ β3␈ε%2␈↓ ∧,␈ε+n
␈β⊂→␈↓ ↓H␈ε"equals␈↓ α4␈ε(X␈↓ αV␈ε".
␈β⊂I␈↓ α␈ε"The␈αregular␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction␈αexpansion␈αof␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αhas␈αsev␈α␈eral␈αprop-
␈β⊂p␈↓ ↓H␈ε"erties␈α
analogous␈α
to␈α
the␈α∞represen␈α␈tation␈α
of␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α∞in␈α
the␈α
decimal␈α
system.␈α∀If␈α
w␈α␈e
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"use␈αthe␈αform␈α␈ulas␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αto␈αcompute␈αthe␈αregular␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction␈αexpansions␈αof
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"342␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"some␈αfamiliar␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈bers,␈αw␈α␈e␈α|nd,␈αfor␈αexample,␈αthat
␈βαk␈↓ ↓o␈ε&8
␈βαn␈↓ α⊃␈ε#=␈ε7␈α	?␈ε#3,␈α¬1,␈αε1,␈α¬1,␈αε2␈ε7␈α␈?␈ε#;
␈βα}␈↓ ↓h␈ε&29
␈ββ↓␈↓ ↓h␈∧β↓↓hα≤
␈ββα␈↓ ↓A␈ε↓p
␈ββ ␈↓ ↓e␈∧β ↓eα#
␈ββ!␈↓ ↓o␈ε&8
␈ββ$␈↓ α⊃␈ε#=␈ε7␈α	?␈ε#1,␈α¬1,␈αε9,␈α¬2,␈αε2␈α␈,␈αε3,␈αε2␈α␈,␈αε2,␈αε9␈α␈,␈αε1,␈αε2␈α␈,␈αε1,␈α¬9,␈αε2,␈α¬2,␈αε3␈α␈,␈αε2,␈αε2␈α␈,␈αε9,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈α¬1,␈αε9,␈α¬2,␈αε2␈α␈,␈αε3,␈αε2␈α␈,␈αε2,␈αε9␈α␈,␈αε1,␈↓ 	|␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ 
(␈ε7?␈ε#;
␈ββ4␈↓ ↓h␈ε&29
␈ββ7␈↓ ↓h␈∧β7↓hα≤
␈ββT␈↓ ↓[␈ε7p
␈ββU␈↓ ↓c␈ε'3
␈ββX␈↓ ↓w␈∧βX↓wα⊃
␈ββZ␈↓ ↓w␈ε#2␈↓ α⊃␈ε#=␈α	1␈απ+␈ε7␈αλ?␈ε#3␈α␈,␈αε1,␈αε5␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε4,␈α¬1,␈αε1,␈α¬8,␈αε1␈α␈,␈αε14,␈α¬1,␈αε1␈α␈0,␈αε2,␈α¬1,␈αε4␈α␈,␈αε12,␈α¬2,␈αε3␈α␈,␈αε2,␈αε1␈α␈,␈αε3,␈αε4␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈α¬14,␈αε3␈α␈,␈↓ 
@␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 
l␈ε7?␈ε#;
␈β∧⊂␈↓ ↓s␈ε)→␈↓ α⊃␈ε#=␈α	3␈απ+␈ε7␈αλ?␈ε#7␈α␈,␈αε15,␈α¬1,␈αε2␈α␈92,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈α¬1,␈αε2,␈α¬1,␈αε3␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈4,␈αε2␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈αε2␈α␈,␈αε2,␈α¬2,␈αε1,␈α¬84,␈α¬2,␈αε1,␈α¬1,␈αε1␈α␈5,␈αε3,␈α¬13,␈↓ 
R␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 
␈␈ε7?␈ε#;
␈β∧F␈↓ ↓y␈ε)e␈↓ α⊃␈ε#=␈α	2␈απ+␈ε7␈αλ?␈ε#1␈α␈,␈αε2,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈αε4␈α␈,␈αε1,␈α¬1,␈αε6,␈α¬1,␈αε1␈α␈,␈αε8,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈0,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈2,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈4,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈6,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈8,␈αε1␈α␈,␈↓ 
1␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 
↑␈ε7?␈ε#␈α␈;
␈β∧|␈↓ ↓t␈ε)␈
␈↓ α⊃␈ε#=␈ε7␈α	?␈ε#1,␈α¬1,␈αε2,␈α¬1,␈αε2␈α␈,␈αε1,␈αε4␈α␈,␈αε3,␈αε1␈α␈3,␈αε5␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε8,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈α¬4,␈αε1,␈α¬1,␈αε4␈α␈0,␈αε1,␈α¬11,␈α¬3,␈αε7,␈α¬1,␈αε7␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε5,␈↓ 	o␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ 
≠␈ε7?␈ε#;
␈β¬0␈↓ 
p␈ε"(13)
␈β¬2␈↓ ↓s␈ε)≡␈↓ α⊃␈ε#=␈α	1␈απ+␈ε7␈αλ?␈ε#1␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈α¬1,␈αε1,␈α¬1,␈↓ ¬(␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬T␈ε7?␈ε#.
␈βε␈↓ ↓H␈ε"The␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ β!␈ε(A␈↓ βJ␈ε",␈↓ β`␈ε(A␈↓ ∧	␈ε",␈↓ ∧∨␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧U␈ε"are␈αcalled␈αthe␈↓ ε5␈ε/partial␈αquotien␈α␈ts␈ε"␈αof␈↓ λm␈ε(X␈↓ 	∂␈ε".␈α⊂Note␈αthe␈αregular
␈βε
␈↓ π7␈ε↓p
␈βε␈↓ β;␈ε%1␈↓ βz␈ε%2
␈βε(␈↓ π[␈∧ε(π[αH
␈βε+␈↓ ↓H␈ε"pattern␈α	that␈α
appears␈α
in␈α
the␈α	partial␈α
quotien␈α␈ts␈α
for␈↓ π[␈ε"8/29␈↓ λ#␈ε",␈ε(␈α
≡␈ε",␈α
and␈ε(␈α
e␈ε";␈αthe␈α
reasons␈α	for
␈βεV␈↓ ↓H␈ε"this␈αbeha␈α␈vior␈αare␈αdiscussed␈αin␈αexercises␈α12␈αand␈α16.␈α⊂There␈αis␈αn␈α↓o␈αapparen␈α␈t␈αpattern
␈βε|␈↓ ¬␈ε'3
␈βε⎇␈↓ ∧w␈ε6p
␈βπ␈↓ ¬∃␈∧π¬∃α∩
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ε"in␈αthe␈αpartial␈αquotien␈α␈ts␈αfor␈↓ ¬∃␈ε"2␈↓ ¬'␈ε",␈↓ ¬=␈ε(→␈↓ ¬S␈ε",␈αor␈↓ ε∃␈ε(␈
␈↓ ε)␈ε".
␈βπ,␈↓ α␈ε"It␈αis␈αin␈α␈teresting␈αto␈αn␈α↓ote␈αthat␈αthe␈αancien␈α␈t␈αGreeks'␈↓ λε␈ε"|rst␈αde|nition␈αof␈α
real␈αn␈α␈um-
␈βπX␈↓ ↓H␈ε"bers,␈α
once␈αthey␈α
had␈αdisco␈α␈v␈α␈ered␈α
the␈αexistence␈α
of␈αirrationals,␈α
w␈α␈as␈αessen␈α␈tially␈α
stated
␈βλβ␈↓ ↓H␈ε"in␈α
terms␈α
of␈α∞in|nite␈α
con␈α␈tin␈α␈ued␈α∞fractions.␈α≠(Later␈α∞they␈α
adopted␈α∞the␈α
suggestion␈α
of
␈βλ.␈↓ ↓H␈ε"Eudo␈α␈xus␈α
that␈ε(␈α
x␈ε"␈α=␈↓ βz␈ε(y␈↓ ∧~␈ε"sh␈α↓ould␈α∞be␈α
de|ned␈α
instead␈α
as␈α
\␈ε(x␈ε"␈α<␈↓ λH␈ε(r␈↓ λf␈ε"if␈α
and␈α
only␈α
if␈↓ 
C␈ε(y␈↓ 
b␈ε"<␈↓ ∩␈ε(r␈↓ "␈ε",
␈βλY␈↓ ↓H␈ε"for␈α
all␈α
rational␈↓ β;␈ε(r␈↓ βL␈ε".")␈α∪See␈α
O.␈↓ ∧{␈ε"Beck␈α␈er,␈ε/␈α∞Quellen␈α
und␈α
Studien␈α
zur␈α
Geschich␈α␈te␈α
Math.,
␈β	∧␈↓ ↓H␈ε/Astron.,␈αPh␈α␈ysik␈ε"␈α(B)␈ε2␈α2␈ε"␈α(1933),␈α311↑333.
␈β	:␈↓ α␈ε"When␈↓ αw␈ε(X␈↓ β(␈ε"is␈α∞a␈α∂rational␈α∂n␈α␈um␈α␈ber,␈α∂the␈α∂regular␈α∂con␈α␈tin␈α␈ued␈α∂fraction␈α∞corresponds
␈β	e␈↓ ↓H␈ε"in␈α∞a␈α∂natural␈α∂w␈α␈a␈α␈y␈α∂to␈α∞Euclid's␈α∂algorithm.␈α_Let␈α∂us␈α∂assume␈α∂that␈↓ 	~␈ε(X␈↓ 	K␈ε"=␈↓ 	⎇␈ε(v␈↓ 
⊂␈ε"/␈ε(u␈ε",␈α∂where
␈β
⊂␈↓ ↓H␈ε(u␈ε"␈α
>␈↓ α⊗␈ε(v␈↓ α4␈ε6∃␈ε"␈α0.␈α∩The␈α
regular␈α
con␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction␈α
process␈αstarts␈α
with␈↓ 	6␈ε(X␈↓ 	n␈ε"=␈↓ 
≥␈ε(X␈↓ 
?␈ε";␈α
let␈αus
␈β
≥␈↓ 	T␈ε%0
␈β
;␈↓ ↓H␈ε"de|ne␈↓ α0␈ε(U␈↓ αb␈ε"=␈ε(␈α
u␈ε"␈α␈,␈↓ β:␈ε(V␈↓ βi␈ε"=␈↓ ∧↔␈ε(v␈↓ ∧*␈ε".␈α⊂Assuming␈αthat␈↓ ε6␈ε(X␈↓ εq␈ε"=␈↓ π∨␈ε(V␈↓ πG␈ε"/␈↓ πY␈ε(U␈↓ λ∂␈ε6≤␈ε"␈α
0,␈α(10)␈αbecomes
␈β
H␈↓ αH␈ε%0␈↓ βP␈ε%0␈↓ εT␈ε+n␈↓ π5␈ε+n␈↓ πr␈ε+n
␈β␈↓ ¬+␈ε(A␈↓ ε∂␈ε"=␈ε6␈α
b␈↓ εK␈ε(U␈↓ εv␈ε"/␈↓ πλ␈ε(V␈↓ π1␈ε6c␈ε",
␈β↔␈↓ ¬E␈ε+n␈ε%+1␈↓ εd␈ε+n␈↓ π≡␈ε+n
␈β*␈↓ 
p␈ε"(14)
␈βH␈↓ βZ␈ε(X␈↓ ∧A␈ε"=␈↓ ∧o␈ε(U␈↓ ¬≠␈ε"/␈↓ ¬-␈ε(V␈↓ ¬]␈ε6␈␈↓ ε	␈ε(A␈↓ εl␈ε"=␈α
(␈↓ π&␈ε(U␈↓ πX␈ε"mod␈↓ λ"␈ε(V␈↓ λJ␈ε")/␈↓ λh␈ε(V␈↓ 	⊂␈ε".
␈βT␈↓ βx␈ε+n␈ε%␈α␈+1␈↓ ¬λ␈ε+n␈↓ ¬B␈ε+n␈↓ ε#␈ε+n␈ε%␈α␈+1␈↓ π?␈ε+n␈↓ λ7␈ε+n␈↓ λ}␈ε+n
␈β↔␈↓ ↓H␈ε"Therefore,␈αif␈αw␈α␈e␈αde|ne
␈βj␈↓ ∧∀␈ε(U␈↓ ∧w␈ε"=␈↓ ¬%␈ε(V␈↓ ¬M␈ε",␈↓ ε%␈ε(V␈↓ π∧␈ε"=␈↓ π2␈ε(U␈↓ πc␈ε"mod␈↓ λ-␈ε(V␈↓ λV␈ε",␈↓ 
p␈ε"(15)
␈βv␈↓ ∧-␈ε+n␈ε%+␈α␈1␈↓ ¬:␈ε+n␈↓ ε;␈ε+n␈ε%␈α␈+1␈↓ πK␈ε+n␈↓ λC␈ε+n
␈β
=␈↓ ↓H␈ε"the␈α
condition␈↓ β&␈ε(X␈↓ βb␈ε"=␈↓ ∧∩␈ε(V␈↓ ∧:␈ε"/␈↓ ∧L␈ε(U␈↓ ¬∧␈ε"h␈α↓olds␈α
through␈α↓out␈α
the␈α
process.␈α∪F␈α⎇urtherm␈α↓ore,␈α
(15)␈α
is
␈β
I␈↓ βD␈ε+n␈↓ ∧'␈ε+n␈↓ ∧e␈ε+n
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"precisely␈α
the␈α
transformation␈α
made␈α
on␈αthe␈α
v␈α⎇ariables␈ε(␈α
u␈ε"␈α
and␈↓ λI␈ε(v␈↓ λf␈ε"in␈α
Euclid's␈α
algorithm
␈β∞∂␈↓ λ␈ε%8
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"(see␈α
Algorithm␈α
4.5.2A␈↓ ∧~␈ε",␈α
step␈α
A2).␈α∂F␈α⎇or␈α
example,␈αsince␈↓ λ%␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"3,␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε2␈ε6?␈ε",␈α
w␈α␈e␈α
kn␈α↓o␈α␈w
␈β∞$␈↓ πy␈ε%29
␈β∞'␈↓ πy␈∧∞'πyα∨
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε"that␈α∞Euclid's␈α∞algorithm␈α∞applied␈α∞to␈ε(␈α∞u␈ε"␈α∞=␈α
29␈α∂and␈↓ πE␈ε(v␈↓ πe␈ε"=␈α∞8␈α∞will␈α∞require␈α∞exactly␈α∞|v␈α␈e
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε"division␈αsteps,␈αand␈αthe␈αquotien␈α␈ts␈ε6␈αb␈ε(u␈ε"/␈↓ ε¬␈ε(v␈↓ ε_␈ε6c␈ε"␈αin␈αstep␈αA2␈α
will␈αbe␈αsuccessiv␈α␈ely␈α3,␈α1,␈α1,␈α1,
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"and␈α2.␈α∩Note␈αthat␈α
the␈αlast␈α
partial␈αquotien␈α␈t␈↓ εh␈ε(A␈↓ π!␈ε"m␈α␈ust␈αbe␈α
2␈α
or␈αm␈α↓ore␈α
when␈↓ 
0␈ε(X␈↓ 
l␈ε"=␈α
0
␈β∂!␈↓ πα␈ε+n␈↓ 
N␈ε+n
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"and␈ε(␈αn␈ε6␈α	∃␈ε"␈α
1,␈αsince␈↓ β[␈ε(X␈↓ ∧E␈ε"is␈αless␈αthan␈αunit␈α␈y.
␈β∂L␈↓ βy␈ε+n␈ε9␈␈ε%1
␈β∂k␈↓ α␈ε"F␈α⎇rom␈αλthis␈α	correspondence␈αλwith␈α	Euclid's␈αλalgorithm␈αλw␈α␈e␈α	can␈αλsee␈α	that␈αλthe␈αλregular
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"con␈α␈tin␈α␈ued␈α∞fraction␈α∂for␈↓ ∧2␈ε(X␈↓ ∧b␈ε"terminates␈α∂at␈α∞some␈α∂step␈α∂with␈↓ λE␈ε(X␈↓ 	∧␈ε"=␈α∂0␈α∂if␈α∞and␈α∂only␈α∞if
␈β⊂#␈↓ λc␈ε+n
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε(X␈↓ ↓x␈ε"is␈α∞rational;␈α∂for␈α∞it␈α∞is␈α∞obvious␈α∞that␈↓ ε␈ε(X␈↓ εK␈ε"cann␈α↓ot␈α∞be␈α∞zero␈α∞if␈↓ λh␈ε(X␈↓ 	_␈ε"is␈α∞irrational,␈α∞and,
␈β⊂N␈↓ ε*␈ε+n
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"con␈α␈v␈α␈ersely,␈α∂w␈α␈e␈α∂kn␈α↓o␈α␈w␈α∂that␈α∂Euclid's␈α∂algorithm␈α∞alw␈α␈a␈α␈ys␈α∂terminates.␈α→If␈α∂the␈α∞partial
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"quotien␈α␈ts␈αobtained␈αduring␈αEuclid's␈αalgorithm␈αare␈↓ πO␈ε(A␈↓ πx␈ε",␈↓ λ∞␈ε(A␈↓ λ7␈ε",␈↓ λM␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λ⎇␈ε",␈↓ 	∪␈ε(A␈↓ 	?␈ε",␈αthen␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e,
␈β⊃$␈↓ πi␈ε%1␈↓ λ(␈ε%2␈↓ 	-␈ε+n
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λ4␈ε"'␈↓ 
v␈ε"343
␈β↓Z␈↓ ¬9␈ε.AN␈α␈AL␈α}Y␈α␈SIS␈α
O␈α␈F␈αEUCLI␈α␈D␈↓ λ>␈ε.S␈α
AL␈α␈GO␈α␈RIT␈α␈HM
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"by␈α(5),
␈βαQ␈↓ ∧y␈ε(v␈↓ ¬S␈ε(Q␈↓ ε.␈ε"(␈↓ ε:␈ε(A␈↓ εd␈ε",␈↓ εt␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ π$␈ε",␈↓ π4␈ε(A␈↓ π`␈ε")
␈βα↑␈↓ ¬o␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ εT␈ε%2␈↓ πN␈ε+n
␈βαi␈↓ ¬~␈ε"=␈↓ πv␈ε".␈↓ 
p␈ε"(16)
␈βα⎇␈↓ ∧x␈∧α⎇∧xα∃␈↓ ¬L␈∧α⎇¬Lαα'
␈βββ␈↓ ∧x␈ε(u␈↓ ¬L␈ε(Q␈↓ ¬{␈ε"(␈↓ επ␈ε(A␈↓ ε1␈ε",␈↓ εA␈ε(A␈↓ εj␈ε",␈↓ εz␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ π*␈ε",␈↓ π:␈ε(A␈↓ πf␈ε")
␈ββ∂␈↓ ¬i␈ε+n␈↓ ε!␈ε%1␈↓ ε[␈ε%2␈↓ πT␈ε+n
␈ββI␈↓ ↓H␈ε"This␈α
form␈α␈ula␈αh␈α↓olds␈α
also␈αif␈α
Euclid's␈α
algorithm␈αis␈α
applied␈αfor␈ε(␈α
u␈ε"␈α
<␈↓ 	+␈ε(v␈↓ 	>␈ε",␈αwhen␈↓ 
/␈ε(A␈↓ 
b␈ε"=␈α
0.
␈ββU␈↓ 
I␈ε%1
␈ββt␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇urtherm␈α↓ore,␈αbecause␈αof␈α(8),␈↓ ¬∂␈ε(Q␈↓ ¬k␈ε"(␈↓ ¬w␈ε(A␈↓ ε ␈ε",␈↓ ε0␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε`␈ε",␈↓ εp␈ε(A␈↓ π≥␈ε")␈αand␈↓ πz␈ε(Q␈↓ λ)␈ε"(␈↓ λ5␈ε(A␈↓ λ↑␈ε",␈↓ λn␈ε(A␈↓ 	↔␈ε",␈↓ 	'␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	W␈ε",␈↓ 	g␈ε(A␈↓ 
∀␈ε")␈αare␈αrela-
␈β∧␈↓ ¬,␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ ε⊃␈ε%2␈↓ π
␈ε+n␈↓ λ⊗␈ε+n␈↓ λO␈ε%1␈↓ 	λ␈ε%2␈↓ 
↓␈ε+n
␈β∧∨␈↓ ↓H␈ε"tiv␈α␈ely␈α
prime,␈α
and␈α
the␈α∞fraction␈α
on␈α
the␈α
righ␈α␈t-hand␈α
side␈α∞of␈α
(16)␈α
is␈α
in␈α
lo␈α␈w␈α␈est␈α
terms;
␈β∧J␈↓ ↓H␈ε"therefore
␈β¬(␈↓ β
␈ε(u␈ε"␈α
=␈↓ βW␈ε(Q␈↓ ∧ε␈ε"(␈↓ ∧∩␈ε(A␈↓ ∧;␈ε",␈↓ ∧K␈ε(A␈↓ ∧t␈ε",␈↓ ¬∧␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬4␈ε",␈↓ ¬D␈ε(A␈↓ ¬q␈ε")␈ε(d␈ε",␈↓ εh␈ε(v␈↓ π¬␈ε"=␈↓ π3␈ε(Q␈↓ λ∂␈ε"(␈↓ λ≠␈ε(A␈↓ λD␈ε",␈↓ λT␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	∧␈ε",␈↓ 	∀␈ε(A␈↓ 	A␈ε")␈ε(d␈ε",␈↓ 
p␈ε"(17)
␈β¬5␈↓ βs␈ε+n␈↓ ∧,␈ε%1␈↓ ∧e␈ε%2␈↓ ¬↑␈ε+n␈↓ πP␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ λ5␈ε%2␈↓ 	.␈ε+n
␈βεε␈↓ ↓H␈ε"where␈ε(␈αd␈ε"␈α
=␈↓ α{␈ε"gcd␈↓ β1␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ βb␈ε(v␈↓ βu␈ε").
␈βεX␈↓ ↓H␈ε2The␈α
w␈α␈orst␈α
case.␈ε"␈α∪We␈α
can␈α
n␈α↓o␈α␈w␈α
apply␈α
these␈αobserv␈α⎇ations␈α
to␈α
determine␈α
the␈α
beha␈α␈vior
␈βπβ␈↓ ↓H␈ε"of␈α∂Euclid's␈α∂algorithm␈α∂in␈α⊂the␈α∂\w␈α␈orst␈α∂case,"␈α⊂or␈α⊂in␈α∂other␈α∂w␈α␈ords␈α⊂to␈α∂giv␈α␈e␈α∂an␈α∂upper
␈βπ.␈↓ ↓H␈ε"bound␈αon␈α
the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈αdivision␈α
steps.␈α∩The␈α
w␈α␈orst␈α
case␈αoccurs␈α
when␈α
the␈αinputs
␈βπY␈↓ ↓H␈ε"are␈αconsecutiv␈α␈e␈↓ βB␈ε"Fibonacci␈αn␈α␈um␈α␈bers:
␈βλ+␈↓ ↓H␈ε2Theorem␈αF␈ε"␈α(G.␈↓ βB␈ε"Lam␈↓ ∧	␈ε"∞␈↓ ∧
␈ε"e␈↓ ∧~␈ε",␈α1845)␈ε2.␈ε/␈α→F␈α⎇or␈ε(␈αn␈ε6␈α
∃␈ε"␈α
1␈ε/,␈αlet␈ε(␈αu␈ε/␈αand␈↓ πy␈ε(v␈↓ λ_␈ε/be␈αin␈α␈tegers␈αwith␈ε(␈αu␈ε"␈α	>␈↓ 
l␈ε(v␈↓ λ␈ε">
␈βλW␈↓ ↓H␈ε"0␈ε/␈α∂such␈α⊂that␈α∂Euclid's␈α⊂algorithm␈α∂applied␈α⊂to␈ε(␈α∂u␈ε/␈α∂and␈↓ πb␈ε(v␈↓ λ∧␈ε/requires␈α⊂exactly␈ε(␈α∂n␈ε/␈α∂division
␈β	α␈↓ ↓H␈ε/steps,␈α
and␈α
such␈α
that␈ε(␈α
u␈ε/␈α
is␈α
as␈α
small␈α∞as␈α
possible␈α
satisfying␈α
these␈α
conditions.␈α∪Then
␈β	-␈↓ ↓H␈ε(u␈ε"␈α	=␈↓ α∀␈ε(F␈↓ αw␈ε/and␈↓ β=␈ε(v␈↓ βZ␈ε"=␈↓ ∧λ␈ε(F␈↓ ∧←␈ε/.
␈β	9␈↓ α,␈ε+n␈ε%␈α␈+2␈↓ ∧∨␈ε+n␈ε%+␈α␈1
␈β
∞␈↓ ↓H␈ε/Pro␈α↓of.␈ε"␈α~By␈α
(17),␈α
w␈α␈e␈αm␈α␈ust␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈ε(␈α
u␈ε"␈α=␈↓ ε␈ε(Q␈↓ ε/␈ε"(␈↓ ε;␈ε(A␈↓ εd␈ε",␈↓ εt␈ε(A␈↓ π≥␈ε",␈↓ π-␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ π]␈ε",␈↓ πm␈ε(A␈↓ λ~␈ε")␈ε(d␈ε"␈α
where␈↓ 	/␈ε(A␈↓ 	X␈ε",␈↓ 	o␈ε(A␈↓ 
_␈ε",␈↓ 
/␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 
←␈ε",␈↓ 
v␈ε(A␈↓ "␈ε",
␈β
~␈↓ ε≤␈ε+n␈↓ εU␈ε%1␈↓ π∞␈ε%2␈↓ λπ␈ε+n␈↓ 	I␈ε%1␈↓ 
	␈ε%2␈↓ ⊂␈ε+n
␈β
9␈↓ ↓H␈ε(d␈ε"␈αare␈α
positiv␈α␈e␈αin␈α␈tegers␈αand␈↓ ∧t␈ε(A␈↓ ¬+␈ε6∃␈ε"␈α
2.␈α⊃Since␈↓ εe␈ε(Q␈↓ π ␈ε"is␈αa␈α
polyn␈α↓omial␈αwith␈αn␈α↓onnegativ␈α␈e
␈β
E␈↓ ¬∞␈ε+n␈↓ π↓␈ε+n
␈β
d␈↓ ↓H␈ε"coe}cien␈α␈ts,␈α∂in␈α␈v␈α␈olving␈α∂all␈α∂of␈α∞the␈α∂v␈α⎇ariables,␈α⊂the␈α∞minim␈α␈um␈α∂v␈α⎇alue␈α∂is␈α∂achiev␈α␈ed␈α∞only
␈β∂␈↓ ↓H␈ε"when␈↓ α(␈ε(A␈↓ α`␈ε"=␈α∂1,␈↓ β?␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ βo␈ε",␈↓ ∧λ␈ε(A␈↓ ∧p␈ε"=␈α∂1,␈↓ ¬N␈ε(A␈↓ ε
␈ε"=␈α∞2,␈ε(␈α⊂d␈ε"␈α∂=␈α∂1.␈α_Putting␈α∂these␈α∂v␈α⎇alues␈α∂in␈α∞(17)
␈β≤␈↓ αB␈ε%1␈↓ ∧"␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ ¬h␈ε+n
␈β:␈↓ ↓H␈ε"yields␈αthe␈αdesired␈αresult.
␈βC␈↓ ∧n␈∧C∧n≠∂
␈β␈↓ α␈ε"(This␈α∞theorem␈α∂has␈α∞the␈α∂historical␈α∞claim␈α∞of␈α∂being␈α∞the␈α∂|rst␈α∞practical␈α∞applica-
␈β8␈↓ ↓H␈ε"tion␈αof␈αthe␈αFibonacci␈αsequence;␈αsince␈αthen␈αman␈α␈y␈αother␈αapplications␈αof␈αFibonacci
␈βc␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers␈αto␈αalgorithms␈αand␈αto␈αthe␈αstudy␈αof␈αalgorithms␈αha␈α␈v␈α␈e␈αbeen␈αdisco␈α␈v␈α␈ered.)
␈β
⊂␈↓ α␈ε"As␈αa␈αconsequence␈αof␈αTheorem␈αF␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αan␈αimportan␈α␈t␈αcorollary:
␈β
b␈↓ ↓H␈ε2Corollary␈α⊂L.␈ε/␈α If␈↓ β[␈ε"0␈ε6␈α⊃∀␈ε(␈α⊃u␈ε"␈α␈,␈↓ ∧W␈ε(v␈↓ ∧{␈ε"<␈↓ ¬0␈ε(N␈↓ ¬S␈ε/,␈α⊃the␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊂of␈α∂division␈α⊂steps␈α⊂required␈α⊂when
␈β∞	␈↓ λA␈ε6p
␈β∞␈↓ λ←␈∧∞λ←α∩
␈β∞∞␈↓ ↓H␈ε/Algorithm␈α4.5.2A␈αis␈αapplied␈αto␈ε(␈αu␈ε/␈αand␈↓ ε_␈ε(v␈↓ ε7␈ε/is␈αat␈αm␈α↓ost␈ε6␈α∩d␈↓ πt␈ε"log␈↓ λ5␈ε"(␈↓ λ←␈ε"5␈↓ λw␈ε(N␈↓ 	~␈ε")␈ε6e␈αλ␈␈ε"␈αλ2␈ε/.
␈β∞≥␈↓ λ"␈ε+≡
␈β∞n␈↓ ↓H␈ε/Pro␈α↓of.␈ε"␈α~By␈αTheorem␈α
F␈↓ ∧+␈ε",␈αthe␈α
maxim␈α␈um␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈αsteps,␈ε(␈α
n␈ε",␈αoccurs␈α
when␈ε(␈αu␈ε"␈α=␈↓ β␈ε(F
␈β∞{␈↓ ~␈ε+n
␈β∂→␈↓ ↓H␈ε"and␈↓ α⊃␈ε(v␈↓ α4␈ε"=␈↓ αh␈ε(F␈↓ β?␈ε",␈α⊃where␈ε(␈α∂n␈ε"␈α⊂is␈α⊂as␈α∂large␈α⊂as␈α⊂possible␈α∂with␈↓ λ-␈ε(F␈↓ 	∀␈ε"<␈↓ 	H␈ε(N␈↓ 	k␈ε".␈α (The␈α∂|rst
␈β∂&␈↓ β␈ε+n␈ε%␈α␈+1␈↓ λD␈ε+n␈ε%+␈α␈1
␈β∂E␈↓ ↓H␈ε"division␈α⊃step␈α⊂in␈α⊃this␈α⊃case␈α⊃merely␈α⊃in␈α␈terchanges␈ε(␈α⊃u␈ε"␈α⊃and␈↓ λ,␈ε(v␈↓ λO␈ε"when␈ε(␈α⊃n␈ε"␈α∩>␈α∩1.)␈α"Since
␈β∂j␈↓ ∧*␈ε+n␈ε%+1
␈β∂k␈↓ ∧|␈ε6p␈↓ 
=␈ε6p
␈β∂n␈↓ ¬~␈∧∂n¬~α∩␈↓ 
[␈∧∂n
[α∩
␈β∂p␈↓ ↓H␈ε(F␈↓ α(␈ε"<␈↓ αV␈ε(N␈↓ αy␈ε",␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ ∧∀␈ε(≡␈↓ ∧j␈ε"/␈↓ ¬~␈ε"5␈↓ ¬6␈ε"<␈↓ ¬d␈ε(N␈↓ ε∩␈ε"(see␈αEq.␈α1.2.8↑15),␈αso␈ε(␈αn␈ε"␈α¬+␈αε1␈α
<␈↓ 	q␈ε"log␈↓ 
1␈ε"(␈↓ 
[␈ε"5␈↓ 
s␈ε(N␈↓ ⊗␈ε").
␈β∂|␈↓ ↓←␈ε+n␈ε%␈α␈+1
␈β⊂␈↓ 
∨␈ε+≡
␈β⊂$␈↓ ↓K␈∧⊂$↓K≠∂
␈β⊂h␈↓ β?␈ε6p
␈β⊂k␈↓ β]␈∧⊂kβ]α∩
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"Note␈α∞that␈↓ αr␈ε"log␈↓ β3␈ε"(␈↓ β]␈ε"5␈↓ βu␈ε(N␈↓ ∧_␈ε")␈α∞is␈α∂appro␈α␈ximately␈α∞2.078␈↓ π!␈ε"ln␈↓ πE␈ε(N␈↓ πr␈ε"+␈α	1.672␈ε6␈α∞→␈ε"␈α∞4.785␈↓ 
	␈ε"log␈↓ 
\␈ε(N␈↓ λ␈ε"+
␈β⊂⎇␈↓ β ␈ε+≡␈↓ 
7␈ε%1␈α↓0
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"1.672.␈α⊂See␈αexercises␈α31␈αand␈α36␈αfor␈αextensions␈αof␈αTheorem␈αF.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"344␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα$␈↓ ↓H␈ε2An␈α
appro␈α␈ximate␈α∞m␈α↓odel.␈ε"␈α≥No␈α␈w␈α∞that␈α
w␈α␈e␈α∞kn␈α↓o␈α␈w␈α∞the␈α∞maxim␈α␈um␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α
division
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"steps␈αthat␈αcan␈αoccur,␈αlet␈αus␈αattempt␈αto␈α|nd␈αthe␈ε/␈αa␈α␈v␈α␈erage␈ε"␈αn␈α␈um␈α␈ber.␈α∂Let␈↓ 
ε␈ε(T␈↓ 
 ␈ε"(␈ε(m␈ε"␈α␈,␈ε(␈αεn␈ε")␈αbe
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∞division␈α∞steps␈α∞that␈α∞occur␈α∞when␈ε(␈α∞u␈ε"␈α
=␈ε(␈α∞m␈ε"␈α∞and␈↓ λw␈ε(v␈↓ 	↔␈ε"=␈ε(␈α
n␈ε"␈α∞are␈α∞input␈α∞to
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"Euclid's␈αalgorithm.␈α⊂Th␈α␈us
␈ββz␈↓ α\␈ε(T␈↓ αv␈ε"(␈ε(m␈ε",␈αε0)␈α
=␈α
0;␈↓ ∧r␈ε(T␈↓ ¬␈ε"(␈ε(m␈ε"␈α␈,␈ε(␈αεn␈ε")␈α
=␈α
1␈αλ+␈↓ εg␈ε(T␈↓ π↓␈ε"(␈ε(n␈ε",␈ε(␈αεm␈↓ πX␈ε"mod␈↓ λ"␈ε(n␈ε")␈↓ 	␈ε"if␈↓ 	.␈ε(n␈ε6␈α
∃␈ε"␈α
1.␈↓ 
p␈ε"(18)
␈β∧O␈↓ ↓H␈ε"Let␈↓ απ␈ε(T␈↓ α8␈ε"be␈α	the␈α
a␈α␈v␈α␈erage␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α	of␈α
division␈α	steps␈α
when␈↓ π{␈ε(v␈↓ λ_␈ε"=␈ε(␈α
n␈ε"␈α	and␈α	when␈ε(␈α
u␈ε"␈α	is␈α	ch␈α↓osen
␈β∧\␈↓ α≤␈ε+n
␈β∧z␈↓ ↓H␈ε"at␈α∞random;␈α∞since␈α∞only␈α∞the␈α∞v␈α⎇alue␈α∞of␈ε(␈α∞u␈↓ ε⊗␈ε"mod␈↓ ε`␈ε(v␈↓ π↓␈ε"a{ects␈α∞the␈α∞algorithm␈α∞a$er␈α∞the␈α
|rst
␈β¬&␈↓ ↓H␈ε"division␈αstep,␈αw␈α␈e␈αma␈α␈y␈αwrite
␈β¬g␈↓ ε$␈ε↓X
␈β¬q␈↓ ¬i␈ε"1
␈βε	␈↓ ¬∧␈ε(T␈↓ ¬5␈ε"=␈↓ ε{␈ε(T␈↓ π∀␈ε"(␈↓ π ␈ε(k␈↓ π4␈ε",␈ε(␈αεn␈ε").␈↓ 
p␈ε"(19)
␈βε∃␈↓ ¬→␈ε+n
␈βε≥␈↓ ¬g␈∧ε≥¬gα⊗
␈βε#␈↓ ¬g␈ε(n
␈βε9␈↓ επ␈ε%0␈ε9∀␈↓ ε4␈ε+k␈↓ εD␈ε%<␈ε+n
␈βε⎇␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇or␈αexample,␈↓ β!␈ε(T␈↓ β:␈ε"(0,␈αε5)␈α
=␈α
1,␈↓ ∧f␈ε(T␈↓ ¬␈ε"(1,␈αε5)␈α
=␈α
2,␈↓ ε,␈ε(T␈↓ εF␈ε"(2,␈αε5)␈α
=␈α
3,␈↓ πr␈ε(T␈↓ λ␈ε"(3,␈αε5)␈α
=␈α
4,␈↓ 	8␈ε(T␈↓ 	Q␈ε"(4,␈αε5)␈α
=␈α
3,␈αso
␈βπM␈↓ ¬
␈ε%1␈↓ λ-␈ε%3
␈βπQ␈↓ ∧*␈ε(T␈↓ ∧X␈ε"=␈↓ ¬≥␈ε"(1␈αλ+␈αλ2␈αλ+␈αλ3␈αλ+␈αλ4␈αλ+␈αλ3)␈α
=␈α
2␈↓ λ@␈ε".
␈βπ↑␈↓ ∧?␈ε%5
␈βπb␈↓ ¬
␈ε%5␈↓ λ-␈ε%5
␈βπe␈↓ ¬
␈∧πe¬
α⊂␈↓ λ-␈∧πeλ-α⊂
␈βλ&␈↓ α␈ε"In␈α∞order␈α∂to␈α∞estimate␈↓ ∧[␈ε(T␈↓ ¬⊃␈ε"for␈α∞large␈ε(␈α∂n␈ε"␈α␈,␈α∂let␈α∂us␈α∞|rst␈α∞try␈α∂an␈α∞appro␈α␈ximation␈α∞sug-
␈βλ3␈↓ ∧p␈ε+n
␈βλQ␈↓ ↓H␈ε"gested␈α
by␈α
R.␈α
W.␈↓ βY␈ε"Flo␈α␈yd:␈α∞We␈α∞migh␈α␈t␈α
assume␈α
that,␈α
for␈α
0␈ε6␈α∀␈↓ λR␈ε(k␈↓ λr␈ε"<␈ε(␈αn␈ε",␈α
the␈α
v␈α⎇alue␈α∞of␈ε(␈α
n
␈βλ⎇␈↓ ↓H␈ε"is␈αessen␈α␈tially␈α\random"␈αm␈α↓odulo␈↓ ¬A␈ε(k␈↓ ¬U␈ε",␈αso␈αthat␈αw␈α␈e␈αcan␈αset
␈β	H␈↓ ¬?␈ε"1
␈β	`␈↓ ∧∪␈ε(T␈↓ ∧E␈ε6→␈ε"␈α
1␈αλ+␈↓ ¬]␈ε"(␈↓ ¬i␈ε(T␈↓ ε∃␈ε"+␈↓ εA␈ε(T␈↓ εl␈ε"+␈↓ π_␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πJ␈ε"+␈↓ πv␈ε(T␈↓ λK␈ε").
␈β	l␈↓ ∧(␈ε+n␈↓ ¬⎇␈ε%0␈↓ εU␈ε%1␈↓ λ␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈β	t␈↓ ¬=␈∧	t¬=α⊗
␈β	z␈↓ ¬=␈ε(n
␈β
B␈↓ ↓H␈ε"Then␈↓ α$␈ε(T␈↓ αU␈ε6→␈↓ ββ␈ε(S␈↓ β+␈ε",␈αwhere␈α
the␈α
sequence␈ε6␈α
h␈↓ ε␈ε(S␈↓ ε(␈ε6i␈ε"␈α
is␈α
the␈α
solution␈α
to␈α
the␈α
recurrence␈α
relation
␈β
N␈↓ α8␈ε+n␈↓ β→␈ε+n␈↓ ε∃␈ε+n
␈β∂␈↓ ¬E␈ε"1
␈β'␈↓ αS␈ε(S␈↓ β↓␈ε"=␈α
0,␈↓ ∧→␈ε(S␈↓ ∧L␈ε"=␈α
1␈αλ+␈↓ ¬c␈ε"(␈↓ ¬o␈ε(S␈↓ ε≤␈ε"+␈↓ εH␈ε(S␈↓ εu␈ε"+␈↓ π!␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πS␈ε"+␈↓ π␈␈ε(S␈↓ λT␈ε"),␈ε(␈↓ 	8n␈ε6␈α	∃␈ε"␈α
1.␈↓ 
p␈ε"(20)
␈β4␈↓ αh␈ε%0␈↓ ∧/␈ε+n␈↓ ε¬␈ε%0␈↓ ε]␈ε%1␈↓ λ∀␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈β;␈↓ ¬D␈∧;¬Dα⊗
␈βA␈↓ ¬D␈ε(n
␈β	␈↓ ↓H␈ε"(This␈α	appro␈α␈ximation␈α	is␈α	analogous␈α	to␈α	the␈α	\␈↓ εK␈ε"lattice-poin␈α␈t␈α	m␈α↓odel"␈α	used␈α	to␈α	in␈α␈v␈α␈estigate
␈β4␈↓ ↓H␈ε"Algorithm␈αB␈αin␈αSection␈α4.5.2.)
␈β←␈↓ α␈ε"The␈α
recurrence␈α
(20)␈α
is␈α
readily␈αsolv␈α␈ed␈α
by␈α
the␈α
use␈α
of␈α
generating␈α
functions.␈α∩A
␈β
␈↓ ↓H␈ε"m␈α↓ore␈αdirect␈αw␈α␈a␈α␈y␈αto␈αsolv␈α␈e␈α
it,␈αanalogous␈αto␈αour␈αsolution␈αof␈αthe␈α
lattice-poin␈α␈t␈αm␈α↓odel,
␈β
6␈↓ ↓H␈ε"is␈αby␈αn␈α↓oting␈αthat
␈β∞↓␈↓ ¬
␈ε"1
␈β∞→␈↓ β¬␈ε(S␈↓ βj␈ε"=␈α⊂1␈αλ+␈↓ ¬M␈ε"(␈↓ ¬Y␈ε(S␈↓ εε␈ε"+␈↓ ε2␈ε(S␈↓ ε←␈ε"+␈↓ π␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π=␈ε"+␈↓ πi␈ε(S␈↓ λF␈ε"+␈↓ λr␈ε(S␈↓ 	~␈ε")
␈β∞&␈↓ β~␈ε+n␈ε%+1␈↓ ¬o␈ε%0␈↓ εH␈ε%1␈↓ π}␈ε+n␈ε9␈␈ε%1␈↓ 	π␈ε+n
␈β∞-␈↓ ∧h␈∧∞-∧hα\
␈β∞3␈↓ ∧h␈ε(n␈ε"␈απ+␈αλ1
␈β∞c␈↓ ¬M␈ε↓␈␈↓ πS␈ε↓↓
␈β∞j␈↓ ¬
␈ε"1␈↓ 	*␈ε"1
␈β∂α␈↓ βj␈ε"=␈α⊂1␈αλ+␈↓ ¬[␈ε(n␈ε"(␈↓ ¬⎇␈ε(S␈↓ ε-␈ε6␈␈ε"␈αλ1)␈αλ+␈↓ π+␈ε(S␈↓ πq␈ε"=␈↓ λ%␈ε(S␈↓ λV␈ε"+␈↓ 	e␈ε";
␈β∂∞␈↓ ε∪␈ε+n␈↓ πA␈ε+n␈↓ λ;␈ε+n
␈β∂⊗␈↓ ∧h␈∧∂⊗∧hα\␈↓ 	ε␈∧∂⊗	εα\
␈β∂≠␈↓ ∧h␈ε(n␈ε"␈απ+␈αλ1␈↓ 	ε␈ε(n␈ε"␈απ+␈αλ1
␈β∂g␈↓ βW␈ε%1␈↓ ¬π␈ε%1
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"hence␈↓ α.␈ε(S␈↓ αd␈ε"is␈α∞1␈α	+␈↓ βs␈ε"+␈↓ ∧!␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧T␈ε"+␈↓ ¬*␈ε"=␈↓ ¬[␈ε(H␈↓ ε␈ε",␈α∂a␈α∞harm␈α↓onic␈α∞n␈α␈um␈α␈ber.␈α⊗The␈α∞appro␈α␈ximation
␈β∂x␈↓ αC␈ε+n␈↓ ¬y␈ε+n
␈β∂|␈↓ βW␈ε%2␈↓ ¬ε␈ε+n
␈β∂␈␈↓ βW␈∧∂␈βWα⊂␈↓ ¬ε␈∧∂␈¬εα∪
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε(T␈↓ ↓y␈ε6→␈↓ α'␈ε(S␈↓ α[␈ε"n␈α↓o␈α␈w␈αsuggests␈αthat␈↓ ¬↓␈ε(T␈↓ ¬3␈ε6→␈↓ ¬a␈ε"ln␈↓ ε¬␈ε(n␈ε"␈απ+␈↓ εN␈ε(O␈↓ εk␈ε"(1).
␈β⊂#␈↓ ↓\␈ε+n␈↓ α=␈ε+n␈↓ ¬⊗␈ε+n
␈β⊂B␈↓ α␈ε"Comparison␈αof␈αthis␈αappro␈α␈ximation␈αwith␈αtables␈αof␈αthe␈αtrue␈αv␈α⎇alue␈αof␈↓ 
"␈ε(T␈↓ 
T␈ε"sh␈α↓o␈α␈w,
␈β⊂N␈↓ 
7␈ε+n
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"h␈α↓o␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α	that␈↓ β%␈ε"ln␈↓ βI␈ε(n␈ε"␈αλis␈α	to␈α↓o␈α	large;␈↓ ¬$␈ε(T␈↓ ¬T␈ε"does␈αλn␈α↓ot␈α	gro␈α␈w␈α	this␈α	fast.␈α∞One␈α	w␈α␈a␈α␈y␈α	to␈α	accoun␈α␈t␈αλfor
␈β⊂y␈↓ ¬8␈ε+n
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"the␈αfact␈α
that␈αthis␈αappro␈α␈ximation␈αis␈αto␈α↓o␈αpessimistic␈αis␈αto␈αobserv␈α␈e␈αthat␈αthe␈α
a␈α␈v␈α␈erage
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λ4␈ε"'␈↓ 
v␈ε"345
␈β↓Z␈↓ ¬9␈ε.AN␈α␈AL␈α}Y␈α␈SIS␈α
O␈α␈F␈αEUCLI␈α␈D␈↓ λ>␈ε.S␈α
AL␈α␈GO␈α␈RIT␈α␈HM
␈βα≥␈↓ πW␈ε%1
␈βα!␈↓ ↓H␈ε"v␈α⎇alue␈αof␈ε(␈αn␈↓ αi␈ε"mod␈↓ β3␈ε(k␈↓ βT␈ε"is␈αless␈αthan␈αthe␈αa␈α␈v␈α␈erage␈αv␈α⎇alue␈αof␈↓ πj␈ε(k␈↓ π}␈ε",␈αin␈αthe␈αrange␈α1␈ε6␈α
∀␈↓ 
(␈ε(k␈↓ 
F␈ε6∀␈ε(␈α
n␈ε":
␈βα2␈↓ πW␈ε%2
␈βα6␈↓ πW␈∧α6πWα⊂
␈βαc␈↓ α
␈ε↓X␈↓ ¬-␈ε↓X
␈βαm␈↓ ↓P␈ε"1␈↓ ∧+␈ε"1
␈ββ¬␈↓ α[␈ε"(␈ε(n␈↓ ββ␈ε"mod␈↓ βM␈ε(k␈↓ βa␈ε")␈↓ βw␈ε"=␈↓ ε>␈ε"(␈ε(n␈ε6␈απ␈␈↓ π∪␈ε(q␈↓ π'␈ε(k␈↓ π;␈ε")
␈ββ→␈↓ ↓N␈∧β→↓Nα⊗␈↓ ∧)␈∧β→∧)α⊗
␈ββ≡␈↓ ↓N␈ε(n␈↓ ∧)␈ε(n
␈ββ3␈↓ ¬⊂␈ε%1␈ε9␈α↓∀␈↓ ¬=␈ε+q␈↓ ¬M␈ε9∀␈ε+n
␈ββ5␈↓ ↓n␈ε%1␈ε9∀␈↓ α~␈ε+k␈↓ α+␈ε9∀␈ε+␈α␈n
␈ββP␈↓ ∧6␈ε9b␈ε+n␈ε%/(␈↓ ∧o␈ε+q␈↓ ∧}␈ε%+1)␈ε9␈α↓c␈ε%<␈↓ ¬←␈ε+k␈↓ ¬p␈ε9∀␈α␈b␈ε+n␈ε%/␈↓ ε;␈ε+q␈↓ εK␈ε9c
␈ββ{␈↓ ¬/␈ε↓X
␈β∧∧␈↓ ε∨␈ε↓∩␈↓ ε5␈ε↓∩␈↓ πg␈ε↓∪␈↓ λ1␈ε↓∩␈↓ 
B␈ε↓∪␈↓ 
X␈ε↓∪
␈β∧¬␈↓ ∧u␈ε"1␈↓ εK␈ε6b␈ε(n␈ε"␈α␈/␈↓ π␈ε(q␈↓ π∪␈ε6c␈ε"␈αλ+␈αλ1␈↓ λG␈ε6b␈ε(n␈ε"/(␈↓ 		␈ε(q␈↓ 	$␈ε"+␈αλ1)␈ε6c␈ε"␈αλ+␈αλ1
␈β∧≥␈↓ βw␈ε"=␈ε(␈α
n␈ε6␈αλ␈␈↓ ε¬␈ε(q␈↓ λ¬␈ε6␈
␈β∧1␈↓ ∧s␈∧∧1∧sα⊗
␈β∧7␈↓ ∧s␈ε(n␈↓ π⊂␈ε"2␈↓ 	<␈ε"2
␈β∧M␈↓ ¬∩␈ε%1␈ε9␈α↓∀␈↓ ¬?␈ε+q␈↓ ¬O␈ε9∀␈ε+n
␈β∧w␈↓ ¬/␈ε↓X
␈β¬␈↓ ¬␈␈ε↓∩␈↓ π2␈ε↓∪
␈β¬↓␈↓ ∧u␈ε"1␈↓ ε∃␈ε6b␈ε(n␈ε"/␈↓ εK␈ε(q␈↓ ε↑␈ε6c␈ε"␈αλ+␈αλ1
␈β¬→␈↓ βw␈ε"=␈ε(␈α
n␈ε6␈αλ␈
␈β¬-␈↓ ∧s␈∧¬-∧sα⊗
␈β¬2␈↓ ∧s␈ε(n␈↓ ε[␈ε"2
␈β¬I␈↓ ¬∩␈ε%1␈ε9␈α↓∀␈↓ ¬?␈ε+q␈↓ ¬O␈ε9∀␈ε+n
␈β¬x␈↓ ¬≠␈ε%2
␈β¬|␈↓ ∧%␈ε↓∩␈↓ ¬.␈ε↓∪
␈β¬}␈↓ ¬¬␈ε(→
␈βε⊗␈↓ βw␈ε"=␈↓ ∧;␈ε"1␈ε6␈αλ␈␈↓ ¬J␈ε(n␈ε"␈αλ+␈↓ ε∀␈ε(O␈↓ ε0␈ε"(␈↓ ε<␈ε"log␈↓ εp␈ε(n␈ε")␈↓ 
p␈ε"(21)
␈βε*␈↓ ¬¬␈∧ε*¬¬α&
␈βε/␈↓ ¬ε␈ε"12
␈βεb␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ ∧;␈ε↓↓
␈βπ↓␈↓ ↓V␈ε"cf.␈α∞exercise␈α∂4.5.2↑10(c)␈↓ ∧I␈ε".␈α↔This␈α∂is␈α∞only␈α∂about␈α∞.1775␈ε(n␈ε",␈α∂n␈α↓ot␈α∞.25␈ε(n␈ε";␈α⊂so␈α∞the␈α∂v␈α⎇alue␈α∞of
␈βπ,␈↓ ↓H␈ε(n␈↓ ↓c␈ε"mod␈↓ α-␈ε(k␈↓ αP␈ε"tends␈α∞to␈α∞be␈α∞smaller␈α∞than␈α∞the␈α∞abo␈α␈v␈α␈e␈α∞m␈α↓odel␈α∞predicts,␈α∞and␈α∞Euclid's␈α∞algo-
␈βπW␈↓ ↓H␈ε"rithm␈αw␈α␈orks␈αfaster␈αthan␈αw␈α␈e␈αmigh␈α␈t␈αexpect.
␈βλ⊗␈↓ ↓H␈ε2A␈αcon␈α␈tin␈α␈uous␈α
m␈α↓odel.␈ε"␈α≠The␈αbeha␈α␈vior␈α
of␈α
Euclid's␈αalgorithm␈α
with␈↓ 	/␈ε(v␈↓ 	M␈ε"=␈↓ 	|␈ε(N␈↓ 
,␈ε"is␈αessen-
␈βλA␈↓ ↓H␈ε"tially␈α
determined␈αby␈α
the␈α
beha␈α␈vior␈αof␈α
the␈αregular␈α
con␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction␈α
process␈α
when
␈βλl␈↓ ↓H␈ε(X␈↓ ↓w␈ε"=␈α
0/␈↓ αL␈ε(N␈↓ αo␈ε",␈α∞1/␈↓ β+␈ε(N␈↓ βN␈ε",␈↓ βg␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧↔␈ε",␈α∞(␈↓ ∧;␈ε(N␈↓ ∧g␈ε6␈␈ε"␈α
1)/␈↓ ¬E␈ε(N␈↓ ¬h␈ε".␈α⊗Assuming␈α
that␈↓ π⎇␈ε(N␈↓ λ.␈ε"is␈α∞v␈α␈ery␈α∞large,␈α∂w␈α␈e␈α∞are␈α
led
␈β	_␈↓ ↓H␈ε"naturally␈α⊂to␈α⊂a␈α⊂study␈α⊂of␈α⊂regular␈α⊂con␈α␈tin␈α␈ued␈α⊂fractions␈α⊂when␈↓ λn␈ε(X␈↓ 	 ␈ε"is␈α⊂a␈α⊂random␈α⊂real
␈β	C␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈α
uniformly␈α
distributed␈α
in␈↓ ¬U␈ε"[␈↓ ¬e␈ε"0,␈αε1).␈α∀Therefore␈α
let␈α
us␈α
de|ne␈α
the␈α
distribution
␈β	n␈↓ ↓H␈ε"function
␈β
→␈↓ β⊃␈ε(F␈↓ β;␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ ∧∨␈ε"probabilit␈α␈y␈αthat␈↓ ε%␈ε(X␈↓ ε←␈ε6∀␈ε(␈α
x␈ε",␈↓ πy␈ε"for␈↓ λ1␈ε"0␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
x␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
1,␈↓ 
p␈ε"(22)
␈β
&␈↓ β(␈ε+n␈↓ εC␈ε+n
␈β
\␈↓ ↓H␈ε"giv␈α␈en␈αa␈αuniform␈αdistribution␈αof␈↓ ¬:␈ε(X␈↓ ¬f␈ε"=␈↓ ε∀␈ε(X␈↓ εA␈ε".␈α⊂By␈αthe␈αde|nition␈αof␈αregular␈αcon␈α␈tin␈α␈ued
␈β
h␈↓ ε2␈ε%0
␈βπ␈↓ ↓H␈ε"fractions,␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ βn␈ε(F␈↓ ∧∀␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈ε(␈α
x␈ε",␈αand
␈β∪␈↓ ∧¬␈ε%0
␈β:␈↓ ∧→␈ε↓X
␈β\␈↓ αZ␈ε(F␈↓ β0␈ε"(␈ε(x␈ε")␈↓ βf␈ε"=␈↓ ∧X␈ε"probabilit␈α␈y␈αthat␈↓ εR␈ε"(␈↓ ε↑␈ε(k␈↓ ε|␈ε6∀␈ε"␈α
1/␈↓ πN␈ε(X␈↓ λλ␈ε6∀␈↓ λ6␈ε(k␈↓ λS␈ε"+␈ε(␈αλx␈ε")
␈βi␈↓ αq␈ε+n␈ε%␈α␈+1␈↓ πl␈ε+n
␈β
␈↓ ∧∀␈ε+k␈↓ ∧%␈ε9∃␈ε%␈α␈1
␈β$␈↓ ∧→␈ε↓X
␈β'␈↓ εR␈ε↓␈␈↓ 	Q␈ε↓↓
␈βF␈↓ βf␈ε"=␈↓ ∧X␈ε"probabilit␈α␈y␈αthat␈↓ ε`␈ε"1/(␈↓ π⊂␈ε(k␈↓ π,␈ε"+␈ε(␈αλx␈ε")␈ε6␈α
∀␈↓ λ0␈ε(X␈↓ λj␈ε6∀␈ε"␈α
1/␈↓ 	<␈ε(k
␈βR␈↓ λN␈ε+n
␈βv␈↓ ∧∀␈ε+k␈↓ ∧%␈ε9∃␈ε%␈α␈1
␈β

␈↓ ∧→␈ε↓X
␈β
⊃␈↓ ∧R␈ε↓␈␈↓ ε7␈ε↓␈␈↓ π↑␈ε↓↓␈↓ πl␈ε↓↓
␈β
0␈↓ βf␈ε"=␈↓ ∧`␈ε(F␈↓ ¬	␈ε"(1/␈↓ ¬9␈ε(k␈↓ ¬N␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ ε∞␈ε(F␈↓ εE␈ε"1/(␈↓ εu␈ε(k␈↓ π∩␈ε"+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ πz␈ε".␈↓ 
p␈ε"(23)
␈β
<␈↓ ∧w␈ε+n␈↓ ε%␈ε+n
␈β
`␈↓ ∧∀␈ε+k␈↓ ∧%␈ε9∃␈ε%␈α␈1
␈β∞'␈↓ ↓H␈ε"If␈αλthe␈α	distributions␈↓ βq␈ε(F␈↓ ∧_␈ε"(␈ε(x␈ε"),␈↓ ∧W␈ε(F␈↓ ∧⎇␈ε"(␈ε(x␈ε"),␈↓ ¬=␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬o␈ε"de|ned␈α	by␈αλthese␈α	form␈α␈ulas␈αλapproach␈α	a␈αλlimiting
␈β∞3␈↓ ∧	␈ε%0␈↓ ∧n␈ε%1
␈β∞R␈↓ ↓H␈ε"distribution␈↓ β␈ε(F␈↓ βA␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ ∧%␈ε(F␈↓ ∧A␈ε"(␈ε(x␈ε"),␈αw␈α␈e␈αwill␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β∞←␈↓ β#␈ε91
␈β∂α␈↓ ¬∃␈ε↓X
␈β∂¬␈↓ ¬M␈ε↓␈␈↓ π_␈ε↓␈␈↓ λ>␈ε↓↓␈↓ λL␈ε↓↓
␈β∂$␈↓ ∧⊂␈ε(F␈↓ ∧,␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ ¬[␈ε(F␈↓ ¬x␈ε"(1/␈↓ ε(␈ε(k␈↓ ε<␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ ε|␈ε(F␈↓ π&␈ε"1/(␈↓ πV␈ε(k␈↓ πr␈ε"+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ λZ␈ε".␈↓ 
p␈ε"(24)
␈β∂T␈↓ ¬⊂␈ε+k␈↓ ¬!␈ε9∃␈ε%␈α␈1
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈ε"One␈α	function␈α	that␈α	satis|es␈α	this␈α
relation␈α	is␈↓ εN␈ε(F␈↓ εj␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ πN␈ε"log␈↓ λ
␈ε"(1␈αα+␈ε(␈αβx␈ε"),␈α
for␈α	an␈α␈y␈α	base␈ε(␈α	b␈ε"␈α
>␈α
1;
␈β⊂$␈↓ π|␈ε+b
␈β⊂@␈↓ ↓H␈ε"see␈α∂exercise␈α∂19.␈α~The␈α∂further␈α⊂condition␈↓ εB␈ε(F␈↓ ε↑␈ε"(1)␈α⊂=␈α∂1␈α∂implies␈α⊂that␈α∂w␈α␈e␈α∂sh␈α↓ould␈α∂tak␈α␈e
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε(b␈ε"␈α=␈α2.␈α∀Th␈α␈us␈α
it␈α
is␈α∞reasonable␈α
to␈α
mak␈α␈e␈α∞a␈α
guess␈α
that␈↓ πw␈ε(F␈↓ λ∀␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α=␈↓ λ|␈ε"lg␈↓ 	_␈ε"(1␈α	+␈ε(␈α	x␈ε"),␈α
and␈α
that
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε(F␈↓ ↓q␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
approaches␈αthis␈αbeha␈α␈vior.
␈β⊃#␈↓ ↓←␈ε+n
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"346␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα≥␈↓ π6␈ε%1␈↓ λ9␈ε%3
␈βα!␈↓ α␈ε"We␈αmigh␈α␈t␈αconjecture,␈αfor␈αexample,␈αthat␈↓ π	␈ε(F␈↓ π&␈ε"(␈↓ πI␈ε")␈α
=␈↓ λ
␈ε"lg␈↓ λ)␈ε"(␈↓ λL␈ε")␈ε6␈α
→␈ε"␈α
0.58496;␈αlet␈αus␈αsee
␈βα2␈↓ π6␈ε%2␈↓ λ9␈ε%2
␈βα6␈↓ π6␈∧α6π6α⊂␈↓ λ9␈∧α6λ9α⊂
␈βαH␈↓ β#␈ε%1␈↓ 	⊗␈ε%1␈↓ 	q␈ε%1
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"h␈α↓o␈α␈w␈αclose␈↓ αj␈ε(F␈↓ β∪␈ε"(␈↓ β7␈ε")␈αcomes␈αto␈αthis␈αv␈α⎇alue␈αfor␈αsmall␈ε(␈αn␈ε"␈α␈.␈α⊂We␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ λ←␈ε(F␈↓ 	ε␈ε"(␈↓ 	)␈ε")␈α
=␈↓ 
∧␈ε",␈αand
␈βαY␈↓ β↓␈ε+n␈↓ λw␈ε%0
␈βα]␈↓ β#␈ε%2␈↓ 	⊗␈ε%2␈↓ 	q␈ε%2
␈βαa␈↓ β#␈∧αaβ#α⊂␈↓ 	⊗␈∧αa	⊗α⊂␈↓ 	q␈∧αa	qα⊂
␈ββ∀␈↓ β5␈ε"1␈↓ ∧'␈ε"1␈↓ ¬_␈ε"1␈↓ ε
␈ε"1
␈ββ(␈↓ αZ␈ε%1
␈ββ,␈↓ α#␈ε(F␈↓ αJ␈ε"(␈↓ αm␈ε")␈↓ ββ␈ε"=␈↓ βS␈ε6␈␈↓ ∧h␈ε"+␈↓ ¬6␈ε6␈␈↓ εL␈ε"+␈↓ εx␈ε6↓␈αε↓␈αε↓
␈ββ9␈↓ α:␈ε%1
␈ββ=␈↓ αZ␈ε%2
␈ββ@␈↓ αZ␈∧β@αZα⊂␈↓ β5␈∧β@β5α∩␈↓ ∧β␈∧β@∧βαZ␈↓ ¬_␈∧β@¬_α∩␈↓ ¬f␈∧β@¬fαZ
␈ββF␈↓ β5␈ε"1␈↓ ∧β␈ε"1␈αλ+␈↓ ¬_␈ε"2␈↓ ¬f␈ε"2␈αλ+
␈ββG␈↓ ∧L␈ε'1␈↓ ε0␈ε'1
␈ββX␈↓ ∧L␈ε'2␈↓ ε0␈ε'2
␈ββZ␈↓ ∧L␈∧βZ∧Lα∞␈↓ ε0␈∧βZε0α∞
␈ββq␈↓ βI␈ε↓∩␈↓ εA␈ε↓∪
␈ββr␈↓ βc␈ε"1␈↓ ∧1␈ε"1␈↓ ∧␈␈ε"1␈↓ ¬M␈ε"1
␈β∧
␈↓ ββ␈ε"=␈α
2␈↓ ∧↓␈ε6␈␈↓ ∧O␈ε"+␈↓ ¬≥␈ε6␈␈↓ ¬k␈ε"+␈↓ ε↔␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εa␈ε"=␈α
2(1␈ε6␈αλ␈␈↓ πs␈ε"ln␈↓ λ↔␈ε"2)␈ε6␈α
→␈ε"␈α
0.6137;
␈β∧≡␈↓ βc␈∧∧≡βcα∩␈↓ ∧1␈∧∧≡∧1α∩␈↓ ∧␈␈∧∧≡∧␈α∩␈↓ ¬M␈∧∧≡¬Mα∩
␈β∧#␈↓ βc␈ε"2␈↓ ∧1␈ε"3␈↓ ∧␈␈ε"4␈↓ ¬M␈ε"5
␈β∧T␈↓ β:␈ε↓X
␈β∧]␈↓ ∧,␈ε↓∩␈↓ 
;␈ε↓∪
␈β∧↑␈↓ ∧	␈ε"2␈↓ ∧y␈ε"1␈↓ ε-␈ε"1␈↓ π`␈ε"1␈↓ 	∀␈ε"1
␈β∧q␈↓ αZ␈ε%1
␈β∧v␈↓ α#␈ε(F␈↓ αJ␈ε"(␈↓ αm␈ε")␈↓ ββ␈ε"=␈↓ ¬J␈ε6␈␈↓ ε⎇␈ε"+␈↓ λ1␈ε6␈␈↓ 	e␈ε"+␈↓ 
⊃␈ε6↓␈αε↓␈αε↓
␈β¬α␈↓ α:␈ε%2
␈β¬π␈↓ αZ␈ε%2
␈β¬
␈↓ αZ␈∧¬
αZα⊂␈↓ ∧α␈∧¬
∧αα ␈↓ ∧F␈∧¬
∧Fαx␈↓ ¬z␈∧¬
¬zαx␈↓ π-␈∧¬
π-αx␈↓ λa␈∧¬
λaαx
␈β¬∂␈↓ ∧α␈ε(m␈↓ ∧F␈ε"2␈ε(m␈ε"␈αλ+␈αλ2␈↓ ¬z␈ε"3␈ε(m␈ε"␈απ+␈αλ2␈↓ π-␈ε"4␈ε(m␈ε"␈αλ+␈αλ2␈↓ λa␈ε"5␈ε(m␈ε"␈αλ+␈αλ2
␈β¬&␈↓ β1␈ε+m␈ε9␈α␈∃␈ε%1
␈β¬H␈↓ β:␈ε↓X
␈β¬Q␈↓ ∧;␈ε↓∩␈↓ εe␈ε↓∪
␈β¬R␈↓ ∧⊃␈ε"2␈↓ ∧U␈ε"1␈↓ ¬#␈ε"1␈↓ ¬q␈ε"1
␈β¬j␈↓ ββ␈ε"=␈↓ ∧s␈ε6␈␈↓ ¬A␈ε"+␈↓ ε∂␈ε6␈␈↓ ε;␈ε6↓␈αε↓␈αε↓
␈β¬}␈↓ ∧α␈∧¬}∧αα/␈↓ ∧U␈∧¬}∧Uα∩␈↓ ¬#␈∧¬}¬#α∩␈↓ ¬q␈∧¬}¬qα∩
␈βε↓␈↓ ∧"␈ε%2
␈βε∧␈↓ ∧α␈ε(m␈↓ ∧U␈ε"2␈↓ ¬#␈ε"3␈↓ ¬q␈ε"4
␈βε≠␈↓ β1␈ε+m␈ε9␈α␈∃␈ε%1
␈βε;␈↓ ∧p␈ε↓␈ ␈↓ 	,␈ε↓!
␈βε=␈↓ β}␈ε↓X
␈βεG␈↓ ∧M␈ε"4␈↓ ¬c␈ε"1␈↓ π`␈ε"1
␈βε←␈↓ βI␈ε6␈␈↓ εX␈ε6␈␈↓ λV␈ε"+␈↓ 	α␈ε6↓␈αε↓␈αε↓
␈βεs␈↓ ∧F␈∧εs∧Fα ␈↓ ¬␈∧εs¬α↓B␈↓ πλ␈∧εsπλα↓B
␈βεx␈↓ ∧F␈ε(m␈↓ ¬␈ε"2␈ε(m␈ε"(2␈ε(m␈ε"␈απ+␈αλ2)␈↓ πλ␈ε"3␈ε(m␈ε"(3␈ε(m␈ε"␈αλ+␈αλ2)
␈βπ∂␈↓ βu␈ε+m␈ε9␈α␈∃␈ε%1
␈βπ-␈↓ ¬B␈ε↓X
␈βπ8␈↓ β5␈ε"1␈↓ ε	␈ε"4␈↓ ε≠␈ε(S
␈βπD␈↓ ε1␈ε+m
␈βπH␈↓ βa␈ε%2
␈βπP␈↓ ββ␈ε"=␈↓ βK␈ε(→␈↓ βp␈ε"(1␈ε6␈αλ␈␈↓ ∧B␈ε"ln␈↓ ∧f␈ε"2)␈ε6␈αλ␈␈↓ εO␈ε",
␈βπd␈↓ β5␈∧πdβ5α∩␈↓ ε	␈∧πdε	αC
␈βπf␈↓ ε3␈ε%2
␈βπi␈↓ β5␈ε"3␈↓ ε∪␈ε(m
␈βλ␈↓ ¬8␈ε+m␈ε9␈α␈∃␈ε%1
␈βλC␈↓ ↓H␈ε"where␈↓ α0␈ε(S␈↓ αj␈ε"=␈α
1/(4␈ε(m␈ε"␈αλ+␈αλ4)␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ1/(9␈ε(m␈ε"␈αλ+␈αλ6)␈αλ+␈αλ1/(16␈ε(m␈ε"␈αλ+␈αλ8)␈ε6␈αλ␈␈↓ λb␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	∩␈ε".␈α⊂Using␈αthe␈αv␈α⎇alues
␈βλP␈↓ αE␈ε+m
␈βλn␈↓ ↓H␈ε"of␈↓ ↓r␈ε(H␈↓ α,␈ε"for␈αfraction␈ε(␈αx␈ε"␈αfound␈αin␈αT␈α⎇able␈α3␈αof␈αAppendix␈αB,␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat
␈βλ{␈↓ α∂␈ε+x
␈β	8␈↓ βu␈ε%1␈↓ ¬I␈ε%3␈↓ π␈␈ε%19␈↓ 	≠␈ε6p
␈β	;␈↓ 	9␈∧	;	9α∩
␈β	=␈↓ β
␈ε(S␈↓ β<␈ε"=␈↓ ∧⊂␈ε",␈↓ ∧h␈ε(S␈↓ ¬↔␈ε"=␈↓ ¬d␈ε6␈␈↓ ε⊂␈ε"ln␈↓ ε4␈ε"2,␈↓ π≡␈ε(S␈↓ πM␈ε"=␈↓ λ)␈ε6␈␈↓ λU␈ε(→␈↓ λk␈ε"/(2␈↓ 	9␈ε"3␈↓ 	Q␈ε"),
␈β	I␈↓ β#␈ε%1␈↓ ∧}␈ε%2␈↓ π4␈ε%3
␈β	M␈↓ βn␈ε%12␈↓ ¬I␈ε%4␈↓ π␈␈ε%20
␈β	Q␈↓ βn␈∧	Qβnα∨␈↓ ¬I␈∧	Q¬Iα⊂␈↓ π␈␈∧	Qπ␈α∨
␈β
ε␈↓ ε$␈ε%1
␈β
␈↓ ↓H␈ε"etc.;␈α
a␈α
n␈α␈umerical␈αev␈α⎇aluation␈α
yields␈↓ ¬n␈ε(F␈↓ ε∀␈ε"(␈↓ ε7␈ε")␈ε6␈α→␈ε"␈α0.5748.␈α∩Alth␈α↓ough␈↓ 	≡␈ε(F␈↓ 	D␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α=␈↓ 
+␈ε(H␈↓ 
Y␈ε",␈α
it␈αis
␈β
↔␈↓ ε¬␈ε%2␈↓ 	5␈ε%1␈↓ 
H␈ε+x
␈β
≤␈↓ ε$␈ε%2
␈β
∨␈↓ ε$␈∧
∨ε$α⊂
␈β
6␈↓ ↓H␈ε"clear␈αthat␈↓ αl␈ε(F␈↓ β⊗␈ε"(␈ε(x␈ε")␈αis␈αdi}cult␈αto␈αcalculate␈αexactly␈αwhen␈ε(␈αn␈ε"␈αis␈αlarge.
␈β
B␈↓ ββ␈ε+n
␈β
a␈↓ α␈ε"The␈α
distributions␈↓ ∧*␈ε(F␈↓ ∧T␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
w␈α␈ere␈α
|rst␈α
studied␈α∞by␈α
K.␈α
F.␈↓ λB␈ε"Gauss,␈α
wh␈α↓o␈α
th␈α↓ough␈α␈t␈α
of
␈β
n␈↓ ∧B␈ε+n
␈β␈↓ ↓H␈ε"the␈α	problem␈α
in␈α
1800.␈α∂His␈α
n␈α↓otebo␈α↓ok␈α
for␈α
that␈α	y␈α␈ear␈α
lists␈α
v␈α⎇arious␈α
recurrence␈α	relations
␈β3␈↓ 
β␈ε%1
␈β8␈↓ ↓H␈ε"and␈α
giv␈α␈es␈α	a␈α
brief␈α
table␈α
of␈α
v␈α⎇alues,␈α
including␈α
the␈α
four-place␈α
v␈α⎇alue␈α
for␈↓ 	M␈ε(F␈↓ 	s␈ε"(␈↓ 
↔␈ε")␈α
that␈α	has
␈βD␈↓ 	d␈ε%2
␈βH␈↓ 
β␈ε%2
␈βL␈↓ 
β␈∧L
βα⊂
␈βc␈↓ ↓H␈ε"just␈α∞been␈α∞men␈α␈tioned.␈α↔A$er␈α∂performing␈α∞these␈α∞calculations,␈α∂Gauss␈α∂wrote,␈α∞\␈ε/T␈α⎇am
␈β∞␈↓ ↓H␈ε/complicat≤␈α
ev␈α⎇adun␈α␈t,␈α
ut␈α∞n␈α␈ulla␈α
spes␈α
superesse␈α∞videatur␈ε","␈α
i.e.,␈α∞\They␈α
come␈α
out␈α
so
␈β9␈↓ ↓H␈ε"complicated␈α
that␈α
n␈α↓o␈α
h␈α↓ope␈α
appears␈αto␈α
be␈α
le$."␈α∪Tw␈α␈elv␈α␈e␈α
y␈α␈ears␈α
later,␈α
Gauss␈α
wrote
␈βd␈↓ ↓H␈ε"a␈αletter␈αto␈↓ αo␈ε"Laplace␈αin␈αwhich␈αhe␈αposed␈αthe␈αproblem␈αas␈αone␈α
he␈αcould␈αn␈α↓ot␈αresolv␈α␈e␈αto
␈β
⊂␈↓ ↓H␈ε"his␈αsatisfaction.␈α∩He␈α
said,␈α
\I␈α
found␈α
by␈αv␈α␈ery␈α
simple␈α
reasoning␈αthat,␈α
for␈ε(␈α
n␈ε"␈αin|nite,
␈β
;␈↓ ↓H␈ε(F␈↓ ↓q␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ αU␈ε"log␈↓ ββ␈ε"(1␈α∧+␈ε(␈α∧x␈ε")/␈↓ β␈␈ε"log␈↓ ∧3␈ε"2.␈α∂But␈α
the␈α
e{orts␈α
which␈α	I␈α
made␈α
since␈α
then␈α
in␈α
m␈α␈y␈α	inquiries
␈β
G␈↓ ↓←␈ε+n
␈β
f␈↓ ↓H␈ε"to␈α⊂assign␈↓ αf␈ε(F␈↓ β⊂␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε6␈α␈␈↓ βv␈ε"log␈↓ ∧$␈ε"(1␈α+␈ε(␈αx␈ε")/␈↓ ¬.␈ε"log␈↓ ¬b␈ε"2␈α⊂for␈α⊂v␈α␈ery␈α⊃large␈α⊂but␈α⊂n␈α↓ot␈α⊃in|nite␈α⊂v␈α⎇alues␈α⊂of␈ε(␈α⊃n
␈β
r␈↓ α}␈ε+n
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈ere␈α∞fruitless."␈α≡He␈α∞nev␈α␈er␈α∂published␈α∞his␈α∂\v␈α␈ery␈α∞simple␈α∂reasoning,"␈α∂and␈α∞it␈α∂is␈α∞n␈α↓ot
␈β∞<␈↓ ↓H␈ε"completely␈αclear␈αthat␈αhe␈αhad␈α
found␈αa␈αrigorous␈αpro␈α↓of.␈α⊃More␈αthan␈α100␈αy␈α␈ears␈αw␈α␈en␈α␈t
␈β∞h␈↓ ↓H␈ε"by␈α
before␈α∞a␈α
pro␈α↓of␈α∞w␈α␈as␈α
|nally␈α∞published,␈α∞by␈α∞R.␈α
O.␈↓ πi␈ε"Kuz'min␈α
[␈ε/A␈α␈tti␈α∞del␈α
Congresso
␈β∂∪␈↓ ↓H␈ε/in␈α␈ternazionale␈αdei␈αmatematici␈ε2␈α6␈ε"␈α(Bologna,␈α1928),␈α83↑89],␈αwh␈α↓o␈αsh␈α↓o␈α␈w␈α␈ed␈αthat
␈β∂`␈↓ πy␈ε9p
␈β∂a␈↓ πF␈ε9␈␈ε+A␈↓ λ∩␈ε+n
␈β∂d␈↓ λ∩␈∧∂dλ∩α∪
␈β∂i␈↓ ∧?␈ε(F␈↓ ∧h␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ ¬L␈ε"lg␈↓ ¬h␈ε"(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈αλ+␈↓ π∞␈ε(O␈↓ π+␈ε"(␈↓ π7␈ε(e␈↓ λ*␈ε")
␈β∂u␈↓ ∧V␈ε+n
␈β⊂1␈↓ 	V␈ε9␈␈ε+␈α␈An
␈β⊂7␈↓ ↓H␈ε"for␈αsome␈αpositiv␈α␈e␈αconstan␈α␈t␈ε(␈αA␈ε".␈α∂The␈αerror␈αterm␈αw␈α␈as␈αimpro␈α␈v␈α␈ed␈αto␈↓ 	≡␈ε(O␈↓ 	:␈ε"(␈↓ 	F␈ε(e␈↓ 
≤␈ε")␈α
by␈αPaul
␈β⊂b␈↓ ↓H␈ε"L␈↓ ↓←␈ε"∞␈↓ ↓`␈ε"e␈↓ ↓p␈ε"vy␈α∂sh␈α↓ortly␈α∂a$erw␈α␈ard␈α⊂[␈ε/Bull.␈α∂Soc.␈α∂Math.␈α∂de␈α⊂F␈α⎇rance␈ε2␈α∂57␈ε"␈α∂(1929),␈α⊂178↑194]*;␈α⊃but
␈β⊃∀␈↓ ↓H␈∧⊃∀↓Hα↓X
␈β⊃≥␈↓ ↓H␈ε$*An␈α
exposit␈α␈ion␈α
o␈α↓f␈α
L␈↓ βR␈ε$∞␈↓ βS␈ε$e␈↓ β`␈ε$vy's␈α
in␈α␈te␈α␈rest␈α␈ing␈αpr␈α␈o␈ααof␈α
a␈α↓ppe␈α␈ared␈α
in␈α
the␈α
|r␈α␈st␈α
edit␈α␈ion␈α
o␈α↓f␈α
this␈α
bo␈α↓ok.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λ4␈ε"'␈↓ 
v␈ε"347
␈β↓Z␈↓ ¬9␈ε.AN␈α␈AL␈α}Y␈α␈SIS␈α
O␈α␈F␈αEUCLI␈α␈D␈↓ λ>␈ε.S␈α
AL␈α␈GO␈α␈RIT␈α␈HM
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"Gauss's␈αproblem,␈α
namely␈α
to␈α|nd␈α
the␈αasymptotic␈α
beha␈α␈vior␈αof␈↓ 		␈ε(F␈↓ 	3␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ 
∀␈ε"lg␈↓ 
0␈ε"(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε"),
␈βα/␈↓ 	 ␈ε+n
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈as␈α
n␈α↓ot␈α
really␈α∞resolv␈α␈ed␈α
un␈α␈til␈α
1974,␈α∞when␈α
Eduard␈↓ πV␈ε"Wirsing␈α∞published␈α
a␈α
beautiful
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"analysis␈αof␈αthe␈α
situation␈α[␈ε/Acta␈αArithmetica␈ε2␈α
24␈ε"␈α(1974),␈α
507↑528].␈α⊃We␈αshall␈αstudy
␈ββ$␈↓ ↓H␈ε"the␈αsimplest␈αaspects␈αof␈αWirsing's␈αapproach␈α
here,␈αsince␈αhis␈αmeth␈α↓od␈αis␈αan␈αinstruc-
␈ββO␈↓ ↓H␈ε"tiv␈α␈e␈αuse␈αof␈↓ αv␈ε"linear␈αoperators.
␈β∧␈↓ α␈ε"If␈ε(␈α∂G␈ε"␈α∂is␈α∂an␈α␈y␈α∂function␈α∂of␈ε(␈α∂x␈ε"␈α∂de|ned␈α∂for␈α∞0␈ε6␈α∂∀␈ε(␈α∂x␈ε6␈α∂∀␈ε"␈α∂1,␈α∂let␈↓ λr␈ε(S␈↓ 	␈ε(G␈ε"␈α⊂be␈α∂the␈α∞function
␈β∧+␈↓ ↓H␈ε"de|ned␈αby
␈β∧W␈↓ ¬,␈ε↓X
␈β∧`␈↓ ¬k␈ε↓∩␈↓ ε≥␈ε↓∩␈↓ εP␈ε↓∪␈↓ π6␈ε↓∩␈↓ λ0␈ε↓∪␈↓ λF␈ε↓∪
␈β∧b␈↓ ε8␈ε"1␈↓ πu␈ε"1
␈β∧z␈↓ ∧∞␈ε(S␈↓ ∧'␈ε(G␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ ε↓␈ε(G␈↓ εn␈ε6␈␈ε(␈αλG␈↓ λ\␈ε".␈↓ 
p␈ε"(25)
␈β¬∞␈↓ ε7␈∧¬∞ε7α∃␈↓ πP␈∧¬∞πPα]
␈β¬∪␈↓ ε7␈ε(k␈↓ πP␈ε(k␈↓ πl␈ε"+␈ε(␈αλx
␈β¬*␈↓ ¬'␈ε+k␈↓ ¬8␈ε9∃␈ε%1
␈β¬k␈↓ ↓H␈ε"Th␈α␈us,␈↓ α0␈ε(S␈↓ αX␈ε"is␈α∞an␈α∂operator␈α∞that␈α∂changes␈α∞one␈α∂function␈α∂in␈α␈to␈α∞an␈α↓other.␈α_In␈α∞particular,
␈βε⊗␈↓ ↓H␈ε"by␈α(23)␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ βK␈ε(F␈↓ ∧!␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ ¬¬␈ε(S␈↓ ¬≡␈ε(F␈↓ ¬H␈ε"(␈ε(x␈ε"),␈αhence
␈βε"␈↓ βb␈ε+n␈ε%+␈α␈1␈↓ ¬6␈ε+n
␈βεt␈↓ εV␈ε+n
␈βε|␈↓ ¬[␈ε(F␈↓ ε∂␈ε"=␈↓ ε=␈ε(S␈↓ εi␈ε(F␈↓ π∂␈ε".␈↓ 
p␈ε"(26)
␈βπ	␈↓ ¬r␈ε+n␈↓ π␈ε%0
␈βπc␈↓ ↓H␈ε"(In␈α	this␈α	discussion␈↓ βe␈ε(F␈↓ ∧_␈ε"stands␈α	for␈α	a␈α	distribution␈α	function,␈ε/␈α
n␈α↓ot␈ε"␈α	for␈α	a␈α	Fibonacci␈α	n␈α␈um-
␈βπo␈↓ β|␈ε+n
␈βλ∞␈↓ ↓H␈ε"ber.)␈α∂Note␈αthat␈↓ βD␈ε(S␈↓ βi␈ε"is␈αa␈α\linear␈αoperator";␈αi.e.,␈↓ π∂␈ε(S␈↓ π(␈ε"(␈ε(cG␈ε")␈α
=␈ε(␈α
c␈ε"␈α↓(␈↓ λ?␈ε(S␈↓ λX␈ε(G␈ε")␈αfor␈αall␈αconstan␈α␈ts␈ε(␈αc␈ε",
␈βλ9␈↓ ↓H␈ε"and␈↓ α∞␈ε(S␈↓ α'␈ε"(␈↓ α3␈ε(G␈↓ αf␈ε"+␈↓ β∩␈ε(G␈↓ β>␈ε")␈α
=␈↓ ∧α␈ε(S␈↓ ∧≠␈ε(G␈↓ ∧O␈ε"+␈↓ ∧{␈ε(S␈↓ ¬∀␈ε(G␈↓ ¬@␈ε".
␈βλE␈↓ αO␈ε%1␈↓ β/␈ε%2␈↓ ∧8␈ε%1␈↓ ¬1␈ε%2
␈βλj␈↓ α␈ε"No␈α␈w␈α∞if␈ε(␈α∞G␈ε"␈α∞has␈α∞a␈α∞bounded␈α
|rst␈α∞deriv␈α⎇ativ␈α␈e,␈α∞w␈α␈e␈α∞can␈α∞di{eren␈α␈tiate␈α∞(25)␈α∞term␈α
by
␈β	∃␈↓ ↓H␈ε"term␈αto␈αsh␈α↓o␈α␈w␈αthat
␈β	f␈↓ ¬U␈ε↓X
␈β	o␈↓ πC␈ε↓∩␈↓ λ>␈ε↓∪
␈β	p␈↓ εP␈ε"1␈↓ λα␈ε"1
␈β
␈↓ ∧d␈ε90␈↓ π;␈ε90
␈β
λ␈↓ ∧↔␈ε"(␈↓ ∧#␈ε(S␈↓ ∧<␈ε(G␈↓ ∧X␈ε")␈↓ ∧l␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ π∨␈ε(G␈↓ λT␈ε",␈↓ 
p␈ε"(27)
␈β
≤␈↓ ε_␈∧
≤ε_α↓∧␈↓ π]␈∧
≤π]α]
␈β
≡␈↓ π␈ε%2
␈β
!␈↓ ε_␈ε"(␈↓ ε$␈ε(k␈↓ ε@␈ε"+␈ε(␈αλx␈↓ π␈ε")␈↓ π]␈ε(k␈↓ πz␈ε"+␈ε(␈αλx
␈β
8␈↓ ¬P␈ε+k␈↓ ¬a␈ε9∃␈ε%␈α␈1
␈β
r␈↓ π↔␈ε↓␈
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε"hence␈↓ α*␈ε(S␈↓ αC␈ε(G␈ε"␈αalso␈α
has␈αa␈αbounded␈α
|rst␈αderiv␈α⎇ativ␈α␈e.␈↓ π%␈ε"T␈α⎇erm-by-term␈αdi{eren␈α␈tiation␈αof␈α
a
␈β<␈↓ ↓H␈ε"con␈α␈v␈α␈ergen␈α␈t␈α
series␈α∞is␈α
justi|ed␈α∞when␈α
the␈α∞series␈α
of␈α∞deriv␈α⎇ativ␈α␈es␈α
is␈α∞uniformly␈α
con␈α␈v␈α␈er-
␈βg␈↓ ↓H␈ε"gen␈α␈t;␈αcf.␈αK.␈↓ ββ␈ε"Kn␈α↓opp,␈ε/␈αTheory␈αand␈αApplication␈αof␈αIn|nite␈αseries␈ε"␈α(Glasgo␈α␈w:␈αBlackie,
␈βs␈↓ αp␈ε↓↓
␈β∩␈↓ ↓H␈ε"1951),␈ε6␈αx␈ε"47.
␈β=␈↓ εu␈ε90␈↓ 	L␈ε90
␈βC␈↓ α␈ε"Let␈↓ αN␈ε(H␈↓ αz␈ε"=␈↓ β(␈ε(S␈↓ βA␈ε(G␈ε"␈α↓,␈αand␈α
let␈↓ ∧o␈ε(g␈↓ ¬↓␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈α(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ εX␈ε(G␈↓ ε⎇␈ε"(␈ε(x␈ε"),␈ε(␈αh␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈α(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ 	+␈ε(H␈↓ 	T␈ε"(␈ε(x␈ε").␈α⊃It␈αfollo␈α␈ws
␈βn␈↓ ↓H␈ε"that
␈β
→␈↓ πl␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈β
≠␈↓ ∧7␈ε↓X
␈β
$␈↓ ε∃␈ε↓∩␈↓ πV␈ε↓∪␈↓ λ*␈ε↓∩␈↓ 	$␈ε↓∪
␈β
%␈↓ ¬→␈ε"1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ π~␈ε"1␈↓ λi␈ε"1
␈β
=␈↓ β:␈ε(h␈ε"(␈ε(x␈ε")␈↓ ∧¬␈ε"=␈↓ ε+␈ε"1␈αλ+␈↓ λ_␈ε(g
␈β
Q␈↓ ¬∧␈∧
Q¬∧α↓∧␈↓ εu␈∧
Qεuα]␈↓ λD␈∧
QλDα]
␈β
S␈↓ ¬x␈ε%2
␈β
W␈↓ ¬∧␈ε"(␈↓ ¬⊂␈ε(k␈↓ ¬,␈ε"+␈ε(␈αλx␈↓ ¬l␈ε")␈↓ εu␈ε(k␈↓ π∩␈ε"+␈ε(␈αλx␈↓ λD␈ε(k␈↓ λ`␈ε"+␈ε(␈αλx
␈β
m␈↓ ∧3␈ε+k␈↓ ∧C␈ε9∃␈ε%1
␈β∞≡␈↓ ∧7␈ε↓X
␈β∞'␈↓ ∧v␈ε↓∩␈↓ πN␈ε↓∪␈↓ π|␈ε↓∩␈↓ λv␈ε↓∪
␈β∞(␈↓ ¬W␈ε(k␈↓ εo␈ε(k␈↓ π␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈↓ λ;␈ε"1
␈β∞@␈↓ ∧¬␈ε"=␈↓ ε>␈ε6␈␈↓ πj␈ε(g␈↓ 	␈ε".
␈β∞T␈↓ ¬⊂␈∧∞T¬⊂α↓#␈↓ εn␈∧∞Tεnα]␈↓ λ⊗␈∧∞Tλ⊗α]
␈β∞Y␈↓ ¬⊂␈ε(k␈↓ ¬,␈ε"+␈αλ1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ εn␈ε(k␈↓ π
␈ε"+␈ε(␈αλx␈↓ λ⊗␈ε(k␈↓ λ2␈ε"+␈ε(␈αλx
␈β∞p␈↓ ∧3␈ε+k␈↓ ∧C␈ε9∃␈ε%1
␈β∂8␈↓ ↓H␈ε"In␈αother␈αw␈α␈ords,␈ε(␈αh␈ε"␈α
=␈↓ ∧⊂␈ε(T␈↓ ∧)␈ε(g␈↓ ∧;␈ε",␈αwhere␈↓ ¬9␈ε(T␈↓ ¬←␈ε"is␈αthe␈αlinear␈αoperator␈αde|ned␈αby
␈β⊂∂␈↓ ∧U␈ε↓X
␈β⊂_␈↓ ¬∪␈ε↓∩␈↓ πl␈ε↓∪␈↓ λ~␈ε↓∩␈↓ 	∀␈ε↓∪
␈β⊂~␈↓ ¬t␈ε(k␈↓ π
␈ε(k␈↓ π)␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈↓ λY␈ε"1
␈β⊂2␈↓ β@␈ε(T␈↓ βZ␈ε(g␈↓ βl␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ ε\␈ε6␈␈↓ λλ␈ε(g␈↓ 	*␈ε".␈↓ 
p␈ε"(28)
␈β⊂F␈↓ ¬-␈∧⊂F¬-α↓#␈↓ π␈∧⊂Fπα]␈↓ λ4␈∧⊂Fλ4α]
␈β⊂K␈↓ ¬-␈ε(k␈↓ ¬J␈ε"+␈αλ1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ π␈ε(k␈↓ π(␈ε"+␈ε(␈αλx␈↓ λ4␈ε(k␈↓ λP␈ε"+␈ε(␈αλx
␈β⊂b␈↓ ∧P␈ε+k␈↓ ∧a␈ε9∃␈ε%␈α␈1
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"348␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα$␈↓ α␈ε"Con␈α␈tin␈α␈uing,␈αw␈α␈e␈αsee␈αthat␈αif␈↓ ¬/␈ε(g␈↓ ¬M␈ε"has␈αa␈αbounded␈α|rst␈αderiv␈α⎇ativ␈α␈e,␈αw␈α␈e␈αcan␈αdi{eren-
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"tiate␈αterm␈αby␈αterm␈αto␈αsh␈α↓o␈α␈w␈αthat␈↓ ¬O␈ε(T␈↓ ¬h␈ε(g␈↓ εε␈ε"does␈αalso:
␈ββ␈↓ ∧D␈ε↓␈ ␈↓ ∧[␈ε↓␈ ␈↓ λβ␈ε↓!
␈ββ∞␈↓ ∧␈ε↓X
␈ββ↔␈↓ λ1␈ε↓∩␈↓ 	,␈ε↓∪
␈ββ_␈↓ ¬P␈ε(k␈↓ π⊂␈ε(k␈↓ π,␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈↓ λq␈ε"1
␈ββ(␈↓ αq␈ε90
␈ββ0␈↓ α-␈ε"(␈↓ α9␈ε(T␈↓ αS␈ε(g␈↓ αe␈ε")␈↓ αy␈ε"(␈ε(x␈ε")␈↓ β/␈ε"=␈ε6␈α
␈␈↓ εK␈ε6␈␈↓ λ ␈ε(g
␈ββD␈↓ ∧v␈∧βD∧vα↓J␈↓ ε{␈∧βDε{α↓∧␈↓ λK␈∧βDλKα]
␈ββF␈↓ ε0␈ε%2␈↓ πo␈ε%2
␈ββJ␈↓ ∧v␈ε"(␈↓ ¬α␈ε(k␈↓ ¬≡␈ε"+␈αλ1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ ε$␈ε")␈↓ ε{␈ε"(␈↓ ππ␈ε(k␈↓ π#␈ε"+␈ε(␈αλx␈↓ πc␈ε")␈↓ λK␈ε(k␈↓ λh␈ε"+␈ε(␈αλx
␈ββa␈↓ ∧π␈ε+k␈↓ ∧↔␈ε9∃␈ε%1
␈β∧λ␈↓ 
0␈ε↓!
␈β∧∪␈↓ ¬
␈ε↓∩␈↓ πe␈ε↓∪␈↓ 	 ␈ε↓∩␈↓ 
~␈ε↓∪
␈β∧∀␈↓ ¬n␈ε(k␈↓ πε␈ε(k␈↓ π"␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈↓ λ7␈ε"1␈↓ 	←␈ε"1
␈β∧$␈↓ 	_␈ε90
␈β∧,␈↓ ∧a␈ε"+␈↓ εU␈ε6␈␈↓ 	ε␈ε(g
␈β∧@␈↓ ¬'␈∧∧@¬'α↓#␈↓ π¬␈∧∧@π¬α]␈↓ π␈␈∧∧@π␈α↓∧␈↓ 	:␈∧∧@	:α]
␈β∧B␈↓ λs␈ε%2
␈β∧E␈↓ ¬'␈ε(k␈↓ ¬C␈ε"+␈αλ1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ π¬␈ε(k␈↓ π!␈ε"+␈ε(␈αλx␈↓ π␈␈ε"(␈↓ λ␈ε(k␈↓ λ'␈ε"+␈ε(␈αλx␈↓ λg␈ε")␈↓ 	:␈ε(k␈↓ 	V␈ε"+␈ε(␈αλx
␈β¬
␈↓ ∧D␈ε↓␈ 
␈β¬∂␈↓ ∧␈ε↓X
␈β¬_␈↓ ε,␈ε↓∩␈↓ εT␈ε↓∩␈↓ πN␈ε↓∪␈↓ λ*␈ε↓∩␈↓ 	j␈ε↓∪␈↓ 
␈ε↓∪
␈β¬→␈↓ ¬9␈ε(k␈↓ π∪␈ε"1␈↓ 	␈ε"1
␈β¬1␈↓ β/␈ε"=␈ε6␈α
␈␈↓ εB␈ε(g␈↓ πl␈ε6␈␈↓ λ_␈ε(g
␈β¬E␈↓ ∧←␈∧¬E∧←α↓J␈↓ εn␈∧¬Eεnα]␈↓ λD␈∧¬EλDα↓#
␈β¬G␈↓ ε→␈ε%2
␈β¬K␈↓ ∧←␈ε"(␈↓ ∧k␈ε(k␈↓ ¬π␈ε"+␈αλ1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ ε
␈ε")␈↓ εn␈ε(k␈↓ π
␈ε"+␈ε(␈αλx␈↓ λD␈ε(k␈↓ λ`␈ε"+␈αλ1␈αλ+␈ε(␈αλx
␈β¬a␈↓ ∧π␈ε+k␈↓ ∧↔␈ε9∃␈ε%1
␈βε	␈↓ λ|␈ε↓!
␈βε∀␈↓ πl␈ε↓∩␈↓ λf␈ε↓∪
␈βε∃␈↓ εα␈ε"1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ λ+␈ε"1
␈βε%␈↓ πd␈ε90
␈βε-␈↓ ∧a␈ε"+␈↓ πR␈ε(g␈↓ 	→␈ε".
␈βεA␈↓ ¬⊃␈∧εA¬⊃αα>␈↓ λε␈∧εAλεα]
␈βεC␈↓ ε¬␈ε%3
␈βεF␈↓ ¬⊃␈ε"(␈↓ ¬≥␈ε(k␈↓ ¬9␈ε"+␈ε(␈αλx␈↓ ¬y␈ε")␈↓ ε∀␈ε"(␈↓ ε ␈ε(k␈↓ ε<␈ε"+␈αλ1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ λε␈ε(k␈↓ λ"␈ε"+␈ε(␈αλx
␈βπ
␈↓ 	a␈ε90␈↓ ∞␈ε90
␈βπ⊂␈↓ ↓H␈ε"There␈α⊂is␈α⊂consequen␈α␈tly␈α⊂a␈α⊃third␈α⊂linear␈α⊂operator,␈↓ π<␈ε(U␈↓ πZ␈ε",␈α⊃such␈α⊂that␈α⊃(␈↓ 	*␈ε(T␈↓ 	C␈ε(g␈↓ 	U␈ε")␈↓ 	z␈ε"=␈ε6␈α⊃␈␈↓ 
S␈ε(U␈↓ 
q␈ε"(␈↓ 
⎇␈ε(g␈↓ ⊗␈ε"),
␈βπ;␈↓ ↓H␈ε"namely
␈βπq␈↓ ¬2␈ε↓Z
␈βπw␈↓ ¬V␈ε%1␈α↓/(␈↓ ¬␈␈ε+k␈↓ ε⊂␈ε%+␈ε+␈α␈x␈ε%␈α↓)
␈βπy␈↓ βD␈ε↓␈ 
␈βπ{␈↓ β␈ε↓X
␈βλ¬␈↓ ∧:␈ε(k
␈βλ≥␈↓ ↓l␈ε(U␈↓ α	␈ε(⎇␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ εk␈ε(⎇␈ε"(␈ε(t␈ε")␈ε(␈αεdt
␈βλ1␈↓ β←␈∧λ1β←α↓J
␈βλ3␈↓ ¬→␈ε%2
␈βλ7␈↓ β←␈ε"(␈↓ βk␈ε(k␈↓ ∧π␈ε"+␈αλ1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ ¬
␈ε")
␈βλ@␈↓ ¬F␈ε%1␈α↓/(␈↓ ¬o␈ε+k␈↓ ε␈ε%+␈α␈1␈α↓+␈ε+␈α␈x␈ε%␈α↓)
␈βλM␈↓ βπ␈ε+k␈↓ β↔␈ε9∃␈ε%1
␈βλm␈↓ 
π␈ε↓!
␈βλx␈↓ λw␈ε↓∩␈↓ 	q␈ε↓∪
␈βλy␈↓ π∞␈ε"1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ 	6␈ε"1
␈β	⊃␈↓ ¬l␈ε"+␈↓ λ↑␈ε(⎇␈↓ 
≡␈ε".␈↓ 
p(29)
␈β	&␈↓ ε≤␈∧	&ε≤αα>␈↓ 	⊃␈∧	&	⊃α]
␈β	(␈↓ π⊂␈ε%3
␈β	+␈↓ ε≤␈ε"(␈↓ ε(␈ε(k␈↓ εD␈ε"+␈ε(␈αλx␈↓ π∧␈ε")␈↓ π∨␈ε"(␈↓ π+␈ε(k␈↓ πH␈ε"+␈αλ1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ 	⊃␈ε(k␈↓ 	-␈ε"+␈ε(␈αλx
␈β	r␈↓ α␈ε"What␈αis␈αthe␈αrelev␈α⎇ance␈αof␈αall␈αthis␈αto␈αour␈αproblem?␈α⊂Well,␈αif␈αw␈α␈e␈αset
␈β
∀␈↓ λα␈ε↓␈␈↓ 	≡␈ε↓↓
␈β
3␈↓ ¬β␈ε(F␈↓ ¬-␈ε"(␈ε(x␈ε")␈↓ ¬c␈ε"=␈↓ ε⊃␈ε"lg␈↓ ε-␈ε"(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈αλ+␈↓ πS␈ε(R␈↓ λ⊂␈ε"lg␈↓ λ,␈ε"(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ 	,␈ε",␈↓ 
p␈ε"(30)
␈β
?␈↓ ¬~␈ε+n␈↓ πo␈ε+n
␈β
i␈↓ εO␈ε↓␈␈↓ πS␈ε↓␈␈↓ λo␈ε↓↓␈↓ λ⎇␈ε↓↓
␈β
p␈↓ ε'␈ε"1
␈β␈↓ ¬∨␈ε90␈↓ πA␈ε90
␈βλ␈↓ ββ␈ε(f␈↓ β'␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈α
(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ ¬β␈ε(F␈↓ ¬-␈ε"(␈ε(x␈ε")␈↓ ¬c␈ε"=␈↓ ε]␈ε"1␈αλ+␈↓ π#␈ε(R␈↓ πa␈ε"lg␈↓ π⎇␈ε"(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ 	␈ε",␈↓ 
p␈ε"(31)
␈β∀␈↓ β∀␈ε+n
␈β→␈↓ ¬~␈ε+n␈↓ πA␈ε+n
␈β≤␈↓ ε∃␈∧≤ε∃α6
␈β"␈↓ ε∃␈ε"ln␈↓ ε9␈ε"2
␈βU␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βb␈↓ ¬<␈ε↓␈␈↓ εX␈ε↓↓␈↓ εf␈ε↓∞␈↓ ε{␈ε↓␈␈↓ λX␈ε↓↓
␈βy␈↓ ∧~␈ε90␈↓ ¬)␈ε900␈↓ πW␈ε%2
␈β↓␈↓ ∧∧␈ε(f␈↓ ∧(␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ ¬␈ε(R␈↓ ¬J␈ε"lg␈↓ ¬f␈ε"(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ π	␈ε"(␈↓ π∃␈ε"ln␈↓ π9␈ε"2␈↓ πK␈ε")␈↓ πf␈ε"(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ λf␈ε";␈↓ 
p␈ε"(32)
␈β⊃␈↓ ∧∃␈ε+n␈↓ ¬)␈ε+n
␈β<␈↓ ↓H␈ε"the␈α
e{ect␈αof␈αthe␈↓ βG␈ε"lg␈↓ βc␈ε"(1␈α¬+␈ε(␈αεx␈ε")␈αterm␈α
disappears,␈αa$er␈αthese␈αtransformations.␈α∂F␈α⎇urther-
␈βa␈↓ βw␈ε+n␈↓ ε;␈ε+n␈↓ πV␈ε90␈↓ λk␈ε+n␈↓ 	≠␈ε+n␈↓ 	C␈ε90
␈βg␈↓ ↓H␈ε"m␈α↓ore␈αsince␈↓ α{␈ε(F␈↓ β/␈ε"=␈↓ β↑␈ε(S␈↓ ∧	␈ε(F␈↓ ∧<␈ε"w␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ ¬D␈ε(f␈↓ ¬s␈ε"=␈↓ ε!␈ε(T␈↓ εN␈ε(f␈↓ ε{␈ε"and␈↓ πA␈ε(f␈↓ πo␈ε"=␈α
(␈ε6␈␈ε"1␈↓ λ←␈ε")␈↓ λ⎇␈ε(U␈↓ 	-␈ε(f␈↓ 	R␈ε";␈αand␈αboth␈↓ β␈ε(F
␈βt␈↓ β∩␈ε+n␈↓ ∧ ␈ε%0␈↓ ¬V␈ε+n␈↓ ε←␈ε%0␈↓ ~␈ε+n
␈βx␈↓ πR␈ε+n␈↓ 	C␈ε%0
␈β
∪␈↓ ↓H␈ε"and␈↓ α∞␈ε(f␈↓ α>␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈αbounded␈αderiv␈α⎇ativ␈α␈es,␈αby␈αinduction␈αon␈ε(␈αn␈ε".␈α⊂Th␈α␈us␈α(32)␈αbecomes
␈β
∨␈↓ α∨␈ε+n
␈β
7␈↓ ∧b␈ε↓␈␈↓ ¬}␈ε↓↓
␈β
M␈↓ ∧∨␈ε+n␈↓ ∧O␈ε900␈↓ λ∧␈ε%2␈↓ λ6␈ε+n␈↓ λ↑␈ε90
␈β
U␈↓ βQ␈ε"(␈ε6␈␈ε"1␈↓ ∧∪␈ε")␈↓ ∧1␈ε(R␈↓ ∧p␈ε"lg␈↓ ¬␈ε"(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ ε⊗␈ε"=␈α
(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")(␈↓ πB␈ε"ln␈↓ πf␈ε"2␈↓ πx␈ε")␈↓ λ→␈ε(U␈↓ λI␈ε(f␈↓ λm␈ε"(␈ε(x␈ε").␈↓ 
p␈ε"(33)
␈β
f␈↓ ∧O␈ε+n␈↓ λ↑␈ε%0
␈β∞∩␈↓ ε7␈ε90
␈β∞_␈↓ ↓H␈ε"No␈α␈w␈↓ α≥␈ε(F␈↓ αC␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈ε(␈α
x␈ε",␈↓ βZ␈ε(f␈↓ β{␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈α
1␈α	+␈ε(␈α
x␈ε",␈α∞and␈↓ ε"␈ε(f␈↓ εF␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α∞is␈α∞the␈α∞constan␈α␈t␈α∞function␈α∞1.␈α⊗We␈α
are
␈β∞$␈↓ α4␈ε%0␈↓ βk␈ε%0
␈β∞(␈↓ ε7␈ε%0
␈β∞=␈↓ ¬i␈ε+n
␈β∞C␈↓ ↓H␈ε"going␈αto␈αsh␈α↓o␈α␈w␈α
that␈αthe␈αoperator␈↓ ¬K␈ε(U␈↓ ελ␈ε"tak␈α␈es␈αthe␈αconstan␈α␈t␈α
function␈αin␈α␈to␈αa␈αfunction
␈β∞h␈↓ ¬@␈ε900
␈β∞n␈↓ ↓H␈ε"with␈α
v␈α␈ery␈αsmall␈αv␈α⎇alues,␈αhence␈ε6␈αj␈↓ ¬#␈ε(R␈↓ ¬S␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε6j␈ε"␈αm␈α␈ust␈αbe␈α
v␈α␈ery␈αsmall␈αfor␈α0␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
x␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
1.␈α∂Finally
␈β∞␈␈↓ ¬@␈ε+n
␈β∂→␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈αcan␈αclinch␈αthe␈αargumen␈α␈t␈αby␈αsh␈α↓o␈α␈wing␈αthat␈↓ π␈ε(R␈↓ π:␈ε"(␈ε(x␈ε")␈αitself␈αis␈αsmall:␈αSince␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β∂&␈↓ π'␈ε+n
␈β∂E␈↓ ↓H␈ε(R␈↓ ↓v␈ε"(0)␈α∩=␈↓ αg␈ε(R␈↓ β⊗␈ε"(1)␈α∩=␈α⊃1,␈α∩it␈α⊂follo␈α␈ws␈α⊃from␈α⊂a␈α⊃w␈α␈ell-kn␈α↓o␈α␈wn␈α⊂in␈α␈terpolation␈α⊃form␈α␈ula␈α⊂(cf.
␈β∂Q␈↓ ↓d␈ε+n␈↓ ββ␈ε+n
␈β∂p␈↓ ↓H␈ε"exercise␈α4.6.4↑15␈αwith␈↓ ∧,␈ε(x␈↓ ∧Y␈ε"=␈α
0,␈↓ ¬/␈ε(x␈↓ ¬\␈ε"=␈ε(␈α
x␈ε",␈↓ ε4␈ε(x␈↓ εa␈ε"=␈α
1)␈αthat
␈β∂|␈↓ ∧@␈ε%0␈↓ ¬C␈ε%1␈↓ εH␈ε%2
␈β⊂(␈↓ πM␈ε↓␈␈↓ λ~␈ε↓↓
␈β⊂/␈↓ ε␈ε(x␈ε"(1␈ε6␈αλ␈␈ε(␈αλx␈ε")
␈β⊂?␈↓ π:␈ε900
␈β⊂G␈↓ ∧L␈ε(R␈↓ ∧z␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈ε6␈α
␈␈↓ π≤␈ε(R␈↓ π[␈ε(_␈↓ πn␈ε"(␈ε(x␈ε")␈↓ 
p␈ε"(34)
␈β⊂S␈↓ ∧h␈ε+n
␈β⊂W␈↓ π:␈ε+n
␈β⊂[␈↓ ε␈∧⊂[εα↓ε
␈β⊂`␈↓ εF␈ε"2
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"for␈αsome␈αfunction␈↓ βh␈ε(_␈↓ β{␈ε"(␈ε(x␈ε"),␈αwhere␈α0␈ε6␈α
∀␈↓ ¬o␈ε(_␈↓ εβ␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
1␈αwhen␈α0␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
x␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
1.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λ4␈ε"'␈↓ 
v␈ε"349
␈β↓Z␈↓ ¬9␈ε.AN␈α␈AL␈α}Y␈α␈SIS␈α
O␈α␈F␈αEUCLI␈α␈D␈↓ λ>␈ε.S␈α
AL␈α␈GO␈α␈RIT␈α␈HM
␈βα≡␈↓ 	$␈ε+n
␈βα$␈↓ α␈ε"Th␈α␈us␈α
ev␈α␈erything␈α
hinges␈αon␈α
our␈α
being␈α
able␈α
to␈αpro␈α␈v␈α␈e␈α
that␈↓ 	π␈ε(U␈↓ 	D␈ε"produces␈αsmall
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"function␈α
v␈α⎇alues,␈α∞where␈↓ ∧7␈ε(U␈↓ ∧a␈ε"is␈α∞the␈α
linear␈α∞operator␈α
de|ned␈α∞in␈α
(29).␈α∃Note␈α
that␈↓ 
j␈ε(U␈↓ ∀␈ε"is
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"a␈ε/␈αpositiv␈α␈e␈ε"␈α
operator,␈α
in␈αthe␈α
sense␈α
that␈↓ ε~␈ε(U␈↓ ε8␈ε(⎇␈ε"␈α␈(␈ε(x␈ε")␈ε6␈α∃␈ε"␈α0␈α
for␈α
all␈ε(␈αx␈ε"␈α
if␈ε(␈α
⎇␈ε"␈α␈(␈ε(x␈ε")␈ε6␈α∃␈ε"␈α0␈αfor␈α
all␈ε(␈αx␈ε".
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"It␈α∞follo␈α␈ws␈α∂that␈↓ β;␈ε(U␈↓ βf␈ε"is␈α∂order-preserving:␈α⊃If␈↓ εN␈ε(⎇␈↓ εw␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε6␈α∞∀␈↓ πd␈ε(⎇␈↓ λ
␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α∞for␈α∂all␈ε(␈α∂x␈ε"␈α∞then␈α∂w␈α␈e␈α∞ha␈α␈v␈α␈e
␈ββ2␈↓ εh␈ε%1␈↓ π⎇␈ε%2
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε(U␈↓ ↓e␈ε(⎇␈↓ α∞␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε6␈α
∀␈↓ αr␈ε(U␈↓ β∂␈ε(⎇␈↓ β8␈ε"(␈ε(x␈ε")␈αfor␈αall␈ε(␈αx␈ε".
␈ββ]␈↓ ↓␈␈ε%1␈↓ β)␈ε%2
␈ββ|␈↓ α␈ε"One␈α∞w␈α␈a␈α␈y␈α∞to␈α
exploit␈α∞this␈α∞propert␈α␈y␈α∞is␈α
to␈α∞|nd␈α∞a␈α∞function␈ε(␈α∞⎇␈ε"␈α
for␈α∞which␈α∞w␈α␈e␈α
can
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"calculate␈↓ α\␈ε(U␈↓ αy␈ε(⎇␈ε"␈α
exactly␈α
and␈α
to␈αuse␈α
constan␈α␈t␈α
m␈α␈ultiples␈α
of␈αthis␈α
function␈α
to␈α
bound␈α
the
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"ones␈αthat␈αw␈α␈e␈αare␈αreally␈αin␈α␈terested␈αin.␈α⊂First␈αlet␈αus␈αlo␈α↓ok␈αfor␈αa␈αfunction␈↓ 	|␈ε(g␈↓ 
→␈ε"such␈αthat
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε(T␈↓ ↓a␈ε(g␈↓ ↓␈␈ε"is␈αeasy␈αto␈αcompute.␈α⊂If␈αw␈α␈e␈αconsider␈αfunctions␈αde|ned␈αfor␈αall␈ε(␈αx␈ε6␈α
∃␈ε"␈α
0,␈αinstead␈αof
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε"only␈αon␈↓ αI␈ε"[␈↓ αS␈ε"0,␈αε1],␈αit␈αis␈αeasy␈αto␈αrem␈α↓o␈α␈v␈α␈e␈αthe␈αsummation␈αfrom␈α(25)␈αby␈αobserving␈αthat
␈β¬y␈↓ ∧D␈ε↓∩␈↓ ¬<␈ε↓∪␈↓ εj␈ε↓∩␈↓ πd␈ε↓∪␈↓ λO␈ε↓∩␈↓ 	G␈ε↓∪
␈β¬z␈↓ ¬α␈ε"1␈↓ π)␈ε"1␈↓ 	
␈ε"1
␈βε∩␈↓ ↓H␈ε(S␈↓ ↓a␈ε(G␈ε"(␈ε(x␈ε"␈αβ+␈αβ1)␈ε6␈αα␈␈↓ β∞␈ε(S␈↓ β'␈ε(G␈ε"␈α↓(␈ε(x␈ε")␈α
=␈ε(␈α
G␈↓ ¬U␈ε6␈␈↓ ελ␈ε"lim␈↓ εM␈ε(G␈↓ λ∧␈ε"=␈ε(␈α
G␈↓ 	←␈ε6␈␈ε(␈αβG␈ε"(0)␈↓ 
p␈ε"(35)
␈βε'␈↓ ∧↑␈∧ε'∧↑α[␈↓ π∧␈∧ε'π∧α]␈↓ λi␈∧ε'λiα[
␈βε,␈↓ ∧↑␈ε"1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ π∧␈ε(k␈↓ π ␈ε"+␈ε(␈αλx␈↓ λi␈ε"1␈αλ+␈ε(␈αλx
␈βε3␈↓ ¬|␈ε+k␈↓ ε␈ε9!1
␈βεa␈↓ ¬W␈ε↓␈␈↓ πβ␈ε↓↓
␈βεy␈↓ ε{␈ε90␈↓ 	&␈ε90
␈βε␈␈↓ ↓H␈ε"when␈ε(␈α∩G␈ε"␈α∩is␈α∪con␈α␈tin␈α␈uous.␈α"Since␈↓ ¬=␈ε(T␈↓ ¬e␈ε"(1␈α+␈ε(␈αx␈ε")␈↓ ε←␈ε(G␈↓ π&␈ε"=␈α∀(1␈α+␈ε(␈αx␈ε")(␈↓ λd␈ε(S␈↓ λ⎇␈ε(G␈↓ 	~␈ε")␈↓ 	.␈ε",␈α∪it␈α∩follo␈α␈ws␈α∩(see
␈βπ+␈↓ ↓H␈ε"exercise␈α20)␈αthat
␈βπ{␈↓ ε
␈ε↓∩␈↓ λ≠␈ε↓∪␈↓ λC␈ε↓∩␈↓ 	;␈ε↓∪
␈βπ|␈↓ β≡␈ε(T␈↓ β8␈ε(g␈↓ βJ␈ε"(␈ε(x␈ε")␈↓ ∧3␈ε(T␈↓ ∧M␈ε(g␈↓ ∧←␈ε"(␈ε(x␈ε"␈αλ+␈αλ1)␈↓ εK␈ε"1␈↓ πa␈ε"1␈↓ 	↓␈ε"1
␈βλ∀␈↓ ∧β␈ε6␈␈↓ ¬←␈ε"=␈↓ π
␈ε6␈␈↓ λ1␈ε(g␈↓ 	Q␈ε".␈↓ 
p␈ε"(36)
␈βλ(␈↓ β≥␈∧λ(β≥αZ␈↓ ∧3␈∧λ(∧3α↓≡␈↓ ε'␈∧λ(ε'αZ␈↓ π=␈∧λ(π=αZ␈↓ λ]␈∧λ(λ]α[
␈βλ.␈↓ β≥␈ε(x␈ε"␈αλ+␈αλ1␈↓ ∧U␈ε(x␈ε"␈αλ+␈αλ2␈↓ ε'␈ε(x␈ε"␈αλ+␈αλ1␈↓ π=␈ε(x␈ε"␈αλ+␈αλ2␈↓ λ]␈ε"1␈αλ+␈ε(␈αλx
␈βλ}␈↓ ↓H␈ε"If␈α⊂w␈α␈e␈α∂set␈↓ αd␈ε(T␈↓ α}␈ε(g␈↓ β⊂␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α⊂=␈α⊃1/(␈ε(x␈ε"␈α
+␈α1),␈α⊃w␈α␈e␈α⊂|nd␈α∂that␈α⊂the␈α⊂corresponding␈α⊂v␈α⎇alue␈α⊂of␈↓ 
G␈ε(g␈↓ 
Y␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α∂is
␈β	#␈↓ ε∧␈ε90␈↓ λf␈ε%2
␈β	)␈↓ ↓H␈ε"1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ α-␈ε6␈␈ε"␈α1/(1␈α+␈ε(␈α
x␈ε").␈α≡Let␈ε(␈α⊂⎇␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α⊃=␈↓ ¬r␈ε(g␈↓ ε␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α⊃=␈α∩1␈α+␈α
1/(1␈α+␈ε(␈αx␈↓ λZ␈ε")␈↓ λv␈ε",␈α⊃so␈α⊃that␈↓ 
∀␈ε(U␈↓ 
1␈ε(⎇␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α⊃=
␈β	N␈↓ α/␈ε90␈↓ ∧1␈ε%2
␈β	T␈↓ ↓H␈ε6␈␈ε"(␈↓ ↓x␈ε(T␈↓ α⊃␈ε(g␈↓ α#␈ε")␈↓ α7␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈α
1/(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ ∧%␈ε")␈↓ ∧@␈ε";␈αthis␈αis␈αthe␈αfunction␈ε(␈α⎇␈ε"␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αbeen␈αlo␈α↓oking␈αfor.
␈β	y␈↓ 	@␈ε%2
␈β	␈␈↓ α␈ε"F␈α⎇or␈α⊂this␈α⊂ch␈α↓oice␈α∂of␈ε(␈α⊂⎇␈ε"␈α⊂w␈α␈e␈α⊂ha␈α␈v␈α␈e␈α∂2␈ε6␈α⊃∀␈ε(␈α⊂⎇␈ε"(␈ε(x␈ε")/␈↓ π!␈ε(U␈↓ π>␈ε(⎇␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α⊂=␈α⊃(1␈α
+␈ε(␈αx␈↓ 	4␈ε")␈↓ 	Y␈ε"+␈α1␈ε6␈α⊂∀␈ε"␈α⊃5␈α∂for
␈β
+␈↓ ↓H␈ε"0␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
x␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
1,␈αhence
␈β
Q␈↓ ¬5␈ε%1␈↓ π
␈ε%1
␈β
V␈↓ ¬H␈ε(⎇␈ε6␈α
∀␈↓ ε~␈ε(U␈↓ ε7␈ε(⎇␈ε6␈α
∀␈↓ π ␈ε(⎇␈ε"␈α␈.
␈β
g␈↓ ¬5␈ε%5␈↓ π
␈ε%2
␈β
j␈↓ ¬5␈∧
j¬5α⊂␈↓ π
␈∧
jπ
α⊂
␈β→␈↓ ↓H␈ε"By␈αthe␈αpositivit␈α␈y␈αof␈↓ ∧∧␈ε(U␈↓ ∧,␈ε"and␈ε(␈α⎇␈ε"␈αw␈α␈e␈αcan␈αapply␈↓ εp␈ε(U␈↓ π_␈ε"to␈αthis␈αinequalit␈α␈y␈αagain,␈αobtaining
␈β>␈↓ βc␈ε%2
␈β@␈↓ ↓S␈ε%1␈↓ αD␈ε%1␈↓ ∧H␈ε%1␈↓ ¬N␈ε%1
␈βD␈↓ ↓n␈ε(⎇␈ε6␈α
∀␈↓ αW␈ε(U␈↓ αt␈ε(⎇␈ε6␈α
∀␈↓ βF␈ε(U␈↓ βr␈ε(⎇␈ε6␈α
∀␈↓ ∧[␈ε(U␈↓ ∧y␈ε(⎇␈ε6␈α	∀␈↓ ¬b␈ε(⎇␈ε"␈α␈;␈αand␈αa$er␈ε(␈αn␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ1␈αapplications␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βU␈↓ ↓L␈ε%25␈↓ αD␈ε%5␈↓ ∧H␈ε%2␈↓ ¬N␈ε%4
␈βX␈↓ ↓L␈∧X↓Lα∨␈↓ αD␈∧XαDα⊂␈↓ ∧H␈∧X∧Hα⊂␈↓ ¬N␈∧X¬Nα⊂
␈β⊂␈↓ ¬∪␈ε9␈␈ε+n␈↓ ε2␈ε+n␈↓ π)␈ε9␈␈ε+␈α␈n
␈β_␈↓ ¬↓␈ε"5␈↓ ¬D␈ε(⎇␈ε6␈α	∀␈↓ ε∃␈ε(U␈↓ εE␈ε(⎇␈ε6␈α
∀␈↓ π↔␈ε"2␈↓ πY␈ε(⎇␈↓ 
p␈ε"(37)
␈βf␈↓ ¬|␈ε90
␈βl␈↓ ↓H␈ε"for␈α
this␈α
particular␈ε(␈α
⎇␈ε"␈α␈.␈α∪Let␈ε(␈α
∨␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α=␈↓ ¬g␈ε(f␈↓ ε␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α=␈α1␈α
be␈α
the␈α
constan␈α␈t␈α
function;␈α
then␈α
for
␈β⎇␈↓ ¬|␈ε%0
␈β
∪␈↓ ∧λ␈ε%5
␈β
↔␈↓ ↓H␈ε"0␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
x␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
1␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ ∧≠␈ε(∨␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
⎇␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
2␈ε(∨␈ε",␈αhence
␈β
(␈↓ ∧λ␈ε%4
␈β
+␈↓ ∧λ␈∧
+∧λα⊂
␈β
e␈↓ αO␈ε9␈␈ε+␈α␈n␈↓ βw␈ε9␈␈ε+n␈↓ ¬-␈ε+n␈↓ ε/␈ε+n␈↓ πE␈ε+n␈↓ λR␈ε9␈␈ε+n␈↓ 	}␈ε9␈␈ε+␈α␈n
␈β
g␈↓ α)␈ε%5␈↓ βR␈ε%1␈↓ ∧⎇␈ε%1␈↓ π∀␈ε%4␈↓ λ-␈ε%4␈↓ 	X␈ε%8
␈β
k␈↓ α=␈ε"5␈↓ α␈␈ε(∨␈ε6␈α
∀␈↓ βe␈ε"5␈↓ ∧'␈ε(⎇␈ε6␈α
∀␈↓ ¬⊂␈ε(U␈↓ ¬@␈ε(⎇␈ε6␈α
∀␈↓ ε∩␈ε(U␈↓ εA␈ε(∨␈ε6␈α
∀␈↓ π(␈ε(U␈↓ πW␈ε(⎇␈ε6␈α
∀␈↓ λ@␈ε"2␈↓ 	β␈ε(⎇␈ε6␈α	∀␈↓ 	l␈ε"2␈↓ 
.␈ε(∨␈ε".
␈β
|␈↓ α)␈ε%8␈↓ βR␈ε%2␈↓ ∧⎇␈ε%2␈↓ π∀␈ε%5␈↓ λ-␈ε%5␈↓ 	X␈ε%5
␈β
␈␈↓ α)␈∧
␈α)α⊂␈↓ βR␈∧
␈βRα⊂␈↓ ∧⎇␈∧
␈∧⎇α⊂␈↓ π∀␈∧
␈π∀α⊂␈↓ λ-␈∧
␈λ-α⊂␈↓ 	X␈∧
␈	Xα⊂
␈β∞?␈↓ ↓H␈ε"It␈αfollo␈α␈ws␈αby␈α(33)␈αthat
␈β∂␈↓ βF␈ε%2␈↓ βg␈ε9␈␈ε+␈α␈n␈↓ ¬≥␈ε+n␈↓ ¬M␈ε900␈↓ π8␈ε%2␈↓ πY␈ε9␈␈ε+n
␈β∂∞␈↓ αd␈ε%5␈↓ εH␈ε%16
␈β∂∪␈↓ αx␈ε"(␈↓ β∧␈ε"ln␈↓ β(␈ε"2␈↓ β:␈ε")␈↓ βU␈ε"5␈↓ ∧!␈ε6∀␈ε"␈α
(␈ε6␈␈ε"1␈↓ ¬⊃␈ε")␈↓ ¬0␈ε(R␈↓ ¬`␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε6␈α
∀␈↓ εj␈ε"(␈↓ εv␈ε"ln␈↓ π~␈ε"2␈↓ π,␈ε")␈↓ πG␈ε"2␈↓ λ
␈ε",␈↓ λb0␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
x␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
1,
␈β∂$␈↓ αd␈ε%8␈↓ ¬M␈ε+n␈↓ εO␈ε%5
␈β∂'␈↓ αd␈∧∂'αdα⊂␈↓ εH␈∧∂'εHα∨
␈β∂g␈↓ ↓H␈ε"hence␈αby␈α(30)␈αand␈α(34)␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αresult:
␈β⊂(␈↓ 
f␈ε9␈␈ε+n
␈β⊂.␈↓ ↓H␈ε2Theorem␈αλW.␈ε/␈αThe␈αλdistribution␈↓ ¬≠␈ε(F␈↓ ¬E␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε/␈αλis␈αλasymptotically␈αλequal␈αλto␈↓ 		␈ε"lg␈↓ 	%␈ε"(1+␈ε(x␈ε")␈α↓+␈↓ 
,␈ε(O␈↓ 
H␈ε"(␈↓ 
T␈ε"2␈↓ ⊗␈ε")␈ε/.
␈β⊂:␈↓ ¬2␈ε+n
␈β⊂B␈↓ λ*␈ε↓␈␈↓ 	H␈ε↓↓␈↓ 	V␈ε↓␈␈↓ ≡␈ε↓↓
␈β⊂Z␈↓ π(␈ε+n␈ε%+␈α␈1␈↓ πy␈ε9␈␈ε+n
␈β⊂\␈↓ ε?␈ε%5
␈β⊂`␈↓ ↓H␈ε/In␈αfact,␈↓ αF␈ε(F␈↓ αp␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ βP␈ε"lg␈↓ βl␈ε"(1␈α	+␈ε(␈αλx␈ε")␈ε/␈αlies␈αbet␈α␈w␈α␈een␈↓ εZ␈ε"(␈ε6␈␈ε"1␈↓ π≤␈ε")␈↓ πg␈ε"5␈↓ λ8␈ε"ln␈↓ λV␈ε"(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ 	d␈ε"ln␈↓ 
λ␈ε"2/(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")
␈β⊂m␈↓ α↑␈ε+n
␈β⊂q␈↓ ε8␈ε%16
␈β⊂t␈↓ βv␈ε↓␈␈↓ ¬∀␈ε↓↓␈↓ ¬"␈ε↓␈␈↓ ε8␈∧⊂tε8α∨␈↓ εj␈ε↓↓
␈β⊃
␈↓ αt␈ε+n␈ε%+1␈↓ βF␈ε9␈␈ε+␈α␈n
␈β⊃∞␈↓ α∪␈ε%8
␈β⊃∪␈↓ ↓H␈ε/and␈↓ α&␈ε"(␈ε6␈␈ε"1␈↓ αh␈ε")␈↓ β4␈ε"2␈↓ ∧∧␈ε"ln␈↓ ∧"␈ε"(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ ¬0␈ε"ln␈↓ ¬T␈ε"2/(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈↓ εx␈ε/,␈αfor␈ε"␈α0␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
x␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
1.
␈β⊃≤␈↓ 	 ␈∧⊃≤	 ≠∂
␈β⊃#␈↓ α∪␈ε%5
␈β⊃'␈↓ α∪␈∧⊃'α∪α⊂
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"350␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα"␈↓ α␈ε"With␈α
a␈αsligh␈α␈tly␈α
di{eren␈α␈t␈αch␈α↓oice␈α
of␈ε(␈α⎇␈ε",␈αw␈α␈e␈α
can␈αobtain␈α
tigh␈α␈ter␈αbounds␈α
(see␈αex-
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"ercise␈α21).␈α⊂In␈αfact,␈↓ βr␈ε"Wirsing␈αw␈α␈en␈α␈t␈αm␈α␈uch␈αfurther␈αin␈αhis␈αpaper,␈αpro␈α␈ving␈αthat
␈ββ
␈↓ π'␈ε↓␈␈↓ 
↓␈ε↓↓
␈ββ!␈↓ ¬|␈ε+n␈↓ 	n␈ε+n
␈ββ)␈↓ α[␈ε(F␈↓ β¬␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ βi␈ε"lg␈↓ ∧¬␈ε"(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈αλ+␈αλ(␈ε6␈␈ε(∃␈↓ ¬p␈ε")␈↓ ε∂␈ε"␈	(␈ε(x␈ε")␈αλ+␈↓ π␈ε(O␈↓ π5␈ε(x␈ε"(1␈ε6␈αλ␈␈ε(␈αλx␈ε")(␈ε(∃␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ0.031␈↓ 	b␈ε")␈↓ 
∂␈ε",␈↓ 
p␈ε"(38)
␈ββ5␈↓ αs␈ε+n
␈β∧∧␈↓ ↓H␈ε"where
␈β∧%␈↓ α{␈ε(∃␈↓ β~␈ε"=␈α
0.30366␈αλ30028␈αλ98732␈αλ65860␈↓ εl␈ε".␈αε.␈αε.
␈β∧A␈↓ 
p␈ε"(39)
␈β∧[␈↓ β~␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"3,␈αε3,␈αε2,␈αε2,␈αε3,␈αε13,␈αε1,␈αε174,␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε2,␈αε2,␈αε2,␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε2,␈αε2,␈αε1,␈↓ 	8␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	h␈ε6?
␈β¬!␈↓ ↓H␈ε"is␈α	a␈α	fundamen␈α␈tal␈α	constan␈α␈t␈α
(apparen␈α␈tly␈α	unrelated␈α	to␈α	m␈α↓ore␈α	familiar␈α
constan␈α␈ts),␈α	and
␈β¬L␈↓ ↓H␈ε"where␈α
␈	␈α∞is␈α∞an␈α
in␈α␈teresting␈α∞function␈α∞that␈α
is␈α∞analytic␈α∞in␈α
the␈α∞en␈α␈tire␈α∞complex␈α
plane
␈β¬w␈↓ ↓H␈ε"except␈α
for␈α∞the␈α
negativ␈α␈e␈α∞real␈α
axis␈α∞from␈ε6␈α
␈␈ε"1␈α∞to␈ε6␈α
␈1␈ε".␈α∀Wirsing's␈α∞function␈α
satis|es
␈βε≤␈↓ ∧#␈ε90
␈βε"␈↓ ↓H␈ε"␈	(0)␈α∂=␈α⊂␈	(1)␈α⊂=␈α⊂0,␈↓ ∧π␈ε"␈	␈↓ ∧+␈ε"(0)␈α⊂<␈α⊂0,␈α⊂and␈↓ ε∞␈ε(S␈↓ ε'␈ε"␈	␈α⊂=␈ε6␈α⊂␈␈ε(∃␈ε"␈	;␈α⊃th␈α␈us␈α⊂by␈α∂(35)␈α⊂it␈α∂satis|es␈α∂the
␈βεM␈↓ ↓H␈ε"iden␈α␈tit␈α␈y
␈βεx␈↓ π+␈ε↓∩␈↓ λ"␈ε↓∪
␈βεy␈↓ εw␈ε"1␈↓ πh␈ε"1
␈βπ⊃␈↓ ∧2␈ε"␈	(␈↓ ∧Z␈ε(z␈↓ ∧m␈ε")␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ␈	(␈↓ ¬U␈ε(z␈↓ ¬p␈ε"+␈αλ1)␈α
=␈↓ π∂␈ε"␈	␈↓ λ8␈ε".␈↓ 
p␈ε"(40)
␈βπ%␈↓ εv␈∧π%εvα∃␈↓ πE␈∧π%πEαY
␈βπ+␈↓ εv␈ε(∃␈↓ πE␈ε"1␈αλ+␈↓ λ␈ε(z
␈βπn␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇urtherm␈α↓ore,␈αWirsing␈αdem␈α↓onstrated␈αthat
␈βλC␈↓ β2␈ε↓∩␈↓ ∧g␈ε↓∪
␈βλE␈↓ βp␈ε(u␈↓ ∧L␈ε(i
␈βλU␈↓ ¬Z␈ε9␈␈ε+␈α␈n
␈βλ]␈↓ β⊗␈ε"␈	␈↓ βH␈ε6␈␈↓ ∧⊂␈ε"+␈↓ ¬π␈ε"=␈ε(␈α
c␈↓ ¬E␈ε(∃␈↓ ε⊂␈ε"log␈↓ εD␈ε(N␈↓ εo␈ε"+␈↓ π≠␈ε(O␈↓ π7␈ε"(1)␈↓ λ)␈ε"as␈↓ λU␈ε(N␈↓ 	α␈ε6!␈α
1␈ε",␈↓ 
p␈ε"(41)
␈βλq␈↓ βp␈∧λqβpα∃␈↓ ∧@␈∧λq∧@α#
␈βλv␈↓ βq␈ε(v␈↓ ∧@␈ε(N
␈β	M␈↓ ↓H␈ε"where␈ε(␈αc␈ε"␈αis␈αa␈αconstan␈α␈t␈αand␈ε(␈αn␈ε"␈α	=␈↓ ¬0␈ε(T␈↓ ¬J␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ ¬{␈ε(v␈↓ ε∞␈ε")␈αis␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αiterations␈αwhen␈αEuclid's
␈β	x␈↓ ↓H␈ε"algorithm␈αis␈αapplied␈αto␈αthe␈αin␈α␈tegers␈ε(␈αu␈ε"␈α	>␈↓ εI␈ε(v␈↓ εf␈ε">␈α
0.
␈β
%␈↓ α␈ε"A␈α
complete␈αsolution␈α
to␈αGauss's␈α
problem␈αw␈α␈as␈α
found␈αa␈α
few␈αy␈α␈ears␈α
later␈αby␈α
K.␈α
I.
␈β
P␈↓ ↓H␈ε"Babenk␈α␈o␈α	[␈ε/Doklady␈α
Ak␈α⎇ad.␈α
Nauk␈α
SSSR␈↓ ε_␈ε2238␈ε"␈α	(1978),␈α1021↑1024],␈α
wh␈α↓o␈α
used␈α	po␈α␈w␈α␈erful
␈β
|␈↓ ↓H␈ε"techniques␈αof␈αfunctional␈αanalysis␈αto␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αthat
␈β5␈↓ πβ␈ε↓X
␈βO␈↓ πV␈ε+n
␈βW␈↓ ∧/␈ε(F␈↓ ∧Y␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ ¬=␈ε"lg␈↓ ¬Y␈ε"(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε")␈αλ+␈↓ πA␈ε(∃␈↓ πn␈ε"␈	␈↓ λ→␈ε"(␈ε(x␈ε")␈↓ 
p␈ε"(42)
␈βc␈↓ ∧F␈ε+n␈↓ λ
␈ε+j
␈βh␈↓ πV␈ε+j
␈βπ␈↓ ε␈␈ε+j␈↓ π∞␈ε9∃␈ε%␈α␈2
␈βF␈↓ ↓H␈ε"for␈α∞all␈α∞0␈ε6␈α∞∀␈ε(␈α∞x␈ε6␈α
∀␈ε"␈α∞1,␈ε(␈α∂n␈ε6␈α
∃␈ε"␈α∞1.␈α↔Here␈ε6␈α∞j␈↓ ¬n␈ε(∃␈↓ ε∩␈ε6j␈ε"␈α∞>␈ε6␈α∞j␈↓ εf␈ε(∃␈↓ π
␈ε6j␈α∞∃␈α
j␈↓ π]␈ε(∃␈↓ λα␈ε6j␈α
∃␈↓ λK␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ{␈ε",␈α∂and␈α∞each␈↓ 
0␈ε"␈	␈↓ 
[␈ε"(␈↓ 
g␈ε(z␈↓ 
z␈ε")␈α∞is
␈βR␈↓ εβ␈ε%2␈↓ ε{␈ε%3␈↓ πr␈ε%4␈↓ 
L␈ε+j
␈βq␈↓ ↓H␈ε"an␈α
analytic␈α∞function␈α∞in␈α
the␈α∞complex␈α∞plane␈α∞except␈α
for␈α∞a␈α∞cut␈α
at␈↓ 	-␈ε"[␈↓ 	7␈ε6␈1␈ε",␈ε6␈αε␈␈ε"1].␈α∃The
␈β
≤␈↓ ↓H␈ε"function␈↓ αX␈ε"␈	␈↓ β∩␈ε"is␈α∂Wirsing's␈α∂␈	,␈α∂and␈↓ ¬X␈ε(∃␈↓ ε
␈ε"=␈ε6␈α∂␈␈ε(∃␈ε",␈α∂while␈↓ πp␈ε(∃␈↓ λ"␈ε"=␈α∂0.1009.␈α_Babenk␈α␈o␈α∞also
␈β
)␈↓ αt␈ε%2␈↓ ¬m␈ε%2␈↓ λ¬␈ε%3
␈β
G␈↓ ↓H␈ε"established␈α
further␈α
properties␈αof␈α
the␈↓ ε∞␈ε(∃␈↓ ε3␈ε",␈α
pro␈α␈ving␈α
in␈α
particular␈α
that␈α
they␈αare␈α
ex-
␈β
T␈↓ ε#␈ε+j
␈β
s␈↓ ↓H␈ε"ponen␈α␈tially␈αsmall␈α
as␈↓ ∧
␈ε(j␈↓ ∧+␈ε6!␈α1␈ε",␈α
and␈αthat␈α
the␈α
sum␈αfor␈↓ πn␈ε(j␈↓ λ␈ε6∃␈↓ λ;␈ε(k␈↓ λ[␈ε"in␈α
(42)␈αis␈α
bounded␈αby
␈β∞_␈↓ ↓j␈ε%2␈↓ αb␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈β∞≡␈↓ ↓H␈ε"(␈↓ ↓T␈ε(→␈↓ ↓y␈ε"/6)␈ε6j␈↓ α3␈ε(∃␈↓ αX␈ε6j␈↓ β(␈ε"min␈↓ βd␈ε"(␈ε(x␈ε",␈αε1␈ε6␈αα␈␈ε(␈ααx␈ε").␈α∞[F␈α⎇urther␈α	information␈α	appears␈α	in␈α	a␈α	paper␈α	by␈α	Babenk␈α␈o
␈β∞*␈↓ αH␈ε+k
␈β∞A␈↓ α∂␈ε"~
␈β∞I␈↓ ↓H␈ε"and␈↓ α∞␈ε"I␈↓ α~␈ε"ur'ev,␈ε/␈αDoklady␈αAk␈α⎇ad.␈αNauk␈αSSSR␈↓ ε=␈ε2240␈ε"␈α(1978),␈α1273↑1276.]
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε2F␈α⎇rom␈α
con␈α␈tin␈α␈uous␈αto␈α
discrete.␈ε"␈α∀We␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈αn␈α↓o␈α␈w␈α
deriv␈α␈ed␈αresults␈α
about␈αthe␈α
probabilit␈α␈y
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"distributions␈α⊂for␈α⊂con␈α␈tin␈α␈ued␈α⊃fractions␈α⊂when␈↓ ε⎇␈ε(X␈↓ π0␈ε"is␈α⊂a␈α⊂real␈α⊃n␈α␈um␈α␈ber␈α⊂uniformly␈α⊂dis-
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"tributed␈α∂in␈α⊂the␈α∂in␈α␈terv␈α⎇al␈↓ ∧K␈ε"[␈↓ ∧[␈ε"0,␈αε1).␈α≠But␈α∂a␈α⊂real␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊂is␈α∂rational␈α⊂with␈α∂probabilit␈α␈y
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"zero␈α∞(alm␈α↓ost␈α∂all␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∂are␈α∞irrational),␈α∂so␈α∂these␈α∞results␈α∂do␈α∞n␈α↓ot␈α∂apply␈α∞directly
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"to␈α∞Euclid's␈α∞algorithm.␈α⊗Before␈α∞w␈α␈e␈α∞can␈α∞apply␈α∞Theorem␈α∞W␈α∞to␈α∞our␈α∞problem,␈α∞some
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"technicalities␈α∂m␈α␈ust␈α∂be␈α∂o␈α␈v␈α␈ercome.␈α~Consider␈α∂the␈α⊂follo␈α␈wing␈α∂observ␈α⎇ation␈α∂based␈α∂on
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"elemen␈α␈tary␈↓ β␈ε"measure␈αtheory:
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λ4␈ε"'␈↓ 
v␈ε"351
␈β↓Z␈↓ ¬9␈ε.AN␈α␈AL␈α}Y␈α␈SIS␈α
O␈α␈F␈αEUCLI␈α␈D␈↓ λ>␈ε.S␈α
AL␈α␈GO␈α␈RIT␈α␈HM
␈βα$␈↓ ↓H␈ε2Lemma␈αM.␈ε/␈α_Let␈↓ βL␈ε(I␈↓ βj␈ε/,␈↓ ∧␈ε(I␈↓ ∧≡␈ε/,␈↓ ∧4␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧d␈ε/,␈↓ ∧y␈ε(J␈↓ ¬≥␈ε/,␈↓ ¬3␈ε(J␈↓ ¬V␈ε/,␈↓ ¬l␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε"␈ε/be␈αpairwise␈αdisjoin␈α␈t␈αin␈α␈terv␈α⎇als␈αcon␈α␈tained␈αin
␈βα0␈↓ β[␈ε%1␈↓ ∧∂␈ε%2␈↓ ¬∞␈ε%1␈↓ ¬G␈ε%2
␈βαO␈↓ ↓H␈ε/the␈αin␈α␈terv␈α⎇al␈↓ βπ␈ε"[␈↓ β↔␈ε"0,␈αε1)␈ε/,␈αand␈αlet
␈ββ	␈↓ βg␈ε↓[␈↓ ¬t␈ε↓[
␈ββ+␈↓ β␈ε6I␈↓ β.␈ε"=␈↓ ∧∨␈ε(I␈↓ ∧?␈ε",␈↓ ¬↔␈ε6J␈↓ ¬;␈ε"=␈↓ ε,␈ε(J␈↓ εQ␈ε",␈↓ π)␈ε6K␈↓ πR␈ε"=␈↓ λ␈ε"[␈↓ λ
␈ε"0,␈αε1]␈ε6␈αλ∧␈ε"␈αλ(␈↓ λv␈ε6I␈↓ 	⊗␈ε6[␈↓ 	8␈ε6J␈↓ 	R␈ε").
␈ββ7␈↓ ∧.␈ε+k␈↓ εA␈ε+k
␈ββ[␈↓ β\␈ε+k␈↓ βm␈ε9∃␈ε%␈α␈1␈↓ ¬i␈ε+k␈↓ ¬y␈ε9∃␈ε%1
␈β∧,␈↓ ↓H␈ε/Assume␈αthat␈↓ β≠␈ε6K␈↓ βF␈ε/has␈αmeasure␈α
zero.␈α∩Let␈↓ ε1␈ε(P␈↓ εg␈ε/be␈αthe␈α
set␈ε6␈α
f␈ε"0/␈ε(n␈ε"␈α␈,␈αε1/␈ε(n␈ε",␈↓ 	4␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	d␈ε",␈αε(␈ε(n␈ε6␈αλ␈␈ε"␈α	1)/␈ε(n␈ε6␈α␈g␈ε/.
␈β∧9␈↓ εH␈ε+n
␈β∧W␈↓ ↓H␈ε/Then
␈β∧{␈↓ ¬X␈ε6k␈↓ ¬j␈ε6I␈↓ ε␈ε6\␈↓ ε-␈ε(P␈↓ εV␈ε6k
␈β¬λ␈↓ εC␈ε+n
␈β¬∪␈↓ ¬∞␈ε"lim␈↓ εv␈ε"=␈ε(␈α
⊗␈ε"␈α␈(␈↓ πE␈ε6I␈↓ π↑␈ε").␈↓ 
p␈ε"(43)
␈β¬'␈↓ ¬X␈∧¬'¬Xα↓⊂
␈β¬-␈↓ ε∃␈ε(n
␈β¬4␈↓ ¬↓␈ε+n␈ε9␈α␈!1
␈β¬R␈↓ πB␈ε↓P
␈β¬m␈↓ ↓H␈ε"Here␈ε(␈α	⊗␈ε"(␈↓ α;␈ε6I␈↓ αS␈ε")␈α
is␈α	the␈α
Lebesgue␈α
measure␈α	of␈↓ ε⊃␈ε6I␈↓ ε)␈ε",␈α
namely,␈↓ λ,␈ε"length␈↓ 	∞␈ε"(␈↓ 	~␈ε(I␈↓ 	9␈ε");␈αand␈↓ 
≥␈ε6k␈↓ 
/␈ε6I␈↓ 
O␈ε6\␈↓ 
q␈ε(P␈↓ ~␈ε6k
␈β¬z␈↓ 	)␈ε+k␈↓ λ␈ε+n
␈β¬␈␈↓ πh␈ε+k␈↓ πy␈ε9∃␈ε%1
␈βε_␈↓ ↓H␈ε"den␈α↓otes␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αelemen␈α␈ts␈αin␈αthe␈αset␈↓ εh␈ε6I␈↓ πλ␈ε6\␈↓ π*␈ε(P␈↓ πS␈ε".
␈βε%␈↓ π@␈ε+n
␈βεV␈↓ βx␈ε↓S␈↓ ε{␈ε↓S
␈βεq␈↓ ↓H␈ε/Pro␈α↓of.␈ε"␈α≥Let␈↓ β
␈ε6I␈↓ βF␈ε"=␈↓ ¬∩␈ε(I␈↓ ¬@␈ε"and␈↓ ελ␈ε6J␈↓ εI␈ε"=␈↓ λ∃␈ε(J␈↓ λ;␈ε".␈α⊗Giv␈α␈en␈ε(␈α∂∂␈ε"␈α
>␈α∞0,␈α∂|nd␈↓ 	␈ε(N
␈βε⎇␈↓ β≤␈ε+N␈↓ ¬!␈ε+k␈↓ ε∨␈ε+N␈↓ λ*␈ε+k
␈βπα␈↓ ∧⊗␈ε%1␈ε9∀␈↓ ∧C␈ε+k␈↓ ∧S␈ε9∀␈↓ ∧q␈ε+N␈↓ π→␈ε%1␈ε9∀␈↓ πF␈ε+k␈↓ πV␈ε9∀␈↓ πt␈ε+N
␈βπ%␈↓ ↓H␈ε"large␈αen␈α↓ough␈αso␈αthat␈ε(␈α⊗␈ε"␈α␈(␈↓ ∧8␈ε6I␈↓ ∧f␈ε")␈αλ+␈ε(␈αλ⊗␈ε"(␈↓ ¬H␈ε6J␈↓ ¬{␈ε")␈ε6␈α
∃␈ε"␈α
1␈ε6␈αλ␈␈ε(␈αλ∂␈ε"␈α␈,␈αand␈αlet
␈βπ1␈↓ ∧J␈ε+N␈↓ ¬←␈ε+N
␈βπ↑␈↓ ε∃␈ε↓[␈↓ πB␈ε↓[
␈βλ↓␈↓ ∧D␈ε6K␈↓ ¬∧␈ε"=␈↓ ¬2␈ε6K␈↓ ¬b␈ε6[␈↓ εT␈ε(I␈↓ π∂␈ε6[␈↓ λ↓␈ε(J␈↓ λ&␈ε".
␈βλ
␈↓ ∧↑␈ε+N␈↓ εc␈ε+k␈↓ λ∃␈ε+k
␈βλ1␈↓ ε∧␈ε+k␈↓ ε∀␈ε%>␈↓ ε2␈ε+N␈↓ π1␈ε+k␈↓ πB␈ε%>␈↓ π←␈ε+N
␈β	␈↓ ↓H␈ε"If␈↓ ↓m␈ε(I␈↓ α
␈ε"is␈α
an␈α∞in␈α␈terv␈α⎇al,␈α∞ha␈α␈ving␈α∞an␈α␈y␈α
of␈α∞the␈α
forms␈α∞(␈ε(a␈ε",␈ε(␈αεb␈ε")␈α∞or␈↓ λε␈ε"[␈↓ λ⊂␈ε(a␈ε",␈ε(␈αεb␈ε")␈α∞or␈α∞(␈ε(a␈ε",␈ε(␈αεb␈ε"]␈α
or␈↓ 
∂␈ε"[␈↓ 
→␈ε(a␈ε",␈ε(␈αεb␈ε"␈α↓],␈α∞it␈α
is
␈β	+␈↓ ↓H␈ε"clear␈αthat␈ε(␈α⊗␈ε"␈α␈(␈↓ β
␈ε(I␈↓ β∨␈ε")␈α
=␈ε(␈α
b␈ε6␈αλ␈␈ε(␈αλa␈ε"␈αand
␈β
π␈↓ ∧≡␈ε(n␈α␈⊗␈ε"(␈↓ ∧U␈ε(I␈↓ ∧g␈ε")␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ1␈ε6␈α
∀␈α
k␈↓ εβ␈ε(I␈↓ ε≤␈ε6\␈↓ ε>␈ε(P␈↓ εg␈ε6k␈α
∀␈ε(␈α
n⊗␈ε"(␈↓ πi␈ε(I␈↓ πz␈ε")␈αλ+␈αλ1.
␈β
∪␈↓ εU␈ε+n
␈β
b␈↓ ↓H␈ε"No␈α␈w␈αlet␈↓ αO␈ε(r␈↓ α{␈ε"=␈ε6␈α
k␈↓ β;␈ε6I␈↓ βp␈ε6\␈↓ ∧∩␈ε(P␈↓ ∧<␈ε6k␈ε",␈↓ ∧d␈ε(s␈↓ ¬⊃␈ε"=␈ε6␈α
k␈↓ ¬Q␈ε6J␈↓ ε␈ε6\␈↓ ε.␈ε(P␈↓ εW␈ε6k␈ε",␈↓ ε␈␈ε(t␈↓ π)␈ε"=␈ε6␈α
k␈↓ πi␈ε6K␈↓ λ'␈ε6\␈↓ λI␈ε(P␈↓ λr␈ε6k␈ε";␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β
o␈↓ α↑␈ε+n␈↓ βM␈ε+N␈↓ ∧)␈ε+n␈↓ ∧u␈ε+n␈↓ ¬h␈ε+N␈↓ εD␈ε+n␈↓ π␈ε+n␈↓ λβ␈ε+N␈↓ λ←␈ε+n
␈β9␈↓ ¬∧␈ε(r␈↓ ¬.␈ε"+␈↓ ¬Z␈ε(s␈↓ εε␈ε"+␈↓ ε2␈ε(t␈↓ ε[␈ε"=␈ε(␈α
n␈ε";
␈βE␈↓ ¬∪␈ε+n␈↓ ¬k␈ε+n␈↓ ε?␈ε+n
␈βr␈↓ ∧!␈ε(n␈α␈⊗␈ε"(␈↓ ∧X␈ε6I␈↓ ¬ε␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ ¬F␈ε(N␈↓ ¬s␈ε6∀␈↓ ε!␈ε(r␈↓ εN␈ε6∀␈ε(␈α
n⊗␈ε"(␈↓ π4␈ε6I␈↓ πa␈ε")␈αλ+␈↓ λ!␈ε(N␈↓ λD␈ε";
␈β␈␈↓ ∧j␈ε+N␈↓ ε0␈ε+n␈↓ πF␈ε+N
␈β%␈↓ ∧!␈ε(n␈α␈⊗␈ε"(␈↓ ∧X␈ε6I␈↓ ¬ε␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ ¬F␈ε(N␈↓ ¬s␈ε6∀␈↓ ε!␈ε(s␈↓ εN␈ε6∀␈ε(␈α
n⊗␈ε"(␈↓ π4␈ε6J␈↓ πg␈ε")␈αλ+␈↓ λ'␈ε(N␈↓ λJ␈ε".
␈β1␈↓ ∧j␈ε+N␈↓ ε2␈ε+n␈↓ πK␈ε+N
␈β
␈↓ ↓H␈ε"Hence
␈β
N␈↓ αj␈ε(N␈↓ ¬∨␈ε(N␈↓ εα␈ε(r␈↓ εd␈ε(r␈↓ π∞␈ε"+␈↓ π:␈ε(t
␈β
Z␈↓ ε⊃␈ε+n␈↓ εs␈ε+n␈↓ πG␈ε+n
␈β
e␈↓ ↓l␈ε(⊗␈ε"␈α␈(␈↓ α
␈ε6I␈↓ α&␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ β→␈ε6␈␈ε(␈αλ∂␈ε6␈α	∀␈ε(␈α
⊗␈ε"(␈↓ ∧-␈ε6I␈↓ ∧[␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ ¬P␈ε6∀␈↓ ε2␈ε6∀
␈β
r␈↓ ∧?␈ε+N
␈β
z␈↓ αj␈∧
zαjα#␈↓ ¬∨␈∧
z¬∨α#␈↓ εα␈∧
zεαα#␈↓ εd␈∧
zεdαv
␈β
␈␈↓ αp␈ε(n␈↓ ¬%␈ε(n␈↓ ελ␈ε(n␈↓ π∀␈ε(n
␈β∞&␈↓ ¬z␈ε(s␈↓ λ8␈ε(N␈↓ 
∃␈ε(N
␈β∞2␈↓ ε␈ε+n
␈β∞>␈↓ ¬α␈ε"=␈α
1␈ε6␈αλ␈␈↓ ε+␈ε6∀␈ε"␈α
1␈ε6␈αλ␈␈ε(␈αλ⊗␈ε"(␈↓ πA␈ε6J␈↓ πt␈ε")␈αλ+␈↓ λi␈ε6∀␈ε(␈α
⊗␈ε"(␈↓ 	9␈ε6I␈↓ 	Q␈ε")␈αλ+␈↓ 
D␈ε"+␈ε(␈αλ∂␈ε"␈α␈.
␈β∞J␈↓ πX␈ε+N
␈β∞R␈↓ ¬z␈∧∞R¬zα$␈↓ λ8␈∧∞Rλ8α#␈↓ 
∃␈∧∞R
∃α#
␈β∞X␈↓ ε↓␈ε(n␈↓ λ>␈ε(n␈↓ 
≠␈ε(n
␈β∂'␈↓ ↓H␈ε"This␈αh␈α↓olds␈αfor␈αall␈ε(␈αn␈ε"␈αand␈αfor␈αall␈ε(␈α∂␈ε";␈αhence␈↓ ε=␈ε"lim␈↓ πC␈ε(r␈↓ πe␈ε"/␈ε(n␈ε"␈α
=␈ε(␈α
⊗␈ε"(␈↓ λg␈ε6I␈↓ λ␈␈ε").
␈β∂0␈↓ 	<␈∧∂0	<≠∂
␈β∂3␈↓ εo␈ε+n␈ε9!␈α␈1␈↓ πR␈ε+n
␈β∂t␈↓ α␈ε"Exercise␈α	25␈α	sh␈α↓o␈α␈ws␈α	that␈α
Lemma␈α	M␈α	is␈α	n␈α↓ot␈α	trivial,␈α
in␈α	the␈α	sense␈α	that␈α	some␈α	rather
␈β⊂∨␈↓ ↓H␈ε"restrictiv␈α␈e␈αh␈α␈ypotheses␈αare␈αneeded␈αto␈αpro␈α␈v␈α␈e␈α(43).
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε2Distribution␈α
of␈↓ β@␈ε2partial␈α
quotien␈α␈ts.␈ε"␈α≠No␈α␈w␈α
w␈α␈e␈α
can␈α
put␈α
Theorem␈αW␈α
and␈α
Lemma␈α
M
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"together␈αto␈αderiv␈α␈e␈αsome␈αsolid␈αfacts␈αabout␈αEuclid's␈αalgorithm.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"352␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα"␈↓ ↓H␈ε2Theorem␈αE.␈ε/␈α∃Let␈ε(␈αn␈ε/␈α
and␈↓ ∧=␈ε(k␈↓ ∧]␈ε/be␈αpositiv␈α␈e␈αin␈α␈tegers,␈αand␈αlet␈↓ λ∃␈ε(p␈↓ λ9␈ε"(␈ε(a␈ε",␈ε(␈αεn␈ε"␈α␈)␈ε/␈αbe␈αthe␈αprobabilit␈α␈y
␈βα/␈↓ λ(␈ε+k
␈βαM␈↓ ↓H␈ε/that␈α
the␈ε"␈α
(␈↓ α\␈ε(k␈↓ αu␈ε"+␈α∧1)␈ε/st␈αquotien␈α␈t␈↓ ∧m␈ε(A␈↓ ¬N␈ε/in␈αEuclid's␈α
algorithm␈α
is␈α
equal␈αto␈ε(␈α
a␈ε/,␈αwhen␈↓ 
L␈ε(v␈↓ 
i␈ε"=␈ε(␈α
n
␈βαZ␈↓ ¬π␈ε+k␈↓ ¬↔␈ε%+1
␈βαy␈↓ ↓H␈ε/and␈ε(␈αu␈ε/␈αis␈αch␈α↓osen␈αat␈αrandom.␈α⊂Then
␈ββE␈↓ ε1␈ε↓∩␈↓ εb␈ε↓∪␈↓ πT␈ε↓∩␈↓ λK␈ε↓∪
␈ββF␈↓ εL␈ε"1␈↓ λ⊃␈ε"1
␈ββ↑␈↓ ∧↔␈ε"lim␈↓ ∧]␈ε(p␈↓ ¬↓␈ε"(␈ε(a␈ε",␈ε(␈αεn␈ε"␈α␈)␈α
=␈↓ ε	␈ε(F␈↓ π␈ε6␈␈↓ π,␈ε(F␈↓ λa␈ε",
␈ββj␈↓ ∧p␈ε+k␈↓ ε!␈ε+k␈↓ πC␈ε+k
␈ββr␈↓ εK␈∧βrεKα∪␈↓ πn␈∧βrπnαY
␈ββx␈↓ εK␈ε(a␈↓ πn␈ε(a␈ε"␈αλ+␈αλ1
␈ββ}␈↓ ∧	␈ε+n␈ε9!␈α␈1
␈β∧L␈↓ ↓H␈ε/where␈↓ α0␈ε(F␈↓ αW␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε/␈αis␈αthe␈α
distribution␈αfunction␈ε"␈α(21).
␈β∧Y␈↓ αG␈ε+k
␈β¬↔␈↓ ↓H␈ε/Pro␈α↓of.␈ε"␈α≤The␈α
set␈↓ βJ␈ε6I␈↓ βp␈ε"of␈α
all␈↓ ∧O␈ε(X␈↓ ∧␈␈ε"in␈↓ ¬*␈ε"[␈↓ ¬;␈ε"0,␈αε1)␈α
for␈α∞which␈↓ π,␈ε(A␈↓ λ⊂␈ε"=␈ε(␈αa␈ε"␈α∞is␈α∞a␈α
union␈α∞of␈α
disjoin␈α␈t
␈β¬#␈↓ πF␈ε+k␈↓ πV␈ε%+1
␈β¬B␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈terv␈α⎇als,␈αand␈αso␈αis␈αthe␈αset␈↓ ∧j␈ε6J␈↓ ¬⊂␈ε"of␈αall␈↓ ¬k␈ε(X␈↓ ε_␈ε"for␈αwhich␈↓ π7␈ε(A␈↓ λ→␈ε6≤␈ε(␈α
a␈ε".␈α∂Lemma␈αM␈αtherefore
␈β¬O␈↓ πQ␈ε+k␈↓ πb␈ε%+␈α␈1
␈β¬m␈↓ ↓H␈ε"applies,␈α⊃with␈↓ β%␈ε6K␈↓ βS␈ε"the␈α⊂set␈α⊂of␈α⊂all␈↓ ¬5␈ε(X␈↓ ¬g␈ε"for␈α⊂which␈↓ π∂␈ε(A␈↓ πv␈ε"is␈α⊂unde|ned.␈α≤F␈α⎇urtherm␈α↓ore,
␈β¬z␈↓ β≤␈ε↓␈␈↓ ∧@␈ε↓↓␈↓ π)␈ε+k␈↓ π:␈ε%+␈α␈1
␈βε→␈↓ ↓H␈ε(F␈↓ ↓o␈ε"(1/␈ε(a␈ε")␈ε6␈α	␈␈↓ αt␈ε(F␈↓ β*␈ε"1/(␈ε(a␈ε"␈αλ+␈α	1)␈↓ ∧[␈ε"is␈α
the␈α
probabilit␈α␈y␈α
that␈α
1/(␈ε(a␈ε"␈αλ+␈α	1)␈α<␈↓ 	_␈ε(X␈↓ 	S␈ε6∀␈ε"␈α1/␈ε(a␈ε",␈α
which
␈βε%␈↓ ↓←␈ε+k␈↓ β␈ε+k␈↓ 	6␈ε+k
␈βεD␈↓ ↓H␈ε"is␈ε(␈α⊗␈ε"␈α␈(␈↓ α
␈ε6I␈↓ α&␈ε"),␈αthe␈αprobabilit␈α␈y␈αthat␈↓ ¬␈ε(A␈↓ ¬m␈ε"=␈ε(␈α
a␈ε".
␈βεM␈↓ ε`␈∧εMε`≠∂
␈βεP␈↓ ¬&␈ε+k␈↓ ¬6␈ε%+1
␈βπ
␈↓ α␈ε"As␈α
a␈α
consequence␈α
of␈α∞Theorems␈α
E␈α
and␈α
W␈↓ π∞␈ε",␈α∞w␈α␈e␈α
can␈α
sa␈α␈y␈α
that␈α
a␈α
quotien␈α␈t␈α
equal
␈βπ5␈↓ ↓H␈ε"to␈ε(␈αa␈ε"␈αoccurs␈αwith␈αthe␈αappro␈α␈ximate␈αprobabilit␈α␈y
␈βπo␈↓ ∧H␈ε↓␈␈↓ ε1␈ε↓↓␈↓ π∪␈ε↓␈␈↓ λ3␈ε↓␈␈↓ 
π␈ε↓↓␈↓ 
∃␈ε↓↓
␈βλε␈↓ λ∩␈ε%2␈↓ 	2␈ε%2
␈βλ∞␈↓ αG␈ε"lg␈↓ αc␈ε"(1␈αλ+␈αλ1/␈ε(a␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ ∧,␈ε"lg␈↓ ∧V␈ε"1␈αλ+␈αλ1/(␈ε(a␈ε"␈αλ+␈αλ1)␈↓ εI␈ε"=␈↓ εw␈ε"lg␈↓ π!␈ε"(␈ε(a␈ε"␈αλ+␈αλ1␈↓ λε␈ε")␈↓ λ!␈ε"/␈↓ λA␈ε"(␈ε(a␈ε"␈αλ+␈αλ1␈↓ 	&␈ε")␈↓ 	I␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈↓ 
#␈ε".
␈βλg␈↓ ↓H␈ε"Th␈α␈us
␈β	/␈↓ ε-␈ε%4
␈β	4␈↓ α:␈ε"a␈αquotien␈α␈t␈αof␈α1␈↓ ∧-␈ε"occurs␈αabout␈↓ ε↓␈ε"lg␈↓ ε≥␈ε"(␈↓ ε@␈ε")␈↓ εe␈ε"=␈α
41.504␈αpercen␈α␈t␈αof␈αthe␈αtime␈↓ 
0␈ε";
␈β	D␈↓ ε-␈ε%3
␈β	H␈↓ ε-␈∧	Hε-α⊂
␈β	a␈↓ ε-␈ε%9
␈β	f␈↓ α:␈ε"a␈αquotien␈α␈t␈αof␈α2␈↓ ∧-␈ε"occurs␈αabout␈↓ ε↓␈ε"lg␈↓ ε≥␈ε"(␈↓ ε@␈ε")␈↓ εe␈ε"=␈α
16.992␈αpercen␈α␈t␈αof␈αthe␈αtime␈↓ 
0␈ε";
␈β	w␈↓ ε-␈ε%8
␈β	z␈↓ ε-␈∧	zε-α⊂
␈β
∀␈↓ ε-␈ε%16
␈β
_␈↓ α:␈ε"a␈αquotien␈α␈t␈αof␈α3␈↓ ∧-␈ε"occurs␈αabout␈↓ ε↓␈ε"lg␈↓ ε≥␈ε"(␈↓ εO␈ε")␈↓ εe␈ε"=␈α≤9.311␈αpercen␈α␈t␈αof␈αthe␈αtime␈↓ 
0␈ε";
␈β
)␈↓ ε-␈ε%15
␈β
,␈↓ ε-␈∧
,ε-α∨
␈β
F␈↓ ε-␈ε%25
␈β
K␈↓ α:␈ε"a␈αquotien␈α␈t␈αof␈α4␈↓ ∧-␈ε"occurs␈αabout␈↓ ε↓␈ε"lg␈↓ ε≥␈ε"(␈↓ εO␈ε")␈↓ εe␈ε"=␈α≤5.890␈αpercen␈α␈t␈αof␈αthe␈αtime␈↓ 
0␈ε".
␈β
\␈↓ ε-␈ε%24
␈β
←␈↓ ε-␈∧
←ε-α∨
␈β#␈↓ ↓H␈ε"Actually,␈α
if␈α
Euclid's␈α
algorithm␈α
produces␈α
the␈α
quotien␈α␈ts␈↓ λ⊃␈ε(A␈↓ λ;␈ε",␈↓ λO␈ε(A␈↓ λx␈ε",␈↓ 	␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	<␈ε",␈↓ 	Q␈ε(A␈↓ 	v␈ε",␈αthe␈α	nature
␈β0␈↓ λ+␈ε%1␈↓ λi␈ε%2␈↓ 	k␈ε+t
␈βO␈↓ ↓H␈ε"of␈αthe␈αpro␈α↓ofs␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αwill␈αguaran␈α␈tee␈αthis␈αbeha␈α␈vior␈αonly␈αfor␈↓ λD␈ε(A␈↓ λz␈ε"when␈↓ 	W␈ε(k␈↓ 	w␈ε"is␈αcompara-
␈β[␈↓ λ↑␈ε+k
␈βz␈↓ ↓H␈ε"tiv␈α␈ely␈α
small␈αwith␈αrespect␈αto␈ε(␈αt␈ε";␈αthe␈αv␈α⎇alues␈↓ εC␈ε(A␈↓ π∃␈ε",␈↓ π*␈ε(A␈↓ π|␈ε",␈↓ λ⊃␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λF␈ε"are␈αn␈α↓ot␈αco␈α␈v␈α␈ered␈αby␈α
this
␈βε␈↓ ε]␈ε+t␈ε9␈␈ε%1␈↓ πD␈ε+t␈ε9␈␈ε%2
␈β%␈↓ ↓H␈ε"pro␈α↓of.␈α⊂But␈αw␈α␈e␈αcan␈αin␈αfact␈αsh␈α↓o␈α␈w␈αthat␈αthe␈αdistribution␈αof␈αthe␈αlast␈αquotien␈α␈ts␈↓ 
P␈ε(A␈↓ "␈ε",
␈β1␈↓ 
j␈ε+t␈ε9␈α↓␈␈ε%␈α␈1
␈βP␈↓ ↓H␈ε(A␈↓ α~␈ε",␈↓ α0␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ αf␈ε"is␈αessen␈α␈tially␈αthe␈αsame␈αas␈αthe␈α|rst.
␈β]␈↓ ↓b␈ε+t␈ε9␈␈ε%2
␈β|␈↓ α␈ε"F␈α⎇or␈αexample,␈αconsider␈αthe␈↓ ¬0␈ε"regular␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction␈αexpansions␈αfor␈αthe␈αset
␈β
'␈↓ ↓H␈ε"of␈αall␈αproper␈αfractions␈αwh␈α↓ose␈αden␈α↓ominator␈αis␈α29:
␈β
w␈↓ ↓S␈ε%1␈↓ βf␈ε%8␈↓ ε5␈ε%1␈α↓5␈↓ 	.␈ε%22
␈β
{␈↓ ↓x␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε29␈ε6␈αα?␈↓ ∧␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε3,␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε2␈ε6␈αα?␈↓ εb␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε1,␈αε14␈ε6␈αα?␈↓ 	[␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε3,␈αε7␈ε6␈α}?
␈β∞␈↓ ↓L␈ε%29␈↓ β←␈ε%29␈↓ ε5␈ε%2␈α↓9␈↓ 	.␈ε%29
␈β∞∂␈↓ ↓L␈∧∞∂↓Lα∨␈↓ β←␈∧∞∂β←α∨␈↓ ε5␈∧∞∂ε5α∨␈↓ 	.␈∧∞∂	.α∨
␈β∞-␈↓ ↓S␈ε%2␈↓ βf␈ε%9␈↓ ε5␈ε%1␈α↓6␈↓ 	.␈ε%23
␈β∞1␈↓ ↓x␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε14,␈αε2␈ε6␈αα?␈↓ ∧␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε3,␈αε4,␈αε2␈ε6␈αα?␈↓ εb␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε1,␈αε4,␈αε3␈ε6␈αα?␈↓ 	[␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε3,␈αε1,␈αε5␈ε6␈α↓?
␈β∞B␈↓ ↓L␈ε%29␈↓ β←␈ε%29␈↓ ε5␈ε%2␈α↓9␈↓ 	.␈ε%29
␈β∞E␈↓ ↓L␈∧∞E↓Lα∨␈↓ β←␈∧∞Eβ←α∨␈↓ ε5␈∧∞Eε5α∨␈↓ 	.␈∧∞E	.α∨
␈β∞c␈↓ ↓S␈ε%3␈↓ β←␈ε%10␈↓ ε5␈ε%1␈α↓7␈↓ 	.␈ε%24
␈β∞g␈↓ ↓x␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε9,␈αε1,␈αε2␈ε6␈αα?␈↓ ∧␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε2,␈αε1,␈αε9␈ε6␈αα?␈↓ εb␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε1,␈αε2,␈αε2,␈αε2␈ε6␈αα?␈↓ 	[␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε4,␈αε1,␈αε4␈ε6␈α↓?
␈β∞x␈↓ ↓L␈ε%29␈↓ β←␈ε%29␈↓ ε5␈ε%2␈α↓9␈↓ 	.␈ε%29
␈β∞{␈↓ ↓L␈∧∞{↓Lα∨␈↓ β←␈∧∞{β←α∨␈↓ ε5␈∧∞{ε5α∨␈↓ 	.␈∧∞{	.α∨
␈β∂→␈↓ ↓S␈ε%4␈↓ β←␈ε%11␈↓ ε5␈ε%1␈α↓8␈↓ 	.␈ε%25
␈β∂≥␈↓ ↓x␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε7,␈αε4␈ε6␈αα?␈↓ ∧␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε2,␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε3␈ε6␈αα?␈↓ εb␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε3␈ε6␈αα?␈↓ 	[␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε6,␈αε4␈ε6␈α↓?
␈β∂.␈↓ ↓L␈ε%29␈↓ β←␈ε%29␈↓ ε5␈ε%2␈α↓9␈↓ 	.␈ε%29
␈β∂1␈↓ ↓L␈∧∂1↓Lα∨␈↓ β←␈∧∂1β←α∨␈↓ ε5␈∧∂1ε5α∨␈↓ 	.␈∧∂1	.α∨
␈β∂O␈↓ ↓S␈ε%5␈↓ β←␈ε%12␈↓ ε5␈ε%1␈α↓9␈↓ 	.␈ε%26
␈β∂S␈↓ ↓x␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε5,␈αε1,␈αε4␈ε6␈αα?␈↓ ∧␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε2,␈αε2,␈αε2,␈αε2␈ε6␈αα?␈↓ εb␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε9␈ε6␈αα?␈↓ 	[␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε8,␈αε1,␈αε2␈ε6␈α↓?
␈β∂d␈↓ ↓L␈ε%29␈↓ β←␈ε%29␈↓ ε5␈ε%2␈α↓9␈↓ 	.␈ε%29
␈β∂g␈↓ ↓L␈∧∂g↓Lα∨␈↓ β←␈∧∂gβ←α∨␈↓ ε5␈∧∂gε5α∨␈↓ 	.␈∧∂g	.α∨
␈β⊂¬␈↓ ↓S␈ε%6␈↓ β←␈ε%13␈↓ ε5␈ε%2␈α↓0␈↓ 	.␈ε%27
␈β⊂	␈↓ ↓x␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε4,␈αε1,␈αε5␈ε6␈αα?␈↓ ∧␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε2,␈αε4,␈αε3␈ε6␈αα?␈↓ εb␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε2,␈αε4,␈αε2␈ε6␈αα?␈↓ 	[␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε13,␈αε2␈ε6␈α↓?
␈β⊂~␈↓ ↓L␈ε%29␈↓ β←␈ε%29␈↓ ε5␈ε%2␈α↓9␈↓ 	.␈ε%29
␈β⊂≥␈↓ ↓L␈∧⊂≥↓Lα∨␈↓ β←␈∧⊂≥β←α∨␈↓ ε5␈∧⊂≥ε5α∨␈↓ 	.␈∧⊂≥	.α∨
␈β⊂;␈↓ ↓S␈ε%7␈↓ β←␈ε%14␈↓ ε5␈ε%2␈α↓1␈↓ 	.␈ε%28
␈β⊂?␈↓ ↓x␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε4,␈αε7␈ε6␈α}?␈↓ ∧␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε2,␈αε14␈ε6␈αα?␈↓ εb␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε2,␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε2␈ε6␈αα?␈↓ 	[␈ε"=␈ε6␈α
?␈ε"␈αε1,␈αε28␈ε6␈α↓?
␈β⊂P␈↓ ↓L␈ε%29␈↓ β←␈ε%29␈↓ ε5␈ε%2␈α↓9␈↓ 	.␈ε%29
␈β⊂S␈↓ ↓L␈∧⊂S↓Lα∨␈↓ β←␈∧⊂Sβ←α∨␈↓ ε5␈∧⊂Sε5α∨␈↓ 	.␈∧⊂S	.α∨
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"Sev␈α␈eral␈αthings␈αcan␈αbe␈αobserv␈α␈ed␈αin␈αthis␈αtable.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λ4␈ε"'␈↓ 
v␈ε"353
␈β↓Z␈↓ ¬9␈ε.AN␈α␈AL␈α}Y␈α␈SIS␈α
O␈α␈F␈αEUCLI␈α␈D␈↓ λ>␈ε.S␈α
AL␈α␈GO␈α␈RIT␈α␈HM
␈βα"␈↓ ↓b␈ε"a)␈↓ α␈ε"As␈α∞men␈α␈tioned␈α∞earlier,␈α∂the␈α∞last␈α∞quotien␈α␈t␈α∞is␈α∂alw␈α␈a␈α␈ys␈α∞2␈α∞or␈α∞m␈α↓ore.␈α⊗F␈α⎇urtherm␈α↓ore,
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αthe␈αobvious␈αiden␈α␈tit␈α␈y
␈ββ≥␈↓ βD␈ε6?␈↓ βV␈ε(x␈↓ βy␈ε",␈↓ ∧	␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧9␈ε",␈↓ ∧I␈ε(x␈↓ ¬≤␈ε",␈↓ ¬,␈ε(x␈↓ ¬[␈ε"+␈αλ1␈ε6?␈ε"␈α
=␈ε6␈α
?␈↓ εu␈ε(x␈↓ π_␈ε",␈↓ π(␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ πX␈ε",␈↓ πh␈ε(x␈↓ λ<␈ε",␈↓ λL␈ε(x␈↓ λr␈ε",␈αε1␈ε6?␈ε",␈↓ 
p␈ε"(44)
␈ββ*␈↓ βj␈ε%1␈↓ ∧]␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ ¬@␈ε+n␈↓ π	␈ε%1␈↓ π|␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ λ`␈ε+n
␈ββm␈↓ ↓H␈ε"and␈αthis␈α
sh␈α↓o␈α␈ws␈α
h␈α↓o␈α␈w␈α
partial␈α
fractions␈α
wh␈α↓ose␈αlast␈α
quotien␈α␈t␈α
is␈α
unit␈α␈y␈α
are␈α
related␈αto
␈β∧_␈↓ ↓H␈ε"regular␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfractions.
␈β∧D␈↓ ↓`␈ε"b)␈↓ α␈ε"The␈α	v␈α⎇alues␈α	in␈α	the␈α	righ␈α␈t-hand␈αλcolumns␈α	ha␈α␈v␈α␈e␈α	a␈α	simple␈α	relationship␈α	to␈α	the␈αλv␈α⎇alues
␈β∧o␈↓ ↓H␈ε"in␈α
the␈α
le$-hand␈α
columns;␈α∞can␈α
the␈α
reader␈α
see␈α
the␈α
correspondence␈α
before␈α
reading
␈β¬~␈↓ ↓H␈ε"an␈α␈y␈αfurther?␈α⊂The␈αrelev␈α⎇an␈α␈t␈αiden␈α␈tit␈α␈y␈αis
␈β¬j␈↓ βQ␈ε"1␈ε6␈αλ␈␈αλ?␈↓ ∧)␈ε(x␈↓ ∧L␈ε",␈↓ ∧\␈ε(x␈↓ ∧␈␈ε",␈↓ ¬∂␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬?␈ε",␈↓ ¬O␈ε(x␈↓ ¬v␈ε6?␈ε"␈α
=␈ε6␈α
?␈ε"1,␈↓ εt␈ε(x␈↓ π∨␈ε6␈␈ε"␈αλ1,␈↓ πm␈ε(x␈↓ λ⊂␈ε",␈↓ λ ␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λP␈ε",␈↓ λ`␈ε(x␈↓ 	π␈ε6?␈ε";␈↓ 
p␈ε"(45)
␈β¬v␈↓ ∧=␈ε%1␈↓ ∧p␈ε%2␈↓ ¬c␈ε+n␈↓ πλ␈ε%1␈↓ λ↓␈ε%2␈↓ λt␈ε+n
␈βε:␈↓ ↓H␈ε"see␈αexercise␈α9.
␈βεe␈↓ ↓d␈ε"c)␈↓ α␈ε"There␈α∀is␈α∪symmetry␈α∀bet␈α␈w␈α␈een␈α∪le$␈α∀and␈α∪righ␈α␈t␈α∪in␈α∀the␈α∪|rst␈α∀t␈α␈w␈α␈o␈α∪columns:␈α≠If
␈βπ⊂␈↓ ↓H␈ε6?␈↓ ↓Z␈ε(A␈↓ αβ␈ε",␈↓ α∪␈ε(A␈↓ α<␈ε",␈↓ αL␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ α|␈ε",␈↓ β␈ε(A␈↓ β1␈ε6?␈ε"␈α∂occurs,␈α∂so␈α∞does␈ε6␈α∞?␈↓ ¬←␈ε(A␈↓ ε¬␈ε",␈↓ ε∃␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ εE␈ε",␈↓ εU␈ε(A␈↓ ε}␈ε",␈↓ π∞␈ε(A␈↓ π7␈ε6?␈ε".␈α↔This␈α∞will␈α∂alw␈α␈a␈α␈ys␈α∞be␈α∞the␈α∞case
␈βπ≤␈↓ ↓t␈ε%1␈↓ α-␈ε%2␈↓ β&␈ε+t␈↓ ¬y␈ε+t␈↓ εo␈ε%2␈↓ π(␈ε%1
␈βπ;␈↓ ↓H␈ε"(see␈αexercise␈α26).
␈βπf␈↓ ↓`␈ε"d)␈↓ α␈ε"If␈αw␈α␈e␈α
examine␈αall␈α
of␈αthe␈α
quotien␈α␈ts␈αin␈α
the␈αtable,␈α
w␈α␈e␈α|nd␈α
that␈αthere␈α
are␈α96␈αin
␈βλ
␈↓ β⊗␈ε%3␈α↓9␈↓ π)␈ε%21
␈βλ∩␈↓ ↓H␈ε"all,␈αof␈αwhich␈↓ βD␈ε"=␈α40.6␈α
percen␈α␈t␈αare␈αequal␈αto␈α1,␈↓ πV␈ε"=␈α21.9␈αpercen␈α␈t␈αare␈αequal␈αto␈α
2,
␈βλ"␈↓ β⊗␈ε%9␈α↓6␈↓ π)␈ε%96
␈βλ&␈↓ β⊗␈∧λ&β⊗α∨␈↓ π)␈∧λ&π)α∨
␈βλ8␈↓ ↓S␈ε%8
␈βλ=␈↓ ↓w␈ε"=␈α
8.3␈α	percen␈α␈t␈α	are␈α
equal␈α	to␈α	3;␈αthis␈α	agrees␈α	reasonably␈α	w␈α␈ell␈α
with␈α	the␈α	probabilities
␈βλN␈↓ ↓L␈ε%96
␈βλQ␈↓ ↓L␈∧λQ↓Lα∨
␈βλh␈↓ ↓H␈ε"listed␈αabo␈α␈v␈α␈e.
␈β	&␈↓ ↓H␈ε2The␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α∞division␈α∞steps.␈ε"␈α≥Let␈α∞us␈α∞n␈α↓o␈α␈w␈α∞return␈α∞to␈α∞our␈α∞original␈α∞problem␈α
and
␈β	2␈↓ 	N␈ε↓␈␈↓ ≡␈ε↓↓
␈β	Q␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈v␈α␈estigate␈↓ αy␈ε(T␈↓ β ␈ε",␈αthe␈α
a␈α␈v␈α␈erage␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α
division␈α
steps␈α
when␈↓ λP␈ε(v␈↓ λm␈ε"=␈ε(␈α
n␈ε".␈↓ 	\␈ε"See␈α
Eq.␈α
(19).
␈β	]␈↓ β∞␈ε+n
␈β	|␈↓ ↓H␈ε"Here␈αare␈αsome␈αsample␈αv␈α⎇alues␈αof␈↓ ¬>␈ε(T␈↓ ¬e␈ε":
␈β
	␈↓ ¬R␈ε+n
␈β
=␈↓ α&␈ε(n␈ε"␈α
=
␈β
C␈↓ β∪␈ε"95␈↓ βe␈ε"96␈↓ ∧7␈ε"97␈↓ ¬	␈ε"98␈↓ ¬[␈ε"99␈↓ ε(␈ε"100␈↓ πα␈ε"101␈↓ π\␈ε"102␈↓ λ6␈ε"103␈↓ 	⊂␈ε"104␈↓ 	j␈ε"105
␈β
h␈↓ α∀␈ε(T␈↓ αF␈ε"=
␈β
n␈↓ β∞␈ε"5.0␈↓ β`␈ε"4.4␈↓ ∧2␈ε"5.3␈↓ ¬∧␈ε"4.8␈↓ ¬V␈ε"4.7␈↓ ε,␈ε"4.6␈↓ πε␈ε"5.3␈↓ π`␈ε"4.6␈↓ λ:␈ε"5.3␈↓ 	∀␈ε"4.7␈↓ 	n␈ε"4.6
␈β
t␈↓ α)␈ε+n
␈β→␈↓ πN␈ε".␈αε.␈αε.
␈β≤␈↓ α&␈ε(n␈ε"␈α
=
␈β"␈↓ β∞␈ε"996␈↓ βh␈ε"997␈↓ ∧B␈ε"998␈↓ ¬≤␈ε"999␈↓ ¬v␈ε"1000␈↓ εb␈ε"1001␈↓ λ≤␈ε"9999␈↓ 	λ␈ε"10000␈↓ 
ε␈ε"10001
␈βD␈↓ πN␈ε".␈αε.␈αε.
␈βG␈↓ α∀␈ε(T␈↓ αF␈ε"=
␈βM␈↓ β∩␈ε"6.5␈↓ βl␈ε"7.3␈↓ ∧F␈ε"7.0␈↓ ¬ ␈ε"6.8␈↓ εβ␈ε"6.4␈↓ εo␈ε"6.7␈↓ λ)␈ε"8.6␈↓ 	≡␈ε"8.3␈↓ 
≤␈ε"9.1
␈βS␈↓ α)␈ε+n
␈βx␈↓ ελ␈ε".␈αε.␈αε.
␈β{␈↓ α&␈ε(n␈ε"␈α
=
␈β↓␈↓ β∞␈ε"49999␈↓ ∧␈ε"50000␈↓ ¬
␈ε"50001␈↓ εV␈ε"99999␈↓ πT␈ε"100000␈↓ λd␈ε"100001
␈β$␈↓ ελ␈ε".␈αε.␈αε.
␈β&␈↓ α∀␈ε(T␈↓ αF␈ε"=
␈β,␈↓ β≠␈ε"10.6␈↓ ∧"␈ε"9.7␈↓ ¬↔␈ε"10.0␈↓ εc␈ε"10.7␈↓ πj␈ε"10.3␈↓ λz␈ε"11.0
␈β3␈↓ α)␈ε+n
␈βn␈↓ ↓H␈ε"Note␈α∞the␈α∂somewhat␈α∞erratic␈α∂beha␈α␈vior;␈↓ ε"␈ε(T␈↓ εX␈ε"tends␈α∞to␈α∂be␈α∂higher␈α∞than␈α∂its␈α∞neigh␈α␈bors
␈βz␈↓ ε7␈ε+n
␈β
→␈↓ ↓H␈ε"when␈ε(␈αn␈ε"␈αis␈αprime,␈αand␈αit␈αis␈αcorrespondingly␈αlo␈α␈w␈α␈er␈αwhen␈ε(␈αn␈ε"␈αhas␈αman␈α␈y␈αdivisors.␈α↔(In
␈β
D␈↓ ↓H␈ε"this␈α∞list,␈α∂97,␈α∂101,␈α⊂103,␈α∂997,␈α∂and␈α∞49999␈α∂are␈α∂primes;␈α∂10001␈α∂=␈α∞73␈ε6␈α	↓␈ε"␈α
137,␈α∂50001␈α∞=
␈β
o␈↓ ↓H␈ε"3␈ε6␈αλ↓␈ε"␈α	7␈ε6␈α	↓␈ε"␈αλ2381,␈α∞99999␈α=␈α3␈ε6␈α	↓␈ε"␈α	3␈ε6␈α	↓␈ε"␈αλ41␈ε6␈α	↓␈ε"␈α	271,␈α
and␈α
100001␈α=␈α11␈ε6␈αλ↓␈ε"␈α	9091.)␈α≠It␈α
is␈α
n␈α↓ot␈α
di}cult
␈β∞~␈↓ ↓H␈ε"to␈α∂understand␈α∂wh␈α␈y␈α⊂this␈α∂happens:␈α∪if␈↓ ε⊃␈ε"gcd␈↓ εG␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ εx␈ε(v␈↓ π␈ε")␈α⊂=␈ε(␈α∂d␈ε",␈α⊃Euclid's␈α∂algorithm␈α∂applied
␈β∞F␈↓ ↓H␈ε"to␈ε(␈α∞u␈ε"␈α∂and␈↓ αc␈ε(v␈↓ β¬␈ε"beha␈α␈v␈α␈es␈α∞essen␈α␈tially␈α∂the␈α∂same␈α∂as␈α∂if␈α∞it␈α∂w␈α␈ere␈α∂applied␈α∂to␈ε(␈α∂u␈ε"␈α␈/␈ε(d␈ε"␈α⊂and␈↓ 
j␈ε(v␈↓ 
⎇␈ε"/␈ε(d␈ε".
␈β∞q␈↓ ↓H␈ε"Therefore,␈α⊂when␈↓ β\␈ε(v␈↓ ∧␈ε"=␈ε(␈α⊂n␈ε"␈α⊂has␈α⊂sev␈α␈eral␈α⊂divisors,␈α⊂there␈α⊂are␈α⊂man␈α␈y␈α⊂ch␈α↓oices␈α⊂of␈ε(␈α⊂u␈ε"␈α∂for
␈β∂≤␈↓ ↓H␈ε"which␈ε(␈αn␈ε"␈αbeha␈α␈v␈α␈es␈αas␈αif␈αit␈αw␈α␈ere␈αsmaller.
␈β∂G␈↓ α␈ε"Accordingly␈αlet␈αus␈αconsider␈ε/␈αan␈α↓other␈ε"␈αquan␈α␈tit␈α␈y,␈↓ π\␈ε(≤␈↓ π⎇␈ε",␈αwhich␈αis␈αthe␈αa␈α␈v␈α␈erage␈αn␈α␈um-
␈β∂T␈↓ πj␈ε+n
␈β∂r␈↓ ↓H␈ε"ber␈αof␈αdivision␈αsteps␈αwhen␈↓ ∧m␈ε(v␈↓ ¬
␈ε"=␈ε(␈α
n␈ε"␈αand␈αwhen␈ε(␈αu␈ε"␈αis␈ε/␈αrelativ␈α␈ely␈αprime␈ε"␈αto␈ε(␈αn␈ε".␈α⊂Th␈α␈us
␈β⊂/␈↓ ε3␈ε↓X
␈β⊂9␈↓ ¬A␈ε"1
␈β⊂Q␈↓ ∧J␈ε(≤␈↓ ∧t␈ε"=␈↓ π)␈ε(T␈↓ πC␈ε"(␈ε(m␈ε",␈ε(␈αεn␈ε"␈α␈).␈↓ 
p␈ε"(46)
␈β⊂]␈↓ ∧W␈ε+n
␈β⊂e␈↓ ¬&␈∧⊂e¬&αH
␈β⊂j␈↓ ¬&␈ε(⎇␈ε"(␈ε(n␈ε")
␈β⊂␈␈↓ ε∩␈ε%0␈ε9∀␈ε+␈α␈m␈ε%<␈ε+n
␈β⊃≤␈↓ ¬{␈ε%gcd␈↓ ε(␈ε%(␈ε+␈α↓m␈ε%␈α␈,␈ε+n␈ε%)=1
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"354␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"It␈αfollo␈α␈ws␈αthat
␈βα5␈↓ ε(␈ε↓X
␈βα?␈↓ ε
␈ε"1
␈βαW␈↓ ¬%␈ε(T␈↓ ¬V␈ε"=␈↓ εb␈ε(⎇␈ε"(␈ε(d␈ε")␈↓ π'␈ε(≤␈↓ πE␈ε".␈↓ 
p␈ε"(47)
␈βαc␈↓ ¬:␈ε+n␈↓ π5␈ε+d
␈βαk␈↓ ελ␈∧αkελα⊗
␈βαp␈↓ ελ␈ε(n
␈ββπ␈↓ ε)␈ε+d␈ε9∧␈ε+␈α↓n
␈ββ<␈↓ ↓H␈ε"Here␈αis␈αa␈αtable␈αof␈↓ βb␈ε(≤␈↓ ∧∞␈ε"for␈αthe␈αsame␈αv␈α⎇alues␈αof␈ε(␈αn␈ε"␈αconsidered␈αabo␈α␈v␈α␈e:
␈ββH␈↓ βo␈ε+n
␈ββx␈↓ α"␈ε(n␈ε"␈α
=
␈ββ}␈↓ β∂␈ε"95␈↓ βa␈ε"96␈↓ ∧3␈ε"97␈↓ ¬¬␈ε"98␈↓ ¬W␈ε"99␈↓ ε$␈ε"100␈↓ ε}␈ε"101␈↓ πX␈ε"102␈↓ λ2␈ε"103␈↓ 	␈ε"104␈↓ 	f␈ε"105
␈β∧#␈↓ α_␈ε(≤␈↓ αB␈ε"=
␈β∧)␈↓ β
␈ε"5.4␈↓ β\␈ε"5.3␈↓ ∧.␈ε"5.3␈↓ ¬␈ε"5.6␈↓ ¬R␈ε"5.2␈↓ ε(␈ε"5.2␈↓ πα␈ε"5.4␈↓ π\␈ε"5.3␈↓ λ6␈ε"5.4␈↓ 	⊂␈ε"5.3␈↓ 	j␈ε"5.6
␈β∧/␈↓ α&␈ε+n
␈β∧T␈↓ πJ␈ε".␈αε.␈αε.
␈β∧W␈↓ α"␈ε(n␈ε"␈α
=
␈β∧]␈↓ β
␈ε"996␈↓ βd␈ε"997␈↓ ∧>␈ε"998␈↓ ¬_␈ε"999␈↓ ¬r␈ε"1000␈↓ ε↑␈ε"1001␈↓ λ_␈ε"9999␈↓ 	∧␈ε"10000␈↓ 
α␈ε"10001
␈β∧␈␈↓ πJ␈ε".␈αε.␈αε.
␈β¬α␈↓ α_␈ε(≤␈↓ αB␈ε"=
␈β¬λ␈↓ β∞␈ε"7.2␈↓ βh␈ε"7.3␈↓ ∧B␈ε"7.3␈↓ ¬≤␈ε"7.3␈↓ ¬␈␈ε"7.3␈↓ εk␈ε"7.4␈↓ λ≤␈ε"9.21␈↓ 	⊃␈ε"9.21␈↓ 
∂␈ε"9.22
␈β¬∞␈↓ α&␈ε+n
␈β¬3␈↓ ε∧␈ε".␈αε.␈αε.
␈β¬6␈↓ α"␈ε(n␈ε"␈α
=
␈β¬<␈↓ β
␈ε"49999␈↓ ∧λ␈ε"50000␈↓ ¬ε␈ε"50001␈↓ εW␈ε"99999␈↓ πZ␈ε"100000␈↓ λj␈ε"100001
␈β¬↑␈↓ ε∧␈ε".␈αε.␈αε.
␈β¬a␈↓ α_␈ε(≤␈↓ αB␈ε"=
␈β¬g␈↓ β∞␈ε"10.58␈↓ ∧␈ε"10.57␈↓ ¬
␈ε"10.59␈↓ εR␈ε"11.170␈↓ π↑␈ε"11.172␈↓ λn␈ε"11.172
␈β¬n␈↓ α&␈ε+n
␈βε%␈↓ ↓H␈ε"Clearly␈↓ αB␈ε(≤␈↓ αm␈ε"is␈α	m␈α␈uch␈α
m␈α↓ore␈α
w␈α␈ell-beha␈α␈v␈α␈ed␈α
than␈↓ εj␈ε(T␈↓ π⊃␈ε",␈α
and␈α
it␈α
sh␈α↓ould␈α
be␈α
m␈α↓ore␈α	susceptible
␈βε2␈↓ αP␈ε+n␈↓ ε}␈ε+n
␈βεQ␈↓ ↓H␈ε"to␈α	analysis.␈α∂Inspection␈αλof␈α	a␈α	table␈α	of␈↓ ¬m␈ε(≤␈↓ ε⊗␈ε"for␈α	small␈ε(␈α	n␈ε"␈α	rev␈α␈eals␈α	some␈α	curious␈αλan␈α↓omalies;
␈βε]␈↓ ¬{␈ε+n
␈βε|␈↓ ↓H␈ε"for␈αexample,␈↓ β↔␈ε(≤␈↓ βM␈ε"=␈↓ β{␈ε(≤␈↓ ∧C␈ε"and␈↓ ¬λ␈ε(≤␈↓ ¬?␈ε"=␈↓ ¬m␈ε(≤␈↓ ε(␈ε".␈α⊂But␈αas␈ε(␈αn␈ε"␈αgro␈α␈ws,␈αthe␈αv␈α⎇alues␈αof␈↓ 
∃␈ε(≤␈↓ 
A␈ε"beha␈α␈v␈α␈e
␈βπλ␈↓ β%␈ε%50␈↓ ∧	␈ε%10␈α↓0␈↓ ¬⊗␈ε%60␈↓ ¬z␈ε%1␈α↓20␈↓ 
#␈ε+n
␈βπ'␈↓ ↓H␈ε"quite␈α
regularly␈α
indeed,␈αas␈α
the␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈αtable␈α
indicates,␈α
and␈αthey␈α
sh␈α↓o␈α␈w␈α
n␈α↓o␈α
signi|can␈α␈t
␈βπR␈↓ ↓H␈ε"relation␈αto␈αthe␈αfactorization␈αproperties␈αof␈ε(␈αn␈ε".␈α⊂If␈αthe␈αreader␈αwill␈αplot␈αthe␈αv␈α⎇alues␈αof
␈βπ⎇␈↓ ↓H␈ε(≤␈↓ ↓u␈ε"v␈α␈ersus␈↓ αb␈ε"ln␈↓ βε␈ε(n␈ε"␈αon␈α
graph␈α
paper,␈α
for␈α
the␈αv␈α⎇alues␈α
of␈↓ π>␈ε(≤␈↓ πk␈ε"giv␈α␈en␈α
abo␈α␈v␈α␈e,␈α
he␈α
will␈α
see␈αthat
␈βλ
␈↓ ↓U␈ε+n␈↓ πL␈ε+n
␈βλ)␈↓ ↓H␈ε"the␈αv␈α⎇alues␈αlie␈αv␈α␈ery␈αnearly␈αon␈αa␈αstraigh␈α␈t␈αline,␈αand␈αthat␈αthe␈αform␈α␈ula
␈βλv␈↓ ¬␈ε(≤␈↓ ¬5␈ε6→␈ε"␈α
0.843␈↓ ε;␈ε"ln␈↓ ε←␈ε(n␈ε"␈αλ+␈αλ1.47␈↓ 
p␈ε"(48)
␈β	α␈↓ ¬→␈ε+n
␈β	B␈↓ ↓H␈ε"is␈αa␈αv␈α␈ery␈αgo␈α↓od␈αappro␈α␈ximation.
␈β	n␈↓ α␈ε"We␈αcan␈αaccoun␈α␈t␈αfor␈αthis␈αbeha␈α␈vior␈αif␈αw␈α␈e␈αstudy␈αthe␈αregular␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction
␈β
→␈↓ ↓H␈ε"process␈αa␈α
little␈αfurther.␈α∩Note␈αthat␈α
in␈αEuclid's␈α
algorithm␈αas␈α
expressed␈αin␈α
(15)␈αw␈α␈e
␈β
D␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈v␈α␈e
␈β
`␈↓ ∧y␈ε(V␈↓ ¬/␈ε(V␈↓ ε∃␈ε(V␈↓ π$␈ε(V
␈β
m␈↓ ¬∂␈ε%0␈↓ ¬E␈ε%1␈↓ ε+␈ε+t␈ε9␈␈ε%1␈↓ π:␈ε+t␈ε9␈α↓␈␈ε%␈α␈1
␈β
x␈↓ ¬`␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ εr␈ε"=␈↓ πv␈ε",
␈β␈↓ ∧x␈∧∧xα(␈↓ ¬.␈∧¬.α(␈↓ ε∀␈∧ε∀αQ␈↓ π$␈∧π$αN
␈β∩␈↓ ∧x␈ε(U␈↓ ¬.␈ε(U␈↓ ε∀␈ε(U␈↓ π7␈ε(U
␈β≡␈↓ ¬⊂␈ε%0␈↓ ¬F␈ε%1␈↓ ε,␈ε+t␈ε9␈α↓␈␈ε%␈α␈1␈↓ πP␈ε%0
␈βI␈↓ ↓H␈ε"since␈↓ α ␈ε(U␈↓ β␈ε"=␈↓ β.␈ε(V␈↓ βU␈ε";␈αtherefore,␈αif␈↓ ¬/␈ε(U␈↓ ¬W␈ε"=␈↓ ε¬␈ε(U␈↓ ε9␈ε"and␈↓ ε␈␈ε(V␈↓ π'␈ε"=␈↓ πV␈ε(V␈↓ λπ␈ε"are␈αrelativ␈α␈ely␈αprime,␈αand␈αif
␈βU␈↓ α9␈ε+k␈↓ αI␈ε%+1␈↓ βD␈ε+k␈↓ ε≡␈ε%0␈↓ πk␈ε%0
␈βt␈↓ ↓H␈ε"there␈αare␈ε(␈αt␈ε"␈αdivision␈αsteps,␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βA␈↓ ¬¬␈ε(X␈↓ ¬2␈ε(X␈↓ ¬f␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε⊗␈ε(X␈↓ εv␈ε"=␈α
1/␈↓ πH␈ε(U␈↓ πe␈ε".
␈βM␈↓ ¬#␈ε%0␈↓ ¬P␈ε%1␈↓ ε4␈ε+t␈ε9␈␈ε%1
␈β
∞␈↓ ↓H␈ε"Setting␈↓ αD␈ε(U␈↓ αk␈ε"=␈↓ β→␈ε(N␈↓ βH␈ε"and␈↓ ∧∞␈ε(V␈↓ ∧6␈ε"=␈ε(␈α
m␈ε"␈α	<␈↓ ¬;␈ε(N␈↓ ¬↑␈ε",␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat
␈β
[␈↓ βo␈ε"ln␈↓ ∧∪␈ε(X␈↓ ∧H␈ε"+␈↓ ∧t␈ε"ln␈↓ ¬_␈ε(X␈↓ ¬N␈ε"+␈↓ ¬z␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε,␈ε"+␈↓ εX␈ε"ln␈↓ ε|␈ε(X␈↓ π\␈ε"=␈ε6␈α
␈␈↓ λ4␈ε"ln␈↓ λX␈ε(N␈↓ λ{␈ε".␈↓ 
p␈ε"(49)
␈β
g␈↓ ∧1␈ε%0␈↓ ¬6␈ε%1␈↓ π~␈ε+t␈ε9␈␈ε%1
␈β∞(␈↓ ↓H␈ε"We␈α∞kn␈α↓o␈α␈w␈α∞the␈α
appro␈α␈ximate␈α∞distribution␈α∞of␈↓ εp␈ε(X␈↓ π≡␈ε",␈↓ π6␈ε(X␈↓ πc␈ε",␈↓ π|␈ε(X␈↓ λ)␈ε",␈↓ λA␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λq␈ε",␈α∂so␈α∞w␈α␈e␈α∞can␈α
use␈α∞this
␈β∞4␈↓ π∞␈ε%0␈↓ πT␈ε%1␈↓ λ~␈ε%2
␈β∞S␈↓ ↓H␈ε"equation␈αto␈αestimate
␈β∂ ␈↓ ∧O␈ε(t␈ε"␈α
=␈↓ ¬∀␈ε(T␈↓ ¬.␈ε"(␈↓ ¬:␈ε(N␈↓ ¬]␈ε",␈ε(␈αεm␈ε")␈α
=␈↓ εQ␈ε(T␈↓ εj␈ε"(␈ε(m␈ε",␈↓ π&␈ε(N␈↓ πI␈ε")␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ1.
␈β∂m␈↓ α␈ε"Returning␈α
to␈αthe␈αform␈α␈ulas␈α
preceding␈αTheorem␈α
W␈↓ λ⊗␈ε",␈α
w␈α␈e␈α|nd␈αthat␈α
the␈αa␈α␈v␈α␈erage
␈β⊂_␈↓ ↓H␈ε"v␈α⎇alue␈αof␈↓ αN␈ε"ln␈↓ αr␈ε(X␈↓ β"␈ε",␈αwhen␈↓ ∧⊗␈ε(X␈↓ ∧O␈ε"is␈αa␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αuniformly␈αdistributed␈αin␈↓ 	`␈ε"[␈↓ 	q␈ε"0,␈αε1),␈αis
␈β⊂$␈↓ β⊂␈ε+n␈↓ ∧4␈ε%0
␈β⊂W␈↓ β←␈ε↓Z␈↓ ε∩␈ε↓Z
␈β⊂]␈↓ ∧β␈ε%1␈↓ ε6␈ε%1
␈β⊂|␈↓ ∧s␈ε90
␈β⊃β␈↓ ∧→␈ε"ln␈↓ ∧=␈ε(x␈↓ ∧W␈ε(F␈↓ ¬↓␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε(␈αεdx␈ε"␈α
=␈↓ εK␈ε"ln␈↓ εo␈ε(x␈↓ π	␈ε(f␈↓ π-␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε(␈αεd␈α↓x␈ε"/(1␈αλ+␈ε(␈αλx␈ε"),␈↓ 
p␈ε"(50)
␈β⊃⊂␈↓ π≠␈ε+n
␈β⊃∀␈↓ ∧n␈ε+n
␈β⊃&␈↓ βs␈ε%0␈↓ ε&␈ε%0
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λ4␈ε"'␈↓ 
v␈ε"355
␈β↓Z␈↓ ¬9␈ε.AN␈α␈AL␈α}Y␈α␈SIS␈α
O␈α␈F␈αEUCLI␈α␈D␈↓ λ>␈ε.S␈α
AL␈α␈GO␈α␈RIT␈α␈HM
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"where␈↓ α0␈ε(f␈↓ αT␈ε"(␈ε(x␈ε")␈αis␈αde|ned␈αin␈α(31).␈α⊂No␈α␈w
␈βα/␈↓ αA␈ε+n
␈βαu␈↓ ε≠␈ε"1
␈ββ¬␈↓ π1␈ε9␈␈ε+n
␈ββ
␈↓ ∧⎇␈ε(f␈↓ ¬!␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈↓ εK␈ε"+␈↓ εw␈ε(O␈↓ π∪␈ε"(␈↓ π∨␈ε"2␈↓ πb␈ε"),␈↓ 
p␈ε"(51)
␈ββ~␈↓ ¬∞␈ε+n
␈ββ!␈↓ ε	␈∧β!ε	α6
␈ββ'␈↓ ε	␈ε"ln␈↓ ε-␈ε"2
␈ββu␈↓ ↓H␈ε"using␈αthe␈αfacts␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αderiv␈α␈ed␈αearlier␈α(see␈αexercise␈α23);␈αhence␈αthe␈αa␈α␈v␈α␈erage␈αv␈α⎇alue
␈β∧ ␈↓ ↓H␈ε"of␈↓ ↓r␈ε"ln␈↓ α⊗␈ε(X␈↓ αR␈ε"is␈αv␈α␈ery␈αw␈α␈ell␈αappro␈α␈ximated␈αby
␈β∧,␈↓ α4␈ε+n
␈β∧k␈↓ α7␈ε↓Z␈↓ ¬∨␈ε↓Z
␈β∧q␈↓ α[␈ε%1␈↓ ¬C␈ε91
␈β∧y␈↓ ε ␈ε9␈␈ε+u
␈β∧␈␈↓ α	␈ε"1␈↓ β¬␈ε"ln␈↓ β)␈ε(x␈↓ ∧q␈ε"1␈↓ ¬|␈ε(u␈↓ ε⊃␈ε(e
␈β¬↔␈↓ βX␈ε(dx␈↓ ∧	␈ε"=␈ε6␈α
␈␈↓ εr␈ε(d␈↓ πε␈ε(u
␈β¬+␈↓ ↓w␈∧¬+↓wα6␈↓ αt␈∧¬+αtα[␈↓ ∧←␈∧¬+∧←α6␈↓ ¬d␈∧¬+¬dα↓¬
␈β¬-␈↓ ε9␈ε9␈␈ε+u
␈β¬1␈↓ ↓w␈ε"ln␈↓ α≠␈ε"2␈↓ αt␈ε"1␈αλ+␈ε(␈αλx␈↓ ∧←␈ε"ln␈↓ ¬β␈ε"2␈↓ ¬d␈ε"1␈αλ+␈↓ ε*␈ε(e
␈β¬:␈↓ αK␈ε%0␈↓ ¬3␈ε%0
␈β¬L␈↓ εx␈ε↓Z
␈β¬R␈↓ π≤␈ε91
␈β¬V␈↓ ¬$␈ε↓X
␈β¬a␈↓ ∧q␈ε"1
␈β¬q␈↓ ε5␈ε+k␈↓ εE␈ε%+1␈↓ πd␈ε9␈␈↓ λ↓␈ε+k␈↓ λ∩␈ε+u
␈β¬x␈↓ ∧	␈ε"=␈ε6␈α
␈␈↓ ¬g␈ε"(␈ε6␈␈ε"1␈↓ ε)␈ε")␈↓ π@␈ε(u␈↓ πT␈ε(e␈↓ λ*␈ε(d␈↓ λ=␈ε(u
␈βε
␈↓ ∧←␈∧ε
∧←α6
␈βε∩␈↓ ∧←␈ε"ln␈↓ ¬β␈ε"2
␈βε≠␈↓ π␈ε%0
␈βε)␈↓ ¬∨␈ε+k␈↓ ¬0␈ε9∃␈ε%␈α␈1
␈βεI␈↓ ¬→␈ε↓∩␈↓ 	↓␈ε↓∪
␈βεJ␈↓ ∧q␈ε"1␈↓ ¬y␈ε"1␈↓ εG␈ε"1␈↓ π≡␈ε"1␈↓ π}␈ε"1
␈βεb␈↓ ∧	␈ε"=␈ε6␈α
␈␈↓ ¬/␈ε"1␈ε6␈αλ␈␈↓ ε↔␈ε"+␈↓ εe␈ε6␈␈↓ πE␈ε"+␈↓ λ%␈ε6␈␈↓ λQ␈ε6↓␈αε↓␈αε↓
␈βεv␈↓ ∧←␈∧εv∧←α6␈↓ ¬y␈∧εv¬yα∩␈↓ εG␈∧εvεGα∩␈↓ π∃␈∧εvπ∃α$␈↓ πu␈∧εvπuα$
␈βε|␈↓ ∧←␈ε"ln␈↓ ¬β␈ε"2␈↓ ¬y␈ε"4␈↓ εG␈ε"9␈↓ π∃␈ε"16␈↓ πu␈ε"25
␈βπ*␈↓ ¬→␈ε↓∩␈↓ λ↓␈ε↓∩␈↓ 
U␈ε↓∪␈↓ 
k␈ε↓∪
␈βπ+␈↓ ∧q␈ε"1␈↓ ¬y␈ε"1␈↓ εG␈ε"1␈↓ λ≠␈ε"1␈↓ λr␈ε"1␈↓ 	R␈ε"1
␈βπC␈↓ ∧	␈ε"=␈ε6␈α
␈␈↓ ¬/␈ε"1␈αλ+␈↓ ε↔␈ε"+␈↓ εe␈ε"+␈↓ π⊃␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πC␈ε6␈␈ε"␈αλ2␈↓ λ9␈ε"+␈↓ 	→␈ε"+␈↓ 	y␈ε"+␈↓ 
%␈ε6↓␈αε↓␈αε↓
␈βπX␈↓ ∧←␈∧πX∧←α6␈↓ ¬y␈∧πX¬yα∩␈↓ εG␈∧πXεGα∩␈↓ λ≠␈∧πXλ≠α∩␈↓ λi␈∧πXλiα$␈↓ 	I␈∧πX	Iα$
␈βπ]␈↓ ∧←␈ε"ln␈↓ ¬β␈ε"2␈↓ ¬y␈ε"4␈↓ εG␈ε"9␈↓ λ≠␈ε"4␈↓ λi␈ε"16␈↓ 	I␈ε"36
␈βλ␈↓ ¬1␈ε↓∩␈↓ πY␈ε↓∪
␈βλ
␈↓ ∧⎇␈ε"1␈↓ ε⊃␈ε"1␈↓ ε←␈ε"1
␈βλ%␈↓ ∧	␈ε"=␈ε6␈α
␈␈↓ ¬G␈ε"1␈αλ+␈↓ ε/␈ε"+␈↓ ε⎇␈ε"+␈↓ π)␈ε6↓␈αε↓␈αε↓
␈βλ9␈↓ ∧←␈∧λ9∧←αN␈↓ ε⊃␈∧λ9ε⊃α∩␈↓ ε←␈∧λ9ε←α∩
␈βλ>␈↓ ∧←␈ε"2␈↓ ∧w␈ε"ln␈↓ ¬≠␈ε"2␈↓ ε⊃␈ε"4␈↓ ε←␈ε"9
␈βλ}␈↓ ∧q␈ε%2
␈β	ε␈↓ ∧	␈ε"=␈ε6␈α
␈␈↓ ∧[␈ε(→␈↓ ¬␈ε"/(12␈↓ ¬H␈ε"ln␈↓ ¬l␈ε"2).
␈β	]␈↓ ↓H␈ε"By␈α(49)␈αw␈α␈e␈αtherefore␈αexpect␈αto␈αha␈α␈v␈α␈e␈αthe␈αappro␈α␈ximate␈αform␈α␈ula
␈β
/␈↓ ¬8␈ε%2
␈β
7␈↓ ∧p␈ε6␈␈ε(t␈↓ ¬"␈ε(→␈↓ ¬G␈ε"/(12␈↓ ε∂␈ε"ln␈↓ ε3␈ε"2)␈ε6␈α
→␈α
␈␈↓ π3␈ε"ln␈↓ πW␈ε(N␈↓ πz␈ε";
␈β
s␈↓ π∃␈ε↓␈␈↓ λR␈ε↓↓
␈β␈↓ λC␈ε%2
␈β∩␈↓ ↓H␈ε"that␈α∂is,␈ε(␈α⊃t␈ε"␈α∂sh␈α↓ould␈α⊂be␈α⊂appro␈α␈ximately␈α∂equal␈α⊂to␈↓ π#␈ε"(12␈↓ πY␈ε"ln␈↓ π⎇␈ε"2)/␈↓ λ-␈ε(→␈↓ λf␈ε"ln␈↓ 	
␈ε(N␈↓ 	-␈ε".␈α≠This␈α∂constan␈α␈t
␈β7␈↓ αh␈ε%2
␈β=␈↓ ↓H␈ε"(12␈↓ ↓}␈ε"ln␈↓ α"␈ε"2)/␈↓ αR␈ε(→␈↓ β∧␈ε"=␈α∞0.842765913␈↓ ∧z␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬2␈ε"agrees␈α∞perfectly␈α∞with␈α∞the␈α∞empirical␈α∞form␈α␈ula␈α∞(48)
␈βh␈↓ ↓H␈ε"obtained␈αearlier,␈αso␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αgo␈α↓od␈αreason␈αto␈αbeliev␈α␈e␈αthat␈αthe␈αform␈α␈ula
␈β;␈↓ ¬Y␈ε"12␈↓ εβ␈ε"ln␈↓ ε'␈ε"2
␈βS␈↓ ∧⎇␈ε(≤␈↓ ¬'␈ε6→␈↓ εI␈ε"ln␈↓ εm␈ε(n␈ε"␈αλ+␈αλ1.47␈↓ 
p␈ε"(52)
␈β←␈↓ ¬␈ε+n
␈βg␈↓ ¬Y␈∧g¬Yα`
␈βi␈↓ ε
␈ε%2
␈βm␈↓ ¬w␈ε(→
␈β
9␈↓ ↓H␈ε"indicates␈αthe␈αtrue␈αasymptotic␈αbeha␈α␈vior␈αof␈↓ ε]␈ε(≤␈↓ π	␈ε"as␈ε(␈αn␈ε6␈α
!␈α
1␈ε".
␈β
E␈↓ εj␈ε+n
␈β
e␈↓ α␈ε"If␈αw␈α␈e␈αassume␈αthat␈α(52)␈αis␈αv␈α⎇alid,␈αw␈α␈e␈αobtain␈αthe␈αform␈α␈ula
␈β∞3␈↓ εE␈ε↓X
␈β∞<␈↓ ¬B␈ε↓∩␈↓ πf␈ε↓∪
␈β∞=␈↓ ∧↑␈ε"12␈↓ ¬λ␈ε"ln␈↓ ¬,␈ε"2
␈β∞U␈↓ βz␈ε(T␈↓ ∧,␈ε6→␈↓ ¬X␈ε"ln␈↓ ¬|␈ε(n␈ε6␈απ␈␈↓ ε␈␈ε(β␈ε"(␈ε(d␈ε"␈α↓)/␈ε(d␈↓ λ∧␈ε"+␈αλ1.47,␈↓ 
p␈ε"(53)
␈β∞b␈↓ ∧∂␈ε+n
␈β∞i␈↓ ∧↑␈∧∞i∧↑α`
␈β∞k␈↓ ¬⊃␈ε%2
␈β∞o␈↓ ∧{␈ε(→
␈β∂ε␈↓ εF␈ε+d␈ε9␈α↓∧␈ε+n
␈β∂V␈↓ ↓H␈ε"where␈ε(␈αβ␈ε"(␈ε(d␈ε")␈αis␈↓ β!␈ε/v␈α␈on␈αMangoldt's␈αfunction␈ε"␈αde|ned␈αby␈αthe␈αrules
␈β⊂%␈↓ εF␈ε+r
␈β⊂,␈↓ ∧:␈ε"ln␈↓ ∧↑␈ε(p␈ε",␈↓ ¬C␈ε"if␈ε(␈αn␈ε"␈α
=␈↓ ε3␈ε(p␈↓ ε`␈ε"for␈ε(␈αp␈ε"␈αprime␈αand␈↓ λc␈ε(r␈↓ λ⎇␈ε6∃␈ε"␈α
1;
␈β⊂-␈↓ ∧$␈ε↓~
␈β⊂G␈↓ β)␈ε(β␈ε"(␈ε(n␈ε"␈α␈)␈α
=␈↓ 
p␈ε"(54)
␈β⊂b␈↓ ∧:␈ε"0,␈↓ ¬C␈ε"otherwise.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"356␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇or␈αexample,
␈βαv␈↓ ∧/␈ε↓∩␈↓ λg␈ε↓∪
␈βαw␈↓ βK␈ε"12␈↓ βu␈ε"ln␈↓ ∧→␈ε"2␈↓ ¬W␈ε"ln␈↓ ¬{␈ε"2␈↓ εI␈ε"ln␈↓ εm␈ε"2␈↓ π;␈ε"ln␈↓ π←␈ε"2␈↓ λ-␈ε"ln␈↓ λQ␈ε"5
␈ββ∂␈↓ αM␈ε(T␈↓ β→␈ε6→␈↓ ∧E␈ε"ln␈↓ ∧i␈ε"100␈ε6␈αλ␈␈↓ ε→␈ε6␈␈↓ π␈ε6␈␈↓ π⎇␈ε6␈␈↓ 	¬␈ε"+␈αλ1.47
␈ββ≠␈↓ αb␈ε%100
␈ββ#␈↓ βK␈∧β#βKα`␈↓ ¬W␈∧β#¬Wα6␈↓ εI␈∧β#εIα6␈↓ π;␈∧β#π;α6␈↓ λ-␈∧β#λ-α6
␈ββ%␈↓ β␈␈ε%2
␈ββ(␈↓ βi␈ε(→␈↓ ¬i␈ε"2␈↓ ε[␈ε"4␈↓ πM␈ε"5␈↓ λ6␈ε"25
␈ββb␈↓ β→␈ε6→␈ε"␈α
(0.843)(4.605␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ0.347␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ0.173␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ0.322␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ0.064)␈αλ+␈αλ1.47
␈β∧_␈↓ β→␈ε6→␈ε"␈α
4.59;
␈β∧g␈↓ ↓H␈ε"the␈αexact␈αv␈α⎇alue␈αof␈↓ βl␈ε(T␈↓ ∧:␈ε"is␈α4.56.
␈β∧t␈↓ ∧␈ε%1␈α↓00
␈β¬∪␈↓ α␈ε"We␈α
can␈αalso␈α
estimate␈α
the␈αa␈α␈v␈α␈erage␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈αdivision␈α
steps␈α
when␈ε(␈αu␈ε"␈α
and␈↓ 
←␈ε(v␈↓ 
|␈ε"are
␈β¬>␈↓ ↓H␈ε"both␈αuniformly␈αdistributed␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α1␈αand␈↓ εg␈ε(N␈↓ π
␈ε",␈αby␈αcalculating
␈βεα␈↓ ε≥␈ε↓X
␈βε␈↓ ¬V␈ε"1
␈βε$␈↓ εy␈ε(T␈↓ π!␈ε".␈↓ 
p␈ε"(55)
␈βε0␈↓ π∞␈ε+n
␈βε8␈↓ ¬N␈∧ε8¬Nα#
␈βε=␈↓ ¬N␈ε(N
␈βεT␈↓ ¬{␈ε%1␈ε9∀␈ε+␈α␈n␈ε9∀␈↓ εX␈ε+N
␈βπ ␈↓ ↓H␈ε"Assuming␈αform␈α␈ula␈α(53),␈αexercise␈α27␈αsh␈α↓o␈α␈ws␈αthat␈αthis␈αsum␈αhas␈αthe␈αform
␈βπr␈↓ ¬!␈ε"12␈↓ ¬K␈ε"ln␈↓ ¬o␈ε"2
␈βλ
␈↓ ε␈ε"ln␈↓ ε/␈ε(N␈↓ εZ␈ε"+␈↓ πε␈ε(O␈↓ π#␈ε"(1),␈↓ 
p␈ε"(56)
␈βλ≡␈↓ ¬!␈∧λ≡¬!α`
␈βλ ␈↓ ¬U␈ε%2
␈βλ$␈↓ ¬?␈ε(→
␈βλl␈↓ ↓H␈ε"and␈α∞empirical␈α∂calculations␈α∞with␈α∂the␈α∂same␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∂used␈α∂to␈α∞deriv␈α␈e␈α∂Eq.␈α∞4.5.2↑45
␈β	↔␈↓ ↓H␈ε"sh␈α↓o␈α␈w␈αgo␈α↓od␈αagreemen␈α␈t␈αwith␈αthe␈αform␈α␈ula
␈β	g␈↓ ¬%␈ε"12␈↓ ¬O␈ε"ln␈↓ ¬s␈ε"2
␈β	␈␈↓ ε∂␈ε"ln␈↓ ε3␈ε(N␈↓ ε↑␈ε"+␈αλ0.06.␈↓ 
p␈ε"(57)
␈β
∪␈↓ ¬%␈∧
∪¬%α`
␈β
∃␈↓ ¬X␈ε%2
␈β
→␈↓ ¬B␈ε(→
␈β
a␈↓ ↓H␈ε"Of␈α
course␈αw␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈αn␈α↓ot␈αy␈α␈et␈ε/␈α
pro␈α␈v␈α␈ed␈ε"␈αan␈α␈ything␈α
about␈↓ πS␈ε(T␈↓ λ¬␈ε"and␈↓ λJ␈ε(≤␈↓ λu␈ε"in␈α
general;␈αso␈αfar␈α
w␈α␈e
␈β
n␈↓ πh␈ε+n␈↓ λW␈ε+n
␈β␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈α∞only␈α∞been␈α∞considering␈α∞plausible␈α∞reasons␈α∂wh␈α␈y␈α∞the␈α∞abo␈α␈v␈α␈e␈α∞form␈α␈ulas␈α∞ough␈α␈t␈α∞to
␈β8␈↓ ↓H␈ε"h␈α↓old.␈α∂F␈α⎇ortunately␈α
it␈α
is␈αn␈α↓o␈α␈w␈α
possible␈α
to␈α
supply␈α
rigorous␈α
pro␈α↓ofs,␈αbased␈α
on␈α
a␈α
careful
␈βc␈↓ ↓H␈ε"analysis␈αby␈αsev␈α␈eral␈αmathematicians.
␈βλ␈↓ ε&␈ε%2
␈β∞␈↓ α␈ε"The␈α⊂leading␈α⊃coe}cien␈α␈t␈α⊂(12␈↓ ¬<␈ε"ln␈↓ ¬`␈ε"2)/␈↓ ε⊂␈ε(→␈↓ εF␈ε"in␈α⊂the␈α⊂abo␈α␈v␈α␈e␈α⊃form␈α␈ulas␈α⊂w␈α␈as␈α⊂established
␈β9␈↓ ↓H␈ε"|rst,␈α
in␈α
independen␈α␈t␈α
studies␈α
by␈α
John␈α
D.␈↓ εM␈ε"Dixon␈α
and␈α
Hans␈α
A.␈↓ 	
␈ε"Heilbronn.␈α≠Dixon
␈βe␈↓ ↓H␈ε"[␈ε/J.␈α∂Num␈α␈ber␈α⊂Theory␈ε2␈α∂2␈ε"␈α⊂(1970),␈α⊂414↑422]␈α⊂dev␈α␈eloped␈α⊂the␈α∂theory␈α⊂of␈α∂the␈↓ 
∂␈ε(F␈↓ 
9␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α∂dis-
␈βq␈↓ 
&␈ε+n
␈β
⊂␈↓ ↓H␈ε"tributions␈α
to␈α
sh␈α↓o␈α␈w␈α∞that␈α
individual␈α
partial␈α∞quotien␈α␈ts␈α
are␈α
essen␈α␈tially␈α
independen␈α␈t
␈β
;␈↓ ↓H␈ε"of␈αeach␈αother␈αin␈αan␈αappropriate␈αsense,␈αand␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αthat␈αfor␈αall␈αpositiv␈α␈e␈ε(␈α∂␈ε"␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β
H␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ α{␈ε↓␈␈↓ ∧8␈ε↓↓␈↓ ¬ε␈ε↓␈␈↓ λj␈ε↓␈␈↓ 
l␈ε↓↓
␈β
]␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ ¬ε␈ε↓␈
␈β
`␈↓ ∧)␈ε%2␈↓ ε≤␈ε%(1/␈α↓2)+␈ε+∂␈↓ 
A␈ε+∂␈ε%␈α↓/2␈↓ ≥␈ε%2
␈β
f␈↓ ↓T␈ε(T␈↓ ↓m␈ε"(␈ε(m␈ε",␈ε(␈αεn␈ε")␈ε6␈αε␈␈↓ β	␈ε"(12␈↓ β?␈ε"ln␈↓ βc␈ε"2)/␈↓ ∧∪␈ε(→␈↓ ∧L␈ε"ln␈↓ ∧p␈ε(n␈↓ ¬≤␈ε"<␈α
(␈↓ ¬V␈ε"ln␈↓ ¬z␈ε(n␈↓ ε⊂␈ε")␈↓ π⊂␈ε"except␈αλfor␈↓ λ2␈ε"e␈↓ λB␈ε"x␈↓ λV␈ε"p␈↓ λx␈ε6␈␈ε(c␈ε"␈α↓(␈ε(∂␈ε"␈α␈)(␈↓ 	↑␈ε"log␈↓ 
∩␈ε(N␈↓ 
5␈ε")␈↓ 
z␈ε(N
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈ε"v␈α⎇alues␈α
of␈ε(␈αm␈ε"␈α
and␈ε(␈α
n␈ε"␈αin␈α
the␈α
range␈α
1␈ε6␈α∀␈ε(␈αm␈ε"␈α<␈ε(␈αn␈ε6␈α∀␈↓ π8␈ε(N␈↓ π[␈ε",␈α
where␈ε(␈α
c␈ε"(␈ε(∂␈ε")␈α>␈α0.␈α∩Heilbronn's
␈β∞=␈↓ ↓H␈ε"approach␈α
w␈α␈as␈α
completely␈α
di{eren␈α␈t,␈αw␈α␈orking␈α
en␈α␈tirely␈α
with␈α
in␈α␈tegers␈α
instead␈α
of␈α
con-
␈β∞h␈↓ ↓H␈ε"tin␈α␈uous␈αv␈α⎇ariables.␈α⊂His␈αidea,␈αwhich␈αis␈αpresen␈α␈ted␈αin␈αsligh␈α␈tly␈αm␈α↓odi|ed␈αform␈αin␈αexer-
␈β∂∪␈↓ ↓H␈ε"cises␈α
33␈α
and␈α
34,␈α
is␈α
based␈α
on␈α
the␈αfact␈α
that␈↓ εE␈ε(≤␈↓ εo␈ε"can␈α
be␈α
related␈α
to␈α
the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
w␈α␈a␈α␈ys
␈β∂∨␈↓ εR␈ε+n
␈β∂>␈↓ ↓H␈ε"to␈α	represen␈α␈t␈ε(␈α
n␈ε"␈α
in␈α
a␈α
certain␈α	manner.␈α⊂F␈α⎇urtherm␈α↓ore,␈α
his␈α
paper␈α
[␈ε/Num␈α␈ber␈α
Theory␈α	and
␈β∂i␈↓ ↓H␈ε/Analysis␈ε",␈α
ed.␈α∞by␈α
Paul␈α
T␈α⎇ur␈↓ ∧`␈ε"∞␈↓ ∧`␈ε"a␈↓ ∧r␈ε"n␈α
(New␈α∞Y␈α⎇ork:␈α∞Plen␈α␈um,␈α∞1969),␈α∞87↑96]␈α
sh␈α↓o␈α␈ws␈α
that␈α
the
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈ε"distribution␈α
of␈αindividual␈α
partial␈α
quotien␈α␈ts␈α1,␈α2,␈↓ π3␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ πh␈ε"that␈α
w␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈α
discussed␈α
abo␈α␈v␈α␈e
␈β⊂@␈↓ ↓H␈ε"actually␈α
applies␈α
to␈α
the␈α
en␈α␈tire␈α
collection␈α
of␈α
partial␈α
quotien␈α␈ts␈α	belonging␈α
to␈α
the␈α
frac-
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"tions␈αha␈α␈ving␈α
a␈α
giv␈α␈en␈α
den␈α↓ominator;␈α
this␈α
is␈α
a␈α
sharper␈α
form␈αof␈α
Theorem␈α
E␈↓ 
/␈ε".␈α∪A␈αstill
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"sharper␈αresult␈αw␈α␈as␈αobtained␈αsev␈α␈eral␈αy␈α␈ears␈αlater␈αby␈αJ.␈α
W.␈↓ λ5␈ε"Porter␈α[␈ε/Mathematik␈α⎇a␈ε2␈α22
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λ4␈ε"'␈↓ 
v␈ε"357
␈β↓Z␈↓ ¬9␈ε.AN␈α␈AL␈α}Y␈α␈SIS␈α
O␈α␈F␈αEUCLI␈α␈D␈↓ λ>␈ε.S␈α
AL␈α␈GO␈α␈RIT␈α␈HM
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"(1975),␈α20↑28],␈αwh␈α↓o␈αestablished␈αthat
␈βαm␈↓ ∧o␈ε"12␈↓ ¬→␈ε"ln␈↓ ¬=␈ε"2
␈βα}␈↓ πV␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈α↓/6+␈ε+∂
␈ββ¬␈↓ ∧∪␈ε(≤␈↓ ∧=␈ε"=␈↓ ¬Y␈ε"ln␈↓ ¬⎇␈ε(n␈ε"␈αλ+␈↓ εG␈ε(C␈↓ εl␈ε"+␈↓ π_␈ε(O␈↓ π4␈ε"(␈↓ π@␈ε(n␈↓ λK␈ε"),␈↓ 
p␈ε"(58)
␈ββ∩␈↓ ∧!␈ε+n
␈ββ~␈↓ ∧o␈∧β~∧oα`
␈ββ≤␈↓ ¬#␈ε%2
␈ββ∨␈↓ ¬
␈ε(→
␈ββa␈↓ ↓H␈ε"where␈↓ α0␈ε(C␈↓ αV␈ε"=␈α
1.4670780794␈↓ ∧Z␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬⊂␈ε"is␈αthe␈αconstan␈α␈t
␈β∧∪␈↓ βN␈ε↓␈␈↓ ∧y␈ε↓↓␈↓ ¬π␈ε↓␈␈↓ λC␈ε↓↓
␈β∧,␈↓ ∧j␈ε%2␈↓ π,␈ε%2␈↓ πK␈ε90
␈β∧-␈↓ 		␈ε%1
␈β∧2␈↓ β\␈ε"(6␈↓ ∧␈ε"ln␈↓ ∧$␈ε"2)/␈↓ ∧T␈ε(→␈↓ ¬∃␈ε"3␈↓ ¬-␈ε"ln␈↓ ¬Q␈ε"2␈αλ+␈αλ4␈↓ ε)␈ε(␈
␈↓ εF␈ε6␈␈ε"␈αλ24␈↓ π⊗␈ε(→␈↓ π;␈ε(⊂␈↓ πS␈ε"(2)␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ2␈↓ λY␈ε6␈␈↓ 	≤␈ε";
␈β∧C␈↓ 		␈ε%2
␈β∧F␈↓ 		␈∧∧F		α⊂
␈β¬β␈↓ ↓H␈ε"see␈α∞D.␈α∞E.␈↓ αh␈ε"Kn␈α␈uth,␈ε/␈α∂Computers␈α∞and␈α∞Math.␈α∞with␈α∞Applic.␈ε2␈α∞2␈ε"␈α∞(1976),␈α∂137↑139.␈α⊗Th␈α␈us
␈β¬.␈↓ ↓H␈ε"the␈αconjecture␈α(48)␈αis␈αfully␈αpro␈α␈v␈α␈ed.
␈β¬Y␈↓ α␈ε"The␈αa␈α␈v␈α␈erage␈αrunning␈αtime␈αfor␈αEuclid's␈αalgorithm␈αon␈αm␈α␈ultiprecision␈αin␈α␈tegers,
␈βε∧␈↓ ↓H␈ε"using␈αclassical␈αalgorithms␈αfor␈αarithmetic,␈αw␈α␈as␈αsh␈α↓o␈α␈wn␈αto␈αbe␈αof␈αorder
␈βε6␈↓ βl␈ε↓␈␈↓ ∧n␈ε↓␈␈↓ π'␈ε↓↓␈↓ π5␈ε↓↓
␈βεU␈↓ βz␈ε"1␈αλ+␈↓ ∧@␈ε"log␈↓ ∧|␈ε"ma␈↓ ¬,␈ε"x␈↓ ¬@␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈,␈↓ ¬p␈ε(v␈↓ εβ␈ε")/␈↓ ε!␈ε"gcd␈↓ εW␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ πλ␈ε(v␈↓ π≠␈ε")␈↓ πI␈ε"log␈↓ π⎇␈ε"min␈↓ λ9␈ε"(␈ε(u␈ε",␈↓ λj␈ε(v␈↓ λ⎇␈ε")
␈βπ&␈↓ ↓H␈ε"by␈αG.␈αE.␈↓ α[␈ε"Collins,␈αin␈ε/␈αSIAM␈αJ.␈αComputing␈ε2␈α3␈ε"␈α(1974),␈α1↑10.
␈βπd␈↓ ↓H␈ε2Summary.␈ε"␈α∩We␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
found␈α
that␈α
the␈α
w␈α␈orst␈α
case␈α	of␈α
Euclid's␈α
algorithm␈α
occurs␈α
when
␈βλ∂␈↓ ↓H␈ε"its␈αinputs␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ βN␈ε(v␈↓ βm␈ε"are␈αconsecutiv␈α␈e␈αFibonacci␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α(Theorem␈αF␈↓ 	W␈ε");␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber
␈βλ;␈↓ ↓H␈ε"of␈α
division␈α∞steps␈α∞when␈↓ ∧6␈ε(v␈↓ ∧V␈ε"=␈ε(␈α
n␈ε"␈α∞will␈α∞nev␈α␈er␈α
exceed␈ε6␈α∞d␈ε"4.8␈↓ λ
␈ε"log␈↓ λ]␈ε(N␈↓ 		␈ε6␈␈ε"␈α	0.32␈ε6e␈ε".␈α⊗We␈α
ha␈α␈v␈α␈e
␈βλJ␈↓ λ8␈ε%10
␈βλf␈↓ ↓H␈ε"determined␈αthe␈αfrequency␈αof␈αthe␈αv␈α⎇alues␈αof␈αv␈α⎇arious␈αpartial␈αquotien␈α␈ts,␈αsh␈α↓o␈α␈wing,␈αfor
␈β	⊃␈↓ ↓H␈ε"example,␈α∂that␈α∂the␈α∂division␈α∞step␈α∂|nds␈ε6␈α∂b␈ε(u␈ε"/␈↓ εY␈ε(v␈↓ εl␈ε6c␈ε"␈α∞=␈α∂1␈α∂about␈α∞41␈α∂percen␈α␈t␈α∂of␈α∂the␈α∞time
␈β	<␈↓ ↓H␈ε"(Theorem␈αE␈↓ ββ␈ε").␈α∂And,␈α|nally,␈αthe␈αtheorems␈αof␈αHeilbronn␈αand␈αPorter␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈αthat␈αthe
␈β	g␈↓ ↓H␈ε"a␈α␈v␈α␈erage␈αn␈α␈um␈α␈ber␈↓ βK␈ε(T␈↓ β}␈ε"of␈αdivision␈αsteps␈αwhen␈↓ εe␈ε(v␈↓ πα␈ε"=␈ε(␈α
n␈ε"␈αis␈αappro␈α␈ximately
␈β	t␈↓ β←␈ε+n
␈β
~␈↓ ∧+␈ε↓␈␈↓ ¬h␈ε↓↓
␈β
0␈↓ ¬X␈ε%2
␈β
8␈↓ ∧9␈ε"(12␈↓ ∧o␈ε"ln␈↓ ¬∪␈ε"2)/␈↓ ¬C␈ε(→␈↓ ¬|␈ε"ln␈↓ ε ␈ε(n␈ε6␈α	→␈ε"␈α
1.9405␈↓ πW␈ε"log␈↓ λ*␈ε(n␈ε",
␈β
H␈↓ λ¬␈ε%1␈α↓0
␈β	␈↓ ↓H␈ε"min␈α␈us␈αa␈αcorrection␈αterm␈αbased␈αon␈αthe␈αdivisors␈αof␈ε(␈αn␈ε"␈αas␈αsh␈α↓o␈α␈wn␈αin␈αEq.␈α(53).
␈βπ␈↓ ↓H␈ε=E␈α␈XERCISES
␈βR␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βT␈↓ ↓c␈ε31.␈↓ α␈ε#[␈ε)20␈↓ α;␈ε#]␈α⊗S␈α␈ince␈α∂th␈α␈e␈α⊂q␈α␈uo␈α␈ti␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈ε7␈α∂b␈ε)u␈ε#␈α↓/␈↓ ¬*␈ε)v␈↓ ¬<␈ε7c␈ε#␈α∂i␈α↓s␈α∂equ␈α␈al␈α∂to␈α∂un␈α␈i␈α↓t␈α␈y␈α∂o␈α}v␈α␈er␈α∂40␈α∂p␈α␈ercen␈α}t␈α⊂o␈α␈f␈α⊂th␈α␈e␈α⊂t␈α␈i␈α↓m␈α␈e␈α⊂in
␈β|␈↓ ↓H␈ε#Algo␈α␈rithm␈α4.5.2A␈↓ βD␈ε#,␈αit␈αma␈α␈y␈αb␈α␈e␈αad␈α␈v␈α⎇an␈α}tag␈α␈eou␈α␈s␈αon␈αsom␈α␈e␈αco␈α␈mpu␈α␈ters␈αt␈α␈o␈αma␈α␈k␈α␈e␈αa␈αtest␈αfor␈αth␈α␈is
␈β
#␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈ase␈α
a␈α␈nd␈α	to␈α
a␈α}v␈α␈oid␈α	the␈α
d␈α␈ivision␈α	when␈α	the␈α	qu␈α␈otien␈α␈t␈α	i␈α↓s␈α
u␈α␈nit␈α␈y␈α␈.␈α∂Is␈α
th␈α␈e␈α
follo␈α␈wing␈↓ 
2␈ε#pro␈α␈gram
␈β
%␈↓ 	u␈ε∃MIX
␈β
K␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈αE␈α↓u␈α␈clid's␈αalgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αm␈α↓o␈α␈re␈αe}c␈α␈i␈α↓en␈α}t␈αtha␈α␈n␈αProg␈α␈ram␈α4␈α␈.␈α↓5␈α␈.␈α↓2␈α␈A?
␈β∞∞␈↓ ε,␈ε#rX␈↓ εZ␈ε7␈ ␈ε)␈α	u␈ε#␈α↓.
␈β∞⊂␈↓ ∧\␈ε∃LDX␈↓ ¬1␈ε∃U
␈β∞7␈↓ ∧\␈ε∃JMP␈↓ ¬1␈ε∃2F
␈β∞]␈↓ ε,␈ε)v␈↓ εG␈ε7␈ ␈↓ εq␈ε#rX␈↓ π⊗␈ε#.
␈β∞←␈↓ ∧(␈ε∃1H␈↓ ∧\␈ε∃STX␈↓ ¬1␈ε∃V
␈β∂∧␈↓ ε,␈ε#rA␈↓ εZ␈ε7␈ ␈ε)␈α	u␈ε7␈αλ␈␈↓ πH␈ε)v␈↓ πZ␈ε#.
␈β∂ε␈↓ ∧\␈ε∃SUB␈↓ ¬1␈ε∃V
␈β∂.␈↓ ∧\␈ε∃CMPA␈↓ ¬1␈ε∃V
␈β∂T␈↓ ε,␈ε#rAX␈↓ εr␈ε7␈ ␈↓ π≤␈ε#rA␈↓ πA␈ε#.
␈β∂V␈↓ ∧\␈ε∃SRAX␈↓ ¬1␈ε∃5
␈β∂{␈↓ ε,␈ε#Is␈ε)␈αu␈ε7␈αλ␈␈↓ π∩␈ε)v␈↓ π-␈ε#<␈↓ πX␈ε)v␈↓ πi␈ε#?
␈β∂⎇␈↓ ∧\␈ε∃JL␈↓ ¬1␈ε∃2F
␈β⊂#␈↓ ε,␈ε#rX␈↓ εZ␈ε7␈ ␈↓ π∧␈ε#rAX␈↓ πG␈ε#mo␈α␈d␈↓ λ␈ε)v␈↓ λ≥␈ε#.
␈β⊂%␈↓ ∧\␈ε∃DIV␈↓ ¬1␈ε∃V
␈β⊂J␈↓ ε,␈ε#rA␈↓ εZ␈ε7␈ ␈↓ π∧␈ε)v␈↓ π⊗␈ε#.
␈β⊂L␈↓ ∧(␈ε∃2H␈↓ ∧\␈ε∃LDA␈↓ ¬1␈ε∃V
␈β⊂r␈↓ ε,␈ε#D␈α␈one␈αif␈↓ π"␈ε#rX␈↓ πP␈ε#=␈α
0␈α␈.
␈β⊂t␈↓ ∧\␈ε∃JXNZ␈↓ ¬1␈ε∃1B
␈β⊂y␈↓ λ:␈∧⊂yλ:≠∂
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"358␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα%␈↓ ↓g␈ε32.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈1␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Ev␈α⎇alua␈α␈te␈αthe␈αm␈α␈atrix␈αp␈α␈rod␈α␈uct
␈βαm␈↓ ∧G␈ε↓∩␈↓ ¬>␈ε↓∪␈↓ ¬T␈ε↓∩␈↓ εK␈ε↓∪␈↓ π∪␈ε↓∩␈↓ λ
␈ε↓∪
␈βαq␈↓ ∧a␈ε)x␈↓ ¬*␈ε#1␈↓ ¬n␈ε)x␈↓ ε7␈ε#1␈↓ π-␈ε)x␈↓ πy␈ε#1
␈βα⎇␈↓ ∧t␈ε&1␈↓ ε↓␈ε&2␈↓ π@␈ε,n
␈ββπ␈↓ εg␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ λ#␈ε#.
␈ββ≡␈↓ ∧i␈ε#1␈↓ ¬*␈ε#0␈↓ ¬v␈ε#1␈↓ ε7␈ε#0␈↓ π6␈ε#1␈↓ πy␈ε#0
␈ββt␈↓ ↓g␈ε33.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈1␈↓ α\␈ε#]␈α⊗W␈α↓h␈α␈at␈αis␈αthe␈α
v␈α⎇alue␈αo␈α␈f
␈β∧!␈↓ ∧)␈ε↓0␈↓ λU␈ε↓1
␈β∧A␈↓ ∧b␈ε)x␈↓ ¬R␈ε#1␈↓ ε>␈ε#0␈↓ π!␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ λ~␈ε#0
␈β∧L␈↓ ∧t␈ε&1
␈β∧b␈↓ ∧)␈ε↓B␈↓ λU␈ε↓C
␈β∧h␈↓ ∧H␈ε7␈␈↓ ∧j␈ε#1␈↓ ¬J␈ε)x␈↓ ε>␈ε#1␈↓ λ~␈ε#0
␈β∧t␈↓ ¬]␈ε&2
␈β∧w␈↓ ∧)␈ε↓B␈↓ λU␈ε↓C
␈β¬	␈↓ λ≥␈ε#.
␈β¬
␈↓ ∧)␈ε↓B␈↓ λU␈ε↓C
␈β¬⊂␈↓ ∧j␈ε#0␈↓ ¬1␈ε7␈␈↓ ¬R␈ε#1␈↓ ε6␈ε)x␈↓ π,␈ε#1
␈β¬↔␈↓ λ≥␈ε#.
␈β¬≠␈↓ εH␈ε&3
␈β¬"␈↓ βu␈ε#d␈α␈et␈↓ λr␈ε#?
␈β¬#␈↓ ∧)␈ε↓B␈↓ λU␈ε↓C
␈β¬%␈↓ λ≥␈ε#.
␈β¬7␈↓ ε≤␈ε7␈␈↓ ε>␈ε#1
␈β¬8␈↓ ∧)␈ε↓B␈↓ λU␈ε↓C
␈β¬@␈↓ ∧m␈ε#.
␈β¬G␈↓ π!␈ε#.
␈β¬N␈↓ ∧)␈ε↓@␈↓ ∧m␈ε#.␈↓ λU␈ε↓A
␈β¬R␈↓ π0␈ε#.
␈β¬]␈↓ ∧m␈ε#.␈↓ π?␈ε#.␈↓ λ~␈ε#1
␈βε∧␈↓ ∧j␈ε#0␈↓ ¬R␈ε#0␈↓ ε2␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ π␈ε7␈␈↓ π,␈ε#1␈↓ λ⊂␈ε)x
␈βε⊂␈↓ λ#␈ε,n
␈βεZ␈↓ ↓g␈ε34.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈αEq.␈α(8).
␈βπ␈↓ ↓g␈ε35.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈25␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Let␈↓ βP␈ε)x␈↓ βp␈ε#,␈↓ ∧¬␈ε)x␈↓ ∧%␈ε#,␈↓ ∧:␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ∧l␈ε#be␈αa␈αsequ␈α␈en␈α␈ce␈αof␈αre␈α␈al␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈αtha␈α␈t␈αa␈α␈re␈αe␈α␈ach␈αg␈α␈reate␈α␈r␈αth␈α␈an
␈βπ_␈↓ βc␈ε&1␈↓ ∧_␈ε&2
␈βπ4␈↓ ↓H␈ε#so␈α␈me␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αre␈α␈al␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈ε)␈α
∂␈ε#.␈α∂P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αin|␈α␈nite␈αc␈α␈on␈α␈tin␈α}ued␈α
fraction␈ε7␈α
?␈↓ 	g␈ε)x␈↓ 
π␈ε#,␈↓ 
⊗␈ε)x␈↓ 
6␈ε#,␈↓ 
E␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ 
q␈ε7?␈ε#␈α	=
␈βπ?␈↓ 	y␈ε&1␈↓ 
(␈ε&2
␈βπ[␈↓ ↓H␈ε#lim␈↓ αA␈ε7?␈↓ αR␈ε)x␈↓ αr␈ε#,␈↓ β↓␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ β-␈ε#,␈↓ β<␈ε)x␈↓ β←␈ε7?␈ε#␈α
ex␈α␈i␈α↓sts.␈α∃Sho␈α␈w␈α
also␈α
th␈α␈at␈ε7␈α
?␈↓ εh␈ε)x␈↓ πλ␈ε#,␈↓ π↔␈ε)x␈↓ π7␈ε#,␈↓ πF␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ πr␈ε7?␈ε#␈α
nee␈α␈d␈α
n␈α↓o␈α␈t␈α
exist␈α
if␈α∞w␈α␈e␈α
a␈α␈ssume
␈βπg␈↓ ↓v␈ε,n␈ε:!1␈↓ αd␈ε&1␈↓ βN␈ε,n␈↓ εz␈ε&1␈↓ π)␈ε&2
␈βλβ␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈nly␈αth␈α␈at␈↓ αY␈ε)x␈↓ βα␈ε#>␈α
0␈αfor␈αa␈α␈ll␈↓ ∧+␈ε)j␈↓ ∧<␈ε#.
␈βλ∞␈↓ αk␈ε,j
␈βλ5␈↓ ↓g␈ε36.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈3␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈α
th␈α␈at␈α
th␈α␈e␈↓ ∧W␈ε#regu␈α␈l␈α↓a␈α␈r␈α
con␈α}ti␈α↓n␈α}ued␈α	fraction␈α	exp␈α␈an␈α␈sion␈α
o␈α␈f␈αa␈α
n␈α}um␈α}ber␈α
is␈ε0␈α
un␈α␈ique
␈βλ\␈↓ ↓H␈ε#in␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αsen␈α␈se:␈α∂If␈↓ ∧?␈ε)B␈↓ ∧d␈ε#,␈↓ ∧z␈ε)B␈↓ ¬ ␈ε#,␈↓ ¬6␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ¬j␈ε#are␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈α
in␈α␈te␈α␈gers,␈α
th␈α␈en␈αthe␈αi␈α↓n␈α␈|n␈α␈ite␈α
co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed
␈βλh␈↓ ∧V␈ε&1␈↓ ¬∩␈ε&2
␈β	∧␈↓ ↓H␈ε#fra␈α␈ction␈ε7␈α
?␈↓ αV␈ε)B␈↓ α|␈ε#,␈↓ β␈ε)B␈↓ β0␈ε#,␈↓ β?␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ βl␈ε7?␈ε#␈αi␈α↓s␈α
a␈α␈n␈α
irration␈α␈al␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈↓ εk␈ε)X␈↓ π_␈ε#b␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α0␈α
an␈α␈d␈α
1␈α
whose␈α
r␈α␈egu␈α␈l␈α↓a␈α␈r␈α
con␈α␈-
␈β	∂␈↓ αn␈ε&1␈↓ β#␈ε&2
␈β	+␈↓ ↓H␈ε#tin␈α}ued␈α
fra␈α␈ction␈α
h␈α␈as␈↓ βl␈ε)A␈↓ ∧"␈ε#=␈↓ ∧P␈ε)B␈↓ ¬ε␈ε#for␈α
all␈ε)␈α∞n␈ε7␈α
∃␈ε#␈α
1;␈α∂a␈α␈nd␈α
if␈↓ πI␈ε)B␈↓ πo␈ε#,␈↓ λε␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ λ2␈ε#,␈↓ λJ␈ε)B␈↓ 	ε␈ε#are␈α
po␈α␈si␈α↓t␈α␈i␈α↓v␈α}e␈α∞in␈α}teger␈α␈s
␈β	7␈↓ ∧∧␈ε,n␈↓ ∧h␈ε,n␈↓ πa␈ε&1␈↓ λa␈ε,m
␈β	S␈↓ ↓H␈ε#with␈↓ α∩␈ε)B␈↓ αK␈ε#>␈α
1␈α␈,␈αth␈α␈en␈α	the␈α	regu␈α␈l␈α↓a␈α␈r␈α
con␈α}tin␈α␈u␈α␈ed␈α
fra␈α␈ction␈α	for␈↓ πP␈ε)X␈↓ πx␈ε#=␈ε7␈α
?␈↓ λ3␈ε)B␈↓ λY␈ε#,␈↓ λh␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ 	∀␈ε#,␈↓ 	#␈ε)B␈↓ 	S␈ε7?␈ε#␈α	ha␈α␈s␈↓ 
'␈ε)A␈↓ 
Y␈ε#=␈↓ ∧␈ε)B
␈β	←␈↓ α*␈ε,m␈↓ λK␈ε&1␈↓ 	;␈ε,m␈↓ 
?␈ε,n␈↓ ≤␈ε,n
␈β	{␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈α1␈ε7␈α	∀␈ε)␈α
n␈ε7␈α
∀␈ε)␈α	m␈ε#.
␈β
-␈↓ ↓g␈ε37.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈6␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Fi␈α↓n␈α␈d␈α⊂a␈α␈l␈α↓l␈α⊂p␈α␈erm␈α␈u␈α␈tation␈α␈s␈ε)␈α⊂p␈ε#(1)␈ε)p␈ε#(2)␈↓ εI␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ εv␈ε)p␈ε#␈α␈(␈ε)␈α↓n␈ε#)␈↓ πB␈ε#of␈α⊂th␈α␈e␈α⊂in␈α␈teg␈α␈ers␈ε7␈α⊂f␈ε#1␈α␈,␈αε2,␈↓ 	{␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 
(␈ε#,␈ε)␈αεn␈ε7g␈ε#␈α⊂su␈α␈ch
␈β
T␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈↓ α⊂␈ε)Q␈↓ α;␈ε#(␈↓ αF␈ε)x␈↓ αf␈ε#,␈↓ αu␈ε)x␈↓ β∃␈ε#,␈↓ β$␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ βQ␈ε#,␈↓ β←␈ε)x␈↓ ∧β␈ε#)␈α	=␈↓ ∧B␈ε)Q␈↓ ∧m␈ε#(␈↓ ∧x␈ε)x␈↓ ¬:␈ε#,␈↓ ¬I␈ε)x␈↓ ε␈ε#,␈↓ ε~␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ εF␈ε#,␈↓ εU␈ε)x␈↓ π~␈ε#)␈αhold␈α␈s␈αf␈α↓o␈α␈r␈αall␈↓ λj␈ε)x␈↓ 	␈ε#,␈↓ 	∨␈ε)x␈↓ 	?␈ε#,␈↓ 	T␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ 
␈ε#,␈↓ 
∃␈ε)x␈↓ 
8␈ε#.
␈β
`␈↓ α*␈ε,n␈↓ αY␈ε&1␈↓ βλ␈ε&2␈↓ βr␈ε,n␈↓ ∧\␈ε,n␈↓ ¬
␈ε,p␈ε&(1)␈↓ ¬[␈ε,p␈ε&(2)␈↓ εh␈ε,p␈ε&␈α␈(␈ε,n␈ε&)␈↓ λ⎇␈ε&1␈↓ 	2␈ε&2␈↓ 
'␈ε,n
␈βε␈↓ ↓g␈ε38.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Sho␈α␈w␈α
th␈α␈at␈ε7␈α
␈␈ε#1/␈↓ ∧b␈ε)X␈↓ ¬≠␈ε#=␈ε7␈α?␈↓ ¬Y␈ε)A␈↓ ε↓␈ε#,␈↓ ε⊂␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ε=␈ε#,␈↓ εK␈ε)A␈↓ εq␈ε#,␈ε7␈αε␈␈↓ π!␈ε)X␈↓ πA␈ε7?␈ε#␈α␈,␈α∞wh␈α␈en␈α␈ev␈α␈er␈↓ λ{␈ε)X␈↓ 	5␈ε#is␈α
d␈α␈e|␈α␈ned␈α␈,␈α∞in␈αthe
␈β∩␈↓ ∧}␈ε,n␈↓ ¬q␈ε,n␈↓ εd␈ε&1␈↓ 	↔␈ε,n
␈β.␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈gula␈α␈r␈αc␈α␈on␈α␈t␈α␈i␈α↓n␈α}ued␈α
fraction␈α
pro␈α␈cess.
␈β←␈↓ ↓g␈ε39.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈1␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Sho␈α␈w␈αtha␈α␈t␈αcon␈α}tin␈α␈ue␈α␈d␈αfrac␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αsa␈α␈ti␈α↓sfy␈α
the␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αiden␈α}ti␈α↓ties:
␈β∂␈↓ α␈ε6?␈↓ β,␈ε6?␈↓ βq␈ε6?␈↓ π↔␈ε6?
␈β⊃␈↓ ↓e␈ε#a)␈↓ α≡␈ε)x␈↓ α>␈ε#,␈↓ αM␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ αz␈ε#,␈↓ βλ␈ε)x␈↓ βG␈ε#=␈↓ ∧β␈ε)x␈↓ ∧$␈ε#,␈↓ ∧3␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧←␈ε#,␈↓ ∧n␈ε)x␈↓ ¬⊗␈ε#+␈ε7␈αλ?␈↓ ¬P␈ε)x␈↓ ε→␈ε#,␈↓ ε(␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ εT␈ε#,␈↓ εc␈ε)x␈↓ ππ␈ε7?␈↓ π)␈ε#,␈↓ πz1␈ε7␈α	∀␈↓ λ?␈ε)k␈↓ λ[␈ε7∀␈ε)␈α	n␈ε#␈α↓;
␈β≤␈↓ α1␈ε&1␈↓ β≠␈ε,n␈↓ ∧⊗␈ε&1␈↓ ¬␈ε,k␈↓ ¬b␈ε,k␈↓ ¬q␈ε&+1␈↓ εv␈ε,n
␈β@␈↓ ↓c␈ε#b)␈↓ α␈ε7?␈ε#0␈α␈,␈↓ α<␈ε)x␈↓ α\␈ε#,␈↓ αk␈ε)x␈↓ β␈ε#,␈↓ β~␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ βG␈ε#,␈↓ βV␈ε)x␈↓ βy␈ε7?␈ε#␈α	=␈↓ ∧=␈ε)x␈↓ ∧e␈ε#+␈ε7␈αλ?␈↓ ¬≡␈ε)x␈↓ ¬?␈ε#,␈↓ ¬M␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ¬z␈ε#,␈↓ ε	␈ε)x␈↓ ε,␈ε7?␈ε#,␈ε)␈↓ π∞n␈ε7␈α	∃␈ε#␈α
1;
␈βK␈↓ αO␈ε&1␈↓ α}␈ε&2␈↓ βh␈ε,n␈↓ ∧P␈ε&1␈↓ ¬1␈ε&2␈↓ ε≠␈ε,n
␈βn␈↓ ↓g␈ε#c)␈↓ α␈ε7?␈↓ α≥␈ε)x␈↓ α=␈ε#,␈↓ αL␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ αx␈ε#,␈↓ βπ␈ε)x␈↓ βP␈ε#,␈↓ β←␈ε)x␈↓ ∧␈ε#,␈αε0,␈↓ ∧/␈ε)x␈↓ ∧x␈ε#,␈↓ ¬π␈ε)x␈↓ ¬P␈ε#,␈↓ ¬←␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ε␈ε#,␈↓ ε~␈ε)x␈↓ ε>␈ε7?
␈βz␈↓ α/␈ε&1␈↓ β→␈ε,k␈↓ β(␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈↓ βr␈ε,k␈↓ ∧A␈ε,k␈↓ ∧P␈ε&+1␈↓ ¬→␈ε,k␈↓ ¬(␈ε&+␈α↓2␈↓ ε-␈ε,n
␈β
⊗␈↓ ∧D␈ε#=␈ε7␈α
?␈↓ ∧␈␈ε)x␈↓ ¬ ␈ε#,␈↓ ¬.␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ¬[␈ε#,␈↓ ¬j␈ε)x␈↓ ε3␈ε#,␈↓ εB␈ε)x␈↓ εj␈ε#+␈↓ π∪␈ε)x␈↓ π]␈ε#,␈↓ πk␈ε)x␈↓ λ5␈ε#,␈↓ λD␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ λp␈ε#,␈↓ λ␈␈ε)x␈↓ 	"␈ε7?␈ε#,␈↓ 
∧1␈ε7␈α	∀␈↓ 
H␈ε)k␈↓ 
d␈ε#<␈ε)␈α
n␈ε#;
␈β
"␈↓ ¬∩␈ε&1␈↓ ¬|␈ε,k␈↓ ε␈ε:␈␈ε&1␈↓ εT␈ε,k␈↓ π&␈ε,k␈↓ π4␈ε&+␈α↓1␈↓ π}␈ε,k␈↓ λ
␈ε&+2␈↓ 	⊃␈ε,n
␈β
E␈↓ ↓c␈ε#d)␈↓ α␈ε#1␈ε7␈απ␈␈αλ?␈↓ α]␈ε)x␈↓ α}␈ε#,␈↓ β
␈ε)x␈↓ β-␈ε#,␈↓ β<␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ βh␈ε#,␈↓ βw␈ε)x␈↓ ∧~␈ε7?␈ε#␈α	=␈ε7␈α
?␈ε#␈α␈1,␈↓ ¬∂␈ε)x␈↓ ¬6␈ε7␈␈ε#␈αλ1,␈↓ ¬␈␈ε)x␈↓ ε∨␈ε#,␈↓ ε.␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ εZ␈ε#,␈↓ εi␈ε)x␈↓ π␈ε7?␈ε#,␈ε)␈↓ πnn␈ε7␈α
∃␈ε#␈α	1.
␈β
P␈↓ αp␈ε&1␈↓ β∨␈ε&2␈↓ ∧	␈ε,n␈↓ ¬!␈ε&1␈↓ ε⊃␈ε&2␈↓ ε{␈ε,n
␈β
w␈↓ ↓V␈ε310.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈8␈↓ α\␈ε#]␈α⊗By␈α
the␈α
res␈α␈ult␈α
of␈α
exe␈α␈rcise␈α
6,␈α∞ev␈α␈e␈α␈ry␈α
irration␈α␈al␈α
real␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈↓ 	E␈ε)X␈↓ 	q␈ε#ha␈α␈s␈α
a␈α
un␈α␈ique
␈β∞≡␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈gula␈α␈r␈αcon␈α␈t␈α␈i␈α↓n␈α}ued␈α
fraction␈α
rep␈α␈resen␈α}tation␈αo␈α␈f␈αthe␈αfor␈α␈m
␈β∞i␈↓ ∧k␈ε)X␈↓ ¬∀␈ε#=␈↓ ¬>␈ε)A␈↓ ¬k␈ε#+␈ε7␈αλ?␈↓ ε%␈ε)A␈↓ εK␈ε#,␈↓ εY␈ε)A␈↓ ε␈␈ε#,␈↓ π∞␈ε)A␈↓ π4␈ε#,␈↓ πC␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ πo␈ε7?␈ε#,
␈β∞u␈↓ ¬V␈ε&0␈↓ ε=␈ε&1␈↓ εq␈ε&2␈↓ π&␈ε&3
␈β∂4␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈↓ α)␈ε)A␈↓ α\␈ε#is␈α
an␈αin␈α␈te␈α␈ger␈α
a␈α␈nd␈↓ ∧a␈ε)A␈↓ ¬π␈ε#,␈↓ ¬≥␈ε)A␈↓ ¬C␈ε#,␈↓ ¬Z␈ε)A␈↓ ¬␈␈ε#,␈↓ ε⊗␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ εI␈ε#are␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs.␈α∀Sho␈α␈w␈α
th␈α␈at␈αi␈α↓f␈↓ 
Q␈ε)X␈↓ 
|␈ε#ha␈α␈s
␈β∂@␈↓ αB␈ε&0␈↓ ∧y␈ε&1␈↓ ¬5␈ε&2␈↓ ¬r␈ε&3
␈β∂\␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈is␈αrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αth␈α␈en␈αth␈α␈e␈αreg␈α␈ular␈αco␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈αfra␈α␈ction␈α
f␈α↓o␈α␈r␈α1/␈↓ λA␈ε)X␈↓ λk␈ε#is
␈β⊂'␈↓ ∧#␈ε#1␈α␈/␈↓ ∧D␈ε)X␈↓ ∧l␈ε#=␈↓ ¬↔␈ε)B␈↓ ¬D␈ε#+␈ε7␈απ?␈↓ ¬⎇␈ε)B␈↓ ε#␈ε#,␈↓ ε2␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ ε↑␈ε#,␈↓ εm␈ε)B␈↓ π≤␈ε#,␈↓ π+␈ε)A␈↓ πQ␈ε#,␈↓ π`␈ε)A␈↓ λε␈ε#,␈↓ λ∀␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ λA␈ε7?
␈β⊂2␈↓ ¬/␈ε&0␈↓ ε∃␈ε&1␈↓ π¬␈ε,m␈↓ πC␈ε&5␈↓ πx␈ε&6
␈β⊂r␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈αsuita␈α␈ble␈αin␈α␈t␈α␈egers␈↓ βt␈ε)B␈↓ ∧~␈ε#,␈↓ ∧/␈ε)B␈↓ ∧U␈ε#,␈↓ ∧j␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ¬⊗␈ε#,␈↓ ¬+␈ε)B␈↓ ¬[␈ε#.␈α≠(Th␈α␈e␈αca␈α␈se␈↓ π⊗␈ε)A␈↓ πF␈ε#<␈α0␈αis,␈α
o␈α␈f␈αco␈α␈urse,␈αth␈α␈e␈αm␈α↓o␈α␈st␈αin␈α␈te␈α␈r-
␈β⊂⎇␈↓ ∧␈ε&0␈↓ ∧G␈ε&1␈↓ ¬C␈ε,m␈↓ π.␈ε&0
␈β⊃→␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈sti␈α↓n␈α␈g.)␈α→Exp␈α␈l␈α↓a␈α␈i␈α↓n␈α
h␈α↓o␈α}w␈αt␈α␈o␈αdet␈α␈ermine␈αth␈α␈e␈↓ ε
␈ε)B␈↓ ε#␈ε#'␈α↓s␈αin␈αte␈α␈rms␈αof␈↓ πo␈ε)A␈↓ λ∃␈ε#,␈↓ λ)␈ε)A␈↓ λO␈ε#,␈↓ λc␈ε)A␈↓ 		␈ε#,␈↓ 	≡␈ε)A␈↓ 	C␈ε#,␈αa␈α␈nd␈↓ 
→␈ε)A␈↓ 
>␈ε#.
␈β⊃%␈↓ λπ␈ε&0␈↓ λA␈ε&1␈↓ λ{␈ε&2␈↓ 	6␈ε&3␈↓ 
1␈ε&4
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λ4␈ε"'␈↓ 
v␈ε"359
␈β↓Z␈↓ ¬9␈ε.AN␈α␈AL␈α}Y␈α␈SIS␈α
O␈α␈F␈αEUCLI␈α␈D␈↓ λ>␈ε.S␈α
AL␈α␈GO␈α␈RIT␈α␈HM
␈βα%␈↓ ↓V␈ε311.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(J.␈↓ β0␈ε#Lag␈α␈ran␈α␈ge.)␈α"Let␈↓ ¬/␈ε)X␈↓ ¬↑␈ε#=␈↓ ε⊂␈ε)A␈↓ ε@␈ε#+␈ε7␈α?␈↓ ε⎇␈ε)A␈↓ π#␈ε#,␈↓ π1␈ε)A␈↓ πW␈ε#,␈↓ πf␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ λ∩␈ε7?␈ε#,␈↓ λ=␈ε)Y␈↓ λh␈ε#=␈↓ 	~␈ε)B␈↓ 	J␈ε#+␈ε7␈α?␈↓ 
π␈ε)B␈↓ 
,␈ε#,␈↓ 
;␈ε)B␈↓ 
a␈ε#,␈↓ 
o␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ≤␈ε7?
␈βα1␈↓ ε(␈ε&0␈↓ π∃␈ε&1␈↓ πI␈ε&2␈↓ 	2␈ε&0␈↓ 
≡␈ε&1␈↓ 
S␈ε&2
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈e␈α∂th␈α␈e␈α∂reg␈α␈ular␈α∂co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈α∞fraction␈α∞rep␈α␈resen␈α}tation␈α␈s␈α∂of␈α∂t␈α␈w␈α␈o␈α∂re␈α␈al␈α∂n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈↓ 	j␈ε)X␈↓ 
_␈ε#and␈↓ 
]␈ε)Y␈↓ 
x␈ε#,␈α⊂in
␈βαt␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α∞sen␈α␈se␈α∞o␈α␈f␈α∞exe␈α␈rcise␈α∞10␈α␈.␈α_S␈α␈h␈α↓o␈α␈w␈α∞th␈α␈at␈α∞t␈α␈hese␈α
repre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α∞\␈α␈ev␈α␈e␈α␈n␈α␈tua␈α␈ll␈α↓y␈α
ag␈α␈ree,"␈α∂in␈α
the
␈ββ≤␈↓ ↓H␈ε#se␈α␈nse␈α∞tha␈α␈t␈↓ αl␈ε)A␈↓ βT␈ε#=␈↓ ∧¬␈ε)B␈↓ ∧e␈ε#for␈α∞some␈ε)␈α∞m␈ε#␈α∞and␈ε)␈α∞n␈ε#␈α∂a␈α␈nd␈α∞for␈α∞all␈↓ λ4␈ε)k␈↓ λV␈ε7∃␈ε#␈α∂0,␈α⊂if␈α∂a␈α␈nd␈α∞on␈α␈ly␈α∂if␈α∂w␈α␈e
␈ββ(␈↓ β∧␈ε,m␈ε&+␈↓ β6␈ε,k␈↓ ∧≤␈ε,n␈ε&+␈↓ ∧H␈ε,k
␈ββD␈↓ ↓H␈ε#h␈α␈a␈α␈v␈α␈e␈↓ α⊗␈ε)X␈↓ αA␈ε#=␈α(␈↓ αy␈ε)q␈↓ β␈ε)Y␈↓ β.␈ε#+␈↓ βX␈ε)r␈↓ βg␈ε#)/(␈ε)s␈↓ ∧≡␈ε)Y␈↓ ∧A␈ε#+␈ε)␈αλt␈ε#␈α↓)␈α
fo␈α␈r␈α
so␈α␈me␈α
in␈α␈t␈α␈egers␈↓ π∃␈ε)q␈↓ π'␈ε#,␈↓ π=␈ε)r␈↓ πM␈ε#,␈ε)␈α
s␈ε#,␈ε)␈α
t␈ε#␈α
with␈ε7␈α
j␈↓ λy␈ε)q␈↓ 	␈ε)t␈ε7␈α	␈␈↓ 	I␈ε)r␈↓ 	Y␈ε)s␈ε7␈α␈j␈ε#␈α=␈α1.␈α≥(Th␈α␈is
␈ββk␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈eor␈α␈em␈αis␈αth␈α␈e␈αan␈α␈alog,␈αfo␈α␈r␈αcon␈α}ti␈α↓n␈α}ue␈α␈d␈αfra␈α␈ction␈αr␈α␈epres␈α␈en␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns,␈αof␈αth␈α␈e␈αsimp␈α␈le␈αresu␈α␈l␈α↓t␈α
tha␈α␈t
␈β∧∪␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈α␈s␈α
o␈α␈f␈↓ ∧∩␈ε)X␈↓ ∧=␈ε#an␈α␈d␈↓ ∧␈␈ε)Y␈↓ ¬&␈ε#in␈αth␈α␈e␈↓ ελ␈ε#dec␈α␈i␈α↓m␈α␈al␈α
sy␈α␈stem␈αev␈α}en␈α␈tu␈α␈ally␈αag␈α␈ree␈αi␈α↓f␈αan␈α␈d␈αo␈α␈nly␈αif
␈β∧5␈↓ αG␈ε,q␈↓ βl␈ε,s
␈β∧:␈↓ ↓H␈ε)X␈↓ ↓p␈ε#=␈α
(1␈↓ α6␈ε#0␈↓ αU␈ε)Y␈↓ αw␈ε#+␈↓ β ␈ε)r␈↓ β/␈ε#)/1␈↓ β\␈ε#0␈↓ ∧∧␈ε#for␈αsom␈α␈e␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈↓ εε␈ε)q␈↓ ε_␈ε#,␈↓ ε-␈ε)r␈↓ ε<␈ε#,␈αan␈α␈d␈ε)␈αs␈ε#.)
␈β∧i␈↓ λY␈ε7p
␈β∧l␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∧m␈↓ λu␈∧∧mλuα≥
␈β∧n␈↓ ↓S␈ε31␈α␈2.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗A␈↓ β≡␈ε0qu␈α␈ad␈α␈ratic␈αirratio␈α␈nalit␈α␈y␈ε#␈α
i␈α↓s␈α
a␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αof␈α
the␈α
f␈α↓o␈α␈rm␈α(␈↓ λu␈ε)D␈↓ 	_␈ε7␈␈↓ 	@␈ε)U␈↓ 	[␈ε#)/␈↓ 	w␈ε)V␈↓ 
∩␈ε#,␈αwhere␈↓ ε␈ε)D␈↓ #␈ε#,
␈β¬∃␈↓ ↓H␈ε)U␈↓ ↓b␈ε#,␈αan␈α␈d␈↓ α6␈ε)V␈↓ α]␈ε#a␈α␈re␈α
i␈α↓n␈α}teger␈α␈s,␈↓ ∧↔␈ε)D␈↓ ∧=␈ε#>␈α
0,␈↓ ¬
␈ε)V␈↓ ¬1␈ε7≤␈ε#␈α
0,␈αa␈α␈nd␈↓ εA␈ε)D␈↓ εh␈ε#is␈αnot␈αa␈α
p␈α␈erfect␈α
squ␈α␈are.␈α∂We␈α
ma␈α␈y␈α
a␈α␈ssume
␈β¬7␈↓ πZ␈ε&2
␈β¬=␈↓ ↓H␈ε#withou␈α␈t␈α
l␈α↓o␈α␈ss␈α
of␈α
g␈α␈ene␈α␈rali␈α↓t␈α␈y␈α	th␈α␈at␈↓ ¬ε␈ε)V␈↓ ¬+␈ε#i␈α↓s␈α	a␈α
div␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈α
of␈↓ εw␈ε)D␈↓ π→␈ε7␈␈↓ π?␈ε)U␈↓ πg␈ε#,␈αfor␈α	oth␈α␈erwi␈α↓s␈α␈e␈α
the␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α	ma␈α␈y
␈β¬←␈↓ β8␈ε7p
␈β¬c␈↓ βT␈∧¬cβTαG␈↓ ∧␈ε&2
␈β¬e␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈e␈αrewritten␈α
as␈α(␈↓ βT␈ε)D␈↓ βq␈ε)V␈↓ ∧"␈ε7␈␈↓ ∧J␈ε)U␈↓ ∧e␈ε7j␈↓ ∧n␈ε)V␈↓ ¬
␈ε7j␈ε#)/␈↓ ¬/␈ε)V␈↓ ¬J␈ε7j␈↓ ¬S␈ε)V␈↓ ¬o␈ε7j␈ε#.
␈βε_␈↓ ↓e␈ε#a)␈↓ α␈ε#Pro␈α␈v␈α␈e␈α	th␈α␈at␈α	the␈α	regu␈α␈lar␈α	con␈α}ti␈α↓n␈α}ue␈α␈d␈α	f␈α↓ra␈α␈ction␈α	ex␈α␈pa␈α␈nsion␈α	(in␈α	th␈α␈e␈α
se␈α␈nse␈α	of␈α	exerc␈α␈i␈α↓se␈α	1␈α␈0)␈α
o␈α␈f
␈βε;␈↓ ¬N␈ε7p
␈βε>␈↓ ¬j␈∧ε>¬jα≥
␈βε@␈↓ α␈ε#a␈α	qua␈α␈dra␈α␈tic␈α
irration␈α␈alit␈α␈y␈↓ ∧q␈ε)X␈↓ ¬→␈ε#=␈α	(␈↓ ¬j␈ε)D␈↓ ε␈ε7␈␈↓ ε2␈ε)U␈↓ εL␈ε#)/␈↓ εh␈ε)V␈↓ π
␈ε#is␈α
ob␈α␈taine␈α␈d␈α
b␈α␈y␈α	the␈α	follo␈α␈wing␈α	form␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈α␈s:
␈βπ␈↓ ∧
␈ε)V␈↓ ∧8␈ε#=␈↓ ∧b␈ε)V␈↓ ∧}␈ε#,␈↓ ¬U␈ε)A␈↓ ε∧␈ε#=␈ε7␈α	b␈↓ ε;␈ε)X␈↓ εZ␈ε7c␈ε#,␈↓ π>␈ε)U␈↓ πl␈ε#=␈↓ λ⊗␈ε)U␈↓ λ8␈ε#+␈↓ λa␈ε)A␈↓ 	π␈ε)V␈↓ 	#␈ε#;
␈βπ_␈↓ ∧!␈ε&0␈↓ ¬m␈ε&0␈↓ πU␈ε&0␈↓ λy␈ε&0
␈βπ9␈↓ ¬-␈ε&2␈↓ πp␈ε7p
␈βπ=␈↓ λ␈∧π=λα≥
␈βπ>␈↓ β:␈ε)V␈↓ ∧⊂␈ε#=␈α
(␈↓ ∧F␈ε)D␈↓ ∧j␈ε7␈␈↓ ¬∪␈ε)U␈↓ ¬;␈ε#)/␈↓ ¬W␈ε)V␈↓ ¬|␈ε#,␈↓ εS␈ε)A␈↓ π-␈ε#=␈ε7␈α	b␈ε#(␈↓ λ␈ε)D␈↓ λ0␈ε#+␈↓ λX␈ε)U␈↓ 	␈ε#)/␈↓ 	≤␈ε)V␈↓ 	i␈ε7c␈ε#,
␈βπJ␈↓ βN␈ε,n␈ε&+1␈↓ ¬k␈ε,n␈↓ εk␈ε,n␈ε&␈α␈+␈α↓1␈↓ λo␈ε,n␈↓ 	0␈ε,n␈ε&␈α␈+␈α↓1
␈βπM␈↓ ¬)␈ε,n
␈βπq␈↓ ¬≠␈ε)U␈↓ ¬t␈ε#=␈↓ ε≡␈ε)A␈↓ εp␈ε)V␈↓ πD␈ε7␈␈↓ πm␈ε)U␈↓ λ∀␈ε#.
␈βπ|␈↓ ¬2␈ε,n␈ε&␈α␈+␈α↓1␈↓ ε7␈ε,n␈ε&␈α␈+␈α↓1␈↓ π∧␈ε,n␈ε&␈α␈+␈α↓1␈↓ λβ␈ε,n
␈βλ=␈↓ α␈ε#[␈ε0Note:␈ε#␈α
An␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αbas␈α␈ed␈αon␈αthis␈αp␈α␈rocess␈αh␈α␈as␈αma␈α␈n␈α␈y␈αa␈α␈pp␈α␈l␈α↓ica␈α␈tions␈αto␈αthe␈αso␈α␈l␈α↓u␈α␈tion
␈βλd␈↓ α␈ε#of␈α∞qu␈α␈adr␈α␈atic␈α∂e␈α␈qua␈α␈tions␈α∞in␈α∞in␈α␈teg␈α␈ers;␈α⊂see,␈α⊂fo␈α␈r␈α∂ex␈α␈am␈α␈ple,␈α⊂H.␈↓ λS␈ε#Da␈α␈v␈α␈e␈α␈np␈α␈ort,␈ε0␈α∂The␈α∞Hi␈α↓g␈α␈he␈α␈r
␈β	␈↓ α␈ε0Arithm␈α␈etic␈ε#␈α	(Lond␈α␈on␈α␈:␈α
Hutch␈α␈inson␈α␈,␈α
1␈α␈952␈α␈);␈α
W.␈α
J␈α␈.␈↓ π-␈ε#LeV␈α}e␈α␈qu␈α␈e,␈ε0␈α
T␈α⎇op␈α␈ics␈α	in␈α	Nu␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α	Th␈α␈eory
␈β	4␈↓ α␈ε#(Rea␈α␈ding␈α␈,␈α∞M␈α␈ass.:␈α∂Ad␈α␈dison␈α␈-W␈α↓e␈α␈sl␈α↓e␈α␈y,␈α
195␈α␈6);␈α∞a␈α␈nd␈αsee␈αalso␈α
S␈α␈ection␈α4␈α␈.␈α↓5␈α␈.␈α↓4␈α␈.␈α∀By␈α
e␈α␈xerc␈α␈i␈α↓se
␈β	V␈↓ ∧@␈ε7p␈↓ 
@␈ε7p
␈β	Z␈↓ ∧\␈∧	Z∧\α≥␈↓ 
[␈∧	Z
[α≥
␈β	[␈↓ α␈ε#1.2.4␈α␈↑35␈↓ βα␈ε#,␈↓ β⊗␈ε)A␈↓ βp␈ε#=␈ε7␈α
b␈ε#(␈ε7b␈↓ ∧\␈ε)D␈↓ ∧y␈ε7c␈ε#␈αε+␈↓ ¬3␈ε)U␈↓ ¬Z␈ε#)/␈↓ ¬v␈ε)V␈↓ εC␈ε7c␈ε#␈α
when␈↓ π1␈ε)V␈↓ λπ␈ε#>␈α	0,␈αa␈α␈nd␈↓ 	⊗␈ε)A␈↓ 	p␈ε#=␈ε7␈α
b␈ε#(␈ε7b␈↓ 
[␈ε)D␈↓ 
x␈ε7c␈ε#␈αε+
␈β	g␈↓ β.␈ε,n␈ε&+1␈↓ ¬I␈ε,n␈↓ ε
␈ε,n␈ε&+1␈↓ πE␈ε,n␈ε&␈α␈+␈α↓1␈↓ 	.␈ε,n␈ε&+1
␈β
β␈↓ α␈ε#1␈α	+␈↓ αP␈ε)U␈↓ αw␈ε#)/␈↓ β∪␈ε)V␈↓ β`␈ε7c␈ε#␈α
when␈↓ ∧T␈ε)V␈↓ ¬.␈ε#<␈α
0;␈α∞hen␈α␈ce␈α
suc␈α␈h␈α
an␈α
alg␈α␈orithm␈α
n␈α␈eed␈α
o␈α␈nly␈α
w␈α␈ork␈α
with
␈β
∞␈↓ αf␈ε,n␈↓ β'␈ε,n␈ε&+1␈↓ ∧h␈ε,n␈ε&+1
␈β
&␈↓ β@␈ε7p
␈β
)␈↓ β\␈∧
)β\α≥
␈β
*␈↓ α␈ε#th␈α␈e␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈ε7␈αb␈↓ β\␈ε)D␈↓ βy␈ε7c␈ε#.]
␈β
M␈↓ ∧V␈ε7p␈↓ εT␈ε7p
␈β
Q␈↓ ∧q␈∧
Q∧qα≥␈↓ εp␈∧
Qεpα≥
␈β
R␈↓ ↓c␈ε#b)␈↓ α␈ε#Pro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈α0␈α	<␈↓ βy␈ε)U␈↓ ∧*␈ε#<␈↓ ∧q␈ε)D␈↓ ¬∞␈ε#,␈α0␈α
<␈↓ ¬i␈ε)V␈↓ ε_␈ε#<␈α2␈↓ εp␈ε)D␈↓ π
␈ε#,␈αfor␈αall␈ε)␈αn␈ε#␈α
>␈↓ λO␈ε)N␈↓ λo␈ε#,␈αwh␈α␈ere␈↓ 	d␈ε)N␈↓ 
⊂␈ε#is␈αso␈α␈me␈αin␈α␈-
␈β
↑␈↓ ∧∂␈ε,n␈↓ ¬⎇␈ε,n
␈β
z␈↓ α␈ε#teg␈α␈er␈α	d␈α␈epe␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αλon␈↓ ∧%␈ε)X␈↓ ∧D␈ε#;␈α
h␈α␈enc␈α␈e␈α	th␈α␈e␈α	re␈α␈gu␈α␈l␈α↓a␈α␈r␈α	co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈αλfractio␈α␈n␈αλrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αλof␈α	e␈α␈v␈α␈ery
␈β≥␈↓ 	D␈ε7p
␈β ␈↓ 	←␈∧ 	←α≥
␈β!␈↓ α␈ε#qu␈α␈ad␈α␈ratic␈αirration␈α␈ali␈α↓t␈α␈y␈αi␈α↓s␈αev␈α}en␈α␈tu␈α␈ally␈↓ ε≡␈ε#pe␈α␈ri␈α↓o␈α␈dic.␈α≤[␈ε0Hin␈α␈t:␈ε#␈α
Sho␈α␈w␈αtha␈α␈t␈α
(␈↓ 	←␈ε)D␈↓ 
¬␈ε7␈␈↓ 
.␈ε)U␈↓ 
I␈ε#)/␈↓ 
d␈ε)V␈↓ ␈ε#=
␈βD␈↓ ∧v␈ε7p␈↓ 	b␈ε7p
␈βH␈↓ ¬∩␈∧H¬∩α≥␈↓ 	⎇␈∧H	⎇α≥
␈βI␈↓ α␈ε)A␈↓ α6␈ε#+␈ε7␈α¬?␈↓ αm␈ε)A␈↓ β∩␈ε#,␈↓ β!␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ βN␈ε#,␈↓ β\␈ε)A␈↓ ∧¬␈ε#,␈ε7␈αε␈␈↓ ∧5␈ε)V␈↓ ∧Z␈ε#/(␈↓ ¬∩␈ε)D␈↓ ¬3␈ε#+␈↓ ¬Y␈ε)U␈↓ ε␈ε#)␈ε7?␈ε#,␈α
an␈α␈d␈α	use␈α	Eq.␈α
(5)␈α	to␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈α
th␈α␈at␈α	(␈↓ 	⎇␈ε)D␈↓ 
∨␈ε#+␈↓ 
D␈ε)U␈↓ 
l␈ε#)/␈↓ λ␈ε)V
␈βU␈↓ α$␈ε&0␈↓ β¬␈ε&1␈↓ βu␈ε,n␈↓ ∧J␈ε,n␈↓ ¬o␈ε,n␈↓ 
[␈ε,n␈↓ ≤␈ε,n
␈βq␈↓ α␈ε#is␈αpos␈α␈i␈α↓tiv␈α␈e␈α
w␈α↓h␈α␈en␈ε)␈α
n␈ε#␈αis␈αlarge.]
␈β→␈↓ ↓g␈ε#c)␈↓ α␈ε#Letting␈↓ ββ␈ε)p␈↓ β0␈ε#=␈↓ β\␈ε)Q␈↓ ∧0␈ε#(␈↓ ∧;␈ε)A␈↓ ∧a␈ε#,␈↓ ∧o␈ε)A␈↓ ¬∃␈ε#,␈↓ ¬$␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ¬P␈ε#,␈↓ ¬←␈ε)A␈↓ ελ␈ε#)␈αan␈α␈d␈↓ εa␈ε)q␈↓ π
␈ε#=␈↓ π8␈ε)Q␈↓ πd␈ε#(␈↓ πo␈ε)A␈↓ λ∃␈ε#,␈↓ λ#␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ λP␈ε#,␈↓ λ←␈ε)A␈↓ 	π␈ε#)␈α↓,␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈αthe␈αid␈α␈en␈α␈tit␈α␈y
␈β$␈↓ β∃␈ε,n␈↓ βw␈ε,n␈ε&␈α␈+␈α↓1␈↓ ∧S␈ε&0␈↓ ¬π␈ε&1␈↓ ¬w␈ε,n␈↓ εq␈ε,n␈↓ πS␈ε,n␈↓ λπ␈ε&1␈↓ λw␈ε,n
␈β:␈↓ α9␈ε&2␈↓ ∧L␈ε&2␈↓ ¬|␈ε&2␈↓ πλ␈ε,n␈ε&+1
␈β>␈↓ ∧~␈ε"(␈↓ ¬↑␈ε")
␈β@␈↓ α␈ε)V␈↓ α(␈ε)p␈↓ αR␈ε#+␈απ2␈↓ β␈ε)U␈↓ β&␈ε)p␈↓ βH␈ε)q␈↓ βq␈ε#+␈↓ ∧&␈ε#(␈↓ ∧1␈ε)U␈↓ ∧a␈ε7␈␈↓ ¬	␈ε)D␈↓ ¬&␈ε#)/␈↓ ¬B␈ε)V␈↓ ¬j␈ε)q␈↓ ε⊗␈ε#=␈α	(␈ε7␈␈ε#␈α↓1␈↓ ε⎇␈ε#)␈↓ πA␈ε)V␈↓ λ∞␈ε#.
␈βL␈↓ β7␈ε,n␈↓ βY␈ε,n␈↓ πU␈ε,n␈ε&+␈α↓1
␈βO␈↓ α9␈ε,n␈↓ ¬|␈ε,n
␈βh␈↓ ↓c␈ε#d)␈↓ α␈ε#Pro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈α
th␈α␈e␈α
r␈α␈egu␈α␈l␈α↓a␈α␈r␈α
co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈αfractio␈α␈n␈α
re␈α␈prese␈α␈n␈α␈tat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αof␈α
an␈αirra␈α␈ti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β
⊂␈↓ α␈ε)X␈↓ α6␈ε#is␈αev␈α␈e␈α␈n␈α␈tu␈α␈all␈α↓y␈α
pe␈α␈ri␈α↓o␈α␈dic␈αif␈αan␈α␈d␈αo␈α␈nly␈αif␈↓ ε<␈ε)X␈↓ εf␈ε#is␈αa␈αq␈α␈ua␈α␈dratic␈αirra␈α␈ti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈α↓it␈α␈y␈α␈.␈α→(This␈αis␈αthe
␈β
7␈↓ α␈ε#co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈α
fraction␈α
a␈α␈na␈α␈l␈α↓o␈α␈g␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αfa␈α␈ct␈αth␈α␈at␈α
the␈α
de␈α␈cimal␈αe␈α␈xp␈α␈ansio␈α␈n␈αo␈α␈f␈αa␈α
rea␈α␈l␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β
←␈↓ α␈ε)X␈↓ α6␈ε#is␈αe␈α␈v␈α␈en␈α}tua␈α␈l␈α↓ly␈αp␈α␈eriod␈α␈i␈α↓c␈α
i␈α↓f␈αan␈α␈d␈αo␈α␈nly␈αif␈↓ ε=␈ε)X␈↓ εg␈ε#i␈α↓s␈αra␈α␈tiona␈α␈l␈α↓.)
␈β∞␈↓ π∂␈ε,n
␈β∞∩␈↓ ↓V␈ε313.␈↓ α␈ε#[␈ε)M4␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(J.␈α
Lag␈α␈ran␈α␈ge,␈α
17␈α␈97␈α␈.␈α↓)␈α∪Let␈↓ ¬i␈ε)f␈↓ ¬⎇␈ε#(␈ε)x␈ε#)␈α	=␈↓ εZ␈ε)a␈↓ ε|␈ε)x␈↓ π$␈ε#+␈↓ πI␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πt␈ε#+␈↓ λ~␈ε)a␈↓ λ9␈ε#,␈↓ λL␈ε)a␈↓ λx␈ε#>␈α
0␈α␈,␈αb␈α␈e␈α	a␈α	poly␈α␈n␈α↓om␈α␈i␈α↓a␈α␈l
␈β∞≡␈↓ εk␈ε,n␈↓ λ,␈ε&0␈↓ λ↑␈ε,n
␈β∞:␈↓ ↓H␈ε#with␈α∞in␈α␈teg␈α␈er␈α∂co␈α␈e}cien␈α}ts,␈α⊂h␈α␈a␈α␈vin␈α␈g␈α∂no␈α∂r␈α␈ation␈α␈al␈α∂ro␈α↓o␈α␈ts,␈α⊂an␈α␈d␈α∞ha␈α}ving␈α∞ex␈α␈actly␈α∞one␈α∞rea␈α␈l␈α∂ro␈α↓o␈α␈t
␈β∞a␈↓ ↓H␈ε)_␈↓ ↓c␈ε#>␈α
1␈↓ α≡␈ε#.␈α∀Design␈αa␈αcomp␈α␈ute␈α␈r␈α
pro␈α␈gra␈α␈m␈α
to␈α|n␈α␈d␈α
t␈α␈he␈α
|␈α␈rst␈α
thou␈α␈san␈α␈d␈α
o␈α␈r␈α
so␈αpa␈α␈rti␈α↓a␈α␈l␈α
qu␈α␈otien␈α␈t␈α␈s
␈β∂	␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈↓ ↓p␈ε)_␈↓ αα␈ε#,␈αusing␈αthe␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αalgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α(which␈αessen␈α}ti␈α↓a␈α␈l␈α↓ly␈αin␈α}v␈α␈olv␈α␈e␈α␈s␈αonly␈αm␈α}ultiprec␈α␈i␈α↓sion␈αad␈α␈-
␈β∂1␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈iti␈α↓o␈α␈n):
␈β∂d␈↓ α∩␈ε3L1␈α␈.␈↓ αP␈ε#Set␈ε)␈αA␈ε7␈α	␈ ␈ε#␈α
1␈α␈.
␈β⊂↔␈↓ α∩␈ε3L2␈α␈.␈↓ αP␈ε#F␈α}or␈↓ β∂␈ε)k␈↓ β.␈ε#=␈α0,␈α∞1,␈↓ ∧*␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ∧W␈ε#,␈ε)␈α∞n␈ε7␈α	␈␈ε#␈α	1␈α(␈α↓in␈αthis␈α
ord␈α␈er)␈α
an␈α␈d␈α
for␈↓ λ&␈ε)j␈↓ λD␈ε#=␈ε)␈αn␈ε7␈α
␈␈ε#␈α	1␈α␈,␈↓ 	`␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 
␈ε#,␈↓ 
#␈ε)k␈↓ 
C␈ε#(in␈α
th␈α␈is
␈β⊂?␈↓ αP␈ε#orde␈α␈r),␈α
se␈α␈t␈↓ βq␈ε)a␈↓ ∧≠␈ε7␈ ␈↓ ∧G␈ε)a␈↓ ¬↔␈ε#+␈↓ ¬@␈ε)a␈↓ ¬`␈ε#.␈α~(␈α↓Th␈α␈is␈αstep␈αrep␈α␈l␈α↓a␈α␈ces␈↓ λ!␈ε)f␈↓ λ4␈ε#(␈ε)␈α↓x␈ε#␈α␈)␈αb␈α␈y␈↓ 	→␈ε)g␈↓ 	)␈ε#(␈ε)x␈ε#)␈α=␈↓ 
λ␈ε)f␈↓ 
≤␈ε#(␈ε)x␈ε#␈αλ+␈αλ1␈α␈)␈α↓,␈αa
␈β⊂K␈↓ ∧β␈ε,j␈↓ ∧Y␈ε,j␈↓ ∧g␈ε&+1␈↓ ¬R␈ε,j
␈β⊂g␈↓ αP␈ε#poly␈α␈n␈α↓o␈α␈mial␈αw␈α↓hose␈α
ro␈α↓ots␈αa␈α␈re␈αon␈α␈e␈αless␈αtha␈α␈n␈αthose␈αof␈↓ λ2␈ε)f␈↓ λE␈ε#.␈α↓)
␈β⊃~␈↓ α∩␈ε3L3␈α␈.␈↓ αP␈ε#I␈α↓f␈↓ αr␈ε)a␈↓ β≤␈ε#+␈↓ βD␈ε)a␈↓ ∧↔␈ε#+␈↓ ∧?␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧n␈ε#+␈↓ ¬⊗␈ε)a␈↓ ¬?␈ε#<␈α
0␈α␈,␈αse␈α␈t␈ε)␈αA␈ε7␈α	␈ ␈ε)␈α	A␈ε#␈αλ+␈αλ1␈α
an␈α␈d␈αretu␈α␈rn␈αto␈αL2␈α␈.
␈β⊃&␈↓ β∧␈ε,n␈↓ βV␈ε,n␈ε:␈␈ε&1␈↓ ¬(␈ε&0
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"360␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα%␈↓ α∩␈ε3L4␈α␈.␈↓ αP␈ε#Outp␈α␈ut␈ε)␈α⊂A␈ε#␈α⊂(␈α↓wh␈α␈ich␈α⊂is␈α⊃th␈α␈e␈α⊂v␈α⎇alu␈α␈e␈α⊃o␈α␈f␈α⊃th␈α␈e␈α⊂nex␈α␈t␈α⊂par␈α␈ti␈α↓a␈α␈l␈α⊃qu␈α␈otien␈α}t).␈α∨Rep␈α␈l␈α↓a␈α␈ce␈α⊂the
␈βαM␈↓ αP␈ε#coe}␈α␈cien␈α␈ts␈απ(␈↓ β␈␈ε)a␈↓ ∧"␈ε#,␈↓ ∧1␈ε)a␈↓ ∧|␈ε#,␈↓ ¬␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬7␈ε#,␈↓ ¬F␈ε)a␈↓ ¬e␈ε#)␈αλby␈απ(␈ε7␈␈↓ εP␈ε)a␈↓ εp␈ε#,␈ε7␈αε␈␈↓ π ␈ε)a␈↓ π?␈ε#,␈↓ πN␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ π{␈ε#,␈ε7␈α¬␈␈↓ λ+␈ε)a␈↓ λM␈ε#)␈αλan␈α␈d␈απretur␈α␈n␈αλto␈απL1.␈α(Th␈α␈is
␈βαX␈↓ ∧⊃␈ε,n␈↓ ∧C␈ε,n␈ε:␈␈ε&1␈↓ ¬X␈ε&0␈↓ εb␈ε&0␈↓ π2␈ε&1␈↓ λ=␈ε,n
␈βαt␈↓ αP␈ε#step␈α
rep␈α␈l␈α↓a␈α␈ces␈↓ ∧∪␈ε)f␈↓ ∧'␈ε#(␈ε)x␈ε#)␈α
by␈α
a␈α
po␈α␈lynomial␈αwhose␈α
roots␈αa␈α␈re␈α
recipro␈α␈cals␈αo␈α␈f␈αthose␈α
of␈↓ ∧␈ε)f␈↓ _␈ε#.)
␈ββ ␈↓ ε↔␈ε&3
␈ββ$␈↓ 
∨␈ε"(
␈ββ&␈↓ α␈ε#F␈α⎇or␈α	ex␈α␈amp␈α␈le,␈α
sta␈α␈rti␈α↓n␈α␈g␈α	with␈↓ ¬∀␈ε)f␈↓ ¬(␈ε#(␈ε)x␈ε#)␈α	=␈↓ ε¬␈ε)x␈↓ ε(␈ε7␈␈ε#␈αβ2,␈α
th␈α␈e␈α	a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αλwi␈α↓ll␈α	ou␈α␈tpu␈α␈t␈α	\1␈α␈"␈↓ 
+␈ε#ch␈α␈an␈α␈ging
␈ββH␈↓ αJ␈ε&3␈↓ β+␈ε&2␈↓ λ3␈ε&3␈↓ 	∀␈ε&2
␈ββL␈↓ ∧M␈ε")␈↓ ¬v␈ε"(␈↓ 
6␈ε")
␈ββN␈↓ ↓H␈ε)f␈↓ ↓[␈ε#(␈ε)x␈ε#)␈αto␈↓ α8␈ε)x␈↓ α`␈ε7␈␈ε#␈απ3␈↓ β→␈ε)x␈↓ βA␈ε7␈␈ε#␈απ3␈ε)x␈ε7␈απ␈␈ε#␈αλ1␈↓ ∧Y␈ε#;␈αth␈α␈en␈α
\3"␈↓ εα␈ε#cha␈α␈ngin␈α␈g␈↓ π∂␈ε)f␈↓ π#␈ε#(␈ε)x␈ε#␈α␈)␈αto␈α
10␈↓ λ!␈ε)x␈↓ λH␈ε7␈␈ε#␈αλ6␈↓ 	α␈ε)x␈↓ 	)␈ε7␈␈ε#␈αλ6␈ε)x␈ε7␈απ␈␈ε#␈απ1␈↓ 
B␈ε#;␈αetc.
␈β∧␈↓ ↓V␈ε314.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈2␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(A.␈↓ β2␈ε#Hu␈α␈rwi␈α↓tz␈α␈,␈α18␈α␈91.)␈α⊗Sho␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈α
the␈α
follo␈α␈wing␈α
ru␈α␈les␈α
mak␈α}e␈α
i␈α↓t␈α
p␈α␈ossible␈α
to␈α
|␈α␈nd
␈β∧(␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αreg␈α␈ular␈αco␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈↓ ∧
␈ε#fra␈α␈ction␈α
exp␈α␈an␈α␈si␈α↓o␈α␈n␈αof␈α2␈↓ εX␈ε)X␈↓ εw␈ε#,␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αth␈α␈e␈αpa␈α␈rtial␈αquo␈α␈tien␈α␈ts␈αo␈α␈f␈↓ 
>␈ε)X␈↓ 
]␈ε#:
␈β∧p␈↓ ∧#␈ε6?␈↓ ¬T␈ε6?␈↓ ε~␈ε6?␈↓ λ≥␈ε6?
␈β∧r␈↓ ∧∪␈ε#2␈↓ ∧;␈ε#2␈ε)a␈ε#␈α␈,␈ε)␈αεb␈ε#␈α↓,␈ε)␈α¬c␈ε#␈α↓,␈↓ ¬'␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ¬o␈ε#=␈↓ ε1␈ε)a␈ε#,␈αε2␈ε)␈α␈b␈ε#␈αλ+␈αλ2␈ε7␈α␈?␈ε)c␈ε#,␈↓ π`␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ λ
␈ε7?␈↓ λ/␈ε#;
␈β¬&␈↓ β]␈ε6?␈↓ ¬T␈ε6?␈↓ ε~␈ε6?␈↓ 	␈ε6?
␈β¬(␈↓ βM␈ε#2␈↓ βu␈ε#2␈ε)␈α␈a␈ε#␈αλ+␈απ1,␈ε)␈αεb␈ε#,␈ε)␈αεc␈ε#,␈↓ ¬'␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ¬o␈ε#=␈↓ ε1␈ε)a␈ε#,␈αε1␈α␈,␈αε1␈απ+␈αλ2␈ε7?␈ε)␈α␈b␈ε7␈αλ␈␈ε#␈αλ1␈α␈,␈ε)␈αεc␈ε#,␈↓ λO␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ λ|␈ε7?␈↓ 	≡␈ε#.
␈β¬p␈↓ λ←␈ε&1
␈β¬s␈↓ ↓H␈ε#Use␈αλth␈α␈i␈α↓s␈αλide␈α␈a␈α	t␈α␈o␈α	|␈α␈nd␈απthe␈αλregu␈α␈lar␈αλcon␈α}ti␈α↓n␈α}ue␈α␈d␈αλfraction␈αλe␈α␈xp␈α␈ans␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αλof␈↓ λq␈ε)e␈ε#,␈α	giv␈α␈en␈απthe␈αλex␈α␈pan␈α␈sion
␈βεβ␈↓ λ←␈ε&2
␈βεε␈↓ λ←␈∧εελ←α∞
␈βε~␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈ε)␈αe␈ε#␈αin␈α(13␈α␈).
␈βεK␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βεM␈↓ ↓S␈ε31␈α␈5.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈1␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(R.␈αW.␈↓ βk␈ε#Go␈α␈sper.)␈α~G␈α␈ener␈α␈ali␈α↓z␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αex␈α␈ercise␈α14,␈αdesig␈α␈n␈αan␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αth␈α␈at␈αcom␈α␈-
␈βεt␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈ute␈α␈s␈αth␈α␈e␈αcon␈α}ti␈α↓n␈α}ue␈α␈d␈αfraction␈↓ ∧n␈ε)X␈↓ ¬∨␈ε#+␈ε7␈αλ?␈↓ ¬Y␈ε)X␈↓ εα␈ε#,␈↓ ε⊃␈ε)X␈↓ ε:␈ε#,␈↓ εI␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ εu␈ε7?␈ε#␈αf␈α↓o␈α␈r␈α(␈ε)a␈α␈x␈ε#␈αλ+␈ε)␈απb␈ε#␈α↓)/␈α␈(␈ε)␈α↓cx␈ε#␈απ+␈ε)␈αλd␈ε#),␈αg␈α␈iv␈α␈en␈αth␈α␈e␈αcon␈α␈-
␈βπ␈↓ ¬
␈ε&0␈↓ ¬t␈ε&1␈↓ ε,␈ε&2
␈βπ≤␈↓ ↓H␈ε#tin␈α}ued␈α
fraction␈↓ β0␈ε)x␈↓ βZ␈ε#+␈ε7␈α
?␈↓ ∧⊗␈ε)x␈↓ ∧6␈ε#,␈↓ ∧E␈ε)x␈↓ ∧e␈ε#,␈↓ ∧t␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬ ␈ε7?␈ε#␈α∞for␈ε)␈α∞x␈ε#␈α␈,␈α⊂a␈α␈nd␈α
giv␈α␈en␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈ε)␈α∂a␈ε#␈α␈,␈ε)␈α⊂b␈ε#,␈ε)␈α∂c␈ε#,␈ε)␈α⊂d␈ε#␈α∞with␈ε)␈α∞a␈α␈d␈ε7␈α∂≤␈ε)␈α∂bc␈ε#.
␈βπ'␈↓ βC␈ε&0␈↓ ∧(␈ε&1␈↓ ∧W␈ε&2
␈βπC␈↓ ↓H␈ε#M␈α␈ak␈α}e␈α	y␈α␈o␈α␈ur␈αλalgor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈α	a␈α␈n␈αλ\on␈α␈-l␈α↓in␈α␈e␈↓ ¬%␈ε#co␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈e"␈αλtha␈α␈t␈α	o␈α␈utp␈α␈uts␈αλas␈α	m␈α␈an␈α␈y␈↓ 	↓␈ε)X␈↓ 	4␈ε#as␈αλpo␈α␈ssible␈α	b␈α␈efore
␈βπO␈↓ 	≤␈ε,k
␈βπk␈↓ ↓H␈ε#in␈α␈pu␈α␈tti␈α↓n␈α␈g␈α	ea␈α␈ch␈↓ β"␈ε)x␈↓ βB␈ε#.␈α∞Dem␈α↓o␈α␈nstra␈α␈te␈α	h␈α↓o␈α}w␈α	y␈α␈ou␈α␈r␈α	algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α	co␈α␈mpu␈α␈tes␈α	(97␈ε)␈α␈x␈ε#␈αβ+␈α∧3␈α␈9)/(␈ε7␈␈ε#62␈ε)x␈ε7␈αα␈␈ε#␈α∧25␈α␈)
␈βπw␈↓ β4␈ε,j
␈βλ∪␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈en␈ε)␈αx␈ε#␈αλ=␈ε7␈α
␈␈ε#1␈απ+␈ε7␈αλ?␈ε#␈αβ5,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈αε1␈α␈,␈αε2␈ε7?␈ε#␈α␈.
␈βλ?␈↓ εs␈ε,z␈↓ πA␈ε:␈␈↓ π[␈ε,z␈↓ λ≡␈ε,z␈↓ λl␈ε:␈␈↓ 	ε␈ε,z
␈βλE␈↓ ↓V␈ε316.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈30␈↓ αt␈ε#]␈α⊗(L.␈↓ βI␈ε#E␈α↓u␈α␈ler,␈α
1␈α␈731␈α␈.␈α↓)␈α≠Let␈↓ ¬]␈ε)f␈↓ ¬{␈ε#(␈↓ εε␈ε)z␈↓ ε↔␈ε#)␈α=␈α(␈↓ εe␈ε)e␈↓ π	␈ε7␈␈↓ π3␈ε)e␈↓ πi␈ε#)/(␈↓ λ⊂␈ε)e␈↓ λ4␈ε#+␈↓ λ↑␈ε)e␈↓ 	∀␈ε#)␈α=␈↓ 	W␈ε#ta␈α␈nh␈↓ 
∨␈ε)z␈↓ 
0␈ε#,␈α
a␈α␈nd␈αl␈α↓e␈α␈t
␈βλP␈↓ ¬m␈ε&0
␈βλl␈↓ ↓H␈ε)f␈↓ α⊃␈ε#(␈↓ α≤␈ε)z␈↓ α-␈ε#)␈α
=␈α	1/␈↓ β∞␈ε)f␈↓ β/␈ε#(␈↓ β:␈ε)z␈↓ βK␈ε#)␈ε7␈απ␈␈ε#␈αε(2␈ε)n␈ε#␈αε+␈απ1)/␈↓ ¬∞␈ε)z␈↓ ¬ ␈ε#.␈α∞P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈α
tha␈α␈t,␈αfor␈α
all␈ε)␈αn␈ε#,␈↓ πn␈ε)f␈↓ λ∂␈ε#(␈↓ λ≠␈ε)z␈↓ λ,␈ε#)␈α
i␈α↓s␈α
an␈α
a␈α␈naly␈α␈ti␈α↓c␈α
fun␈α␈ction␈α
o␈α␈f
␈βλx␈↓ ↓X␈ε,n␈ε&+1␈↓ β≡␈ε,n␈↓ π␈␈ε,n
␈β	∀␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αcomp␈α␈lex␈αv␈α⎇ar␈α␈i␈α↓a␈α␈ble␈↓ ∧↓␈ε)z␈↓ ∧≡␈ε#in␈αa␈αneigh␈α}bo␈α␈rh␈α↓ood␈αof␈αthe␈αorig␈α␈i␈α↓n␈α␈,␈↓ π{␈ε#an␈α␈d␈αit␈αsa␈α␈ti␈α↓s|␈α␈es␈αthe␈αd␈α␈i␈α↓{␈α␈eren␈α}ti␈α↓a␈α␈l
␈β	6␈↓ αb␈ε:0␈↓ ∧T␈ε&2
␈β	<␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈qua␈α␈tion␈↓ αO␈ε)f␈↓ αo␈ε#(␈↓ αz␈ε)z␈↓ β␈ε#)␈α
=␈α	1␈ε7␈απ␈␈↓ ∧␈ε)f␈↓ ∧,␈ε#(␈↓ ∧7␈ε)z␈↓ ∧I␈ε#)␈↓ ∧i␈ε7␈␈ε#␈αλ2␈ε)␈α␈n␈↓ ¬7␈ε)f␈↓ ¬X␈ε#(␈↓ ¬c␈ε)z␈↓ ¬t␈ε#)/␈↓ ε⊂␈ε)z␈↓ ε!␈ε#.␈α∂Use␈αthis␈αfact␈αto␈α
pro␈α}v␈α␈e␈αth␈α␈at
␈β	G␈↓ ∧≠␈ε,n␈↓ ¬G␈ε,n
␈β	J␈↓ α↑␈ε,n
␈β
↓␈↓ ¬N␈ε:␈␈ε&1␈↓ ε'␈ε:␈␈ε&1␈↓ ε␈␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈↓ πX␈ε:␈␈ε&␈α↓1
␈β
	␈↓ ∧≡␈ε#tanh␈↓ ∧g␈ε)z␈↓ ¬↓␈ε#=␈ε7␈α
?␈↓ ¬<␈ε)z␈↓ ¬v␈ε#,␈αε3␈↓ ε∃␈ε)z␈↓ εO␈ε#,␈αε5␈↓ εn␈ε)z␈↓ π(␈ε#,␈α¬7␈↓ πG␈ε)z␈↓ λ↓␈ε#,␈↓ λ∂␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ λ<␈ε7?␈ε#␈α␈.
␈β
V␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈en␈αa␈α␈pp␈α␈ly␈αHurwitz's␈αru␈α␈l␈α↓e␈α(ex␈α␈ercise␈α1␈α␈4)␈αto␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at
␈β!␈↓ ∧↓␈ε:␈␈ε&␈α↓1/␈ε,␈α␈n
␈β&␈↓ ∧|␈ε6?␈↓ π-␈ε6?
␈β'␈↓ ¬∀␈∧'¬∀αα~
␈β(␈↓ βs␈ε)e␈↓ ∧R␈ε#=␈↓ ¬∀␈ε#1␈α␈,␈αε(2␈ε)m␈ε#␈απ+␈αλ1␈α␈)␈ε)n␈ε7␈αλ␈␈ε#␈αλ1␈α␈,␈αε1␈↓ π?␈ε#,␈ε)␈↓ λ⊗m␈ε7␈αλ∃␈ε#␈α
0.
␈βs␈↓ ↓H␈ε"(
␈βu␈↓ ↓T␈ε#Th␈α␈is␈α∞notat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α
denote␈α␈s␈α∞th␈α␈e␈α
i␈α↓n␈α␈|n␈α␈ite␈α∞c␈α␈on␈α␈tin␈α}ued␈α
fra␈α␈ction␈ε7␈α
?␈ε#␈α¬1,␈ε)␈α∞n␈ε7␈α	␈␈ε#␈α
1␈α␈,␈α∂1␈α␈,␈α∂1␈α␈,␈α∞3␈ε)n␈ε7␈α	␈␈ε#␈α
1␈α␈,␈α∂1␈α␈,␈α∂1␈α␈,
␈β↔␈↓ 
␈ε:␈␈ε&␈α↓2␈α␈/␈ε,n
␈β≠␈↓ β:␈ε")
␈β≥␈↓ ↓H␈ε#5␈ε)␈α␈n␈ε7␈α
␈␈ε#␈α
1,␈α⊂1␈α␈,␈↓ αt␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ β ␈ε7?␈ε#.␈↓ βU␈ε#Also␈α∞|n␈α␈d␈α∞the␈α∞reg␈α␈ular␈α∞con␈α}ti␈α↓n␈α}ue␈α␈d␈α∞f␈α↓r␈α␈action␈α∞ex␈α␈pa␈α␈nsion␈α∞o␈α␈f␈↓ 	⎇␈ε)e␈↓ 
a␈ε#wh␈α␈en
␈βE␈↓ ↓H␈ε)n␈ε#␈α	>␈α
0␈αis␈αod␈α␈d.
␈βu␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βw␈↓ ↓S␈ε31␈α␈7.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈3␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(a)␈αPro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈ε7␈α?␈↓ ∧c␈ε)x␈↓ ¬∧␈ε#,␈ε7␈αε␈␈↓ ¬4␈ε)x␈↓ ¬T␈ε7?␈ε#␈α	=␈ε7␈α
?␈↓ ε)␈ε)x␈↓ εQ␈ε7␈␈ε#␈αλ1␈α␈,␈αε1,␈↓ π9␈ε)x␈↓ π`␈ε7␈␈ε#␈αλ1␈ε7?␈ε#␈α␈.␈α~(b␈α␈)␈αGe␈α␈nera␈α␈l␈α↓ize␈αt␈α␈his␈αi␈α↓d␈α␈en␈α␈-
␈β
α␈↓ ∧v␈ε&1␈↓ ¬F␈ε&2␈↓ ε<␈ε&1␈↓ πK␈ε&2
␈β
≡␈↓ ↓H␈ε#tit␈α␈y␈α␈,␈α
o␈α␈btain␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αa␈αform␈α␈u␈α␈la␈αfor␈ε7␈α?␈↓ ¬β␈ε)x␈↓ ¬$␈ε#,␈ε7␈α¬␈␈↓ ¬T␈ε)x␈↓ ¬t␈ε#,␈↓ εβ␈ε)x␈↓ ε#␈ε#,␈ε7␈αε␈␈↓ εS␈ε)x␈↓ εs␈ε#,␈↓ πα␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ π/␈ε#,␈↓ π=␈ε)x␈↓ λ↔␈ε#,␈ε7␈αε␈␈↓ λG␈ε)x␈↓ λx␈ε7?␈ε#␈αin␈αwhich␈αall␈αpa␈α␈rti␈α↓a␈α␈l
␈β
*␈↓ ¬⊗␈ε&1␈↓ ¬f␈ε&2␈↓ ε∃␈ε&3␈↓ εf␈ε&4␈↓ πP␈ε&2␈ε,n␈ε:␈␈ε&1␈↓ λY␈ε&2␈ε,n
␈β
F␈↓ ↓H␈ε#q␈α␈uo␈α␈ti␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈αa␈α␈re␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αin␈α}tegers␈αwhen␈αth␈α␈e␈ε)␈αx␈ε#␈α␈'␈α↓s␈αare␈αlar␈α␈ge␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs.␈α≠(c)␈αTh␈α␈e␈αresu␈α␈lt
␈β
m␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈α∂exe␈α␈rcise␈α∂16␈α∞implies␈α∂th␈α␈at␈↓ ∧c␈ε#ta␈α␈n␈↓ ¬_␈ε#1␈α⊂=␈ε7␈α∂?␈ε#1,␈ε7␈α¬␈␈ε#␈α↓3␈α␈,␈αε5,␈ε7␈αε␈␈ε#7,␈↓ π:␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ πg␈ε7?␈ε#␈α␈.␈α≠Find␈α∞the␈α∞regu␈α␈lar␈α∂co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed
␈β∞∃␈↓ ↓H␈ε#fra␈α␈ction␈αe␈α␈xp␈α␈ansio␈α␈n␈αof␈↓ ∧ε␈ε#ta␈α␈n␈↓ ∧<␈ε#1␈α␈.
␈β∞G␈↓ ↓V␈ε318.␈↓ α␈ε#[␈ε)M4␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Dev␈α␈e␈α␈l␈α↓o␈α␈p␈α∂a␈α∂co␈α␈mpu␈α␈ter␈α∂p␈α␈rogra␈α␈m␈α∂to␈α∂|n␈α␈d␈α∂a␈α␈s␈α⊂m␈α␈an␈α␈y␈α∞pa␈α␈rti␈α↓a␈α␈l␈α⊂q␈α␈uot␈α␈i␈α↓en␈α}ts␈α∂of␈ε)␈α∂x␈ε#␈α∂a␈α␈s
␈β∞o␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈α⊃whe␈α␈n␈ε)␈α∂x␈ε#␈α∂is␈α∂a␈α∂rea␈α␈l␈α⊂n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α∂giv␈α␈en␈α∞wi␈α↓th␈α∞high␈α∞precision␈α␈.␈α≤Use␈α∂y␈α}ou␈α␈r␈α⊂p␈α␈rog␈α␈ram␈α∂to
␈β∂⊗␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈alculat␈α␈e␈α∂th␈α␈e␈α∂|␈α␈rst␈α∞one␈α∞thou␈α␈san␈α␈d␈α∞or␈α∞so␈α∂p␈α␈artial␈α∞qu␈α␈otien␈α␈ts␈α∞of␈↓ λ3␈ε#Euler's␈α∂c␈α␈onsta␈α␈n␈α␈t␈↓ 
/␈ε)␈
␈↓ 
B␈ε#,␈α⊂ba␈α␈sed
␈β∂<␈↓ 
∞␈ε"(
␈β∂>␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈n␈αD.␈α
W.␈↓ α↑␈ε#S␈α␈we␈α␈ene␈α␈y's␈α
3␈α␈566␈α␈-place␈αv␈α⎇a␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α[␈ε0␈α↓M␈α␈ath␈α␈.␈α
Com␈α␈p.␈ε3␈α
1␈α␈7␈ε#␈α(␈α↓1␈α␈963␈α␈),␈α
170␈α␈↑17␈α␈8].␈↓ 
~␈ε#Accord␈α␈ing
␈β∂f␈↓ ↓H␈ε#to␈α
th␈α␈e␈α∞th␈α␈eory␈α
in␈α∞th␈α␈e␈α∞te␈α␈xt,␈α∞we␈α
ex␈α␈pec␈α␈t␈α∞to␈α
get␈α∞a␈α␈bo␈α␈ut␈α∞0␈α␈.97␈α∞p␈α␈artia␈α␈l␈α∞quo␈α␈tien␈α␈ts␈α
per␈α
decima␈α␈l
␈β⊂
␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈igit.␈α∂Cf.␈α
Algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α	4.5.2L␈α
a␈α␈nd␈α	th␈α␈e␈α
a␈α␈rti␈α↓c␈α␈l␈α↓e␈α	b␈α␈y␈α
J␈α␈.␈α
W.␈↓ π:␈ε#W␈α↓re␈α␈nch␈α␈,␈α
Jr.␈α
a␈α␈nd␈α	D.␈↓ 	[␈ε#S␈α␈ha␈α␈nk␈α␈s,␈ε0␈α
Math␈α␈.
␈β⊂3␈↓ ∧J␈ε")
␈β⊂5␈↓ ↓H␈ε0Co␈α␈mp.␈ε3␈α20␈ε#␈α
(196␈α␈6),␈α4␈α␈44␈α␈↑44␈α␈7.
␈β⊂g␈↓ ↓V␈ε319.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈↓ ∧!␈ε)F␈↓ ∧;␈ε#(␈ε)x␈ε#␈α␈)␈α
=␈↓ ¬↔␈ε#l␈α↓o␈α␈g␈↓ ¬N␈ε#(␈α↓1␈απ+␈ε)␈απx␈ε#)␈αsatis|␈α␈es␈αEq.␈α(24).
␈β⊂w␈↓ ¬B␈ε,b
␈β⊃→␈↓ ↓V␈ε320.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈20␈↓ αt␈ε#]␈α⊗De␈α␈ri␈α↓v␈α}e␈α(36)␈αfro␈α␈m␈α(35).
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λ4␈ε"'␈↓ 
v␈ε"361
␈β↓Z␈↓ ¬9␈ε.AN␈α␈AL␈α}Y␈α␈SIS␈α
O␈α␈F␈αEUCLI␈α␈D␈↓ λ>␈ε.S␈α
AL␈α␈GO␈α␈RIT␈α␈HM
␈βα%␈↓ ↓V␈ε321.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈29␈↓ αt␈ε#]␈α⊗(E.␈↓ βF␈ε#Wirsing␈α␈.␈α↓)␈α∞Th␈α␈e␈αλbou␈α␈nd␈α␈s␈αλ(37)␈αλw␈α␈ere␈αλob␈α␈tain␈α␈ed␈αλfor␈αλa␈αλfu␈α␈nction␈ε)␈απ⎇␈ε#␈αλcor␈α␈respo␈α␈nd␈α␈-
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#in␈α␈g␈α
to␈↓ α+␈ε)g␈↓ αH␈ε#wi␈α↓th␈↓ β⊗␈ε)T␈↓ β-␈ε)g␈↓ β>␈ε#(␈ε)x␈ε#␈α␈)␈α
=␈α1␈α␈/(␈ε)x␈ε#␈αλ+␈α	1).␈α∀S␈α␈h␈α↓o␈α}w␈α
th␈α␈at␈α
th␈α␈e␈α
fu␈α␈nctio␈α␈n␈α
co␈α␈rresp␈α␈on␈α␈ding␈αto␈↓ 
.␈ε)T␈↓ 
F␈ε)g␈↓ 
V␈ε#(␈ε)␈α↓x␈ε#␈α␈)␈α=
␈βαt␈↓ ↓H␈ε#1␈α␈/(␈ε)x␈ε#␈απ+␈ε)␈αλc␈ε#)␈αyields␈αb␈α␈etter␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈α␈s,␈αwh␈α␈en␈ε)␈αc␈ε#␈α	>␈α
0␈α
i␈α↓s␈αa␈α␈n␈αap␈α␈pro␈α␈priate␈α
con␈α␈stan␈α␈t.
␈ββ-␈↓ ↓V␈ε322.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈46␈↓ αt␈ε#]␈α⊗(K.␈αλI.␈↓ βe␈ε#Bab␈α␈en␈α␈k␈α␈o.)␈αDev␈α}elop␈απe}cien␈α}t␈αλmea␈α␈ns␈απto␈αλc␈α␈alculate␈απac␈α␈cura␈α␈te␈αλap␈α␈pr␈α␈o␈α␈xima␈α␈-
␈ββT␈↓ ↓H␈ε#tio␈α␈ns␈αto␈αth␈α␈e␈αqu␈α␈an␈α}ti␈α↓ties␈↓ ∧∀␈ε)∃␈↓ ∧@␈ε#an␈α␈d␈↓ ¬↓␈ε#␈	␈↓ ¬(␈ε#(␈ε)␈α↓x␈ε#␈α␈)␈αi␈α↓n␈α
(42),␈αfor␈αsm␈α␈all␈↓ πZ␈ε)j␈↓ πt␈ε7∃␈ε#␈α
3␈αa␈α␈nd␈α
f␈α↓o␈α␈r␈α0␈ε7␈α	∀␈ε)␈α
x␈ε7␈αλ∀␈ε#␈α
1.
␈ββ`␈↓ ∧'␈ε,j␈↓ ¬≠␈ε,j
␈β∧
␈↓ ↓V␈ε323.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈23␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈α(51),␈αus␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αresu␈α␈lts␈αf␈α↓r␈α␈om␈αth␈α␈e␈αproof␈αof␈αThe␈α␈orem␈αW.
␈β∧E␈↓ ↓V␈ε324.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈2␈↓ α\␈ε#]␈α⊗W␈α↓h␈α␈at␈α	is␈α
th␈α␈e␈α
a␈α}v␈α␈erag␈α␈e␈α	v␈α⎇alue␈α	of␈α	a␈α	partia␈α␈l␈α
qu␈α␈otien␈α␈t␈↓ λ!␈ε)A␈↓ λS␈ε#i␈α↓n␈α	th␈α␈e␈α
re␈α␈gu␈α␈l␈α↓a␈α␈r␈α
co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed
␈β∧Q␈↓ λ9␈ε,n
␈β∧m␈↓ ↓H␈ε#fra␈α␈ction␈αe␈α␈xp␈α␈ansio␈α␈n␈αof␈αa␈αra␈α␈nd␈α␈om␈αre␈α␈al␈αn␈α␈um␈α}ber?
␈β¬%␈↓ ↓V␈ε325.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈25␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Find␈αan␈αe␈α␈xam␈α␈ple␈α
o␈α␈f␈α
a␈αset␈↓ ε∀␈ε7I␈↓ ε6␈ε#=␈↓ εc␈ε)I␈↓ ππ␈ε7[␈↓ π'␈ε)I␈↓ πK␈ε7[␈↓ πl␈ε)I␈↓ λ⊂␈ε7[␈↓ λ0␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λc␈ε7∩␈↓ 	⊂␈ε#[␈↓ 	~␈ε#0␈α␈,␈αε1],␈α
where␈αthe␈↓ ε␈ε)I␈↓ ⊗␈ε#'s
␈β¬1␈↓ εq␈ε&1␈↓ π5␈ε&2␈↓ πy␈ε&3
␈β¬M␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈re␈αdisjoin␈α}t␈αi␈α↓n␈α}terv␈α⎇a␈α␈l␈α↓s,␈αfor␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈α(43␈α␈)␈αd␈α␈oes␈αnot␈αhold.
␈βε¬␈↓ ↓V␈ε326.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈3␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Sho␈α␈w␈α	that␈α	if␈α
th␈α␈e␈α
n␈α}um␈α}bers␈ε7␈α	f␈ε#1␈α␈/␈ε)n␈ε#,␈αε2/␈ε)␈α␈n␈ε#␈α↓,␈↓ π␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ π8␈ε#,␈ε7␈αεb␈ε)n␈ε#/2␈ε7␈α␈c␈ε#/␈ε)n␈ε7g␈ε#␈α
a␈α␈re␈α	exp␈α␈ressed␈α	a␈α␈s␈α
re␈α␈gula␈α␈r
␈βε-␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈on␈α␈tin␈α}ued␈αfraction␈α␈s,␈α∞th␈α␈e␈α
resu␈α␈l␈α↓t␈α
is␈α
sy␈α␈mmetric␈α
b␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈αl␈α↓e␈α␈$␈α
and␈αrigh␈α␈t␈α␈,␈α∞i␈α↓n␈αthe␈αsense␈αtha␈α␈t
␈βεU␈↓ ↓H␈ε7?␈↓ ↓X␈ε)A␈↓ ↓{␈ε#,␈↓ α
␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ α6␈ε#,␈↓ αE␈ε)A␈↓ αk␈ε#,␈↓ αz␈ε)A␈↓ β ␈ε7?␈ε#␈α
ap␈α␈pea␈α␈rs␈αwhen␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈ε7␈α?␈↓ ¬X␈ε)A␈↓ ¬}␈ε#,␈↓ ε
␈ε)A␈↓ ε3␈ε#,␈↓ εA␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ εn␈ε#,␈↓ ε⎇␈ε)A␈↓ π∨␈ε7?␈ε#␈αdo␈α␈es.
␈βε`␈↓ ↓p␈ε,t␈↓ α]␈ε&2␈↓ β∩␈ε&1␈↓ ¬p␈ε&1␈↓ ε%␈ε&2␈↓ π∃␈ε,t
␈βπ
␈↓ ↓V␈ε327.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈1␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Deriv␈α␈e␈α(5␈α␈3)␈αfrom␈α(47␈α␈)␈αa␈α␈nd␈α
(52).
␈βπE␈↓ ↓V␈ε328.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈3␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈α
the␈α
follo␈α␈wing␈α
ide␈α␈n␈α␈tities␈α∞in␈α␈v␈α}olvin␈α␈g␈α∞th␈α␈e␈↓ λ¬␈ε#three␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er-the␈α␈oretic␈α
f␈α↓u␈α␈nc␈α␈-
␈βπm␈↓ ↓H␈ε#tio␈α␈ns␈ε)␈α⎇␈ε#(␈ε)n␈ε#),␈ε)␈α⊗␈ε#(␈ε)n␈ε#),␈ε)␈αβ␈ε#(␈ε)n␈ε#):
␈βλ#␈↓ α<␈ε↓X␈↓ εd␈ε↓X␈↓ λy␈ε↓X
␈βλF␈↓ α⊂␈ε#a␈α␈)␈↓ αv␈ε)⊗␈ε#(␈ε)d␈ε#)␈α	=␈↓ βf␈ε)∞␈↓ ∧∩␈ε#.␈↓ ¬L␈ε#b)␈↓ ¬{␈ε#ln␈↓ ε≤␈ε)n␈ε#␈α	=␈↓ π≡␈ε)β␈ε#(␈ε)d␈ε#),␈ε)␈↓ λ1n␈ε#␈α	=␈↓ 	3␈ε)⎇␈ε#␈α␈(␈ε)d␈ε#).
␈βλR␈↓ βt␈ε,n␈ε&␈α␈1
␈βλx␈↓ α?␈ε,d␈ε:∧␈ε,n␈↓ εg␈ε,d␈ε:∧␈ε,n␈↓ λ|␈ε,d␈ε:∧␈ε,n
␈βλ{␈↓ βu␈ε↓⊂␈↓ ∧#␈ε↓⊃␈↓ πλ␈ε↓⊂␈↓ π6␈ε↓⊃
␈β	α␈↓ β'␈ε↓X␈↓ ε:␈ε↓X
␈β	∂␈↓ ∧␈ε)n␈↓ π≡␈ε)n
␈β	&␈↓ α⊂␈ε#c␈α␈)␈↓ α5␈ε)β␈ε#(␈ε)n␈ε#)␈α
=␈↓ βa␈ε)⊗␈↓ ∧:␈ε#l␈α↓n␈↓ ∧\␈ε)d␈ε#,␈ε)␈↓ ¬D⎇␈ε#(␈ε)n␈ε#)␈α
=␈↓ εt␈ε)⊗␈↓ πM␈ε)d␈ε#.
␈β	9␈↓ ∧␈∧	9∧α∃␈↓ π≡␈∧	9π≡α∃
␈β	<␈↓ ∧␈ε)d␈↓ π∨␈ε)d
␈β	X␈↓ β+␈ε,d␈ε:␈α␈∧␈ε,n␈↓ ε>␈ε,d␈ε:␈α␈∧␈ε,n
␈β
2␈↓ ↓V␈ε329.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈3␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Assum␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αth␈α␈at␈↓ ∧[␈ε)T␈↓ ¬
␈ε#is␈αgiv␈α␈en␈α
by␈α
(␈α↓5␈α␈3),␈αsh␈α↓o␈α}w␈αt␈α␈hat␈α(5␈α␈5)␈α=␈α(5␈α␈6).
␈β
=␈↓ ∧n␈ε,n
␈β
h␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
j␈↓ ↓S␈ε33␈α␈0.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈32␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Th␈α␈e␈α∞follo␈α␈wing␈α
v␈α⎇arian␈α}t␈α∞of␈α∞Euc␈α␈l␈α↓id␈α␈'␈α↓s␈α∞a␈α␈lgorith␈α␈m␈↓ λ"␈ε#is␈α∞o$en␈α
sug␈α␈geste␈α␈d:␈α⊃Inst␈α␈ead
␈β∩␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈α⊂rep␈α␈lacing␈↓ βε␈ε)v␈↓ β'␈ε#by␈ε)␈α∂u␈↓ βt␈ε#mo␈α␈d␈↓ ∧8␈ε)v␈↓ ∧Z␈ε#d␈α␈urin␈α␈g␈α⊂t␈α␈he␈α∂division␈α∂step␈α␈,␈α⊃rep␈α␈l␈α↓a␈α␈ce␈α∂i␈α↓t␈α∂by␈ε7␈α∂j␈ε#(␈ε)u␈↓ 	V␈ε#mod␈↓ 
≠␈ε)v␈↓ 
,␈ε#)␈ε7␈α␈␈↓ 
n␈ε)v␈↓ 
␈␈ε7j␈ε#␈α⊂if
␈β7␈↓ α}␈ε&1
␈β9␈↓ ↓H␈ε)u␈↓ ↓a␈ε#m␈α␈od␈↓ α%␈ε)v␈↓ αH␈ε#>␈↓ β⊂␈ε)v␈↓ β!␈ε#.␈α≡Th␈α␈u␈α␈s,␈α⊃for␈α⊂ex␈α␈amp␈α␈le,␈α∩if␈ε)␈α⊂u␈ε#␈α∩=␈α⊃26␈α∂and␈↓ πi␈ε)v␈↓ λ␈ε#=␈α⊃7,␈α∩w␈α␈e␈α∂ha␈α␈v␈α}e␈↓ 	q␈ε#gc␈α␈d␈↓ 
#␈ε#(26␈α␈,␈αε7)␈α⊃=
␈βJ␈↓ α}␈ε&2
␈βL␈↓ α}␈∧Lα}α∞
␈βa␈↓ ↓H␈ε#g␈α␈cd␈↓ ↓z␈ε#(␈ε7␈␈ε#2,␈α¬7)␈α
=␈↓ β↔␈ε#gcd␈↓ βI␈ε#(7,␈αε2␈α␈);␈ε7␈α
␈␈ε#2␈αi␈α↓s␈αthe␈ε0␈αrema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈αof␈αsm␈α␈allest␈αma␈α␈gn␈α␈i␈α↓tu␈α␈de␈ε#␈αwhe␈α␈n␈αm␈α␈u␈α␈ltiples␈αo␈α␈f
␈β	␈↓ ↓H␈ε#7␈αare␈αsub␈α␈tract␈α␈ed␈α
fro␈α␈m␈α
2␈α␈6.␈α∀Comp␈α␈are␈αthis␈α
p␈α␈roce␈α␈du␈α␈re␈α
with␈αE␈α↓u␈α␈clid's␈α
alg␈α␈orithm␈α␈;␈α∞estimate
␈β0␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αof␈αdiv␈α␈i␈α↓sion␈α
step␈α␈s␈αthis␈αmethod␈α
sa␈α␈v␈α␈e␈α␈s,␈αo␈α␈n␈αth␈α␈e␈αa␈α␈v␈α␈er␈α␈age.
␈βg␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βi␈↓ ↓S␈ε33␈α␈1.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Fi␈α↓n␈α␈d␈αth␈α␈e␈α\w␈α␈orst␈αc␈α␈ase"␈αo␈α␈f␈αthe␈αmodi|␈α␈cation␈α
of␈αEuclid's␈αalgo␈α␈rithm␈αsu␈α␈gg␈α␈ested
␈β
⊂␈↓ ↓H␈ε#in␈α
exerc␈α␈i␈α↓se␈α
30;␈αwha␈α␈t␈αare␈αth␈α␈e␈αsmallest␈αinp␈α␈uts␈ε)␈αu␈ε#␈α	>␈↓ π⊃␈ε)v␈↓ π,␈ε#>␈α	0␈αth␈α␈at␈αrequ␈α␈ire␈ε)␈αn␈ε#␈αd␈α␈ivision␈αste␈α␈ps?
␈β
I␈↓ ↓V␈ε332.␈↓ α␈ε#[␈ε)20␈↓ α;␈ε#]␈α⊗(a␈α␈)␈α∂A␈↓ β5␈ε#Mo␈α␈rse␈α∞cod␈α␈e␈α∞sequ␈α␈enc␈α␈e␈α∂o␈α␈f␈α∂len␈α␈gth␈ε)␈α
n␈ε#␈α∂is␈α∂a␈α
stri␈α↓n␈α␈g␈α∞of␈↓ λz␈ε)r␈↓ 	_␈ε#d␈α␈ots␈α∞an␈α␈d␈ε)␈α∞s␈ε#␈α∞d␈α␈ash␈α␈es,
␈β
p␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈↓ α(␈ε)r␈↓ α?␈ε#+␈απ2␈ε)s␈ε#␈α	=␈ε)␈α	n␈ε#␈α↓.␈α∂F␈α⎇or␈αex␈α␈amp␈α␈le,␈αt␈α␈he␈αM␈α␈orse␈αco␈α␈de␈αseq␈α␈ue␈α␈nces␈αo␈α␈f␈αl␈α↓en␈α␈gth␈α
4␈αare
␈β∞C␈↓ ¬;␈ε#←␈↓ ε≤␈ε#←␈↓ ε|␈ε#←␈↓ πk␈ε#←␈↓ λ∩␈ε#←
␈β∞D␈↓ ∧8␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈α¬↓␈ε#␈α↓,␈ε7␈α'↓␈αε↓␈↓ ¬]␈ε#,␈ε7␈α'↓␈↓ εB␈ε7↓␈ε#␈α↓,␈↓ π#␈ε7↓␈α¬↓␈ε#␈α↓,␈↓ λ3␈ε#.
␈β∂_␈↓ ↓H␈ε#No␈α␈ting␈α
th␈α␈at␈α
the␈α
co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈an␈α}t␈↓ ∧g␈ε)Q␈↓ ¬∂␈ε#(␈↓ ¬~␈ε)x␈↓ ¬:␈ε#,␈↓ ¬I␈ε)x␈↓ ¬i␈ε#,␈↓ ¬x␈ε)x␈↓ ε_␈ε#,␈↓ ε'␈ε)x␈↓ εG␈ε#)␈α∞is␈↓ πβ␈ε)x␈↓ π$␈ε)x␈↓ πD␈ε)x␈↓ πd␈ε)x␈↓ λ
␈ε#+␈↓ λ8␈ε)x␈↓ λX␈ε)x␈↓ 	↓␈ε#+␈↓ 	+␈ε)x␈↓ 	L␈ε)x␈↓ 	u␈ε#+␈↓ 
∨␈ε)x␈↓ 
?␈ε)x␈↓ 
h␈ε#+␈α
1␈α␈,
␈β∂#␈↓ ¬↓␈ε&4␈↓ ¬,␈ε&1␈↓ ¬[␈ε&2␈↓ ε␈ε&3␈↓ ε:␈ε&4␈↓ π⊗␈ε&1␈↓ π6␈ε&2␈↓ πV␈ε&3␈↓ πw␈ε&4␈↓ λJ␈ε&1␈↓ λj␈ε&2␈↓ 	>␈ε&1␈↓ 	↑␈ε&4␈↓ 
1␈ε&3␈↓ 
R␈ε&4
␈β∂?␈↓ ↓H␈ε#|␈α␈nd␈αa␈α␈nd␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈αa␈αsimp␈α␈l␈α↓e␈αrelat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αbet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈↓ ε+␈ε)Q␈↓ εV␈ε#(␈↓ εb␈ε)x␈↓ πα␈ε#,␈↓ π⊃␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ π=␈ε#,␈↓ πL␈ε)x␈↓ πo␈ε#)␈α
a␈α␈nd␈αM␈α␈orse␈αcod␈α␈e␈αsequ␈α␈enc␈α␈es␈α
o␈α␈f
␈β∂K␈↓ εF␈ε,n␈↓ εt␈ε&1␈↓ π↑␈ε,n
␈β∂g␈↓ ↓H␈ε#len␈α␈gth␈ε)␈α
n␈ε#␈α↓.␈α→(b)␈α(L.␈↓ βN␈ε#Eu␈α␈l␈α↓e␈α␈r,␈ε0␈αNo␈α}vi␈αComm␈α␈.␈αAca␈α␈d.␈αSc␈α␈i␈α↓.␈αPet.␈ε3␈α9␈ε#␈α(176␈α␈2),␈α53↑␈α␈69.)␈α→Pro␈α␈v␈α␈e␈α
that
␈β⊂7␈↓ ↓i␈ε)Q␈↓ αF␈ε#(␈↓ αQ␈ε)x␈↓ αr␈ε#,␈↓ β↓␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ β-␈ε#,␈↓ β<␈ε)x␈↓ ∧⊃␈ε#)␈α
=␈↓ ∧P␈ε)Q␈↓ ¬α␈ε#(␈↓ ¬
␈ε)x␈↓ ¬.␈ε#,␈↓ ¬<␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ¬i␈ε#,␈↓ ¬x␈ε)x␈↓ ε"␈ε#)␈↓ ε-␈ε)Q␈↓ εX␈ε#(␈↓ εc␈ε)x␈↓ π6␈ε#,␈↓ πE␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ πq␈ε#,␈↓ λ␈ε)x␈↓ λU␈ε#)
␈β⊂C␈↓ αβ␈ε,m␈ε&+␈ε,␈α↓n␈↓ αd␈ε&1␈↓ βN␈ε,m␈ε&+␈ε,n␈↓ ∧j␈ε,m␈↓ ¬ ␈ε&1␈↓ ε
␈ε,m␈↓ εG␈ε,n␈↓ εv␈ε,m␈ε&+1␈↓ λ∩␈ε,m␈ε&+␈ε,␈α↓n
␈β⊂f␈↓ ¬P␈ε#+␈↓ ¬y␈ε)Q␈↓ εS␈ε#(␈↓ ε↑␈ε)x␈↓ ε␈␈ε#,␈↓ π∞␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ π:␈ε#,␈↓ πI␈ε)x␈↓ λ≠␈ε#)␈↓ λ&␈ε)Q␈↓ λz␈ε#(␈↓ 	¬␈ε)x␈↓ 	W␈ε#,␈↓ 	f␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 
∩␈ε#,␈↓ 
!␈ε)x␈↓ 
w␈ε#).
␈β⊂q␈↓ ε∪␈ε,m␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈↓ εq␈ε&1␈↓ π[␈ε,m␈ε:␈␈ε&1␈↓ λA␈ε,n␈ε:␈α␈␈␈ε&␈α↓1␈↓ 	↔␈ε,m␈ε&+2␈↓ 
4␈ε,m␈ε&+␈ε,n
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"362␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα%␈↓ ↓V␈ε333.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈2␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Let␈ε)␈αh␈ε#␈α↓(␈ε)n␈ε#)␈αbe␈αth␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αof␈αrepr␈α␈esen␈α␈ta␈α␈tions␈αo␈α␈f␈ε)␈αn␈ε#␈αin␈αth␈α␈e␈αform
␈βαs␈↓ αV␈ε:0␈↓ β1␈ε:0␈↓ ¬R␈ε:0␈↓ ε∨␈ε:0␈↓ 
2␈ε:0␈↓ 
z␈ε:0
␈βαy␈↓ ↓i␈ε)n␈ε#␈α
=␈ε)␈α	x␈↓ αD␈ε)x␈↓ αe␈ε#+␈↓ β∞␈ε)y␈↓ β∨␈ε)y␈↓ β9␈ε#,␈ε)␈α,x␈ε#␈α	>␈↓ ∧4␈ε)y␈↓ ∧O␈ε#>␈α
0␈α␈,␈↓ ¬@␈ε)x␈↓ ¬c␈ε#>␈↓ ε∞␈ε)y␈↓ ε0␈ε#>␈α
0␈α␈,␈↓ π!␈ε#g␈α␈cd␈↓ πS␈ε#(␈ε)x␈ε#␈α␈,␈↓ π␈␈ε)y␈↓ λ⊃␈ε#)␈α	=␈α
1␈α␈,␈α'in␈α␈teg␈α␈er␈ε)␈αx␈ε#,␈↓ 
∨␈ε)x␈↓ 
9␈ε#,␈↓ 
H␈ε)y␈↓ 
Z␈ε#,␈↓ 
i␈ε)y␈↓ α␈ε#.
␈ββF␈↓ πx␈ε:0␈↓ λR␈ε:0
␈ββL␈↓ ↓H␈ε#(a␈α␈)␈α⊂S␈α␈h␈α↓o␈α}w␈α∂tha␈α␈t␈α⊂if␈α∂th␈α␈e␈α∂con␈α␈dition␈α␈s␈α∂are␈α∂relax␈α␈ed␈α∂t␈α␈o␈α∂allo␈α␈w␈↓ πe␈ε)x␈↓ λ∂␈ε#=␈↓ λ@␈ε)y␈↓ λZ␈ε#,␈α⊂th␈α␈e␈α∂n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α∂of␈α∂repre␈α␈-
␈ββt␈↓ ↓H␈ε#se␈α␈n␈α␈tatio␈α␈ns␈α∂is␈ε)␈α∞h␈ε#␈α↓(␈ε)n␈ε#)␈α
+␈ε7␈α
b␈ε#(␈ε)n␈ε7␈α
␈␈ε#␈α1␈α␈)/2␈ε7c␈ε#.␈α (b)␈α∞Sho␈α␈w␈α∂th␈α␈at␈α∞f␈α↓o␈α␈r␈α∂|␈α␈xed␈↓ λ@␈ε)y␈↓ λa␈ε#>␈α∂0␈α∂a␈α␈nd␈α∞0␈α∂<␈ε)␈α∂t␈ε7␈α⊂∀␈↓ ∩␈ε)y␈↓ #␈ε#,
␈β∧∃␈↓ ε~␈ε:0␈↓ πT␈ε:0␈↓ 
z␈ε:0
␈β∧≠␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈↓ α(␈ε#gc␈α␈d␈↓ αZ␈ε#(␈ε)t␈ε#,␈↓ β␈ε)y␈↓ β∩␈ε#)␈α	=␈α
1,␈αan␈α␈d␈αfo␈α␈r␈αe␈α␈ach␈α
|x␈α␈ed␈↓ ελ␈ε)x␈↓ ε-␈ε#su␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ πA␈ε)x␈↓ π[␈ε)t␈ε7␈α
⊃␈ε)␈α	n␈ε#␈α
(mod␈α␈ulo␈↓ 	;␈ε)y␈↓ 	L␈ε#)␈αand␈α
0␈α	<␈↓ 
h␈ε)x␈↓ ␈ε#<
␈β∧C␈↓ ↓H␈ε)n␈ε#/(␈↓ ↓x␈ε)y␈↓ α⊂␈ε#+␈ε)␈αεt␈ε#␈α↓),␈αth␈α␈ere␈αis␈α
exa␈α␈ctly␈αo␈α␈ne␈α
rep␈α␈resen␈α}tation␈α
of␈ε)␈α
n␈ε#␈αsatisfyin␈α␈g␈αth␈α␈e␈α
restriction␈α␈s␈αof␈α
(a)␈αa␈α␈nd
␈β∧j␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αco␈α␈nd␈α␈i␈α↓tion␈ε)␈α
x␈ε7␈α	⊃␈ε)␈α	t␈ε#␈α
(mod␈α␈ulo␈↓ ∧q␈ε)y␈↓ ¬α␈ε#).␈α~(c)␈αCon␈α␈sequ␈α␈en␈α␈t␈α␈l␈α↓y
␈β¬2␈↓ ∧d␈ε↓X
␈β¬;␈↓ ¬≡␈ε↓_␈↓ ¬.␈ε↓∩␈↓ ε]␈ε↓∪␈↓ π∩␈ε↓→
␈β¬?␈↓ ¬d␈ε)n␈↓ ε⎇␈ε#1
␈β¬N␈↓ εV␈ε:0
␈β¬U␈↓ βr␈ε)h␈ε#␈α↓(␈ε)n␈ε#)␈α
=␈↓ ε!␈ε7␈␈↓ εI␈ε)t␈↓ π)␈ε7␈␈αλb␈ε#(␈ε)n␈ε7␈αλ␈␈ε#␈αλ1␈α␈)/2␈ε7c␈ε#,
␈β¬h␈↓ ¬G␈∧¬h¬GαO␈↓ ε⎇␈∧¬hε⎇α∩
␈β¬l␈↓ ¬G␈ε)y␈↓ ¬`␈ε#+␈ε)␈αλt␈↓ ε⎇␈ε)y
␈βε<␈↓ εw␈ε:0␈↓ 
V␈ε:0
␈βεA␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈α	the␈α	su␈α␈m␈α	i␈α↓s␈α	o␈α␈v␈α}er␈α
a␈α␈l␈α↓l␈α	po␈α␈si␈α↓tiv␈α}e␈α
in␈α}tegers␈↓ ε&␈ε)y␈↓ ε8␈ε#,␈ε)␈α
t␈ε#,␈↓ εj␈ε)t␈↓ πλ␈ε#su␈α␈ch␈α	th␈α␈at␈↓ λ_␈ε#gcd␈↓ λJ␈ε#(␈ε)t␈ε#␈α↓,␈↓ λq␈ε)y␈↓ 	α␈ε#)␈α
=␈α	1,␈ε)␈α
t␈ε7␈α
∀␈↓ 
%␈ε)y␈↓ 
7␈ε#,␈↓ 
J␈ε)t␈↓ 
g␈ε7∀␈↓ ∩␈ε)y␈↓ #␈ε#,
␈βεc␈↓ ↓a␈ε:0
␈βεi␈↓ ↓H␈ε)t␈↓ ↓T␈ε)t␈↓ ↓s␈ε7⊃␈ε)␈αn␈ε#␈α(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ β?␈ε)y␈↓ βQ␈ε#).␈α≠(d␈α␈)␈α
S␈α␈ho␈α␈w␈αtha␈α␈t␈αeac␈α␈h␈αo␈α␈f␈αthe␈ε)␈αh␈ε#(␈ε)n␈ε#)␈αrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αc␈α␈an␈αbe␈αe␈α␈xp␈α␈ressed
␈βπ⊃␈↓ ↓H␈ε#u␈α␈niqu␈α␈ely␈αin␈αth␈α␈e␈αform
␈βπ←␈↓ αl␈ε)x␈↓ βλ␈ε#=␈↓ β2␈ε)Q␈↓ βd␈ε#(␈↓ βp␈ε)x␈↓ ∧⊂␈ε#,␈↓ ∧∨␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧K␈ε#,␈↓ ∧Z␈ε)x␈↓ ¬∧␈ε#),␈↓ εR␈ε)y␈↓ εm␈ε#=␈↓ π↔␈ε)Q␈↓ πr␈ε#(␈↓ π⎇␈ε)x␈↓ λ≥␈ε#,␈↓ λ,␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ λX␈ε#,␈↓ λg␈ε)x␈↓ 	:␈ε#),
␈βπj␈↓ βM␈ε,m␈↓ ∧α␈ε&1␈↓ ∧l␈ε,m␈↓ π2␈ε,m␈ε:␈α␈␈␈ε&␈α↓1␈↓ λ∂␈ε&1␈↓ λz␈ε,m␈ε:␈α␈␈␈ε&␈α↓1
␈βλ
␈↓ αw␈ε:0␈↓ ε\␈ε:0
␈βλ∃␈↓ αd␈ε)x␈↓ βλ␈ε#=␈↓ β2␈ε)Q␈↓ β[␈ε#(␈↓ βf␈ε)x␈↓ ∧9␈ε#,␈↓ ∧H␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧t␈ε#,␈↓ ¬β␈ε)x␈↓ ¬V␈ε#)␈ε)␈αεd␈ε#,␈↓ εJ␈ε)y␈↓ εm␈ε#=␈↓ π↔␈ε)Q␈↓ πi␈ε#(␈↓ πt␈ε)x␈↓ λF␈ε#,␈↓ λU␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 	↓␈ε#,␈↓ 	⊂␈ε)x␈↓ 	d␈ε#)␈ε)␈α¬d␈ε#,
␈βλ ␈↓ βM␈ε,k␈↓ βy␈ε,m␈ε&+1␈↓ ¬∃␈ε,m␈ε&+␈↓ ¬H␈ε,k␈↓ π2␈ε,k␈↓ π@␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈↓ λε␈ε,m␈ε&+2␈↓ 	#␈ε,m␈ε&+␈↓ 	U␈ε,k
␈βλc␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈ε)␈α
m␈ε#,␈↓ α←␈ε)k␈↓ αq␈ε#,␈ε)␈α∞d␈ε#,␈α∞an␈α␈d␈α
th␈α␈e␈↓ ∧/␈ε)x␈↓ ∧]␈ε#a␈α␈re␈α
positiv␈α␈e␈α
in␈α}tegers␈α
with␈↓ π↑␈ε)x␈↓ λ␈ε7∃␈ε#␈α
2␈α␈,␈↓ λ`␈ε)x␈↓ 	A␈ε7∃␈ε#␈α
2␈α␈,␈α∞an␈α␈d␈ε)␈α
d␈ε#␈α
i␈α↓s␈α
a
␈βλn␈↓ ∧B␈ε,j␈↓ πp␈ε&1␈↓ λs␈ε,m␈ε&+␈↓ 	%␈ε,k
␈β	
␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈ivisor␈α
o␈α␈f␈ε)␈α
n␈ε#␈α↓.␈α∞The␈α
id␈α␈en␈α␈tit␈α␈y␈α
o␈α␈f␈α
exe␈α␈rcise␈α
32␈α	n␈α↓o␈α}w␈α
i␈α↓m␈α␈plies␈α
tha␈α␈t␈ε)␈α
n␈ε#/␈ε)d␈ε#␈α	=␈↓ λt␈ε)Q␈↓ 	O␈ε#(␈↓ 	Z␈ε)x␈↓ 	{␈ε#,␈↓ 
	␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 
6␈ε#,␈↓ 
E␈ε)x␈↓ _␈ε#).
␈β	⊗␈↓ 	∞␈ε,m␈ε&+␈↓ 	@␈ε,k␈↓ 	m␈ε&1␈↓ 
W␈ε,m␈ε&+␈↓ 	␈ε,k
␈β	2␈↓ ↓H␈ε#Co␈α␈n␈α␈v␈α␈e␈α␈rsely,␈α∞an␈α}y␈α
giv␈α␈e␈α␈n␈α
seq␈α␈uen␈α␈ce␈α
of␈α
po␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈↓ πD␈ε)x␈↓ πd␈ε#,␈↓ π{␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ λ'␈ε#,␈↓ λ>␈ε)x␈↓ 	∨␈ε#su␈α␈ch␈α
th␈α␈at␈↓ 
7␈ε)x␈↓ 
d␈ε7∃␈ε#␈α∞2␈α␈,
␈β	=␈↓ πV␈ε&1␈↓ λQ␈ε,m␈ε&+␈↓ 	β␈ε,k␈↓ 
J␈ε&1
␈β	Y␈↓ ↓H␈ε)x␈↓ α$␈ε7∃␈ε#␈α
2,␈αa␈α␈nd␈↓ β4␈ε)Q␈↓ ∧∂␈ε#(␈↓ ∧≠␈ε)x␈↓ ∧;␈ε#,␈↓ ∧J␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧v␈ε#,␈↓ ¬¬␈ε)x␈↓ ¬X␈ε#)␈αdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈ε)␈αn␈ε#,␈αcorre␈α␈spo␈α␈nd␈α␈s␈αin␈αth␈α␈is␈αw␈α␈a␈α␈y␈α
to␈ε)␈αm␈ε#␈αε+␈↓ 
Z␈ε)k␈↓ 
t␈ε7␈␈ε#␈απ1
␈β	e␈↓ ↓Z␈ε,m␈ε&+␈↓ α␈ε,k␈↓ βN␈ε,m␈ε&+␈↓ ∧↓␈ε,k␈↓ ∧-␈ε&1␈↓ ¬↔␈ε,m␈ε&+␈↓ ¬J␈ε,k
␈β
↓␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈ns␈αof␈ε)␈αn␈ε#.␈α~(e)␈αTh␈α␈erefore␈ε)␈α
n␈↓ ¬h␈ε)T␈↓ ε∃␈ε#=␈ε7␈α	b␈ε#(5␈ε)n␈ε7␈αλ␈␈ε#␈αλ3␈α␈)/2␈ε7c␈ε#␈απ+␈αλ2␈ε)␈α␈h␈ε#␈α↓(␈ε)n␈ε#).
␈β

␈↓ ¬{␈ε,n
␈β
9␈↓ ↓V␈ε334.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈40␈↓ αt␈ε#]␈α⊗(H.␈↓ βI␈ε#Heilbro␈α␈nn␈α␈.␈α↓)␈α∪(a)␈α
Let␈↓ ¬k␈ε)h␈↓ ε∞␈ε#(␈ε)n␈ε#)␈α
b␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
o␈α␈f␈α
rep␈α␈resen␈α}tation␈α␈s␈α
of␈ε)␈α	n␈ε#␈α
as␈α
in
␈β
E␈↓ ¬␈␈ε,d
␈β
[␈↓ ∧x␈ε:0␈↓ ≤␈ε:0
␈β
a␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈xerc␈α␈i␈α↓se␈α3␈α␈3␈αsuch␈αthat␈ε)␈αx␈α␈d␈ε#␈α<␈↓ ∧e␈ε)x␈↓ ∧␈␈ε#,␈α
p␈α␈l␈α↓u␈α␈s␈αhalf␈αthe␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αrepr␈α␈esen␈α␈ta␈α␈tions␈αwith␈↓ 
1␈ε)x␈α␈d␈ε#␈α
=␈↓ 	␈ε)x␈↓ #␈ε#.
␈βλ␈↓ ↓H␈ε#Let␈↓ α∧␈ε)g␈↓ α∀␈ε#(␈ε)n␈ε#␈α↓)␈α
be␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α
o␈α␈f␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈α␈s␈α
wi␈α↓thou␈α␈t␈α
the␈α
req␈α␈uireme␈α␈n␈α␈t␈α
tha␈α␈t␈↓ 	d␈ε#g␈α␈cd␈↓ 
⊗␈ε#(␈ε)x␈ε#␈α␈,␈↓ 
B␈ε)y␈↓ 
T␈ε#)␈α	=␈α
1␈α␈.
␈β0␈↓ ↓H␈ε#Pro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t
␈β5␈↓ ¬V␈ε↓⊂␈↓ ε∧␈ε↓⊃␈↓ λM␈ε↓⊂␈↓ λ{␈ε↓⊃
␈β=␈↓ ∧P␈ε↓X␈↓ πr␈ε↓X
␈βJ␈↓ ¬l␈ε)n␈↓ λc␈ε)n
␈β`␈↓ β↑␈ε)h␈ε#(␈ε)n␈ε#␈α↓)␈α	=␈↓ ¬	␈ε)⊗␈ε#(␈ε)d␈ε#)␈↓ ¬E␈ε)g␈↓ ε⊗␈ε#,␈↓ εm␈ε)g␈↓ ε⎇␈ε#(␈ε)n␈ε#)␈α
=␈α	2␈↓ λ+␈ε)h␈↓ 	
␈ε#.
␈βl␈↓ λ?␈ε,d
␈βs␈↓ ¬l␈∧s¬lα∃␈↓ λc␈∧sλcα∃
␈βw␈↓ ¬m␈ε)d␈↓ λd␈ε)d
␈β∩␈↓ ∧S␈ε,d␈ε:∧␈ε,␈α␈n␈↓ πu␈ε,d␈ε:∧␈ε,␈α␈n
␈β1␈↓ λG␈ε↓P
␈βK␈↓ λm␈ε"(␈↓ 	≡␈ε"(␈↓ 
≠␈ε"))
␈βM␈↓ ↓H␈ε#(b␈α␈)␈α
Gen␈α␈eralizing␈α	exe␈α␈rcise␈α
33␈α␈(b),␈α
sh␈α↓o␈α}w␈α
tha␈α␈t␈α
for␈ε)␈α
d␈ε7␈α	∃␈ε#␈α
1␈α␈,␈↓ πG␈ε)h␈↓ πi␈ε#(␈ε)n␈ε#)␈α
=␈↓ λy␈ε)n␈ε#/␈↓ 	*␈ε)y␈↓ 	<␈ε#(␈↓ 	G␈ε)y␈↓ 	]␈ε#+␈ε)␈αεt␈ε#)␈↓ 
8␈ε#+␈↓ 
↑␈ε)O␈↓ 
y␈ε#(␈ε)n␈ε#),
␈βY␈↓ πZ␈ε,d
␈β|␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈αthe␈αsu␈α␈m␈α
is␈αo␈α␈v␈α␈er␈αall␈α
in␈α}tegers␈↓ ¬C␈ε)y␈↓ ¬a␈ε#an␈α␈d␈ε)␈αt␈ε#␈α
such␈αt␈α␈hat␈↓ πS␈ε#gcd␈↓ λ¬␈ε#(␈ε)t␈ε#␈α↓,␈↓ λ+␈ε)y␈↓ λ=␈ε#)␈α=␈α1␈αa␈α␈nd␈α0␈α<␈ε)␈αt␈ε7␈α∀␈↓ 
n␈ε)y␈↓ ␈ε#<
␈β
	␈↓ ↓H␈ε↓p
␈β
∂␈↓ ∧∩␈ε↓P
␈β
'␈↓ ↓l␈∧
'↓lα8
␈β
)␈↓ ¬~␈ε"(␈↓ ε+␈ε")␈↓ λ*␈ε"(␈↓ 	_␈ε")
␈β
+␈↓ ↓l␈ε)n␈ε#/␈ε)d␈↓ α#␈ε#.␈α↔(c)␈α
Sho␈α␈w␈αth␈α␈at␈↓ ¬&␈ε)y␈↓ ¬8␈ε#/␈α␈(␈↓ ¬T␈ε)y␈↓ ¬l␈ε#+␈ε)␈αεt␈ε#␈α↓)␈↓ ε@␈ε#=␈ε)␈α	⎇␈ε#(␈↓ π
␈ε)y␈↓ π∨␈ε#)␈↓ π/␈ε#l␈α↓n␈↓ πQ␈ε#2␈αε+␈↓ λ∂␈ε)O␈↓ λ6␈ε)≠␈↓ λp␈ε#(␈↓ λ{␈ε)y␈↓ 	
␈ε#)␈↓ 	$␈ε#,␈αwhe␈α␈re␈αth␈α␈e␈αs␈α␈um␈α
is
␈β
6␈↓ λH␈ε:␈␈ε&␈α↓1
␈β
=␈↓ λk␈ε↓P
␈β
>␈↓ ∧8␈ε&1␈ε:∀␈↓ ∧`␈ε,y␈↓ ∧o␈ε:∀␈ε,n
␈β
Y␈↓ ↓H␈ε#o␈α}v␈α␈er␈αth␈α␈e␈αrang␈α␈e␈α0␈α<␈ε)␈αt␈ε7␈α∀␈↓ ∧3␈ε)y␈↓ ∧D␈ε#,␈↓ ∧Z␈ε#gc␈α␈d␈↓ ¬␈ε#(␈ε)t␈ε#,␈↓ ¬2␈ε)y␈↓ ¬D␈ε#)␈α=␈α1␈α␈;␈α
an␈α␈d␈αwher␈α␈e␈↓ πQ␈ε)≠␈↓ λ␈ε#(␈↓ λ⊗␈ε)y␈↓ λ(␈ε#)␈α=␈↓ 	<␈ε#(1␈α␈/␈ε)d␈ε#).␈α≤(d␈α␈)␈α
S␈α␈h␈α↓o␈α}w
␈β
e␈↓ πc␈ε:␈␈ε&1
␈β
l␈↓ α⊂␈ε↓P␈↓ ∧C␈ε↓P
␈β
m␈↓ 	⊃␈ε,d␈ε:␈α␈∧␈↓ 	-␈ε,y
␈β∞β␈↓ ∧␈ε&2␈↓ π∞␈ε&2
␈β∞λ␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈↓ β≡␈ε)⎇␈ε#␈α␈(␈↓ βA␈ε)y␈↓ βR␈ε#)/␈↓ βn␈ε)y␈↓ ∧_␈ε#=␈↓ ¬Q␈ε)⊗␈ε#(␈ε)d␈ε#)␈↓ ε
␈ε)H␈↓ εl␈ε#/␈↓ ε|␈ε)d␈↓ π≤␈ε#.␈α≠(e)␈αHe␈α␈nce␈αw␈α␈e␈αha␈α}v␈α␈e␈αthe␈αasym␈α␈pto␈α␈ti␈α↓c
␈β∞∃␈↓ ε(␈ε:b␈ε,n␈ε&/␈ε,d␈ε:c
␈β∞≠␈↓ ¬F␈ε↓P
␈β∞≤␈↓ α6␈ε&1␈ε:∀␈↓ α←␈ε,y␈↓ αm␈ε:∀␈ε,␈α↓n␈↓ ∧i␈ε&1␈ε:∀␈ε,␈α↓d␈ε:␈α␈∀␈ε,␈α↓n
␈β∞1␈↓ ∧:␈ε&2␈↓ λF␈ε&2
␈β∞5␈↓ β~␈ε"(␈↓ ∧H␈ε")(␈↓ ε}␈ε")␈↓ πT␈ε"(␈↓ λS␈ε")
␈β∞7␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈rm␈α␈ula␈↓ αC␈ε)T␈↓ αp␈ε#=␈↓ β&␈ε#(12␈↓ βX␈ε#ln␈↓ βz␈ε#2␈α␈)/␈↓ ∧&␈ε)→␈↓ ∧`␈ε#ln␈↓ ¬↓␈ε)n␈ε7␈αλ␈␈↓ ε∨␈ε)β␈ε#(␈ε)d␈ε#)/␈ε)d␈↓ π⊃␈ε#+␈↓ π:␈ε)O␈↓ π`␈ε)≠␈↓ λ≠␈ε#(␈ε)n␈↓ λ:␈ε#)␈↓ λ←␈ε#.
␈β∞C␈↓ αV␈ε,n␈↓ πs␈ε:␈␈ε&1
␈β∞K␈↓ ¬l␈ε,d␈ε:␈α␈∧␈ε,n
␈β∞t␈↓ ↓V␈ε335.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈41␈↓ αt␈ε#]␈α⊗(A.␈α
C.␈↓ βt␈ε#Y␈α⎇a␈α␈o␈α
a␈α␈nd␈α	D.␈α
E.␈↓ ¬I␈ε#K␈α␈n␈α␈u␈α␈th.)␈α∪P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈α	tha␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
su␈α␈m␈α	of␈α
a␈α␈l␈α↓l␈α	part␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
qu␈α␈otien␈α␈t␈α␈s
␈β∂␈↓ π2␈ε↓P
␈β∂~␈↓ π&␈ε"(␈↓ 	≡␈ε")
␈β∂≤␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈α	the␈α	fra␈α␈ction␈α␈s␈ε)␈α	m␈ε#/␈ε)n␈ε#,␈α
fo␈α␈r␈α	1␈ε7␈α	∀␈ε)␈α
m␈ε#␈α	<␈ε)␈α	n␈ε#,␈α
is␈α	equ␈α␈al␈α	to␈α	2␈↓ πX␈ε7b␈ε)x␈ε#/␈↓ λλ␈ε)y␈↓ λ~␈ε7c␈ε#␈αβ+␈ε7␈α∧b␈ε)n␈ε#/2␈ε7␈α␈c␈↓ 	*␈ε#,␈α
wh␈α␈ere␈α	th␈α␈e␈α	sum␈αλis
␈β∂>␈↓ ¬
␈ε:0␈↓ ¬c␈ε:0
␈β∂D␈↓ ↓H␈ε#o␈α}v␈α␈er␈α
a␈α␈l␈α↓l␈α
rep␈α␈resen␈α}tation␈α␈s␈ε)␈α
n␈ε#␈α
=␈ε)␈α	x␈↓ ∧{␈ε)x␈↓ ¬~␈ε#+␈↓ ¬@␈ε)y␈↓ ¬R␈ε)y␈↓ ¬u␈ε#sa␈α␈tisf␈α↓y␈α␈ing␈α	the␈α
c␈α␈ond␈α␈itions␈α	of␈α
ex␈α␈ercise␈α
33␈α␈(a).␈α∂S␈α␈h␈α↓o␈α}w
␈β∂O␈↓ α⊂␈ε↓P
␈β∂e␈↓ β]␈ε:␈␈ε&2␈↓ ∧e␈ε&2␈↓ π7␈ε&2
␈β∂i␈↓ ¬<␈ε"(␈↓ πE␈ε")
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈↓ α6␈ε7b␈ε)␈α␈x␈ε#/␈↓ αf␈ε)y␈↓ αw␈ε7c␈ε#␈α	=␈α
3␈↓ βI␈ε)→␈↓ ∧¬␈ε)n␈ε#(␈↓ ∧%␈ε#ln␈↓ ∧F␈ε)n␈↓ ∧Z␈ε#)␈↓ ∧z␈ε#+␈↓ ¬"␈ε)O␈↓ ¬H␈ε)n␈↓ ¬b␈ε#l␈α↓o␈α␈g␈↓ ε∩␈ε)n␈ε#␈αε(␈↓ ε7␈ε#l␈α↓o␈α␈g␈↓ εg␈ε#l␈α↓o␈α␈g␈↓ π_␈ε)n␈↓ π,␈ε#)␈↓ πQ␈ε#,␈αan␈α␈d␈α
app␈α␈ly␈αth␈α␈is␈αto␈αth␈α␈e␈α\␈α␈an␈α␈cien␈α␈t"
␈β⊂∪␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈rm␈αof␈αEuclid's␈αalg␈α␈orithm␈αth␈α␈at␈αu␈α␈ses␈αon␈α␈ly␈αsub␈α␈trac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αinst␈α␈ead␈αo␈α␈f␈αdivision␈α␈.
␈β⊂K␈↓ ↓V␈ε336.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(G.␈α
H.␈↓ β]␈ε#Brad␈α␈l␈α↓ey␈α␈.)␈α∩What␈α	is␈α	th␈α␈e␈α	smallest␈α	v␈α⎇alu␈α␈e␈α	of␈↓ λ~␈ε)u␈↓ λH␈ε#su␈α␈ch␈α	th␈α␈at␈α	th␈α␈e␈α	calcu␈α␈lation
␈β⊂V␈↓ λ.␈ε,n
␈β⊂r␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈↓ ↓n␈ε#gcd␈↓ α ␈ε#(␈↓ α+␈ε)u␈↓ αL␈ε#,␈↓ α[␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ βλ␈ε#,␈↓ β⊗␈ε)u␈↓ β;␈ε#)␈α
by␈α
steps␈α
C1␈αa␈α␈nd␈α
C2␈α
i␈α↓n␈α
S␈α␈ection␈α
4.5.2␈α
requ␈α␈i␈α↓r␈α␈es␈↓ λ←␈ε)N␈↓ 	
␈ε#d␈α␈ivisions,␈αif␈αEu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s
␈β⊂}␈↓ α?␈ε&1␈↓ β*␈ε,n
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈αi␈α↓s␈αu␈α␈sed␈αt␈α␈hrou␈α␈ghou␈α␈t?␈α∂Assu␈α␈me␈αtha␈α␈t␈↓ εN␈ε)N␈↓ εx␈ε7∃␈ε)␈α	n␈ε#.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.5.3␈↓ λ4␈ε"'␈↓ 
v␈ε"363
␈β↓Z␈↓ ¬9␈ε.AN␈α␈AL␈α}Y␈α␈SIS␈α
O␈α␈F␈αEUCLI␈α␈D␈↓ λ>␈ε.S␈α
AL␈α␈GO␈α␈RIT␈α␈HM
␈βα%␈↓ ↓V␈ε337.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈8␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(T.␈α	S␈α␈.␈↓ βT␈ε#M␈α␈otzk␈α␈in␈αλan␈α␈d␈αλE.␈αλG.␈↓ ¬d␈ε#Stra␈α␈us.)␈α∞Let␈↓ π≥␈ε)a␈↓ π<␈ε#,␈↓ πN␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ π{␈ε#,␈↓ λ
␈ε)a␈↓ λ7␈ε#be␈αλp␈α␈ositiv␈α␈e␈αλin␈α␈te␈α␈gers.␈α∞S␈α␈h␈α↓o␈α}w
␈βα1␈↓ π/␈ε&1␈↓ λ≡␈ε,n
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈↓ α∂␈ε#ma␈↓ α;␈ε#x␈↓ αT␈ε)Q␈↓ α␈␈ε#(␈↓ β
␈ε)a␈↓ βK␈ε#,␈↓ βZ␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ∧π␈ε#,␈↓ ∧∃␈ε)a␈↓ ∧Z␈ε#),␈αo␈α␈v␈α}er␈α
all␈αp␈α␈erm␈α␈u␈α␈tation␈α␈s␈ε)␈αp␈ε#(1␈α␈)␈↓ πu␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ λ!␈ε)p␈ε#(␈ε)n␈ε#␈α↓)␈α
of␈ε7␈α
f␈ε#1,␈α¬2,␈↓ 	↑␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ 

␈ε#,␈ε)␈αεn␈ε7g␈ε#,␈αo␈α␈ccur␈α␈s
␈βαX␈↓ αn␈ε,n
␈βαY␈↓ β≤␈ε,p␈ε&␈α␈(1)␈↓ ∧'␈ε,p␈ε&(␈ε,n␈ε&␈α␈)
␈βαt␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈en␈↓ α∨␈ε)a␈↓ αk␈ε7∃␈↓ β↔␈ε)a␈↓ βf␈ε7∃␈↓ ∧∩␈ε)a␈↓ ∧↑␈ε7∃␈↓ ¬
␈ε)a␈↓ εα␈ε7∃␈↓ ε-␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εZ␈ε#;␈αand␈αth␈α␈e␈αminim␈α␈u␈α␈m␈αo␈α␈ccur␈α␈s␈αwhen␈↓ 
?␈ε)a␈↓ ␈ε7∀
␈ββ↓␈↓ α1␈ε,p␈ε&(␈α␈1)␈↓ β)␈ε,p␈ε&(␈ε,␈α␈n␈ε&)␈↓ ∧$␈ε,p␈ε&(␈α␈2)␈↓ ¬≤␈ε,p␈ε&(␈ε,␈α␈n␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈α␈)␈↓ 
Q␈ε,p␈ε&(␈α␈1)
␈ββ≤␈↓ ↓H␈ε)a␈↓ α∃␈ε7∀␈↓ α@␈ε)a␈↓ β␈ε7∀␈↓ β5␈ε)a␈↓ ∧+␈ε7∀␈↓ ∧V␈ε)a␈↓ ¬!␈ε7∀␈↓ ¬K␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬{␈ε7∀␈↓ ε&␈ε)a␈↓ εp␈ε7∀␈↓ π≠␈ε)a␈↓ λ⊃␈ε7∀␈↓ λ<␈ε)a␈↓ 	ε␈ε7∀␈↓ 	1␈ε)a␈↓ 
'␈ε7∀␈↓ 
Q␈ε)a␈↓ ∪␈ε#.
␈ββ(␈↓ ↓Y␈ε,p␈ε&(␈ε,n␈ε&)␈↓ αR␈ε,p␈ε&␈α␈(3)␈↓ βG␈ε,p␈ε&(␈ε,␈α␈n␈ε:␈␈ε&␈α↓2␈α␈)␈↓ ∧h␈ε,p␈ε&␈α␈(5)␈↓ ε8␈ε,p␈ε&␈α␈(6)␈↓ π-␈ε,p␈ε&(␈ε,␈α␈n␈ε:␈␈ε&3)␈↓ λM␈ε,p␈ε&(4␈α␈)␈↓ 	C␈ε,p␈ε&␈α␈(␈ε,n␈ε:␈␈ε&1)␈↓ 
c␈ε,p␈ε&(␈α␈2)
␈ββY␈↓ ↓V␈ε338.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(J.␈↓ β.␈ε#Mik␈α␈usinsk␈α␈i.␈α↓)␈α≡Let␈↓ ¬>␈ε)K␈↓ ¬↑␈ε#(␈ε)n␈ε#␈α↓)␈α
=␈↓ εF␈ε#m␈α␈a␈↓ εr␈ε#x␈↓ πJ␈ε)T␈↓ πb␈ε#(␈ε)m␈ε#␈α␈,␈ε)␈αεn␈ε#␈α↓).␈α↔The␈α␈orem␈α
F␈α∞sh␈α↓o␈α␈ws␈α
tha␈α␈t
␈ββe␈↓ π¬␈ε,m␈ε:␈α␈∃␈ε&␈α↓0
␈ββ⎇␈↓ β→␈ε7p␈↓ λ⊗␈ε7p
␈ββ}␈↓ π2␈ε&1
␈β∧␈↓ β5␈∧∧β5α⊃␈↓ λ2␈∧∧λ2α⊃
␈β∧↓␈↓ ↓H␈ε)K␈↓ ↓h␈ε#(␈ε)n␈ε#)␈ε7␈α	∀␈α
b␈↓ αS␈ε#log␈↓ β∞␈ε#(␈↓ β5␈ε#5␈↓ βK␈ε)n␈ε#␈αλ+␈αλ1␈α␈)␈ε7␈α↓c␈απ␈␈ε#␈αλ2␈α␈;␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈↓ ε/␈ε)K␈↓ εO␈ε#(␈ε)␈α↓n␈ε#)␈ε7␈α	∃␈↓ πC␈ε7d␈↓ πP␈ε#log␈↓ λ␈ε#(␈↓ λ2␈ε#5␈↓ λH␈ε)n␈ε#␈αλ+␈αλ1)␈ε7e␈απ␈␈ε#␈αλ2␈α␈.
␈β∧⊃␈↓ α⎇␈ε,≡␈↓ π2␈ε&2␈↓ π{␈ε,≡
␈β∧∀␈↓ π2␈∧∧∀π2α∞
␈β∧<␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∧>␈↓ ↓S␈ε33␈α␈9.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(R.␈α∂W␈α↓.␈↓ βr␈ε#Gos␈α␈per.)␈α!If␈α∂a␈α∂b␈α␈ase␈α␈ball␈α∂pla␈α}y␈α␈er's␈α∂ba␈α␈tting␈α∞a␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈α∂is␈α∂.33␈α␈4,␈α⊂wha␈α␈t␈α∂is
␈β∧f␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αfew␈α␈est␈αpo␈α␈ssi␈α↓b␈α␈le␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αof␈αtime␈α␈s␈αhe␈αha␈α␈s␈αbe␈α␈en␈αa␈α␈t␈αba␈α␈t?␈α≠[Not␈α␈e␈αfor␈αnon␈α␈-ba␈α␈seba␈α␈l␈α↓l-fan␈α␈s:
␈β¬
␈↓ ↓H␈ε#Ba␈α␈tti␈α↓n␈α␈g␈αa␈α␈v␈α}erag␈α␈e␈α=␈α(n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αh␈α␈i␈α↓ts␈α␈)␈α↓/␈α␈(ti␈α↓m␈α␈es␈αat␈αb␈α␈at),␈αrou␈α␈nd␈α␈ed␈αto␈αth␈α␈ree␈αd␈α␈ecima␈α␈l␈αp␈α␈l␈α↓a␈α␈ces.]
␈β¬I␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β¬K␈↓ ↓S␈ε34␈α␈0.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈8␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(␈ε0The␈↓ βN␈ε0S␈α␈tern␈α␈↑Peirce␈α
tree.␈ε#)␈α∨Co␈α␈nside␈α␈r␈α∞an␈α
in|␈α␈nite␈α∞b␈α␈inary␈α
tree␈α
in␈α∞wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈α∞e␈α␈ach
␈β¬r␈↓ ↓H␈ε#nod␈α␈e␈α	is␈α
lab␈α␈eled␈α	with␈α	t␈α␈he␈α	fact␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α	(␈↓ ¬≡␈ε)p␈↓ ¬<␈ε#+␈↓ ¬a␈ε)p␈↓ ε␈ε#)/(␈↓ ε'␈ε)q␈↓ εD␈ε#+␈↓ εi␈ε)q␈↓ πε␈ε#),␈α
wh␈α␈ere␈↓ λα␈ε)p␈↓ λ≥␈ε#/␈↓ λ-␈ε)q␈↓ λP␈ε#is␈α	the␈α	lab␈α␈el␈α	of␈α	the␈α	nod␈α␈e's
␈β¬}␈↓ ¬0␈ε,l␈↓ ¬s␈ε,r␈↓ ε7␈ε,l␈↓ εy␈ε,r␈↓ λ∀␈ε,l␈↓ λ>␈ε,l
␈βε~␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈eare␈α␈st␈α
l␈α↓e␈α␈$␈αa␈α␈nc␈α␈estor␈α
a␈α␈nd␈↓ ∧6␈ε)p␈↓ ∧T␈ε#/␈↓ ∧e␈ε)q␈↓ ¬␈ε#i␈α↓s␈α
th␈α␈e␈α
lab␈α␈el␈α
of␈α
the␈α
nod␈α␈e's␈α
nea␈α␈rest␈α
righ␈α}t␈α
anc␈α␈estor.␈α∃(A␈α
l␈α↓e␈α␈$
␈βε%␈↓ ∧G␈ε,r␈↓ ∧u␈ε,r
␈βεA␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nce␈α␈stor␈α
i␈α↓s␈α
on␈α␈e␈α
that␈α
p␈α␈reced␈α␈es␈α
a␈αnod␈α␈e␈α
i␈α↓n␈α
sy␈α␈mme␈α␈tri␈α↓c␈α
o␈α␈rder,␈αwh␈α␈il␈α↓e␈α
a␈α
righ␈α}t␈αa␈α␈nces␈α␈tor␈α
f␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}ws
␈βεi␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αnode␈α␈.␈α⊂S␈α␈ee␈αS␈α␈ection␈α2␈α␈.3.1␈αfor␈αth␈α␈e␈αde|␈α␈nition␈α
of␈αsymm␈α␈etric␈αord␈α␈er.)␈α~If␈αthe␈αnod␈α␈e␈αha␈α␈s␈αn␈α↓o
␈βπ⊃␈↓ ↓H␈ε#le$␈α
an␈α␈cestor␈α␈s,␈↓ β≠␈ε)p␈↓ β6␈ε#/␈↓ βF␈ε)q␈↓ βi␈ε#=␈α
0␈α␈/1;␈αif␈α
i␈α↓t␈α
ha␈α␈s␈αno␈α
righ␈α␈t␈α
an␈α␈cesto␈α␈rs,␈↓ πk␈ε)p␈↓ λ
␈ε#/␈↓ λ~␈ε)q␈↓ λA␈ε#=␈α
1␈α␈/0.␈α∞Th␈α␈us␈α
th␈α␈e␈αlab␈α␈el␈αo␈α␈f
␈βπ≤␈↓ β-␈ε,l␈↓ βW␈ε,l␈↓ π⎇␈ε,r␈↓ λ+␈ε,r
␈βπ8␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αro␈α↓o␈α␈t␈αi␈α↓s␈α1␈α␈/1;␈αth␈α␈e␈αl␈α↓a␈α␈be␈α␈l␈α↓s␈αo␈α␈f␈αits␈αt␈α␈w␈α␈o␈αso␈α␈ns␈αare␈α1␈α␈/2␈αa␈α␈nd␈α
2/1␈α␈;␈αth␈α␈e␈αlab␈α␈els␈αo␈α␈f␈αthe␈αfou␈α␈r␈αn␈α↓o␈α␈de␈α␈s
␈βπ`␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈n␈αlev␈α␈el␈α2␈αa␈α␈re␈α1/3␈α␈,␈α
2/␈α␈3,␈α
3␈α␈/2,␈αand␈α3/1␈α␈,␈α
from␈αle$␈αto␈αrigh␈α}t;␈α
the␈αlab␈α␈els␈αof␈αthe␈αe␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈αn␈α↓o␈α␈de␈α␈s
␈βλπ␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈n␈αlev␈α␈e␈α␈l␈α3␈αa␈α␈re␈α1/␈α␈4,␈α2/5␈α␈,␈α3␈α␈/5,␈α3/␈α␈4,␈α4/3␈α␈,␈α5␈α␈/3␈α␈,␈α5/␈α␈2,␈α4/␈α␈1;␈αand␈α
so␈αon␈α␈.
␈βλ2␈↓ α␈ε#Pro␈α␈v␈α␈e␈α∞that␈ε)␈α∂p␈ε#␈α∞i␈α↓s␈α∂re␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈α∂p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈α∂to␈↓ ε$␈ε)q␈↓ εE␈ε#in␈α∂e␈α␈ach␈α∞l␈α↓a␈α␈bel␈ε)␈α∂p␈ε#/␈↓ λ5␈ε)q␈↓ λG␈ε#;␈α∩fu␈α␈rthe␈α␈rm␈α↓ore␈α␈,␈α⊃th␈α␈e␈α∂node
␈βλT␈↓ ε∧␈ε:0␈↓ ε.␈ε:0
␈βλY␈↓ ↓H␈ε#lab␈α␈eled␈ε)␈α
p␈ε#␈α␈/␈↓ αZ␈ε)q␈↓ αv␈ε#pre␈α␈cede␈α␈s␈αt␈α␈he␈α
node␈α
lab␈α␈eled␈↓ ¬s␈ε)p␈↓ ε␈ε#/␈↓ ε≥␈ε)q␈↓ ε@␈ε#in␈α
sym␈α␈metric␈α
ord␈α␈er␈α
i␈α↓f␈α
an␈α␈d␈α
o␈α␈nly␈α
if␈αth␈α␈e␈α
lab␈α␈els
␈βλ{␈↓ β+␈ε:0␈↓ βU␈ε:0
␈β	↓␈↓ ↓H␈ε#sa␈α␈tisfy␈ε)␈αp␈ε#/␈↓ αS␈ε)q␈↓ αn␈ε#<␈↓ β→␈ε)p␈↓ β2␈ε#/␈↓ βC␈ε)q␈↓ β\␈ε#.␈α∂F␈α↓in␈α␈d␈αa␈αco␈α␈nn␈α␈ection␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α
the␈αco␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈αfra␈α␈ction␈αfo␈α␈r␈αth␈α␈e␈αlab␈α␈el␈αo␈α␈f
␈β	)␈↓ ↓H␈ε#a␈α
nod␈α␈e␈α
and␈α	the␈α
pa␈α␈th␈α
to␈α
tha␈α␈t␈αnod␈α␈e,␈αth␈α␈ereb␈α␈y␈α
sh␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈α
tha␈α␈t␈αe␈α␈ach␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e␈α
ration␈α␈al␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β	P␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈pp␈α␈ears␈αa␈α␈s␈αthe␈αlab␈α␈el␈αof␈αexa␈α␈ctly␈αon␈α␈e␈αnod␈α␈e␈αi␈α↓n␈α
the␈αtre␈α␈e.
␈β

␈↓ ↓V␈ε341.␈↓ α␈ε#[␈ε)M4␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(J.␈↓ β+␈ε#Sh␈α␈all␈α↓it,␈α19␈α␈79.)␈α→Sho␈α␈w␈αth␈α␈at␈αthe␈αr␈α␈egu␈α␈l␈α↓a␈α␈r␈αcon␈α}ti␈α↓n␈α}ue␈α␈d␈αfractio␈α␈n␈αex␈α␈pa␈α␈nsion␈α
of
␈β
Q␈↓ π≤␈ε↓X
␈β
↑␈↓ ∧H␈ε#1␈↓ ¬≡␈ε#1␈↓ ¬t␈ε#1␈↓ π␈␈ε#1
␈β
t␈↓ ∧k␈ε#+␈↓ ¬A␈ε#+␈↓ ε↔␈ε#+␈↓ ε?␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εo␈ε#=
␈βε␈↓ π{␈ε-n
␈βπ␈↓ ∧A␈∧π∧Aα∨␈↓ ¬↔␈∧π¬↔α∨␈↓ ¬m␈∧π¬mα∨␈↓ π\␈∧ππ\αW
␈β
␈↓ ∧R␈ε&1␈↓ ¬(␈ε&3␈↓ ¬}␈ε&7␈↓ πm␈ε&2␈↓ λ␈ε:␈␈ε&1
␈β␈↓ ∧A␈ε#2␈↓ ¬↔␈ε#2␈↓ ¬m␈ε#2␈↓ π\␈ε#2
␈β&␈↓ π~␈ε,n␈ε:∃␈ε&1
␈βp␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈on␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈α∂o␈α␈nly␈α∞1's␈α∂an␈α␈d␈α∞2's␈α∂a␈α␈nd␈α∞ha␈α␈s␈α∂a␈α∞fairl␈α↓y␈α∞simp␈α␈l␈α↓e␈α∞\p␈α␈atter␈α␈n."␈α→P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈α∂t␈α␈hat␈α∞the␈α∞pa␈α␈rti␈α↓a␈α␈l
␈β{␈↓ ¬#␈ε↓P
␈β∩␈↓ ε∩␈ε:␈␈ε,n␈ε&!
␈β_␈↓ ↓H␈ε#q␈α␈uo␈α␈ti␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈αof␈αLiou␈α␈vill␈α↓e␈α␈'␈α↓s␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈↓ επ␈ε)l␈↓ εP␈ε#also␈αh␈α␈a␈α␈v␈α}e␈αa␈αreg␈α␈ular␈αp␈α␈atte␈α␈rn,␈αwhen␈↓ 
B␈ε)l␈↓ 
W␈ε#i␈α↓s␈αa␈α␈n␈α␈y
␈β+␈↓ ¬I␈ε,n␈ε:∃␈ε&1
␈βC␈↓ ↓H␈ε#in␈α}teger␈ε7␈α∞∃␈ε#␈α∂2␈α␈.␈α [The␈α∞latter␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers,␈α∂i␈α↓n␈α}trod␈α␈uce␈α␈d␈α∞by␈α∞J␈α␈.␈↓ πg␈ε#Liou␈α␈vil␈α↓le␈α∞in␈ε0␈α∞J.␈α∞de␈α∞M␈α␈ath␈α␈.␈α∂Pure␈α␈s
␈βk␈↓ ↓H␈ε0e␈α␈t␈α⊂Ap␈α␈pl.␈ε3␈α∂16␈ε#␈α∂(1␈α␈851␈α␈)␈α↓,␈α⊂13␈α␈3↑1␈α␈42,␈α⊂w␈α␈ere␈α∂th␈α␈e␈α∂|rst␈α∂ex␈α␈plicitly␈α∂de␈α␈|n␈α␈ed␈α∂n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α∂to␈α∂b␈α␈e␈α∂pro␈α}v␈α␈ed
␈β
∪␈↓ ↓H␈ε0tra␈α␈nsc␈α␈end␈α␈en␈α␈ta␈α␈l␈ε#.␈α∪Th␈α␈e␈αformer␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αan␈α␈d␈αsimilar␈αcon␈α␈stan␈α}ts␈αwe␈α␈re␈α|rst␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈ed␈αtran␈α␈scen␈α␈-
␈β
:␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈en␈α␈t␈α␈al␈αby␈αA.␈αJ.␈↓ β-␈ε#Kemp␈α␈ne␈α␈r,␈ε0␈αT␈α⎇ra␈α␈ns.␈αAmer.␈αMa␈α␈th.␈αSo␈α␈c.␈ε3␈α1␈α␈7␈ε#␈α(19␈α␈16),␈α47␈α␈6↑4␈α␈82.]
␈β
w␈↓ ↓V␈ε342.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(J.␈↓ β*␈ε#L␈α↓a␈α␈gra␈α␈nge␈α␈,␈α17␈α␈98.)␈α∃Let␈↓ ¬m␈ε)X␈↓ ε⊗␈ε#ha␈α␈v␈α}e␈α
the␈α
re␈α␈gula␈α␈r␈α
con␈α␈t␈α␈i␈α↓n␈α}ued␈α	fraction␈α	ex␈α␈pan␈α␈sion
␈β∞∨␈↓ ↓H␈ε7?␈↓ ↓X␈ε)A␈↓ ↓}␈ε#,␈↓ α
␈ε)A␈↓ α3␈ε#,␈↓ αB␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ αn␈ε7?␈ε#,␈αa␈α␈nd␈α
let␈↓ ∧α␈ε)q␈↓ ∧-␈ε#=␈↓ ∧X␈ε)Q␈↓ ¬β␈ε#(␈↓ ¬∞␈ε)A␈↓ ¬4␈ε#,␈↓ ¬C␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬o␈ε#,␈↓ ¬}␈ε)A␈↓ ε'␈ε#).␈α∂Let␈ε7␈α
k␈ε)x␈ε7␈α␈k␈ε#␈α
denote␈α
the␈α
d␈α␈i␈α↓sta␈α␈nce␈α
from␈ε)␈α
x␈ε#␈α
to␈α
the
␈β∞+␈↓ ↓p␈ε&1␈↓ α%␈ε&2␈↓ ∧∪␈ε,n␈↓ ∧r␈ε,n␈↓ ¬&␈ε&1␈↓ ε⊗␈ε,n
␈β∞G␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈eare␈α␈st␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r,␈α
na␈α␈mely␈↓ ∧)␈ε#min␈↓ ∧u␈ε7j␈ε)x␈ε7␈απ␈␈ε)␈α	p␈ε7j␈ε#.␈α∩Sho␈α␈w␈αtha␈α␈t␈ε7␈αk␈↓ π,␈ε)q␈↓ π>␈ε)X␈↓ π]␈ε7k␈α∃␈αk␈↓ λ6␈ε)q␈↓ λ␈␈ε)X␈↓ 	∨␈ε7k␈ε#␈αfor␈α1␈ε7␈α∀␈↓ 
8␈ε)q␈↓ 
U␈ε#<␈↓ α␈ε)q␈↓ #␈ε#.
␈β∞R␈↓ ∧`␈ε,p␈↓ λF␈ε,n␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈↓ ∩␈ε,n
␈β∞n␈↓ ↓H␈ε#(Th␈α}us␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈↓ βb␈ε)q␈↓ ∧∞␈ε#a␈α␈re␈α
the␈α
\␈α␈reco␈α␈rd-b␈α␈reak␈α␈i␈α↓n␈α␈g"␈α	i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈α
tha␈α␈t␈α
mak␈α}e␈ε7␈α
k␈↓ 	4␈ε)q␈↓ 	F␈ε)X␈↓ 	e␈ε7k␈ε#␈α
a␈α␈chiev␈α}e␈α
ne␈α␈w
␈β∞z␈↓ βs␈ε,n
␈β∂⊗␈↓ ↓H␈ε#lo␈α␈ws.)
␈β∂S␈↓ ↓V␈ε343.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(D.␈α∞W.␈↓ βn␈ε#Matu␈α␈la.)␈α≥Sho␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈α
the␈α
\␈α␈med␈α␈i␈α↓a␈α␈n␈α␈t␈α
rou␈α␈nd␈α␈ing"␈αrule␈α
for␈α
|␈α␈xed␈α␈-slash
␈β∂{␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈r␈α∂⎇␈α␈oatin␈α␈g-slash␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs,␈α⊂Eq.␈α∂4␈α␈.␈α↓5␈α␈.␈α↓1␈α␈↑1,␈α∂can␈α∞be␈↓ πα␈ε#imp␈α␈l␈α↓em␈α␈en␈α␈te␈α␈d␈α∂simp␈α␈ly␈α∂a␈α␈s␈α∂follo␈α␈ws,␈α⊂wh␈α␈en
␈β⊂"␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈ε)␈αx␈ε#␈α>␈α0␈αis␈αn␈α↓ot␈αrep␈α␈resen␈α}tab␈α␈l␈α↓e␈α␈:␈α∞L␈α↓e␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
re␈α␈gu␈α␈l␈α↓a␈α␈r␈α
co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈αfrac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αex␈α␈pan␈α␈sion
␈β⊂J␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈ε)␈αx␈ε#␈αb␈α␈e␈↓ α;␈ε)a␈↓ αb␈ε#+␈ε7␈αλ?␈↓ β≠␈ε)a␈↓ β;␈ε#,␈↓ βJ␈ε)a␈↓ βi␈ε#,␈↓ βx␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ∧$␈ε7?␈↓ ∧5␈ε#,␈αan␈α␈d␈αlet␈↓ ¬=␈ε)p␈↓ ¬j␈ε#=␈↓ ε⊗␈ε)Q␈↓ εi␈ε#(␈↓ εt␈ε)a␈↓ π∀␈ε#,␈↓ π#␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ πO␈ε#,␈↓ π↑␈ε)a␈↓ λ␈ε#)␈α↓,␈↓ λ!␈ε)q␈↓ λM␈ε#=␈↓ λy␈ε)Q␈↓ 	$␈ε#(␈↓ 	/␈ε)a␈↓ 	O␈ε#,␈↓ 	]␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 

␈ε#,␈↓ 
→␈ε)a␈↓ 
;␈ε#).␈α∩Th␈α␈en
␈β⊂V␈↓ αM␈ε&0␈↓ β-␈ε&1␈↓ β[␈ε&2␈↓ ¬O␈ε,n␈↓ ε0␈ε,n␈ε&+1␈↓ πε␈ε&0␈↓ πp␈ε,n␈↓ λ1␈ε,n␈↓ 	∪␈ε,n␈↓ 	A␈ε&1␈↓ 
*␈ε,n
␈β⊂r␈↓ ↓H␈ε#ro␈α␈un␈α␈d(␈ε)x␈ε#␈α␈)␈α=␈α(␈↓ β	␈ε)p␈↓ β%␈ε#/␈↓ β5␈ε)q␈↓ βP␈ε#),␈α
whe␈α␈re␈α
(␈↓ ∧↑␈ε)p␈↓ ∧y␈ε#/␈↓ ¬
␈ε)q␈↓ ¬$␈ε#)␈α
is␈α
rep␈α␈resen␈α}tab␈α␈le␈α
b␈α␈ut␈α(␈↓ πt␈ε)p␈↓ λ8␈ε#/␈↓ λI␈ε)q␈↓ 	␈ε#)␈α
is␈α
not.␈α≤[␈ε0Hi␈α↓n␈α}t:␈ε#␈α∞See
␈β⊂⎇␈↓ β≠␈ε,i␈↓ βF␈ε,i␈↓ ∧p␈ε,i␈↓ ¬≠␈ε,i␈↓ λε␈ε,i␈ε&+1␈↓ λY␈ε,i␈ε&+␈α↓1
␈β⊃→␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈xerc␈α␈i␈α↓se␈α4␈α␈0.]
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"364␈↓ 
b␈ε"4.5.3
␈β↓Z␈↓ α=␈ε.AR␈α␈ITH␈α␈M␈α↓ETI␈α␈C
␈βα∨␈↓ 	4␈ε:0
␈βα%␈↓ ↓V␈ε344.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Su␈α␈pp␈α␈ose␈αλw␈α␈e␈αλare␈αλd␈α␈oing␈αλ|␈α␈xe␈α␈d␈αλslash␈αλa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈αλin␈αλwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αλ(␈ε)u␈ε#␈α↓/␈↓ 	 ␈ε)u␈↓ 	;␈ε#)␈α	is␈αλrep␈α␈resen␈α}tab␈α␈l␈α↓e
␈βαG␈↓ ¬k␈ε:0␈↓ λ≤␈ε:0
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#if␈α∂and␈α∂o␈α␈nly␈α∂if␈ε7␈α⊂j␈ε)u␈ε7j␈ε#␈α⊃<␈↓ ∧
␈ε)M␈↓ ∧?␈ε#an␈α␈d␈α∂0␈ε7␈α⊂∀␈↓ ¬W␈ε)u␈↓ εβ␈ε#<␈↓ ε4␈ε)N␈↓ εd␈ε#a␈α␈nd␈↓ π)␈ε#gc␈α␈d␈↓ π[␈ε#(␈ε)u␈ε#,␈↓ λλ␈ε)u␈↓ λ#␈ε#)␈α⊃=␈α⊃1␈α␈.␈α≤Pro␈α␈v␈α␈e␈α∂or␈α∂disp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e
␈βαo␈↓ βK␈ε:0␈↓ ∧M␈ε:0␈↓ ¬[␈ε:0␈↓ εe␈ε:0␈↓ 	s␈ε:0␈↓ ⊃␈ε:0
␈βαr␈↓ α|␈ε"(␈↓ ∧`␈ε")
␈βαt␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αiden␈α}ti␈α↓t␈α␈y␈↓ βλ␈ε#(␈ε)␈α↓u␈ε#/␈↓ β8␈ε)u␈↓ βS␈ε#)␈ε7␈απλ␈ε#␈αλ(␈↓ ∧→␈ε)v␈↓ ∧+␈ε#/␈↓ ∧;␈ε)v␈↓ ∧U␈ε#)␈↓ ∧s␈ε7␈	␈ε#␈αλ(␈↓ ¬'␈ε)v␈↓ ¬9␈ε#/␈↓ ¬I␈ε)v␈↓ ¬c␈ε#)␈α	=␈α
(␈ε)u␈ε#␈α↓/␈↓ εQ␈ε)u␈↓ εl␈ε#)␈αfor␈αa␈α␈l␈α↓l␈αrepr␈α␈esen␈α␈ta␈α␈ble␈α(␈ε)u␈ε#␈α↓/␈↓ 	←␈ε)u␈↓ 	z␈ε#)␈αa␈α␈nd␈α(␈↓ 
]␈ε)v␈↓ 
n␈ε#/␈↓ 
␈␈ε)v␈↓ _␈ε#),
␈ββ~␈↓ β,␈ε:0
␈ββ≠␈↓ βg␈ε7p
␈ββ∨␈↓ ∧β␈∧β∨∧βα 
␈ββ ␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈ro␈α␈v␈α␈i␈α↓d␈α␈ed␈αth␈α␈at␈↓ β→␈ε)u␈↓ β=␈ε#<␈↓ ∧β␈ε)N␈↓ ∧.␈ε#an␈α␈d␈αn␈α↓o␈α
o␈α␈v␈α␈e␈α␈r⎇o␈α␈w␈αo␈α␈ccur␈α␈s.
␈ββR␈↓ ↓V␈ε345.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈48␈↓ αt␈ε#]␈α⊗De␈α␈v␈α␈elop␈α∂th␈α␈e␈α∂ana␈α␈lysis␈α⊂o␈α␈f␈α⊂alg␈α␈orithm␈α␈s␈α⊂for␈α∂co␈α␈mpu␈α␈ting␈α∂the␈α∂g␈α␈cd␈α∂of␈α∂three␈α∂o␈α␈r
␈ββz␈↓ ↓H␈ε#more␈αin␈α␈te␈α␈gers.
␈β∪(/FONT#1=cmathx[XGP,SYS]=↓∞⊂⊃∩∪_→~≡ !018:<>@ABCPSXYZ[pxx/FONT#21=cmtt9[XGP,SYS]=125ABCDFHIJLMNPRSTUVXZZ/FONT#34=cmr10[XGP,SYS]=	∞∂~!"$'()*+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIJKLMNOPRSTUVWXYZ[\]↑←abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇}}/FONT#35=cmr9[XGP,SYS]=	
"$'()+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIJKLMNOPRSTUVWXY[\]↑←abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇}}/FONT#36=cmr8[XGP,SYS]=∞'*.0ALabdefghiknoprstvxy||/FONT#37=cmr7[XGP,SYS]=()+,/0123456789<=>Macdegimnprxx/FONT#38=cmr6[XGP,SYS]=!()+/0123456789<aevv/FONT#39=cmr5[XGP,SYS]=123577/FONT#40=cmi10[XGP,SYS]=β
∞∂⊂∃⊗_→≤≡∨ABCDEFGHIJNOPQRSTUVXabcdefghijkmnpqrstuvwxyz⎇⎇/FONT#41=cmi9[XGP,SYS]=β
∞∂∃⊗_→≠≡0123456789ABCDEFGHIKMNOQTUVXYabcdefghjklmnpqrstuvwxyz⎇⎇/FONT#43=cmi7[XGP,SYS]=∂≡ANbdjkmnpqrtuvxx/FONT#44=cmi6[XGP,SYS]=≡Nbdijklmnpqrstyzz/FONT#45=cmi5[XGP,SYS]=npp/FONT#46=cmsc10[XGP,SYS]=.ABCDEFGHILMNORSTUVYY/FONT#47=cms10[XGP,SYS]=∪≠≤',-.245:ABCDEFGIJKLMNOPQRSTWabcdefghijklmnopqrstuvwxyz||/FONT#48=cms9[XGP,SYS]=∪,.123456:?ABCDEFGHIJMNPQRST↑abcdefghilmnopqrstuvwxyz||/FONT#50=cmb10[XGP,SYS]='-.0123456789ABCDEFHLMPRSTWXabcdefghilmnopqrstuvwxyy/FONT#51=cmb9[XGP,SYS]=.0123456789CFLPagilnoprstyy/FONT#53=cmtt[XGP,SYS]=(),0123456:ABCDEFHIJLMNOPQRSTUVXZZ/FONT#54=cmsy10[XGP,SYS]=↓α∧ελ	∂⊃∀∃→≤ !1?IJK[\bcdefghijkpx⎇⎇/FONT#55=cmsy9[XGP,SYS]=↓λ	⊃∩∀∃≤ !1?I[bcdefgjkpp/FONT#57=cmsy7[XGP,SYS]=∧∀∃!01bcpp/FONT#58=cmsy6[XGP,SYS]=∧∀∃!01bcc/FONT#59=cmsy5[XGP,SYS]=00/FONT#61=cmssb[XGP,SYS]='*.12345ACDEFGHILMNORSTXabcdefghilmnorstuvyy